Về đối ngẫu Lagrange của bài toán tối ưu lồi có ràng buộc

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN LỆ THUỶ VỀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI CÓ RÀNG BUỘC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN LỆ THUỶ VỀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE CỦA BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI CÓ RÀNG BUỘC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. Đỗ Văn Lƣu THÁI NGUYÊN, 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i MỤC LỤC Trang MỤC LỤC i MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1. ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÀ ÁP DỤNG CHO QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH 4 1.1. HÀM LIÊN HỢP 4 1.1.1.CÁC PHÉP TOÁN VỀ HÀM LỒI 4 1.1.2. HÀM LIÊN HỢP 7 1.2. ĐẶC TRƢNG CỦA TÍNH ĐỐI NGẪU MẠNH 14 1.2.1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 14 1.2.2. ĐẶC TRƯNG HÀM TỰA CỦA TẬP CHẤP NHẬN ĐƯỢC 19 1.2.3. ĐẶC TRƯNG CỦA SỰ SAI KHÁC ĐỐI NGẪU 0 ỔN ĐỊNH 21 1.3. QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH LỒI 31 Chƣơng 2. ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪULAGRANGE 40 2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM 40 2.2. CÁC ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪU MẠNH 43 2.3. ĐẶC TRƯNG CỦA ĐỐI NGẪU MIN – MAX 50 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài. Lí thuyết đối ngẫu là một bộ phận quan trọng của lí thuyết tối ưu hoá. Người ta thường nghiên cứu đối ngẫu Lagrange, đối ngẫu Wolfe và đối ngẫu Mond-Weir với các định lí đối ngẫu yếu, mạnh, ngược. Sự sai khác đối ngẫu 0 là một vấn đề quan trọng của lí thuyết đối ngẫu. Trong bài toán quy hoạch sự sai khác đối ngẫu 0 có nghĩa là giá trị của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu bằng nhau. Khi giá trị của bài toán đối ngẫu đạt được thì tính chất sai khác đối ngẫu 0 trở thành tính đối ngẫu mạnh. Nhiều nghiên cứu về đối ngẫu Lagrange đã đưa ra các điều kiện chính quy đảm bảo tính chất sai khác đối ngẫu 0 đúng. Jeyakumar [6] đã nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho đối ngẫu mạnh và đối ngẫu min-max cho bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc tập. Jeyakumar-Li [8] đã thiết lập các điều kiện cần và đủ cho sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định cho bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và áp dụng cho bài toán quy hoạch bán xác định lồi. Lí thuyết đối ngẫu Lagrange đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: '' Về đối ngẫu Lagrange của bài toán tối ưu lồi có ràng buộc '' . Đề tài này có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. 2.Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. 2.1.Mục đích nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange cho các bài toán tối ưu lồi có ràng buộc nón, bao gồm: Các điều Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 kiện chính quy đặc trưng cho đối ngẫu Lagrange mạnh và đối ngẫu min-max của Jeyakumar [6] cho bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc tập, và các điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định của Jeyakumar-Li [8] cho bài toán tối ưu lồi với ràng buộc nón cùng với các áp dụng cho bài toán quy hoạch bán xác định lồi. 2.2.Nhiệm vụ nghiên cứu. Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: - Đọc, dịch tài liệu từ hai bài báo tiếng Anh của Jeyakumar và Jeyakumar-Li. - Sử dụng các kết quả của hai bài báo đó để viết luận văn. 3.Phƣơng pháp nghiên cứu. Sử dụng công cụ giải tích hàm, giải tích lồi và các kiến thức của lí thuyết tối ưu. 4.Bố cục của luận văn. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chƣơng 1 ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI VÀ ÁP DỤNG CHO QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH Trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange của Jeyakumar-Li [8] về các điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và các áp dụng cho bài toán quy hoạch bán xác định lồi. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chƣơng 2 ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY VÀ ĐỐI NGẪU LAGRANGE Trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange của Jeyakumar [6] về các điều kiện chính quy đặc trưng cho đối ngẫu mạnh và đối ngẫu min-max của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc tập. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS-TS Đỗ Văn Lưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán trường Đại học sư phạm Thái Nguyên, Đại học sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ tôi hoàn thành khoá học. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo tỉnh Yên Bái, trường THPT Lê Quý Đôn, gia đình, các bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học Toán K18 đã quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 8 năm 2012. Nguyễn Lệ Thuỷ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chƣơng I ĐỐI NGẪU MẠNH CHO BÀI TOÁN TỐI ƢU LỒI VÀ ÁP DỤNG CHO QUI HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH Chương I trình bày các định lí đối ngẫu Lagrange của Jeyakumar-Li [8] (2009), về các điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định của bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón, cùng với các áp dụng cho bài toán quy hoạch bán xác định lồi. 1.1.HÀM LIÊN HỢP Một số kiến thức giải tích lồi sẽ được trình bày trong mục này là cần thiết cho nội dung của luận văn. 1.1.1. CÁC PHÉP TOÁN VỀ HÀM LỒI Giả sử X là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương,      , : .D X f D Nhắc lại: Trên đồ thị (epigraph) của hàm f được định nghĩa như sau:          epi , :f x r D f x r . Miền hữu hiệu (effective domain) của f được xác định như sau:        dom :f x D f x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epif là tập lồi trong X  . Hàm f được gọi là lõm trên D nếu - f là lồi trên D. Chú ý rằng nếu f lồi thì domf lồi. Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf và        , f x x D . Định lý 1.1.1[1] Giả sử 1 , , m ff là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó, tổng 1  m ff là một hàm lồi. Định lý 1.1.2 Giả sử F là tập lồi trong X  và       inf : ,  f x x F . (1.1.1) Khi đó, f là hàm lồi trên X. Chú ý: Ta qui ước infinum trên tập  (các số thực) bằng  . Chứng minh Nếu   1 f x r , thì từ (1.1.1) suy ra:     1 1 1 , , .r x F     Nếu   2 f x s , thì     2 2 2 , , .s x F     Suy ra:         1 2 1 2 1 , 1x x F           (0<  <1). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6            1 2 1 2 1 inf : 1 ,            f x x x x F       12 11rs            .  f là hàm lồi.  Định nghĩa 1.1.1 Giả sử 1 , , m ff là các hàm chính thường trên X. Tổng chập infimal (infimal convolution) của 1 , , m ff được xác định như sau:       11 1 inf : , ,           m m m i i i f x f x f x x X x x (1.1.2) và được ký hiệu là 1  m i i f hay 1.  m ff . Nhận xét 1.1.1 Trường hợp m = 2, (1.1.2) có dạng:          1 2 1 2 inf .   y f f x f x y f y Định lý 1.1.3 Giả sử 1 , , m ff là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó, 1  m i i f là hàm lồi trên X. Chứng minh Đặt 1 epi , i i m F f F F F    . Khi đó, F là tập lồi trong X  . Theo Định nghĩa, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7   ,  xF , n ii x       sao cho   11 ( 1, , ), ,             i i m m f x i m x x x . Do đó, hàm f được xác định bởi 1.1.2 là một hàm lồi được xây dựng theo Định lý 1.1.2 bởi tập F .  Nhận xét 1.1.2 Nếu các hàm 1 , , m ff là các hàm lồi chính thường, thì hàm f được xác định bởi (1.1.2) là một hàm lồi, nhưng có thể không chính thường. 1.1.2. HÀM LIÊN HỢP Giả sử X là không gian lồi địa phương, * X là không gian liên hợp (tôpô) của X , f là hàm xác định trên X . Định nghĩa 1.1.2 Phép biến đổi Young-Fenchel, của hàm f , hay hàm liên hợp với ,f được xác định trên * X như sau       * * * sup ,   xX f x x x f x . (1.1.3) Chú ý: cận trên trong (1.1.3) chỉ lấy theo dom .xf Mệnh đề 1.1.1 * f là hàm lồi đóng * yếu. [...]... 0,1,x, y  X  Bài toán đối ngẫu Lagrange của  P  được cho bởi :  D   sup inf f  x   y*, g  x  , y*S  xX Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 trong đó S  là nón đối ngẫu dương S+    X* :  , v  0 v  S của S  Giá trị tối ưu v  D  của bài toán đối ngẫu  D  cho một cận dưới của giá trị tối ưu v  P  của bài toán xuất phát  P  Như... thức giá trị tối ưu là một vấn đề cốt lõi trong lý thuyết đối ngẫu thường cho thông tin sâu sắc về bài toán xuất phát Đẳng thức đó cũng cho phép phát triển các lược đồ số Bài toán  P  được gọi là có sai khác đối ngẫu 0 (zero duality gap) nếu v  P   v  D  , có nghĩa là:   inf f  x   sup inf f  x   y*, g  x  1 xg S  y S xX *  (1.2.1) Bài toán  P  được gọi là có đối ngẫu mạnh (strong... 16 trong đó X * là đối ngẫu tôpô của X Hơn nữa, thậm chí với bài toán  P  một chiều, (1.2.3) có thể không đúng khi mà đẳng thức sau đúng: x*  X * , inf 1 xg S  f  x      x* , x  sup inf f  x   x*, x  y*, g  x  y*S  xX (1.2.4) trong đó sup trong bài toán đối ngẫu không nhất thiết nhận được Khi (1.2.4) đúng, bài toán  P  được gọi là có sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định (stable... với (1.2.13) kéo theo: epi g 1  S   epih  1.2.3 ĐẶC TRƯNG CỦA SỰ SAI KHÁC ĐỐI NGẪU 0 ỔN ĐỊNH Trong phần này ta sẽ trình bày các đặc trưng đối ngẫu cho sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định cho bài toán quy hoạch lồi Giả sử S  Y là nón lồi đóng, f : X     là hàm lồi nửa liên tục dưới chính thường, g : X  Y là một ánh xạ S -lồi liên tục và g 1   S    Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại... thị của nó trùng với trên đồ thị của hàm tựa của g 1   S  đóng một vai trò quan trọng trong việc đặc trưng tính chất sai khác đối ngẫu 0 cho các bài toán qui hoạch lồi với tập ràng buộc g 1   S  Định nghĩa 1.2.1 Giả sử g : X  Y là ánh xạ S - lồi, ta định nghĩa hàm h : X *     bởi: h  x*   inf * y S    x , * y* , g x*  X * * Khi đó từ Định nghĩa ta suy ra h  là hàm lồi. .. TRƯNG CỦA TÍNH ĐỐI NGẪU MẠNH 1.2.1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Xét bài toán quy hoạch lồi:  P inf  f  x  :  g  x   S  , trong đó X , Y là các không gian Banach, S là nón lồi đóng trong Y , f : X     là một hàm lồi nửa liên tục dưới chính thường và g : X  Y là ánh xạ lồi theo S , tức là g  x  1    y    g x   1    g y    S    0,1,x, y  X  Bài toán đối. .. công thức: n * F  A   Tr  AF1 , , Tr  AFm  , với A  S n Bài toán đối ngẫu Lagrange của  PSDP  được phát biểu như sau:  DSDP    sup infm f  x   Tr  AF  x     AS x n Chú ý rằng giá trị tối ưu của  PSDP  và  DSDP  được ký hiệu tương ứng bởi: v P DP  và v  DSDP  S Để áp dụng các kết quả của bài toán tổng quát  P , ta lấy X   m, Y  S , S S và g : X  Y được... chập infimal của hàm liên hợp của f và hàm trội lồi của hàm tựa của g 1   S  là điều kiện cần và đủ cho sự sai khác đối ngẫu 0 ổn định Trong trường hợp: f .  x* , đạt được cực tiểu trên g 1   S  , với mỗi x*  X * ta dẫn điều kiện đẳng thức dưới vi phân đặc trưng cho sự sai khác đối ngẫu 0 min- sup ổn định (stable min-sup zero duality gap) Ta có thể phát biểu dưới ngôn ngữ toán học như sau:...  e p ig 1  S  Do đó, h   g 1  S  Điều này dẫn đến i * đặc trưng của tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định sau: Hệ quả 1.2.2 Giả sử epih đóng yếu* Khi đó bài toán (P) có tính chất sai khác đối ngẫu   * 0 ổn định khi và chỉ khi epi f *   g 1  S  đóng yếu* Chứng minh Nếu (P) có tính chất sai khác đối ngẫu 0 ổn định thì theo định lý trên   * epi f *   g 1  S  đóng yếu* ... Chiều ngược lại của định lý trên nói chung không đúng, như ta có thể thấy trong trường hợp: X   , S    , f  0 và g  x 2 Chú ý rằng trong [7] tính đóng yếu* của epif *    epi y* , g y*S   * đã được chỉ ra để đặc trưng tính đối ngẫu mạnh ổn định cho (P) Các điều kiện đủ khác cho tính đối ngẫu 0 ổn định có thể xem trong [7] 1.3 QUY HOẠCH BÁN XÁC ĐỊNH LỒI Trong phần này ta xét bài toán quy hoạch . ngược. Sự sai khác đối ngẫu 0 là một vấn đề quan trọng của lí thuyết đối ngẫu. Trong bài toán quy hoạch sự sai khác đối ngẫu 0 có nghĩa là giá trị của bài toán gốc và bài toán đối ngẫu bằng nhau  S là nón đối ngẫu dương         +* : , 0 S X v v S của S . Giá trị tối ưu   vD của bài toán đối ngẫu   D cho một cận dưới của giá trị tối ưu   vP của bài toán xuất. trưng cho đối ngẫu Lagrange mạnh và đối ngẫu min-max của Jeyakumar [6] cho bài toán quy hoạch lồi với ràng buộc nón và ràng buộc tập, và các điều kiện đặc trưng cho tính chất sai khác đối ngẫu 0