Điều kiện tối ưu cần cho cực tiểu pareto yếu địa phương của bài toán tối ưu vectơ có ràng buộc

Bài toán tối ưu với ràng buộc tập và bất đẳng thức (hay còn gọi là bài toán tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc) được nghiên cứu trong bài báo này với dữ liệu trong không gian Banach thực.

TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 ON NECESSARY OPTIMALITY CONDITIONS FOR LOCAL WEAK PARETO MINIMUM IN VECTOR OPTIMIZATION PROBLEM WITH CONSTRAINTS Vu Thi Thu Loan1, Tran Van Su2, Dinh Dieu Hang3* 1TNU 3TNU - University of Agriculture and Forestry, 2Quang Nam University - University of Information and Communication Technology ARTICLE INFO ABSTRACT Received: 16/4/2021 The vector optimization problem with set and inequalities constraints (also called as multiobjective optimization problem with constraints) is considered in this paper for which the data is of real Banach spaces Using the regularity condition in the sense of Clarke’s derivatives in which the objective function and the constraints function are Gâteaux differentiable at the given optimal point, we provide the dual secondorder nec- essary optimality condition for the local weak Pareto minimum of the vector optimization problem through the Clarke generalized derivatives and the Páles-Zeidan type second- order upper generalized directional derivatives The result obtained in the literature is new and also illustrated by an example for our findings Revised: 27/5/2021 Published: 31/5/2021 KEYWORDS Second-order necessary optimality conditions Local weak Pareto minimum Clarke’s generalized derivatives Optimality condition Páles and Zeidan’s second-order upper generalized direc- tional derivatives ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CẦN CHO CỰC TIỂU PARETO YẾU ĐỊA PHƯƠNG CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ CÓ RÀNG BUỘC Vũ Thị Thu Loan1, Trần Văn Sự2, Đinh Diệu Hằng3* 1Trường Đại học Nông Lâm – ĐH Thái Nguyên Đại học Quảng Nam 3Trường Đại học Công nghệ Thông tin Truyền thông – ĐH Thái Nguyên 2Trường THÔNG TIN BÀI BÁO Ngày nhận bài: 16/4/2021 Ngày hoàn thiện: 27/5/2021 Ngày đăng: 31/5/2021 TỪ KHÓA Điều kiện cần tối ưu cấp hai Cực tiểu Pareto yếu địa phương Đạo hàm suy rộng Clarke Điều kiện tối ưu Đạo hàm theo hướng suy rộng cấp hai Páles-Zeidan TĨM TẮT Bài tốn tối ưu với ràng buộc tập bất đẳng thức (hay gọi tốn tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc) nghiên cúu báo với liệu không gian Banach thực Sử dụng điều kiện quy trường hợp đạo hàm Clarke hàm ràng buộc hàm mục tiêu khả vi Gâteaux điểm tối ưu cho trước, thiết lập điều kiên tối ưu cần cấp hai dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương tốn tối ưu thơng qua ngơn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke đạo hàm theo hướng suy rộng cấp hai dạng Páles-Zeidan Kết thu báo đề xuất số ví dụ cho mơ tả kết báo DOI: https://doi.org/10.34238/tnu-jst.4319 * Corresponding author Email: ddhang@ictu.edu.vn http://jst.tnu.edu.vn 247 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 Mở đầu Giả sử X không gian Banach, C tập mở khác rỗng X , hàm giá trị vectơ f = ( f1, , f p ) :C → R p hàm giá trị thực gi :C → R, i =1, 2, , m Trong báo này, chúng tơi nghiên cứu tốn tối ưu vectơ với ràng buộc tập bất đẳng thức dạng: (p) thỏa mãn x  K f ( x) (hay f ( x) → ) Trong đó, tập chấp nhận K toán tối ưu vectơ (P) có dạng: K := x  C : g i ( x)  0, i =1, , , m Một vectơ x K gọi cực tiểu Pareto yếu địa phương toán tối ưu vectơ (P), tồn lân cận f ( x) U x cho không tồn x  K  U để fi ( x)  f j ( x), j = 1, 2, , p Trường hợp U = X , từ “địa phương” bỏ qua cho nghiệm cực tiểu Pareto yếu Nếu vectơ x K cực tiểu Pareto yếu tốn tối ưu vectơ (P) cực tiểu Pareto yếu địa phương tốn Do đó, nhiều tốn tối ưu, tính chất nghiệm địa phương ưu tiên thiết lập tính hữu hiệu “cần” cấp cấp Bài toán tối ưu vectơ (P) với điều kiện Lipschitz địa phương nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu thời gian gần đây, giả thiết hàm mục tiêu ràng buộc khả vi liên tục Trong nhiều kết lĩnh vực điều kiện tối ưu cấp tốt cấp 1, nghĩa điều kiện tối ưu cấp chứa nhiều thông tin điêu kiện tối ưu cấp 1, chúng làm mịn thông tin điều kiên tối ưu cấp Trong nhiêu toán tối ưu vectơ, điều kiện tối ưu cấp sử dụng cho kiểm tra kết tối ưu hay thiết kế thuật toán số thực hành mà cần đến điều kiện tối ưu cấp Đấy lý cần nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp báo Để bạn đọc có góc nhìn tồn diện điều kiện tối ưu cấp biết, giới thiệu vài vấn đề mang tính lịch sử đề cập báo uy tín sau: Năm 1999, Bonnans-Cominetti-Shapiro [1] sử dụng đạo hàm parabolic cấp để thiết lập điều kiện cần tối ưu vectơ có ràng buộc; năm 2003, Guerraggio-Luc [2] nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp cho toán tối ưu đa mục tiêu vectơ với liệu lớp C ,1 C 1, , thời điểm này, Jiménez-Novo [3]-[5] thu điều kiện tối ưu cấp cho toán tối ưu vectơ với liệu hàm khả vi mô tả thông qua tập tiếp liên cấp Kế tiếp đến năm 2010, Gutiérrez-Jiménez-Novo [6] sử dụng tập tiếp tuyến cấp thiết lập điều kiện tối ưu cấp cho tốn tối đa mục tiêu có ràng buộc; năm 2018, Luu [7] biểu diễn điều kiện tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc sử dụng đạo hàm theo hướng cấp dạng Páles-Zeidan Gần vào năm 2020, Constantin [8] cung cấp điều kiện tối ưu cấp dạng theo đạo hàm suy rộng Clarke đạo hàm theo hướng cấp dạng PálesZeidan Nối tiếp kết Constantin [8], cung cấp báo điều kiện tối ưu cần cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương không gian Banach với liệu toán Lipschitz địa phương thời điểm tối ưu cho trước Ngồi ra, chúng tơi đề xuất số ví dụ mơ tả kết báo Kiến thức chuẩn bị Trong báo quy ước:  (−) =   = , http://jst.tnu.edu.vn 248 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 Với số tự nhiên n , ký hiệu I n tập n số tự nhiên Phần topo bao đóng poto tập A X ký hiệu tương ứng convA riA Số phần tử tập A mô tả A Định nghĩa sau đóng vai trị then chốt báo, bạn đọc thấy Clarke [9], V I Ivanov [10] and Constantin [8] Định nghĩa 2.1 Cho f hàm giá trị thực Lipschitz địa phương tập mở C X x0  X Ta có định nghĩa sau: (a) Đạo hàm suy rộng Clarke f x0 xác định bởi: f ( x + tv) − f ( x) f ( x0 , v) := lim sup t ( x , t ) → ( x0 , + ) (b) Đạo hàm theo hướng suy rộng cấp hai kiểu Páles-Zeidan f x0 xác định bởi: f ( x0 + tv) − f ( x0 ) − tf ( x0 ; v) ,v X t2 t → 0+ Chú ý 2.2 Theo Clarke [9], X hữu hạn chiều, f Lipschitz địa phương xung quanh x0 , quy trường hợp Clarke khả vi Gâteaux x0 f ký hiệu f 00 ( x0 , v) := lim sup f G ( x0 )(v), (v X ), ln có đẳng thức đúng: f ( x0 , v) := f G ( x0 )(v), v  X Đặc biệt, f khả vi Fréchet liên tục xung quanh x0 khả vi theo hướng cấp x0 theo hướng v  X , ta thu được: f 00 ( x0 , v) = f G ( x0 )(v), v  X Ở f ( x0 + tv) − f ( x0 ) − tf ( x0 ; v) t2 t → 0+ f ( x0 ) đạo hàm Fréchet x0 hàm f f '" ( x0 , v) := lim sup Với x  K (điểm chấp nhận được), tập số hoạt toán tối ưu vectơ (P) ký hiệu   I ( x) := i  I m : gi ( x) = ( Khi đề cập đến liệu tốn (P), ln giả thiết hàm f1, , f p gi i  I (x) ( ( )) ) Lipschitz địa phương tập mở khác rỗng C  X , hàm gi i  I m \ I x liên tục điểm chấp nhận x Một phương v  X gọi trọng tâm điểm x nếu: ( ) ( )  f j0 x; v  0, j  I P   g i x; v  0, i  I x Với trọng tâm v , ký hiệu: ( ) () ( )  J x; v = j  I p : f j0 x; v = , http://jst.tnu.edu.vn 249 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 ( )  () ( )  I x; v = i  I x : fi x; v = Chuẩn hóa ràng buộc cấp dạng Zingwill ký hiệu (ZSCQ) thỏa mãn nếu: ( ) ( ) A (x; v ):= w  X : i  I (x; v )  B x; v  A x; v , Trong đó: i  0:    gi  x + tv + t w   0, t (0;  i )    ( )  ( ) ( ) ( ) B x; v := w  X : g i0 x; w + g i00 x; v  ,  i  I x; v Định lý 2.3 (xem Constantin [8]) Giả sử x  K cực tiểu Parteto yếu địa phương (P) Khi đó, với hướng trọng tâm v  X thỏa mãn (ZSCQ), hệ sau khơng có nghiệm w X ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )  f j0 x; w + f j00 x; v  0, j  J x; v ,  00  g i x; w + g i x; v  0, i  I x; v Kết báo Xét tốn tối ưu vectơ có ràng buộc tập bất đẳng thức (P) xác định phần Một điều kiện tối ưu cần cấp dạng đối ngẫu cực tiểu Pareto yếu địa phương toán (P) theo ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke đạo hàm theo hướng suy rộng cấp thiết lập sau: Định lý 3.1 (Điều kiện tối ưu cấp cho x  K cực tiểu yếu địa phương dạng đối ngẫu) Cho x  K cực tiểu Pareto yếu địa phương toán (P) Giả sử X hữu hạn chiều, hàm mục tiêu ràng buộc hàm f1, , f p g i i  I (x) quy trường ( ) hợp Clarke khả vi Gâteaux x Khi đó, với hướng trọng tâm v  X thỏa mãn (ZSCQ), tồn  j  j  J x; v không đồng thời cho với w X , ( ( ))   f (x )(w) +   g (x )(w)  , ( ) ( )   f (x )(w) +   g (x )(w)  , ( ) ( )  g (x)= 0, i  I i jJ x;v jJ x ; v i G j iI x;v 00 j iI x ; v i G i (1) i 00 i (2) (3) Chứng minh Giả sử tất giả thiết định lý 3.1 thỏa mãn Do X hữu hạn chiều, ánh xạ hàm f1, , f p g i i  I (x) quy trường hợp Clarke khả vi i i ( m ) Gâteaux x, suy đẳng thức sau đúng: ( ) () ( ) g (x; v)= g (x)(v), i  I (x; v) f j0 x; v = f jG x (v ), j  J x; v i G i Xét tập: L :=  L :=  ( ) jJ x;v () ( ) jJ x;v () () f jG x ( X )   g iG x ( X ) =  http://jst.tnu.edu.vn ( ) iI x;v () f jG x ( X )   g iG x ( X ) ( jJ x;v ( ) iI x;v f (x)(w): w X  ) 250 G j  ( iI x;v g (x)(w): w X  ) G i Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 mà phần tương đối L không chứa vectơ l , Xét tập ()  g (x )( X ) ( ) ( ) =  f (x )(w) : w  X  ( )   g (x )(w) : w  X  f jG x ( X )   L := jJ x ; v G j j J x ; v ( ) iI x ; v iI x ; v G i G i mà phần tương đối L không chứa vectơ l , ( ) ( ) ( ) ( ) l :=  − f100 x; v , , − f J00(x;v ) x; v ,  − g100 x; v , , − g 00I (x;v ) x; v   Sở dĩ ta có kết X hữu hạn chiều, tập L nón lồi theo giả thiết hướng trọng tâm v X thỏa mãn (ZSCQ), theo Định lý 2.3, L khơng chứa vectơ l ngồi phần tương đối L tập khác rỗng Sử dụng định lý tách điểm tập phần tương đối rời (xem Rock-afellar [11]), tồn  j  j  J x; v i  (i  I (x; v)) không đồng thời thỏa mãn bất đẳng thức sau: ( ( ))  i f jG (x )(w1 ) +  i giG (x )(w2 )  ( ) ( ) jJ x ; v với w1 , w2  X iI x ; v  i f j00 (x; v ) +  i gi00 (x; v )  ( ) ( ) jJ x ; v iI x ; v ( ) Do đó, điều kiện (1)-(2) Đặt i = trường hợp i  I m \ I x; v , nhận kết (3) Định lý chứng minh Trong trường hợp hàm mục tiêu ràng buộc toán (P) khả vi Fréchet, liên tục xung quanh điểm tối ưu khả vi theo hướng cấp điểm theo hướng trọng tâm v  X , thiết lập điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo hướng cấp qua Định lý sau: Định lý 3.2 (Điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo phương cấp 2) Giả sử tất giả thiết Định lý 3.1 thỏa ( ) mãn, hàm mục tiêu ràng buộc f1, , f p gi i  I (x) toán (P) khả vi Fréchet, liên tục xung quanh x, khả vi theo hướng cấp điểm theo hướng trọng tâm v  X thỏa ( ( ))  mãn (ZSCQ), tồn  j  j  J x; v w X , i  (i  I m ) không đồng thời cho với   j f jG (x )(w) +  i giG (x )(w)  , ( )  j f jn x; v + jJ x ; v  ( ) j J x ; v http://jst.tnu.edu.vn ( ) ( ) n i gi x; v  , (4) iI x ; v  ( ) ( ) i gi x = 0, i  I m iI x ; v () 251 (5) (6) Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 ( ( ))  Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1, tồn  j  j  J x; v i  (i  I m ) không đồng thời cho với w X , điều kiện (1), (2) (3) nghiệm Sử dụng giả thiết ban đầu với Chú ý 2.2, ta có: ( ) ( ) ( ) g (x; v) = g (x; v) i  I (x; v) f j'' x; v = f j00 x; v j  J x; v , '' i 00 i Vậy điều kiện (4), (5) (6) thỏa mãn Định lý chứng minh Chú ý đổi tính khả vi Gâteaux điểm tính khả vi Fréchet lân cận điểm x , dễ dàng kiểm tra kết thu Định lý 3.1 Định lý 3.2 thay bất đẳng thức cũ:   j f jG (x )(w) +  i giG (x )(w)  , ( ) ( ) jJ x ; v bất đẳng thức mới: iI x ; v   jf j (x )(w) +  igi (x )(w)  , ( ) ( ) jJ x ; v iI x ; v Chúng minh họa Định lý qua ví dụ sau: Ví dụ 3.3 Xét tốn (P), p = , m = , C = R x = (0, 0) Khi đó, f = ( f1 , f ) : R → R g = g1 : R → R , đây, với x = ( x1 , x2 )  R , f1 ( x) := ( x1 − x2 ) + x14 + 1, f ( x) := − x12 − x22 + x26 , g1 ( x) := x1 − x2 − x14   Tập chấp nhận tốn (P) có dạng K = x  R : x1  x2 + x14 Dễ thấy x cực tiểu Pareto yếu địa phương tốn (P) f1 ( x)  f ( x) với x  R hàm f1 , f , g1 thỏa mãn giả thiết Định lý 3.1 Định lý 3.2 Chọn hướng trọng tâm v thỏa () ( ) mãn v = (0, v2 )  R  R+ Ta có I x = 1, J x; v = 1, , Dễ thấy chuẩn hóa ràng buộc dạng Zing-will (ZSCQ) thỏa mãn Theo Định lý 3.1 Định lý 3.2, tồn 1  0, 2  1  với 1 = 2 =  cho điều kiện (1), (2) (3) (hoặc điều kiện (4), (5) (6)) Thật vậy, cách thiết lập ta có vế trái (1) (hoặc (4)) 0, với 1 = 2 =  1 = , ta có vế phải (2) (hoặc (5)) v22  hiển nhiên (3) thỏa mãn Kết luận Dựa vào điều kiện cần tối ưu cấp biểu diễn dạng cho cực tiểu Pareto yếu địa phương báo Constantin [8], thiết lập số điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương toán tối ưu vectơ có ràng buộc tập bất đẳng thức thơng qua ngôn ngữ đạo hàm suy rộng Clarke đạo hàm theo hướng suy rộng cấp dạng Pasles-Zeidan khơng gian Banach Kết nhận mơ tả trường hợp hàm mục tiêu ràng buộc toán (P) khả vi Fréchet liên tục xung quanh điểm tối ưu khả vi theo hướng cấp điểm theo hướng trọng tâm v  X , trường hợp hàm khả vi liên tục Fréchet lân cận điểm x Kết đạt báo áp dụng để xây dựng thuật toán cho toán tối ưu vectơ http://jst.tnu.edu.vn 252 Email: jst@tnu.edu.vn TNU Journal of Science and Technology 226(07): 247 - 253 TÀI LIỆU THAM KHẢO/ REFERENCES [1] J.-F Bonnans, R Cominetti, and A Shapiro, "Second order optimality conditions based on parabolic second order tangent sets," SIAM J Optim., vol 9, no 2, pp 466-492, 1999 [2] A Guerraggio and D T Luc, "Optimality conditions for C1;1 constrained multiobjective problems," J Optim Theory Appl., vol 116, pp 117-129, 2003 [3] B Jiménez and V Novo, "First and second order sufficient conditions for strict minimality in nonsmooth vector optimization," J.Math Anal Appl., vol 284, pp 496-510, 2003 [4] B Jiménez and V Novo, "Second order necessary conditions in set constrained differentiable vector optimization," Math Meth.Oper Res., vol 58, pp 299-317, 2003 [5] B Jiménez and V Novo, "Optimality conditions in differentiable vector optimization via second-order tangent sets," Math Meth Oper Res., vol 9, pp 123-144, 2004 [6] C Gutierrez, B Jiménez, and V Novo, "On second-order Fritz John type optimality conditions in nonsmooth multiobjective programming," Math Program., Ser B, vol 123, pp 199-223, 2010 [7] V L Do, "Second-order necessary efficiency conditions for nonsmooth vector equilibrium problems," J Glob Optim., vol 70, pp 437- 453, 2018 [8] E Constantin, "Second-order optimality conditions in locally Lipschitz inequalityconstrained multiobjective optimization," J Optim Theory Appl., vol 186, pp 50-67, 2020 [9] F H Clarke, Optimization and Nonsmooth Analysis Wiley, New York, 1983 [10] V I Ivanov, "Second-order optimality conditions for vector problems with continuously Fréchet differentiable data and secondorder constraint qualifications," J Optim Theory Appl., vol 166, pp 777-790, 2015 [11] R T Rockafellar, Convex Analysis Princeton University Press, Princeton, 1970 http://jst.tnu.edu.vn 253 Email: jst@tnu.edu.vn ... cần tối ưu cấp biểu diễn dạng cho cực tiểu Pareto yếu địa phương báo Constantin [8], thiết lập số điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương tốn tối ưu vectơ có ràng. .. từ ? ?địa phương? ?? bỏ qua cho nghiệm cực tiểu Pareto yếu Nếu vectơ x K cực tiểu Pareto yếu tốn tối ưu vectơ (P) cực tiểu Pareto yếu địa phương tốn Do đó, nhiều tốn tối ưu, tính chất nghiệm địa phương. .. lập điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto yếu địa phương theo đạo hàm theo hướng cấp qua Định lý sau: Định lý 3.2 (Điều kiện cần tối ưu cấp dạng đối ngẫu cho cực tiểu Pareto