Đối ngẫu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN QUANG PHÚ ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM  NGUYỄN QUANG PHÚ ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ i Mục lục .ii MỞ ĐẦU Chương 1: SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU 1.1 Các khái niệm định nghĩa 1.2 Bài tốn tối ưu vơ hướng đối ngẫu 1.3 Đối ngẫu ( D1 ) họ đối ngẫu ( D ),   F 1.4 Các toán đối ngẫu đa mục tiêu (DFL),(DF),(DL) (DP) 11 1.5 Mối quan hệ đối ngẫu ( D1 ),( D ),   F vµ (DFL ) 18 Chương 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU 27 2.1 Các định nghĩa khái niệm 27 2.2 Mối quan hệ bao hàm thức DFL, DF, DL DP 29 2.3 Điều kiện tập hợp DFL, DF, DL DP 35 2.4 Đối ngẫu đa mục tiêu Nakayama 39 2.5 Đối ngẫu đa mục tiêu Wofle 44 2.6 Đối ngẫu đa mục tiêu Weir – Mond 49 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu phận quan trọng lý thuyết tối ưu Với toán cực tiểu người ta xây dựng toán đối ngẫu cực đại thiết lập định lý đối ngẫu mạnh, yếu, ngược Các loại toán đối ngẫu thường nghiên cứu là: đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe, đối ngẫu Weir – Mond, đối ngẫu Nakayama, đối ngẫu Bot – Wanka Các định lý đối ngẫu mạnh có nhiều ứng dụng việc xây dựng thuật tốn tìm nghiệm tối ưu Lý thuyết đối ngẫu cho toán tối ưu đa mục tiêu phát triển nhiều tác giả như: J Jahn, N Nakayama, P Wolfe, T Weir, B Mond, R.I Bot, G Wanka, (xem chẳng hạn [2], [3], [5] – [7], [9] – [11]) Với giả thiết tính lồi liệu tốn , Bot – Wanka [2,3] xây dựng sáu loại toán đối ngẫu cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón khơng gian hữu hạn chiều, thiết lập định lý đối ngẫu yếu, mạnh kết quan hệ bao hàm thức tập ảnh toán đối ngẫu đa mục tiêu Lý thuyết đối ngẫu Bot – Wanka cho toán tối ưu đa mục tiêu nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài “Đối ngẫu tốn tối ưu đa mục tiêu” Đây đề tài có tính thời nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày định lý đối ngẫu yếu mạnh Bot – Wanka [2], [3] cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón kết quan hệ bao hàm thức tập ảnh sáu loại tốn đối ngẫu với kết so sánh với toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe, Weir – Mond 2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Luận văn tập trung vào nhiệm vụ sau đây: - Đọc, dịch tài liệu từ hai báo tiếng Anh R.I Bot G.Wanka (2004) đăng tạp chí Optimization - Sử dụng kết hai báo để viết luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng cơng cụ giải tích hàm, giải tích lồi kiến thức lí thuyết tối ưu Bố cục luận văn - Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Sáu loại toán đối ngẫu đa mục tiêu định lí đối ngẫu Trình bày định lí đối ngẫu yếu mạnh cho toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón khơng gian hữu hạn chiều Với giả thiết tính lồi hàm mục tiêu ràng buộc, định lí đối ngẫu mạnh cho tốn vơ hướng ( P ) trình bày Từ tốn vơ hướng ( P ) sáu tốn đối ngẫu cho (P) trình bày với định lí đối ngẫu yếu mạnh Một số kết quan hệ bao hàm thức tập ảnh toán đối ngẫu (D 1), (D ) , (DFL) trình bày với kết so sánh tập nghiệm hữu hiệu tốn đối ngẫu Các kết trình bày chương R.I Bot G Wanka [2] Chương Mối quan hệ sáu loại tốn đối ngẫu đa mục tiêu Trình bày kết quan hệ bao hàm thức sáu loại toán đối ngẫu toán tối ưu đa mục tiêu (P) trình bày chương (D1), (D ) , (DFL), (DF), ( DL) (DP) Kết giả thiết (Af),(Ag) (ACQ) với  F , ta có quan hệ bao hàm thức tập ảnh toán đối ngẫu: D1   m Ö D   m Ö DFL  DL  DF  DP đẳng thức tập phần tử cực đại toán đối ngẫu: v max D1  v max D  v max DFL  v max DF  v max DL  v max DP Các quan hệ bao hàm thức sáu loại tốn đối ngẫu so sánh với toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe Weir – Mond Các kết trình bày chương la R.I Bot G Wanka [3] Nhân dịp em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGSTS Đỗ Văn Lưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hồn thành luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến thầy cô giáo Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khố học Tơi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường THPT Phù Lưu, gia đình, bạn bè đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K19 quan tâm, động viên, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Nguyễn Quang Phú Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU Chương trình bày định lí đối ngẫu mạnh yếu R.I Bot G Wanka [2] cho toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón khơng gian hữu hạn chiều Các định lí đối ngẫu yếu trình bày trường hợp tổng quát, định lí đối ngẫu mạnh trình bày với giả thiết tính lồi hàm liệu Từ định lí đối ngẫu cho tốn vơ hướng ( P ), định lí đối ngẫu yếu mạnh cho sáu loại toán đối ngẫu trình bày cho tốn (P) Một số kết quan hệ bao hàm thức tập ảnh toán đối ngẫu (D1), (D ) , (DFL) trình bày với kết so sánh tập nghiệm hữu hiệu toán đối ngẫu 1.1 Các khái niệm định nghĩa Xét toán tối ưu xuất phát với ràng buộc nón: ( P) v  f ( x) , xA   A  x   n : g ( x)  ( g1 ( x), g ( x), , g m ( x))T  , K f ( x)  ( f1 ( x), f ( x), , f m ( x))T f i :  n       , i = 1,…,m, hàm thường, gi :  n   , j  1, , k K   k nón lồi đóng với int K   Xác định thứ tự phận x2  K x1 x1  x2  K Từ “v-min” có nghĩa nghiệm hữu hiệu Pareto toán ( P) Định nghĩa 1.1 Một phần tử x A gọi nghiệm hữu hiệu Pareto toán (P) f ( x)  m f ( x ) , với x A suy f ( x )  f ( x)  Ở nón  m xác định nghĩa  m  ( y  ( y1 , y2 , , ym ))T , yi  0, i  1, m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.2 Một phần tử x A gọi nghiệm hữu hiệu thường (P) nghiệm hữu hiệu Pareto tồn số M > cho với i x  A thỏa mãn fi ( x)  fi ( x ) , tồn số j cho f j ( x )  f j ( x) f i ( x )  f i ( x) M f j ( x)  f j ( x ) Bây đưa vào ba giả thiết tổng quát: ( Af ) hàm fi , i  1, , m lồi im1 ri(domfi )   , ( Ag ) Hàm g lồi theo nón K, tức x1 , x2   n ,  [0,1] ,  g ( x1 )  (1   ) g ( x2 )  g ( x1  (1   ) x2 )  K ( ACQ ) tồn x ' im1 ri(domfi ) cho g ( x ')  int K 1.2 Bài tốn tối ưu vơ hướng đối ngẫu Cho   (1 , 2 , , m )T véc tơ cố định  m xét tốn vơ hướng m inf  i fi ( x) ( P ) xA i 1 Để nghiên cứu đối ngẫu toán đa mục tiêu (P) trước hết trình bày đối ngẫu cho ( P ) cách áp dụng cách tiếp cận liên hợp Xét tốn đối ngẫu vơ hướng : m ( DL ) sup infn [ i fi ( x)  qT g ( x)] , q‡ ( DF )  ( DFL ) K* x i=1 m  m   i fi* ( pi )   A* ( i pi )  ,  pi  n ,i 1, , m  i 1 i 1  sup m  m  * T *   f ( p )  ( q g ) (  i pi )  ,    i i i pi  n ,i 1, , m  i 1 i 1  q sup K* nÕu x  A 0, A (x)   , nÕu x  A Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kí hiệu hàm tập hợp A Mặt khác với hàm f :  n   ta kí hiệu:   f * :  n   , f * ( p)  sup x a p T x  f ( x )  hàm liên hợp f ,  K *  q   K : q T x  0, x  K nón đối ngẫu K Định lý 1.1[10] Giả sử giá trị cực tiểu ( P ),(inf( P )) hữu hạn giả thiết  ( Af ),  Ag  vµ (A CQ ) Khi đó, tốn đối ngẫu ( DL ),( DF ) vµ ( DFL ) có nghiệm tính đối ngẫu mạnh đúng, tức  inf(P )  max(DL )  max(DF )  max(DFL ) Chứng minh định lý 1.1 có [10] Chú ý (D L ) toán đối ngẫu Lagrang (P ) Ta nhắc lại điều kiện tối ưu cho tốn vơ hướng (P ) [9] Định lý: 1.2 (a) Giả sử ( Af ),( Ag ) vµ (ACQ ) x nghiệm ( P )  Khi đó, tồn ( p, q ), p  ( p1 , , pm )   n    n , q  K nghiệm ( DFL ) * cho điều kiện tối ưu sau thỏa mãn: (i) fi* ( pi )  fi ( x )  pi T ( x ); i  1, , m (ii) q T g( x )  T  m   m  (iii) (q g)   i pi      i pi  ( x )  i 1   i 1  T * (1.1) (b) Giả sử x điểm chấp nhận ( P ) (p, q ) điểm chấp nhận  (DFL ) thỏa mãn (i),(ii) (iii) Khi đó, x nghiệm ( P ), ( p, q )  nghiệm ( DFL ) , tính đối ngẫu mạnh đúng, tức m m m i 1 i 1 i 1  i fi ( x )   i fi* ( pi )  (q T g)*( i pi ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.3 Đối ngẫu ( D1 ) họ đối ngẫu ( D ),   F Bài toán đối ngẫu đa mục tiêu (P) là: ( D1 ) : v- max hl ( p, q, , t ) , ( p , q, ,t )B1  h1l ( p, q,  , t )      l  , h ( p, q,  , t )       l   hm ( p, q,  , t )  với hjl ( p, q,  , t )   f j * ( p j )  (q T g)* ( i1 i m m   p )  t , j  1, m , i 1 i i j biến đối ngẫu: p  ( p1, pm )   n    n , q   k ,   (1 , , m )T   m , t  (t1 , , tm )T   m tập hợp ràng buộc  B1  ( p, q, , t ) :   int  m , q  0, K*  m  t i 1 i i   0  Đối ngẫu (D1) toán cực đại véc tơ mà xét nghiệm hữu hiệu Pareto, theo nghĩa cực đại Tiếp theo, chúng tơi trình bày định lý đối ngẫu yếu mạnh cho toán đa mục tiêu (P) (D1) Định lý 1.3 ( Đối ngẫu yếu cho (D1)) Không tồn x  A vµ (p, q,  , t )  B1 thỏa mãn hl ( p, q, , t )  f ( x ) m  hl ( p, q,  , t )  f ( x ) Chứng minh: Chúng ta giả sử tồn x  A vµ (p, q,  , t )  B1 cho fi ( x )  hil ( p, q, , t ), Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 h N (q1 , , qm , y)  f ( x) Định lý 2.5[7] ( Đối ngẫu mạnh cho (DN)) Giả sử (Af), (Ag) (ACQ) Nếu x nghiệm hữu hiệu thường tốn (P), tồn nghiệm hữu hiệu (q1 , , qm , y )  BN (DN) tính đối ngẫu mạnh f ( x )  hN (q1 , , qm , y )  y Để xét quan hệ (DN) với đối ngẫu xét, kí hiệu DN  hN (BN )   m tập ảnh đối ngẫu đa mục tiêu Nakayama DL  DN Mệnh đề 2.3 Chứng minh Giả sử d  (d1 , , dm )T  DL Khi đó, tồn q ‡ K   int m cho (q,  , d )  BL , tức là: *  m  m T  i di  xinf  i fi ( x )  q g( x )   n i 1  i 1 (2.19)  Giả sử với i  1, , m, qi  (1 /  i 1 i )q ‡ K m * Chúng ta (q1 , , qm , d )  BN Nếu điều khơng tồn x '  n cho d ™ f ( x ')  (q1T g( x '), , qmT g( x '))T Ta suy  m i 1 i di  i 1 i fi ( x ')  q T g( x ') , điều mâu thuẫn m với (2.19) Từ ta nhận được: (q1 , , qm , d )  BN d  hN (q1 , , qm , d )  hN (BN )  DN Mệnh đề chứng minh Ví dụ 2.5 Cho m  2, n  1, k  1, K    , f1 , f2 :    , g :    : f1 ( x )  x, f2 ( x )  g( x)  1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Xét q1  q2  d  (1, 0)T Hiển nhiên không tồn x  n cho d  (1, 0)T ™ f ( x )  (q1g( x ), q2 g( x ))T  ( x,1)T Điều có nghĩa d  (1, 0)T  DN Mặt khác, ta có d  DL , vậy, DL Ö DN , tức bao hàm thức DL  DN chặt Ví dụ 2.6 Cho m  2, n  1, k  1, K    , f1 , f2 :    , g :    : f1 ( x )  f2 ( x )  x 1  x , nÕu x  [0, ) g( x )   1, nÕu x  [0, ) Phần tử d  (1,1)T thuộc DF DP Ta d  DN Nếu điều không tồn q1 , q2  cho (q1 , q2 , d )  DN tương đương d  (1,1)T ™( x  q1g( x ), x  q2 g( x ))T , (2.20) không với x   Nhưng với i  1, 2, lim x  ( x  qi g( x ))   , nghĩa tồn x '  cho x  q1 g( x )  x  q2 g( x )  Điều mâu thuẫn với (2.20) Trong trường hợp tổng quát DF Ú DN DP Ú DN Nhận xét 2.8 Với toán cho ví dụ 2.5 ta ý (Af), (Ag) (ACQ) Theo định lý 2.3 ta có DL  DF  DP vậy, d  (1, 0)T  DF d  (1, 0)T  DP Nhưng ta có d  (1, 0)T  DN Chúng ta kết luận DN Ú DF DN Ú DP Kết cho phép ta mở rộng (2.10) : với  F , D ÖD D1   m Ö D   m Ö DFL Ö F DP P (2.21) DL Ö DN Nếu (Af), (Ag) (ACQ) đúng, từ (2.17) mệnh đề 2.3 ta có: với  F , D1   m Ö D   m Ö DFL  DL  DF  DP Ö DN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.22) 43 Ta nhắc lại (Af), (Ag) (ACQ) đúng, tập hợp phần tử cực đại sáu đối ngẫu đầu (xem (2.18)) Ví dụ sau rằng, cho dù giả thiết (Af), (Ag) (ACQ) đúng, vmax DN vmax DP khơng có quan hệ bao hàm thức Ví dụ 2.7 Với m  2, n  2, k  1, K   , cho f1 , f2 :    , g :     x , nÕu x  X , f1 ( x1 , x2 )   , nÕu x  X ,  x , nÕu x  X , f2 ( x1 , x2 )   , nÕu x  X   X  x  ( x1 , x2 )T   : x1 , x2  cho x2  0, nÕu x1  [0,1) , g( x1 , x2 )  Ta ý (Af), (Ag) (ACQ) Với q1  q2   K *  0 d  (1, 0)T không tồn x  ( x1 , x2 )T  X cho (1, 0)T ™( x1 , x2 )T Điều có nghĩa (0, 0, d )  BN d  DN Bây ta giả sử tồn q1 , q2  K * d  cho (q1 , q2 , d ) BN d ™d  (1, 0) Ta có q1  q2  với x  (1, 0) T  X ( f1 ( x )  q1g( x ), f2 ( x )  q2 g( x ))T  ( x1 x2 )T  (1, 0)T  d ˜ d Ta suy (q1 , q2 , d ) BN Điều nghĩa d  (1, 0)T  v max DN Bây ta giả sử d  DP  DL Khi tồn   (1 , 2 )T  int  2 cho 1  1d1  2 d2  inf 1 f1 ( x )  2 f2 ( x )  inf  1 x1  2 x2  xA xX n n Mặt khác, với n   * ,(1 / n,1 / n)T  X , ta có 1  1  2 , n   * Nếu n   ta phải có 1  mâu thuẫn Từ d  (1, 0)T  DP rõ ràng d  (1, 0)T  v max DP Vì vậy, v max DN Ú v max DP Mặt khác, với 1  2  d  (0, 0)T ta có d  (0, 0)T  DP , nữa, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 d  (0, 0)T  v max DP Theo mệnh đề 2.3 d  (0, 0)T  DP  DN , d  (1, 0)T  DN , ta suy d  (0, 0)T  v max DN Vì vậy, v max DP Ú v max DN Nhận xét 2.9 Trong mệnh đề Nakayama cho vài điều kiện cần để có: v P  v max DL  v max DN (2.23) vmin P tập hợp nghiệm hữu hiệu Pareto tốn (P) Để có (2.23) mệnh đề khẳng định (Af), (Ag) (ACQ) phải đúng, tốn (P) phải có nghiệm hữu hiệu Pareto, tất nghiệm hữu hiệu Pareto phải hữu hiệu thường tập hợp   G  ( z, y)   m   k : x  X cho y ‡ f ( x ), z ‡ g( x )  phải đóng m K    2.5 Đối ngẫu đa mục tiêu Wofle Bài toán đối ngẫu đa mục tiêu Wolfe trình bày sau: ( DW ) v  max h w ( x, q,  ), ( x , q ,  )Bw  h1w ( x, q,  )      , h w ( x, q,  )        w   h m ( x, q,  )  với hjw ( x, q,  )  f j ( x )  q T g( x ), j  1, , m , biến đối ngẫu x   n , q   k ,   (1 , , m )T   m , tập hợp ràng buộc m  Bw  ( x, q,  ) : x   n ,   (1 , , m ) T  int  m ,  i  1, q ‡ 0, K* i 1    m      i fi  ( x )  ( q T g)( x )  ,  i 1   Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 đây, với hàm lồi  f :  n   , f ( x )  x *   n : f ( x )  f ( x )  x * , x  x , x   n  vi phân hàm f điểm x  n (xem([1]) Hai định lý đối ngẫu yếu mạnh sau phần chứng minh chúng có [11] Định lý 2.6[11] ( Đối ngẫu yếu (DW)) Không tồn x A ( y, q,  )  BW thỏa mãn hW ( y, q,  ) ‡  f ( x ) m  hW ( y, q,  )  f ( x ) Định lý 2.7[11] ( Đối ngẫu mạnh (DW)) Giả sử (Af), (Ag) (ACQ) Nếu x nghiệm hữu hiệu thường (P), tồn q ‡ K   int m cho ( x , q ,  ) BW nghiệm hữu hiệu * thường (DW) tính đối ngẫu mạnh đúng: f ( x )  hW ( x , q ,  ) Đặt DW  hW (BW )   m Ta trình bày mối quan hệ DW tập ảnh đối ngẫu đưa vào DW  DL Mệnh đề 2.4 Chứng minh Giả sử d  (d1 , , dm )T  DW Khi đó, tồn ( x, q,  )  BW cho d  hW ( x, q,  )  f ( x )  (q T g( x ), , q T g( x )) T Từ suy m m i 1 i 1  m  m  i 1  i di   i fi ( x )    i  qT g( x )   i fi ( x )  qT g( x )  i 1  m (2.24)  Mặt khác, ( x, q,  )  BW , ta có    i fi  ( x )  (q T g)( x ) Do  i 1  m m   T  i fi ( x)  qT g( x )  uinf  i fi (u)  q g(u)   n i 1  i 1  từ (2.24) (2.25) ta nhận m m   d    f ( x)  q i 1 i i i 1 i i T m  g( x )  infn  i fi (u)  q T g(u)  u  i 1  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.25) 46 Vì vậy, (q, , d )  BL d  hL (q, , d )  h L (BL )  DL Vậy mệnh đề chứng minh Ví dụ 2.8 Cho m  2, n  1, k  1, K   , f1 , f2 :    , g :    : f1 ( x )  f2 ( x )  x g( x )  Với q   K *  0 ,   (1,1)T d  (1, 1)T ta có 1d1  2 d2  2   inf  x  x   inf 1 f1 ( x )  2 f2 ( x )  q T g( x ) x x Từ suy d  (1, 1)T  DL Bây ta d  (1, 1)T  DW Nếu điều khơng tồn ( x , q ,  ) BW , với   (1 , 2 )T  int  2 , 1  2  1, q  K *  0 cho d  (1, 1)T  ( f1 ( x )  qg( x ), f2 ( x )  qg( x ))T  ( x , x )T Nhưng mâu thuẫn, DW Ö DL tức bao hàm thức chặt Hơn nữa, theo (2.21) ta có DP Ú DW DN Ú DW Ví dụ 2.9 Cho m  2, n  1, k  1, K   , f1 , f2 :    , g :    : f1 ( x )  f2 ( x )  g( x )  Với p  (0, 0), q   K *  0 ,   (1 / 2,1 / 2) T , t  (1, 1) T , ta có d  (1, 1)T  D1 Mặt khác, d  (1, 1)T  DW Vì vậy, D1   m Ú DW Do D   m Ú DW ,   F , DFL Ú DW DF Ú DW Ví dụ 2.10 Cho m  2, n  1, k  1, K    , f1 , f2 :    , g :    : f1 ( x )  x  1, f2 ( x )   x g( x )  Với x  0, q    (1 / 2,1 / 2) T ta có ( x, q,  )  BW d  (1,1)T  ( f1 (0), f2 (0))T  DW Ta chứng tỏ d  DF Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Nếu điều không tồn p  ( p1 , p2 ),   (1 , 2 )T  int  2 cho ( p,  , d ) BF , tức là: 1  2  1 f1* ( p1 )  2 f2* ( p2 )  inf  1 p1  2 p2  x (2.26) x Nhưng f2* ( p2 )  sup x  p2 x  x  1   , điều mâu thuẫn với bất đẳng thức (2.26) Do DW Ú DF DW Ú DFL , DW Ú D   m ,   F , DW Ú D1   m ( xem (2.21)) Theo (2.21), mệnh đề 2.4 ví dụ 2.8, 2.10 ta thu trường hợp tổng quát lược đồ sau: với  F , D ÖD D1   m Ö D   m Ö DFL Ö F D P , P (2.27) DL Ö DN D DW Ö DL Ö DP N Bây ta giả sử (Af), (Ag) (ACQ) Mệnh đề 2.5 DW  D1   m Chứng minh Giả sử d  (d1 , , dm )T  DW Khi đó, tồn ( x, q,  )  BW cho d  hW ( x, q,  ) Bởi m  m     i fi  ( x )  (q T g)( x )   i fi ( x )  (q T g)( x ) i 1  i 1  suy tồn pi   n , i  1, , m cho pi  fi ( x ), i  1, , m  i 1 i pi  (q T g )( x ) m Vì fi* ( pi )  fi ( x )  piT x, i  1, , m , (2.28) T  m   m  (q g)   i pi   q T g( x )    i pi  x  i 1   i 1  T * Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.29) 48 T  m  Với j = 1,…m, ta đặt t j  p x    i pi  x    i 1  T j  m i 1 i ti  Điều nghĩa ( p, q,  , t )  B1 , víi p  ( p1 , , pm ) Mặt khác, từ (2.28) (2.29) ta có, với j  1, , m ,  h1j ( p, q,  , t )   f j* ( p j )  (q T g)*   m   i i 1   m   p   t i 1 i i  j  m    f j* ( p j )  ( q T g)*   i pi   t j  i 1  T  m   f j ( x )  p x  q g( x )    i pi  x  t j  i 1  T  f j ( x )  q g( x )  d j T j T Do d  h1 ( p, q, , t )  h1 (B1 )  D1 Mệnh đề chứng minh Nhận xét 2.10 Với tốn cho ví dụ (2.9) giả thiết (Af), (Ag) (ACQ) d  (1, 1)T  D1   d  DW Điều có nghĩa trường hợp bao hàm thức DW  D1   m chặt Vì vậy, (Af), (Ag) (ACQ) đúng, (2.27) trở thành  F , DW Ö D1   m Ö D   m Ö DFL  DL  DF  DP Ö DN (2.30) Nhắc lại trường hợp (2.18) ta có đẳng thức sau:  F , v max D1  v max D  v max DFL  v max DF  v max DL  v max DP Ví dụ trường hợp tập hợp v max DW v max DP nói chung khơng Ví dụ 2.11 Cho m  2, n  1, k  1, K   , f1 , f2 :    , g :    :  x , nÕu x  (0, ), g( x)  f1 ( x )  f2 ( x )   , nÕu x  (0, ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Rõ ràng (Af), (Ag) (ACQ) Với   (1,1)T d  (0, 0)T , ta có ( , d )  BP d  DP Hơn nữa, d  v max Dp Ta d  (0, 0)T  DW Nếu điều khơng đúng, tồn ( x , q ,  ) BW với   (1 , 2 )T  int  2 , 1  2  1, q  K *  0 cho d  (0, 0)T  ( f1 ( x )  qg( x ), f2 ( x )  qg( x ))T  ( f1 ( x ), f2 ( x ))T Nhưng f1 ( x )  f2 ( x )  0, x   Điều dẫn đến mâu thuẫn Từ ta nhận d  (0, 0)T  DW , hiển nhiên d  (0, 0)T  v max DW 2.6 Đối ngẫu đa mục tiêu Weir – Mond Phần trình bày đối ngẫu Weir – Mond Đối ngẫu Weir – Mond (P) phát triển sau ( xem [11]) (DWM ) v max h WM ( x, q,  ) , ( x , q, )BWM  h1WM ( x, q,  )      , h WM ( x, q,  )        WM   hm ( x, q,  )  với hj ( x, q,  )  f j ( x ), j  1, , m , WM biến đối ngẫu x   n , q   k ,   (1 , , m )T   m , tập hợp ràng buộc m  BWM  ( x, q,  ) : x   n ,   (1 , , m )T  int  m ,  i  1, q ‡ 0, q T g( x )  , K* i 1    m     i fi  ( x )  (q T g)( x )  i 1   Các định lý sau trình bày kết đối ngẫu yếu mạnh ([11]) Định lý 2.8[11] (Đối ngẫu yếu (D WM )) Không tồn x A ( y, q,  )  B WM thỏa mãn h ( y, q,  ) ‡  f ( x ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên WM m  http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 h WM ( y, q,  )  f ( x ) Định lý 2.9[11] ( Đối ngẫu mạnh (D WM )) Giả sử (Af), (Ag) (ACQ) Nếu x nghiệm hữu hiệu thường (P), tồn q ‡ K   int  m cho ( x , q,  ) BWM nghiệm hữu hiệu * thường (DWM) tính đối ngẫu mạnh đúng: f ( x )  h WM ( x , q ,  ) Giả sử DWM  hWM (BWM )   m Bây xét quan hệ DWM tập ảnh (2.27) Mệnh đề 2.6 DWM  DL Chứng minh Giả sử d  (d1 , , dm )T  DWM Khi đó, tồn ( x, q,  )  BWM cho d  hWM ( x, q,  )  f ( x ) Bởi  m     i fi  ( x )  (q T g)( x ) ta có  i 1   m  m T  i fi ( x)  qT g( x)  uinf  i fi (u)  q g(u)   n i 1  i 1  Mặt khác, m m m i 1 i 1 i 1  i di   i fi ( x )   i fi ( x )  q T g( x ) , ta có  m m   i di  inf  i fi (u)  qT g(u) i 1 u n  i 1  Vì vậy, (q,  , d )  BL d  h L (q, , d )  h L (BL )  DL Nhận xét 2.11 Xét toán ví dụ 2.8 ta có d  (1, 1)T  DL d  DW Tương tự, ta có d  (1, 1)T  DWM Điều có nghĩa bao hàm thức DWM  DL chặt Từ suy DP Ú DWM DN Ú DWM ( xem (2.21) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Nhận xét 2.12 Bây giả sử xét tốn ví dụ 2.9 Ở ta có d  (1, 1)  DL Nhưng d  (1, 1)  DWM D1   m Ú DWM Từ ta có D   m Ú DWM ,   F , DFL Ú DWM , DF Ú DWM DP Ú DWM Nhận xét 2.13 Với tốn ví dụ 2.10 ta có d  (1,1)  DF , rõ ràng d  (1,1)  DWM Vì vậy, ta có DWM Ú DF DWM Ú DFL , DWM Ú D   m ,   F DWM Ú D1   m Tiếp theo ta trình bày hai ví dụ DW DWM khơng có quan hệ bao hàm thức Ví dụ 2.12 Cho m  2, n  1, k  1, K    , f1 , f2 :    , g :    cho f1 ( x )  f2 ( x )  g( x )  x  Với x  0, q    (1 / 2,1 / 2) T ta có ( x, q,  )  BW , d  (1, 1)T  ( f1 (0)  qg1 (0), f2 (0)  qg2 (0))T  DW Mặt khác, d  DWM Điều có nghĩa DW Ú DWM Ví dụ 2.13 Cho m  2, n  1, k  1, K    , f1 , f2 :    , g :    : f1 ( x )  f2 ( x )  x g( x)   x  Với x  / 2, q    (1 / 2,1 / 2)T ta có qg(1/ 2)  1/  , inf  1 f1 ( x )  2 f2 ( x )  qg( x )  x Điều nghĩa ( x, q,  )  BWM d  (1 / 2,1 / 2)T  ( f1 (1 / 2), f2 (1 / 2))T  DWM Ta chứng minh d  DW Nếu điều khơng đúng, tồn ( x , q ,  ) BW cho T 1 1 d   ,   ( f1 ( x )  qg( x ), f2 ( x )  qg( x )) T  ( x  q (  x  1), x  (  x  1)) T (2.31) 2 2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Bởi ( x , q ,  ) BW , ta có inf 1 f1 ( x )  2 f2 ( x )  qg( x )  1 f1 ( x )  2 f2 ( x )  qg( x ) , x tương đương inf  x  q ( x  1)  x  q ( x  1) x Điều q  Nhưng trường hợp này, (2.31) dẫn đến mâu thuẫn Vì DWM Ú DW Trong trường hợp tổng quát, ta có sơ đồ sau đây: với  F , D ÖD D1   m Ö D   m Ö DFL Ö F DP , P DL Ö DN D DW Ö DL Ö DP , N (2.32) D DWM Ö DL Ö DP N Với giả thiết (Af), (Ag) (ACQ) từ (2.30) ta có: với  F , DW Ö D1   m Ö D   m Ö DFL  DF  DL  DP Ö DN Nhận xét 2.14 Chú ý với tốn đưa vào ví dụ 2.12 (Af), (Ag) (ACQ) Nhưng DW Ú DWM Do D1   m Ú DWM , D   m Ú DWM ,   F DFL  DF  DL  DP Ú DWM Nhận xét 2.15 Với tốn trình bày ví dụ 2.13 ta chứng minh d  (1 / 2,1 / 2)T  DWM Ta có d  (1 / 2,1 / 2)T  D ,  F Do DWM Ú D   m ,   F từ DWM Ú D1   m cho dù (Af), (Ag) (ACQ) Từ hai nhận xét sử dụng (2.30), (Af), (Ag) (ACQ) , ta nhận sơ đồ sau: với   F , DW Ö D1   m Ö D   m Ö DFL  DF  DL  DP Ö DN , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 DWM Ö DFL  DF  DL  DP Ư DN , khơng có quan hệ bao hàm thức khác tập hợp Nhận xét 2.16 Với toán ví dụ 2.11 ta có d  (0, 0)T  vmaxDP , d  v max DW d  v max DWM Điều nghĩa v max DP Ú v max DW v max DP Ú v max DWM Chú ý rằng, cho dù (Af ), (Ag) (ACQ) đúng, tập hợp khác Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 KẾT LUẬN Luận văn trình bày lí thuyết đối ngẫu đa mục tiêu Bot – Wanka [2], [3] với nội dung sau đây: - Sáu loại toán đối ngẫu đa mục tiêu (D1), (D ),   F , (DFL), (DF), ( DL) (DP) - Các định lí đối ngẫu yếu mạnh cho sáu loại toán đối ngẫu nêu - Các quan hệ bao hàm thức tập ảnh sáu loại toán đối ngẫu - Các quan hệ đẳng thức phần tử cực đạiài toán toán đối ngẫu - Các quan hệ bao hàm thức sáu loại toán đối ngẫu Bot – Wanka với toán đối ngẫu Nakayama, Wolfe, Weir – Mond - Các ví dụ minh họa cho kết trình bày Lí thuyết đối ngẫu đa mục tiêu đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà Nội Tài liệu Tiếng Anh [2] R.I Bot and G Wanka (2004), An anlysis of some dual problems in multiobjective optimization (I), Optimization, 53(3), 281 – 300 [3] R.I Bot and G Wanka (2004), An anlysis of some dual problems in multiobjective optimization (II), Optimization, 53(3), 301 – 324 [4] A.M Geoffrion (1968), Proper efficiency and the theory of vector maximization, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 22, 618 – 630 [5] J Jahn (1986), Mathematical vector Optimization in Partically Ordered Linear Spaces, Verlag Peter Lang, Frankfurt am Main [6] H Nakayama (1996), Some remarks on dualization in vector optimization, Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 5, 218 – 255 [7] H Nakayama (1984), Geometric consideration of duality in vector optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, 44(4) 625-655 [8] R.T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton [9] G Wanka and R.I Bot (2002), A new duality approach for multiobjective convex optimization problems, Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 3(1), 41-57 [10] G Wanka and R.I Bot (2002), On the relations between different dual problems in convex mathematical programming In: P Chamoni, R Leisten, A Martin, J Minnemann and A Stadtler (Eds), Operations Research Proceedings 2001, pp 255 – 262 Springer – Verlag, Berlin [11] T Weir (1987), Proper efficiency and duality for vector valued optimization problems, Journal of Australian Mathematica Society, 43, 21-34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... thức tập ảnh toán đối ngẫu đa mục tiêu Lý thuyết đối ngẫu Bot – Wanka cho toán tối ưu đa mục tiêu nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Chính tơi chọn đề tài ? ?Đối ngẫu toán tối ưu đa mục tiêu? ?? Đây đề... lí 1.5 1.4 Các toán đối ngẫu đa mục tiêu (DFL),(DF),(DL) (DP) Trong phần tiếp tục trình bày tốn đối ngẫu đa mục tiêu khác toán (P) Với tất đối ngẫu đa mục tiêu chứng minh đối ngẫu yếu mạnh Chúng... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương SÁU LOẠI BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ĐA MỤC TIÊU VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐỐI NGẪU Chương trình bày định lí đối ngẫu mạnh yếu R.I Bot G Wanka [2] cho toán tối ưu đa mục tiêu (P) với ràng buộc nón