Luận văn Thạc sĩ Khoa học Toán học Điều kiện đủ cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2

1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––––––––––– MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP NGUYỄN HUY HÙNG 1.1 CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP CHO CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG CHẶT CẤP 1.3 BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC 17 Chương ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC 23 2.1 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 23 Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 2.2 SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A D IOFFE 40 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE 45 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC KẾT LUẬN 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Đỗ Văn Lưu THÁI NGUYÊN – 2011  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ràng buộc hàm, liệu toán hàm Lipschitz MỞ ĐẦU địa phương Các điều kiện đủ cấp trình bày ngôn ngữ Lý thuyết toán tối ưu có nhiều ứng dụng kinh tế nhiều ngành kỹ thuật Các điều kiện đủ tối ưu cấp cho phép ta nhận điểm cực tiểu địa phương chặt cấp Các điều kiện tối ưu cấp gradient suy rộng Clarke hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu, hàm quy gọn kiểu Ioffe Các điều kiện đủ cấp cho toán với hàm bán trơn quy vi phân trình bày luận văn cổ điển thường thiết lập ngôn ngữ gradient Hessian hàm mục tiêu hàm ràng buộc toán Với toán tối ưu mà liệu hàm Lipschitz địa phương, người ta thường dùng gradient suy rộng Jacobian suy rộng Clarke thay vai trò gradient Hessian Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp toán tối ưu với ràng buộc tập, R.W Chaney [7] thiết lập điều kiện đủ tối ưu cấp hàm mục tiêu Lipschitz địa phương, ràng buộc tập tổng quát ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke cho toán với ràng đóng Rn Các điều kiện đủ tối ưu cấp trình bày buộc không gian Euclide n-chiều Ở hàm mục tiêu Lipschitz chương R.W Chaney [7] ngôn ngữ gradient suy rộng n địa phương, ràng buộc tập đóng R Phương pháp chứng Clarke Các điều kiện đủ cấp cho toán với hàm bán trơn minh phản chứng với điều kiện cần tối ưu cấp Clarke [3] quy vi phân trình bày chương tác giả sử dụng để dẫn đến điều kiện đủ tối ưu cấp Các điều kiện đủ cấp cho toán với hàm bán trơn quy vi phân thiết lập Trong [6] R.W Chaney dẫn điều kiện đủ tối ưu cấp cho toán với hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Lipschitz địa phương Ở điều kiện đủ cấp Chương trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp cho toán tối ưu có hữu hạn ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Các điều kiện đủ tối ưu cấp trình bày chương R.W Chaney [6] thiết lập ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke hàm H M xây dựng theo kiểu hàm quy gọn Ioffe [9] thiết lập ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke hàm xây dựng kiểu hàm “quy gọn” Ioffe [9] (“quy gọn” toán xuất Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu phát có ràng buộc hàm thành toán không ràng buộc với hàm mục tiêu sắc tới thầy giáo PGS.TS Đỗ Văn Lưu, người tận tình hướng “quy gọn”) dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Luận văn trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Chaney [6,7] cho toán với ràng buộc tập toán với hữu hạn Sau Đại học trường Đại học sư phạm – Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học, xin chân thành cảm ơn gia Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn đình, bạn bè đồng nghiệp học viên lớp Cao học Toán K17 Chương quan tâm, giúp đỡ suốt thời gian học tập trình làm luận ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN VỚI RÀNG BUỘC TẬP văn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Chương trình bày điều kiện đủ tối ưu cấp tổng quát cho cực tiểu địa phương chặt cấp toán tối ưu với ràng buộc tập, hàm mục tiêu Lipschitz địa phương ràng buộc tập đóng Rn Các điều kiện đủ tối ưu cấp thiết lập ngôn NGUYỄN HUY HÙNG ngữ gradient suy rộng Clarke Trường hợp toán với hàm bán trơn quy vi phân trình bày chương Các kết trình bày chương R.W.Chaney [7] 1.1 CÁC KẾT QUẢ BỔ TRỢ Gradient suy rộng Cho W tập mở Rn Giả sử f hàm giá trị thực xác định W Hàm f gọi Lipschitz địa phương W với điểm x thuộc W tồn lân cận V  x  số K  x  cho: f ( z )  f ( y )  K ( x) z  y với z y thuộc V x  Trong z  y chuẩn Euclide z  y Định nghĩa 1.1 Giả sử f Lipschitz địa phương W Theo Định lý Rademacher [12], f khả vi hầu khắp nơi W Ký hiệu f gradient f x (khi tồn tại) Gọi E tập hợp tất điểm z W mà f khả vi z Giả sử x thuộc W Gradient suy rộng f Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x, ký hiệu f (x) , bao lồi tập tất điểm giới hạn (f) Hàm đa trị x  f ( x) nửa liên tục W; Do đó,  xk  dãy hội tụ f ( xk ) , xk  k 1 dãy E hội tụ đến vk  x k, v f (x ) Đạo hàm theo phương suy rộng f x theo phương d định (g) Định lý giá trị trung bình Lebourg hội tụ tương ứng với xW v R n v k  f (x) với Giả sử x yW Giả sử đoạn thẳng L nối x y nằm W nghĩa Khi tồn z  L v  f (z ) cho z  x , z  y f ( x, d )  lim sup v 0 t  f ( x  v  td )  f ( x  v ) t f ( x)  f ( y )  v.( x  y) với v thuộc Rn với d  R n ta có Ta có (xem [1]):  f ( x )    R n :   , u  f o ( x; u ), u  R n  v.d  limsup t 0 Nhận xét 1.1 Ta liệt kê số kiện gradient suy rộng mà ta sử v  f (x ) dụng sau (xem [1]) 1.2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU Giả sử f hàm Lipschitz địa phương x với số k Khi đó, (a) Hàm f o (x;.) hữu hạn, dương, cộng tính R n f o ( x; v)  k v f ( x  td )  f ( x ) t Giả sử S tập hợp đóng không gian n–chiều R n W tập mở R n Giả sử điểm x *  S  W f hàm Lipschitz địa phương giá trị thực W Ta xét toán (b) f o ( y, v) nửa liên tục theo ( y, v); f o ( x;.) Lipschitz (theo v) với (P) : f ( x ) xS W n số k R Nhắc lại [5], tập S quy tiếp tuyến x* nón tiếp (c) f ( x)  , lồi, compact  k liên K ( S , x*) nón tiếp tuyến Clarke T ( S , x*) trùng Nón tiếp    f ( x)  (d) f ( x; d )  maxv.d : v  f ( x ) ,với x thuộc W d thuộc R n tuyến Clarke T ( S , x*) S x* bao gồm tất y  R n cho với dãy tk    xk  hội tụ tới x* với xk  S, tồn dãy Nói cách khác, f ( x;.) hàm tựa tập lồi f (x )  yk  hội tụ đến y cho (e) Cho x thuộc W, hàm f ( x;.) lồi R n xk  tk yk S với k Nón tiếp liên K(S, x*) S x* bao gồm tất y  R n nên tồn dãy tk  số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn dương  xk  hội tụ tới x* với xk  S  xk  x * / tk  hội tụ đến (c) vk  f(xk) với k y Ta định nghĩa L(f, x*) tập tất điểm td, Hai nón K(S, x*) T(S, x*) đóng T(S, x*) lồi n d  R , | d | 1, t  , v0 d  với v0  d f ( x*) Hơn nữa, T (S, x*)  K(S, x*) Tập L(f, x*) nón đóng n Ta đưa vào số ký hiệu Nếu x y  R   x chuẩn Euclide x , x y tích vô hướng thông thường x y,   Định lý 1.1 Giả sử S, W, x*, f trên, g hàm Lipschitz địa phương giá trị B(x,) tập hợp z  R n , z  x   Nếu C tập đóng lồi R n thực W mà g(x*) = f(x*) g(x)  f(x) với x S  W Giả sử x  C, ta ký hiệu N(C, x) nón pháp tuyến C x Nếu C rằng, với vectơ đơn vị d* thuộc tập hợp K(S, x*)  L(f, x*), có tập đóng, nón pháp tuyến C x cho N(C, x) tương ứng với nón lồi đóng C(d*) mà d*  C(x*) Ta giả sử = N(T (C, x), 0) rằng: (a) ta có w.d  d vectơ đơn vị C(d*) với d* Định nghĩa 1.2 n Cho  xk  dãy R hội tụ đến x cho d vectơ đơn vị R n Khi xk  hội tụ tới x theo phương d dãy thuộc K(S, x*)  L(f, x*) w gradient suy rộng thuộc  d g ( x*) (b) tồn m*  cho {(xk – x) / | xk – x |} hội tụ đến d limsup wk ( xk  x*)/ | xk  x*|2  m * Định nghĩa 1.3 Cho x  W d vectơ đơn vị R n Ta định nghĩa  d f ( x) tập hợp tất v  R n cho tồn dãy  xk  với dãy xk  wk  vectơ đơn vị d, d* thỏa mãn: (i)  xk  hội tụ tới x* theo phương d, W vk  R n mà: (ii) d*  K(S, x*)  L(f, x*) d*C(x*), (a)  xk  hội tụ tới x theo phương d; (iii) wk  g (x*) với k, (iv) wk  hội tụ đến w – N(C(d*) + x*, x*) (b) vk  hội tụ đến v; Khi đó, tồn   cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 11 f ( x )  f ( x*)   m * /2  x  x * Với k, ta xác định ánh xạ tuyến tính Tk từ R n vào R n cách đặt Tk(x) = x + (x  d*) (ek – d*) Với I ánh xạ đồng nhất, ta có với x  B ( x*,  )  S || Tk – I || ≤ |ek – d*| Chứng minh Giả sử kết luận sai chọn dãy  k  số dương giảm đến với 1  Với k cho trước, tồn zk B(x*,  k ) ∩ S cho Ta giả sử |ek – d*| < 0.5 với k Vì Bổ đề nhiễu mà Tk   khả nghịch với k dãy Tk1 bị chặn Đặt Ak = Tk(C(d*)) với k Khi đó, Ak nón lồi đóng chứa ek f ( zk )  f ( x*)   m * /2  zk  x * Đặt Ta có zk thuộc B(x*, δk)  (Ak+  x * ) Vì vậy, h đạt giá trị cực tiểu h( x )  g ( x)   m * /2  x  x * B(x*, δk) (Ak + {x*}) điểm xk khác x* Do đó, theo [3], tồn vk  h(xk) cho –vk vectơ pháp tuyến tập lồi Chú ý zk ≠ z với k Ta có B(x*, δk)(Ak+{x*}) xk h( zk )  g ( z k )   m * /2  zk  x * Với k, đặt tk = | xk – x* |> d k = (xk – x*) / tk Theo [14], tồn ≤ f ( zk )  ( m * /2) zk  x *  f ( x*)  h( x*) Đặt ek = (zk – x*) /|zk – x*|, ta giả sử ek  hội tụ đến vectơ đơn vị d* K(S, x*) Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg [5], ta có ck ≥ vectơ pháp tuyến uk tập Ak + {x*} xk cho vk + ckdk + u k = với k Do đó, tồn wk g(xk) cho vk = wk – m* (xk – x*) với k wk – m* (xk – x*) + ck dk + u k = 0, k ≥ (1.1) f(zk) – f(x*) = vk*  (zk – x*), Bởi xk thuộc Ak + {x*}, ta có d k thuộc Ak Từ suy v*k thuộc f(θkzk + (1 – θk) x*) với < θk m* với dãy {xk} {wk} mà {xk} hội tụ tới x* theo phương d  K(S, x*), wk  ∂ g(xk) với k, {wk} hội tụ đến điểm Để thấy u thuộc N(C(d*) + x*, x*), ta giả sử e thuộc C(d*) Khi đó, với k cho trước, Tk(e) thuộc Ak , (Tk(e) + x* – xk) uk ≤ Bởi –N(S, x*) Khi đó, tồn δ > cho {Tk(e)} hội tụ đến e, ta suy e.u ≤ 0, u không thuộc f(x) ≥ f(x*) + (m* / 2) │x – x*│2 N(C(d*) + x*, x*) Bởi điều kiện (i) – (iv) thỏa mãn, ta phải có limsup wk.d k /tk > m* Nhưng, từ (1.2), ta có wk.dk ≤ m*.tk với k Vì ta đến mâu thuẫn chứng minh hoàn tất với x thuộc B(x*, δ) ∩ S □ Chứng minh Nhận xét 1.2 Nón K(S, x*) = T (S, x*) lồi ta chọn C(d*) = K(S, x*) Để áp dụng Định lý 1.1, cần lựa chọn nón C(d*) Các lựa chọn với d* Định lý 1.1 □ khác làm ta mô tả vài cách chọn Nhắc lại [5], hàm Lipschitz địa phương f giá trị thực W Trước hết ta ý ta chọn C(d*) = R n với d* K(S, x*) L(f, x*) Cách lựa chọn tự nhiên cho trường hợp ràng buộc (tức là, S lân cận x*) quy vi phân x W đạo hàm theo phương f '(x; d) tồn với d R n f 0(x;d) = f '(x; d) với d Hàm f gọi bán trơn x W {vk.d} hội tụ {xk} {vk} dãy cho {xk} hội tụ tới x theo phương đơn vị d vk  ∂f(xk) với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 15 k Mifflin rằng, f bán trơn x, với vectơ đơn vị giả sử v*  ∂g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0) Ta phải chứng minh d, đạo hàm theo phương f’(x; d) tồn limvk d, {vk} (a) dãy định nghĩa vừa nêu Như vậy, d  K(S, x*) ∩ L(f, x*) w  ∂dg(x*), ta có Bây giả sử f bán trơn quy vi phân x* Khi w d = g'(x*; d) = g (x*; d) ≥ v * d ≥ □ Ví dụ 1.1 L(f, x*) = {d  R n : f (x, d) ≤ 0} Trong Định lý 1.1, ta chọn C(d*) = {td*: t ≥ 0} với d* Ta theo [8]; thế, nón L(f, x*) lồi Do đó, S quy tiếp tuyến muốn cách lựa chọn khác được, S x*, nón K(S,x*) ∩ L(f,x*) lồi Điều dẫn đến hệ sau quy tiếp tuyến x* Hệ 1.1.2 Cho S tập tất điểm R2 mà tồn tọa độ cực Giả sử f bán trơn quy vi phân x* Giả sử tất giả thiết Hệ 1.1.1 đúng, (a) (b) ta thay (r,  ) với –0.75π ≤  ≤ 0.75π ≤ r ≤  2cos Như vậy, S tập hợp bị chặn Với x* = (0, 0), ta có K(s, x*) K(s, x*) ∩ L(f, x*) (b ) ta thay T(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ | v |} – N(S, x*) –N(K(S, x*) ∩ L(f, x*), 0) K(S, x*) = {(u, v)  R2: u ≥ – |v |} Khi tồn δ > cho Do đó, S không quy tiếp tuyến x* f(x) ≥ f(x*) + (m*/2) | x – x* |2 , Với d* = (v*, u*)  K(S, x*), ta chọn C(d*) = {(u, v)  R2: u ≥ v} với x thuộc B(x*, δ) ∩ S u* ≥ v*, C(d*) = {(u, v)  R2: u + v ≥ 0} u* < v* Với cách lựa (Hơn nữa, g bán trơn quy vi phân x*, ta chọn đó, nón pháp tuyến N(C(d*) + x*, x*) gồm tia thay giả thiết (a) giả thiết: Ví dụ 1.2 tập g(x*) ∩ –N(K(S, x*) ∩ L(f , x*), 0) khác rỗng.) Ta Định lý 1.1 sai (b) (i) thay Chứng minh "{xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk  S với k" Ta chọn C(d*) = K(S, x*) ∩ L(f, x*) với d* Với cách lựa chọn Cho S = {(x, y)  R2: –1 ≤ x ≤ x4 – x2 ≤ y ≤ 1} đó, ta dùng Định lý 1.1 Chỉ cần xem xét phát biểu cuối Như vậy, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 17 Cho f(x, y) = 3x2 + (2y+1)2 lấy g = f Lấy x* = (0, 0) Ta thấy 1.3 BÀI TOÁN VỚI HỮU HẠN RÀNG BUỘC Nhận xét 1.3 Ta xét toán P với S = S1 ∩ S2, mà S2 tập đóng K(S, x*) = {(c, d)  R2: d ≥ 0} Ta chọn C(d*) K(S, x*) Vì f lớp C1, ta có ∂f(x, y) = {(6x, 8y + 4)} Nếu d ≥ (c, d) (0, 4) = 4d ≥ 0, (a) Định lý 1.1 m (3) S1 =  {x  Rn: gi (x) ≤ 0} ∩ i1 q  {x  Rn: gi (x) = 0}, (1.3) i  m 1 Bây ta giả sử {(xk, yk)} {wk} thỏa mãn (i) – (iv) (b) giả sử (xk, yk) thuộc S Khi đó, với zk = (xk, yk) ý hàm gi Lipschitz địa phương W Điều kiện cần để x* cực tiểu địa phương toán xét wk = (6xk, 8yk + 4), [14] Theo [14], toán P yên tĩnh (calm) x* tồn ta có nhân tử a1, , aq cho wk (zk – x*) / | zk – x* |2 = + (2yk2 + yk) / (xk2 + yk2) Do yk ≥ xk4 – xk2, ta có limsup wk (zk – x*) / (xk2 + yk2) ≥ Tuy nhiên, x* = (0, 0) cực tiểu địa phương f S Thật vậy, lấy (x, y) với x nhỏ dương y = x4 – x2 Khi đó, ≥ với i = 1, , m, (1.4) aigi (x*) = 0, với i = 1, , m, (1.5) 0 {f + a1g1 + a2g2 + + aqgq + 2} (x*) (1.6) Trong (1.6), 2 hàm tập S2, ta có 2(x) = x  S2 2 (x) = + x  S2 f(x, y) = 3x2 + (2x4 – 2x2 + 1)2 = – x2{1 – 8x2 + 8x4 – 4x6} m*, w d = L '(x *; d) = L0 (x*; d) ≥ v * d ≥ với dãy {xk} {wk} thỏa mãn: (v) {xk} hội tụ tới x* theo phương d T(S, x*) mà g'i (x*; d) = với (1.7) Ta phải kiểm tra (b) Định lý 1.1 Vì vậy, ta giả sử {xk} {wk} thỏa mãn (i) – (iv) Định lý 1.1 với g lấy L Khi i  I cho > 0; (vi) (vii) Định lý rõ ràng Như (1.7), ta có (vi) wk  ∂ L(xk) với k; w.d = L '(x *; d) ≥ (vii) {wk} hội tụ đến điểm – N(L(f, x*) ∩ T (S, x*), 0) Khi đó, tồn δ > cho f '(x*; d) + a1g1 (x*; d) + + aqg’q (x*; d) ≥ (1.8) f(x) ≥ f(x*) = (m* / 2) | x – x* |2 Vì d  L(f, x*), ta có f '(x*, d) ≤ Vì d  K(S, x*), ta có g1' (x*, d) = với x  B(x*, δ) ∩ S với i > m gi' (x*; d) ≤ với i  I Do đó, từ (1.8) suy gi'(x*; d) = với i  I mà > Ta suy {xk} d thỏa mãn (v) Vì vậy, từ (v) – (vii), ta nhận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 25 Điều kiện đủ cho toán (P1) cho ngôn ngữ (a)  xk  hội tụ tới x theo hướng d; hàm bổ trợ H M Giả sử x*  S  W r  m  Với x  W, (b) vk  hội tụ đến v; ta đặt q   H  x   m ax  g o ( x )  g   x    r  g i  x  ;1  i  m   i  m 1   M(x)=  go ( x)  go ( x*)  (m * /2) | x  x* |2 r  (2.2) (c) vk thuộc f (x ) với k (Chú ý rằng, ta có  d f ( x)  f ( x) Có thể xem  d f (x) tập q  | gi ( x) |; gi (x): i  1, , m  i m 1  gradient suy rộng x mà "phát sinh" từ phương d  (2.3) Giả sử hàm g , g1 , g , g q Lipschitz địa phương W tập S có dạng (2.1) Ta định nghĩa m Chú ý hàm H M phụ thuộc vào x* r, M phụ thuộc vào m* Hàm H hàm quy gọn kiểu Ioffe i 1 [9] n Ta đưa vào số ký hiệu Nếu x y thuộc R ta ký hiệu xy tích vô  S1   {x  W : g i ( x )  0}, xác định hàm fo W  hướng thông thường x y, B( x,  )  z  R n : x  z   q fo ( x)  g o ( x)  Định nghĩa 2.1 r | gi ( x) |; x  W i  m 1 Cho  xk  dãy W hội tụ đến x  W giả sử xk  x n với k Cho d vectơ khác không R Khi  xk  gọi hội tụ tới x theo hướng d {( xk  x) / | xk  x |} hội tụ đến d/d Định lý 2.1 Giả sử x* thuộc tập S  W , hàm M (2.3) Giả sử: (a) Ta có v.d  mà d vectơ khác không R n v   d f ( x) ; Định nghĩa 2.2 Lấy x  W d vectơ khác không R n Ta định nghĩa  d f ( x) tập tất v R n cho tồn dãy  xk  (b) Ta có limsup vk ( xk  x*)/ | xk  x* |2  , với dãy  xk  , vk  vectơ d R n thỏa mãn điều kiện sau : (i)  xk  hội tụ đến x* theo phương d với xk  S với k; W vk  R n cho Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 27 Ta giả sử vk  hội tụ đến v  d M (x*) Ta giả sử ck  (ii) vk  hội tụ với vk  M  x k  với k; hội tụ đến c  Ta nhận v  cd  Do đó, | v |2 c(d v)  Theo (iii) Tồn vo df0 (x*) cho v0 d  giả thiết (a), ta có d v  , v  Khi đó, tồn số dương δ cho Theo Định lý giá trị trung bình Lebourg tồn z0k v0k cho go ( x)  g0 ( x*)  (m * /2) | x  x*|2 z0k điểm đoạn thẳng nối xk x*, v0k  f  z0k  f ( xk )  f ( x*)  v0k ( xk  x*) Như trước, ta giả sử { v0k } hội với x  B( x*,  )  S tụ đến v0  d f  x * Bởi Chứng minh  m* f ( xk )  f ( x*)  M ( xk )    | xk  x*|   Giả sử kết luận sai Chọn dãy  k  số dương giảm đến không Khi đó, với k cho trước, tồn zk B( x*,  )  S cho  m*  m*  M ( x*)    | xk  x* |    | xk  x* |     g o ( zk )  g ( x*)  (m * /2) | zk  x* |2 Chú ý M ( zk )   M ( x*) , M có cực tiểu xk B( x*,  ) khác x* ta có v0 d  Do đó, từ giả thiết (b) ta giả sử Đặt tk | xk  x* | xác định d k  ( xk  x*) / tk Ta giả sử d k  hội tụ đến vectơ đơn vị d lim v k d k 0 tk (2.5) Từ Định lý Clarke điều kiện cần cấp [3] ta suy tồn Ở đây, vế trái (2.5) nhận giá trị  Từ (2.4), ta nhận v k  M(xk) cho  v k thuộc nón pháp tuyến tập lồi B( x*,  ) vk d k  ck | d k |2  , vk d k  với k Điều cho ta mâu xk Nhưng ta có vk  ck d k với ck  đó, thuẫn với (2.5) Định lý chứng minh vk  ck d k  , với k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.4) http://www.lrc-tnu.edu.vn □ Bây ta trình bày điều kiện đủ cho toán P1* Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 29 với vectơ d khác không R n Hơn nữa, x  W Hệ 2.1.1 Giả sử x*  W F hàm Lipschitz địa phương giá trị thực v*  v  m * ( x  x*) với v F ( x ) , ta có W Giả sử v *.( x  x*)  v.( x  x*)  m* | x  x* |2 n (a) vk d k  mà d vectơ khác không R v  dF(x*); □ Từ Định lý 2.1 ta suy điều phải chứng minh (b) tồn m*  cho Ví dụ 2.1 limsup vk ( xk  x*)/ | xk  x*|2  m * Xác định hàm F R cách đặt với dãy {xk} W hội tụ đến x* mà xk  x * với k {vk}   F ( x)  max x ,2 x  x với x  R dãy Rn hội tụ đến với vk   F(xk) với k Rõ ràng x* = làm cực tiểu F(x) R Lưu ý F không Khi đó, tồn số dương δ cho lồi lân cận F mà không khả vi x = x = Ta  m* F ( x)  F ( x*)    | xk  x* |   muốn x* = thỏa mãn giả thiết (a) (b) Hệ 2.1 Đối với điều kiện (a), lưu ý d > v.d = 2d> với với x  B( x*,  ) v  d F (0) , d < vd = với v  d F (0) Giả sử xk  Chứng minh Xác định hàm F* W hội tụ với xk  với k vk  hội tụ với vk  F ( xk ) với k Do đó, xk  với k đủ lớn F * ( x)  F ( x )  ( m * /2) | x  x* |2 , với x  W Ta áp dụng Định lý 2.1 với M = F* Chú ý rằng, ta có vk xk / | xk |2  xk xk / | xk |2  với k đủ lớn F * ( x)  {v  m * ( x  x*) : v  F ( x )} , với x  W Do đó, giả thiết (b) Hệ 2.1.1 thỏa mãn Do F * ( x*)  F ( x*)  d F * ( x*)   d F ( x*) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 31 Nhận xét 2.1 Định nghĩa 2.4 Ta muốn kiểm tra giả thiết (a) Định lý 2.1 với giả thiết Giả sử f Lipschitz địa phương W giả sử x  W Khi đó, f thêm hàm g i Ta giả sử g i bán trơn quy vi quy vi phân x đạo hàm theo phương f ' ( x; d ) tồn phân x* với d  R n f ( x; d )  f ' ( x; d ) với d Định nghĩa 2.3 Nhận xét 2.3 Giả sử f Lipschitz địa phương W x  W Khi đó, f bán trơn x dãy vk d  có điểm tụ mà d vectơ khác không R n ,  k  v k  dãy R n , t k  Các hàm lồi hàm khả vi liên tục W quy vi phân tất điểm W Lưu ý ta có f ( x; d )  f '( x; d ) f '( x; d ) tồn dãy R thỏa mãn Mệnh đề 2.1 (i) t k  giảm đến , Cho f g hàm giá trị thực W, x  W a số n (ii) k / tk  hội tụ đến R , (a) Nếu f g bán trơn x, f  g af bán trơn x (iii) v k  f ( x  tk d   k ) với k (b) Nếu f g quy vi phân x, f + g af ( a  ) quy vi phân x Nhận xét 2.2 Mifflin [11] rằng, f bán trơn x với vectơ d Chứng minh khác không R n , đạo hàm theo phương f ' ( x; d ) tồn (a) Khẳng định cho af có  ( af )( x)  a(f ( x)) Giả sử lim vk d , vk  dãy chọn Định nghĩa 2.3 f g bán trơn x đặt h  f  g Lấy d vectơ khác không trên, Mifflin [11] hàm lồi bán trơn hàm R n , giả sử các dãy v k ;  k  t k  Định khả vi liên tục bán trơn nghĩa 2.3 (i) – (iii), với f thay h Ta có, h( y )  f ( y )  g ( y ) với y, tồn v1k f ( x  tk d   k ) v2k g ( x  tk d   k ) cho vk  v1k  v2k Theo giả thiết, dãy {v1k d } {v2 k d } hội tụ Vì vậy, {vk d } hội tụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 33 (b) Giả sử f g quy vi phân x h  f  g Ta có M '( x*; d )  M ( x*; d )  H ( x*; d )  Từ Nhận xét 2.2 ta suy giả h '  h h ' tồn Vì h '  x; d   h ( x; d )  f Ngược lại, giả sử  H(x*) Do H(x*) = M(x*), ta có  x; d  thiết (a) Định lý 2.1  g ( x; d ) □ Nhận xét 2.4  f '  x; d   g '( x; d )  h '  x; d  Để |g i| quy vi phân x*, ta giả sử gi thuộc lớp C1 Tiếp theo, a  , ta có  ( af )( x)  a (f ( x ))  af  '   af  □ gần x* Ví dụ 2.2 Định lý 2.2 Giả sử Hệ 2.1.1 hàm F hai lần khả vi liên tục Giả sử x*  S  W , H M định nghĩa (2.2) (2.3) Giả sử hàm g , g1 , g , , g q bán trơn x* hàm g0 , g1, g2 , , g m , g m 1 , , g q quy vi phân x* Khi x* Ta muốn giả thiết (a) (b) Hệ 2.1.1 quy điều kiện đủ thông thường trường hợp Đầu tiên, ta ý rằng, Định lý 2.2, giả thiết (a) cho ta giả thiết (a) Định lý 2.1 H  x * chứa vectơ F ( x*)  Nhắc lại gradient suy rộng bao gồm gradient không trường hợp Bây giờ, gọi  F ( x*) Hessian F x Giả thiết Chứng minh (b) trở thành: Theo [3] cực đại số hữu hạn hàm quy vi phân quy vi phân Theo [11] cực đại số hữu hạn hàm bán trơn bán trơn Bởi gi  max{ gi ,  g i } , g i quy vi phân bán trơn x* Từ Mệnh đề 2.1 suy f0 quy vi phân bán trơn x* Những nhận xét cho thấy H M có tính chất Hơn nữa, H x *  M  x * Bây giả sử giả thiết (a) Định lý 2.1 Ta có 0 limsup F ( xk ).( xk  x*)/ | xk  x*|2  m * với dãy {xk} hội tụ đến x* Ta có F ( x*).( xk  x*)  F ( xk )  F ( x*).( xk  x*)  ( xk  x*). F ( x*).( xk  x*)  o | xk  x*|2 Do đó, giả thiết (b) trở thành: n H ( x*; d )  M ( x*; d )  với d  R Do đó, theo [14, thm.13.1], limsup( xk  x*). F ( x*).( xk  x*)/ | xk  x*|2  m * vectơ không thuộc H x * Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 35 với dãy {xk} hội tụ tới x* (với xk  x*) Nhưng điều kiện tương đương với Chứng minh Giả sử kết luận sai Chọn dãy {δk} số dương giảm đến Khi đó, với k cho trước, tồn zk  B( x*,  )  S cho : d  F ( x*) d > m* g0  zk  – g0  x *   m * /2  zk - x * với vectơ đơn vị d Rn Đặt sk = | zk – x* |> dk = (zk – x*) / sk với k Bây xác định Ck Định nghĩa 2.5 Với x  S ∩ W, nón tiếp tuyến T(S, x) S x định nghĩa n tập tất d R cho tồn các dãy {xk} S ∩ W {tk} số dương mà {xk} hội tụ đến x {( xk  x ) / tk } hội tụ đến d Định lý 2.3 nón lồi nhỏ chứa dk Ta giả sử dãy {dk} hội tụ đến vectơ đơn vị d T (s, x*) Cũng lưu ý f  zk  – f  x *   m * /2  zk - x * Sử dụng Định lý Lebourg chứng minh Định lý 2.1 ta có Giả sử x*  S ∩ W, M fo định nghĩa Định lý v0 d  với v0  d f o ( x*) 2.1 Giả sử h hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định Theo giả thiết (a) (b), ta có W cho: h( zk )  M ( zk )   M ( x*)  h( x*) (a) h (x*) = M (x*); Vì vậy, h nhận giá trị cực tiểu tập B ( x*, )  (Ck  x*) điểm (b) h (x) < M(x) với x  S ∩ W ; (c) ta có limsup vk ( xk  x*)/ | xk  x* |2  với dãy {xk} W hội tụ đến x* theo phương d T (s, x*) mà v0.d  với v0  d f o ( x*) {vk} Rn mà vk  h( xk ) với k xk ≠ x* Đặt tk = | xk – x* |> Chú ý ( xk  x*) / tk  d k với k {xk} hội tụ tới x* theo hướng d Theo Định lý Clarke điều kiện cần [3], tồn vk h( xk ) cho – vk pháp tuyến tập lồi B ( x*, )  (Ck  x*) xk Ta áp dụng [14, Khi đó, tồn số dương δ cho: Cor 23.8.1] suy tồn số ck không âm uk pháp tuyến Ck + x* xk cho  m* go ( x )  go ( x*)    | x  x*| ,   vk  ck d k  uk  (2.6) với x  B ( x*,  )  S Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 37 Bởi xk + tk dk xk – tk dk thuộc Ck  x * , ta có uk dk = Vì vậy, từ (2.6) ta nhận Ví dụ 2.3 Giả sử x*  S ∩ W hàm gi hai lần khả vi liên tục gần x* Ta giả sử điều kiện đủ cấp x* ta vk d k  ck d k  giả thiết Định lý 2.3 thỏa mãn Như vậy, ta giả sử số y1, y2 , yq tồn cho yi ≥ yigi (x*) = với i = m Từ suy lim sup vk d k / tk  q (2.7) g0 ( x*)   yigi ( x*)  (2.8) i 1 Bởi (2.7) mâu thuẫn với giả thiết (c) nên toán chứng minh □ Nếu ta đặt Nhận xét 2.5 L(x) = g0 (x) + y1g1 (x) + + yqgq (x).với x  W Giả sử x*  W F hàm Lipschitz địa phương giá trị thực W Đặt ta có K (F) = {d  R n : F ( x*; d )  0} d  L( x*) d  m * Khi K(F) nón lồi đóng với vectơ đơn vị d thuộc T(S,x*) mà Định lý 2.4 gi ( x*).d  với i  I = {i: ≤ i ≤ m yi> 0} Giả sử x*  S ∩ W, M f0 Định lý 2.3 Giả sử hàm g0, g1 ,g2 , ,gq bán trơn x* hàm g0, |gm+1|, ,|gq| quy vi phân x* Khi đó, vo d  với v0  d f o ( x*) Để thấy Định lý 2.3 áp dụng tình này, ta phải chọn r > Lấy r = số khác không {ym 1, , yq } và d  K ( f ) r  max  yi : i  m  1, , q trường hợp ngược lại Chứng minh Xác định h W Ta f0 bán trơn quy vi phân ta làm việc chứng minh Định lý 2.2 Như vậy, Nhận xét 2.2, h  x   L  x   g  x *   m * /2  x  x * , x  W ta có f 00 ( x*; d )  f '0 ( x*; d )  v0 d v0   d f o ( x*) Từ suy kết luận Định lý Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên □ http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 39 Khi đó, điều kiện (a) (b) Định lý 2.3 đúng, h(x*) = với Bây vk  L ( xk )  m * ( xk  x*) với k xS∩W Đặt tk | xk  x* | d k | xk  x* | / tk với k Ta nhận h  x   L  x  - g  x * -  m * /  x - x *  g o  x  - g  x * -  m * /  x - x * vk d k  L( xk ).dk  m * tk | dk |2  {L( xk )  L( x*).dk  m * tk Nên  M ( x) limsup vk d k / tk  d  L( x*)d  m*  Bây giả sử {xk} dãy W hội tụ đến x* theo phương d Do giả thiết Định lý 2.3 thỏa mãn T(S, x*), giả sử v0 d ≤ với vo  d f o ( x*) , vk  h( xk ) với k Như chứng minh Định lý 2.2, ta thấy fo bán trơn Hệ 2.4.1 Giả sử F hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định W quy vi phân x* Theo Định lý 2.4, d  K (fo) Do ta x*  W Giả sử h hàm Lipschitz địa phương giá trị thực xác định có W mà q {f ( x )  f ( x*)}  lim k  g0 ( x*).d   r | gi ( x*).d | tk i  m 1 (b) h (x) ≤ F (x) với x  W Bởi L( x*)  gi ( x*).d  với i  I, ta có (c) tồn m* ≥ cho q m   yigi ( x*).d  g ( x*).d  i 1  (a) h (x*) = F (x*); yi gi ( x*).d limsup vk ( xk  x*)/ | xk  x* |2  m * i  m 1 q  g ( x*).d   với dãy {xk} W hội tụ đến x* theo phương d mà v0 d ≤ với r g i ( x*).d  v0  d F ( x*) {vk} dãy Rn mà vk  h( xk ) với i  m 1 Bởi gi ( x*).d  yi > với i  I, ta suy gi ( x*).d  với i  I Vì vậy, ta có k Khi đó, tồn số dương δ cho d  L( x*) d  m * Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên F  x   F  x *   m * /2  |x  x*|2 , http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 41 Nhận xét 2.7 với x  B( x*,  ) Gradient suy rộng f biểu diễn qua Jacobian J G Chứng minh vi phân g hàm lồi g Từ Định lý Rockafellar [13] ta suy Ta xác định hàm h* F* W f quy vi phân điểm W F *  x  = F  x    m * /2  |x  x*| , f ( x)  {J ( x)T y : y  g (G ( x))}, h *  x   h  x    m * /2  |x  x*| , x W (2.9) Ở đây, số T ký hiệu phép chuyển vị với x  W Bây ta làm chứng minh Hệ 2.1.1, áp dụng Định lý 2.3 cho F* h* □ Miffin hàm hợp hàm bán trơn hàm bán trơn Từ Nhận xét 2.2 suy f bán trơn điểm W Một vài kiện g liệt kê đây: 2.2 SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CỦA A D IOFFE Nhận xét 2.6 g (0) = 0; (2.10) lồi, dương, cộng tính Rm Giả sử hàm giá trị Nếu y  g (u) g (u) = y.u ; (2.11) thực G1, G2., , Gm hai lần khả vi liên tục tập mở W  R n chứa với u  Rm, ta có g (u )  g (0) ; (2.12) Giả sử g hàm tuyến tính xác định Rm Như vậy, g điểm x* Ta xác định hàm G Từ (2.10) (2.12) suy G  x    G1  x  , G2  x  , , Gm  x   với x  W Đặt f = g  G xét toán Nếu u  Rm y  g (0), y.u< g(u) Định nghĩa 2.6 (P**): f ( x) Với k x* trên, đặt xW ( x*)  {y  g (G ( x*)) : J ( x*)T y  0}, Đây dạng hữu hạn chiều toán không gian Banach xét Ioffe [10] Ta nhận Định lý Ioffe [10] từ Hệ 2.4.1 KC  {d  R n : g (G ( x*)  tJ ( x*) d )  g (G ( x*), với t  đó} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 43 Cuối cùng, ta định nghĩa hàm L* W  R m (2.13) suy h(x*) = f(x*) h(x)  f(x) với x  W Theo [3, thm.2.1], ta có L * ( x, y )  y1G1( x)  y2G2 ( x )   ymGm ( x ) ,  Ta phát biểu chứng minh điều kiện đủ Ioffe  T h  x   J  x  y : y   x * h  x   y G  x  với x  W y  Rm (Ioffe [9] KC nón lồi đóng) (trong đó, rõ ràng h( x*)  {0} ) Định lý 2.5 [9, dạng hữu hạn chiều] Để áp dụng Hệ 2.4.1 ta phải kiểm chứng giả thiết (c) Hệ Với f x* trên, giả sử tập ( x*) khác rỗng Giả sử tồn 2.4.1 Ta giả sử {xk} hội tụ tới x* theo phương d K(f) (ở đây, ta số dương m1 m2 cho sử dụng Định lý 2.4) giả sử vk  h( xk ) với k Với k, tồn (i) với d  Rn, tồn z  KC cho yk*  ( x*) cho vk  J ( xk )T yk* h( xk )  yk* G ( xk ) Vì f bán trơn quy vi phân x*, ta có (với tk = |xk – x*| | d –z | ≤ m2 {g (G (x*) + J (x*) d) – g (G (x*))}; dk = (xk – x*) / tk) (ii) với d  KC, tồn y  ( x*) cho  f ( x*; d )  limsup{ g (G ( xk ))  g (G ( x*))} / tk d 2xx L * ( x*, y )d  m1 | d |2 Bởi G Lipschitz, từ Định lý Taylor, ta nhận : Khi đó, tồn số dương δ cho limsup f (x) –f (x*) ≥ (m1/ 2) | x – x* |2 với x  B (x*, δ) {g (G ( xk ))  g (G ( x*)  tk J ( x*)d k )}  tk Vì Chứng minh Bởi tập ( x*) không rỗng, ta xác định hàm h W  limsup h(x) = max {y G (x): y ( x*) }, xW {g (G ( x)  tk J ( x*)d k )  g (G ( x*))} tk Theo giả thiết (i), với k, tồn điểm zk  KC cho | zk  tk d k | m2{g (G ( x*)  tk J ( x*) d k )  g (G ( x*))} Ta muốn áp dụng Hệ 2.4.1 Trước hết ta ý rằng, tập ( x*) Đặt ek = zk / tk với k Nó Khi dãy {d k – ek} hội tụ đến Ta không rỗng, từ (2.9) ta suy f ( x*) có chứa vectơ không Từ (2.11) có Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 45  t2  y*k G ( xk )  yk* G ( x*)  y*k J ( x*)tk d k   k  d k  L * ( x*, yk* )d k  o (tk2 ) 2  t2    k  ek  L * ( x*, yk* )ek  o(tk2 ) 2   (2.14) Vì limsup vk d k  m1 | d |2  m1 tk □ 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE Nếu hàm g0, g1, , gq toán P1 hai lần khả vi liên Với k, giả sử yk phần tử  (x*) thỏa mãn tục x*, điều kiện đủ cấp cổ điển cho toán P1 cho ngôn ngữ hàm Lagrange ek 2xx L * ( x*, yk )ek  m1 | ek |2 Ta trình bày Định lý điều kiện đủ tối ưu ngôn ngữ Bởi yk G ( xk )  h( xk )  yk* yk G ( x*)  yk* G ( x*)  h ( x*) , ta có y*k G ( xk )  y*k G ( xk* )  yk* G ( x*)  yk G ( xk )  yk G ( x*)  t2   t2    k  ek  2xx L * ( x*, yk )ek  o(tk2 )   k  m1 | ek |2  o(tk2 ) 2 2     nhân tử Định lý 2.6 [Clarke] (2.15) Tiếp theo, ta thấy Giả sử x*  W cực tiểu địa phương toán P1 Khi đó, tồn số ai* vectơ vi* với i = a, 1, , q cho (a) ai* khác không với {0,1, , q}; vk dk = J ( xk )T yk* d k  {J ( xk )T  J ( x*)T }yk* d k   L * ( x*, y*k )tk d k d k  o(t k ) (b) ai* ≥ với i = 0,1, , m; (c) ai* gi (x*) = với i = 1, , m;   L * ( x*, yk* )tk ek ek  o(tk ) (d) vi*  gi(x*) với i = 0,1, q; Từ (2.14) (2.15), ta nhận (e) = a0*v0*  a1*v1*   aq*vq* vk d k  m1 | ek |2  o(1) tk Dưới ta giả sử (f) a0* = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 47 chẳng hạn toán P1 “yên tĩnh” [3] Giả sử limsup vk ( xk  x*)/ | xk  x* |2  , Nhận xét 2.8 Giả sử x*  W, hàm gi bán trơn x*, có hàm g0, , gma*m+1 gm +1, , a*qgq quy vi phân x*, Định lý 2.6 (a) – (f) (phải nhấn mạnh ta không giả thiết x* cực tiểu với dãy {xk} {vk} thỏa mãn điều kiện: (i) {xk} hội tụ tới x* theo phương d với xk  S với k; địa phương) (ii) {vk} hội tụ với vk  ∂L(xk) với k; Bây ta định nghĩa hàm giá trị thực L W (iii) g'i (x*; d) = với i  I q L( x)   ai* gi ( x ), x W Khi đó, C nón đóng mà C  int( K )  {0} tồn số dương δ i 0 cho g0(x)> g0(x*) với x  B( x*,  )  (C  x*)  S x  x * , Từ Mệnh đề 2.1 ta suy L bán trơn quy vi phân x* int(K) ký hiệu phần K Chứng minh q L( x*)   ai*g i ( x*) (2.16) Giả sử kết luận sai Chọn dãy {δk} số dương giảm đến i 0 Với số nguyên dương k, tồn xk  B( x*,  )  (C  x*)  S Từ Định lý 2.6 (e) (2.16) suy  L (x*) Căn Nhận cho xk  x * xét 2.5, ta đưa vào nón lồi đóng g ( xk )  g ( x*)  (2.17) K  K ( L)  {d  R n : L0 ( x*; d )  0} Đặt tk = | xk – x* |> 0, dk = (xk – x*) / tk Mỗi dk  C ta Định lý 2.7 giả sử {dk} hội tụ đến vectơ đơn vị d C Ta áp dụng Định lý Giả sử x*  S ∩ W, hàm gi bán trơn x*, hàm g0, giá trị trung bình Lebourg nhận zk zki phần g1, gm, gma*m+1 gm +1, , a*qgq quy vi phân x*, đoạn thẳng nối xk với x*, vectơ vk  ∂L(zk) vki  ∂gi(xki) ta giả sử x*, a*, v*0, v*1, , v*q thỏa mãn Định lý 2.6 (a) – (f) Ký cho hiệu I  {i :1  i  m, & ai*  0} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên L (xk) – L (x*) = vk tkvk , http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên k  1, (2.18) http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 49 gi ( xk )  g i ( x*)  vki tk d k , k  1, i  0,1, , q (2.19) limsup vk dk  tk (2.21) Như trước, ta giả sử {vk} hội tụ đến v ~  d L( x*) {vki} hội Như vậy, ta g’i(x*; d) = với i  I, (2.21) tụ đến vi~  d gi ( x*) (với i = 0, 1, …, p) cho ta mâu thuẫn Bởi xk  S, theo Định lý 2.5 (b), (c), ta có Do v ~ =0, ta có L(xk) – L (x*) ≤ g 0(xk) – g0(x*) q  v ~ d   ai* (vi~ d )   ai* (vi~ d ) a0* (v0~ d ) Từ (2.17), (2.18) (2.19) ta suy với k i 0 Bởi vi~ d  với i  I  {0}, ta suy vi~ d  với i  I vk d k  vk d k  0, với i  I, với m  i  q vki dk  0, (2.20) vki dk  0, Bởi gi bán trơn vi~  ∂dgi (x*), ta nhận  vi ~ d  gi' ( x*; d ) với i  I. ~ Từ (2.20), ta có v d iI  0, vi~ d □ ~  với i  I  {0}, v d  với m [...]... hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 51 Định lý 2. 8 KẾT LUẬN Giả sử rằng giả thiết của Định lý 2. 6 đúng, loại trừ điều kiện liên quan đến nón C, H như trong (2. 2) và b(K(L)) là biên của nón K(L) Giả sử Luận văn đã trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho cực tiểu địa phương chặt cấp 2 của Chaney [6,7] cho bài toán với ràng buộc tập và bài toán với hữu hạn... Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 23 Phần còn lại của chứng minh có thể được làm như chứng minh Định lý 1.1 với một vài thay đổi nhỏ □ Chương 2 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU CẤP 2 CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN CÓ RÀNG BUỘC BẤT ĐẲNG THỨC Chương 2 trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối... hàm ràng buộc là Lipschitz địa phương Các điều vk ( xk  x*)  0, | xk  x* |2 kiện đủ tối ưu cấp 2 được phát biểu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng với mọi dãy {xk} và {vk} thỏa mãn điều kiện (i) – (iii) của Định lý 2. 1 và điều kiện d  b (K(L)) Clarke của hàm bổ trợ cho hàm mục tiêu và hàm quy gọn kiểu Ioffe [9] Luận văn cũng trình bày các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 cho các bài toán trên với các hàm bán...  0 (2. 1) Ta xét các bài toán: P1: min g 0 ( x) với x  S  W Ta cũng xét bài toán không bị ràng buộc: P1*: min F  x  với x  W; ở đây, F là hàm giá trị thực Lipschitz địa phương trên W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 25 Điều kiện đủ đầu tiên cho bài toán (P1) được cho dưới... x*, thì điều kiện đủ cấp 2 cổ điển cho bài toán P1 cho dưới ngôn ngữ hàm Lagrange ek 2xx L * ( x*, yk )ek  m1 | ek |2 Ta sẽ trình bày một Định lý về điều kiện đủ tối ưu dưới ngôn ngữ các Bởi vì yk G ( xk )  h( xk )  yk* và yk G ( x*)  yk* G ( x*)  h ( x*) , ta có y*k G ( xk )  y*k G ( xk* )  yk* G ( x*)  yk G ( xk )  yk G ( x*)  t2   t2    k  ek  2xx L * ( x*, yk )ek  o(tk2 )  ... Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 45  t2  y*k G ( xk )  yk* G ( x*)  y*k J ( x*)tk d k   k  d k  2 L * ( x*, yk* )d k  o (tk2 ) 2  t2    k  ek  2 L * ( x*, yk* )ek  o(tk2 ) 2   (2. 14) Vì vậy limsup vk d k  m1 | d |2  m1 tk □ 2. 3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ HÀM LAGRANGE Nếu các hàm g0, g1, , gq trong bài toán P1 là hai lần khả vi... Lipschitz địa phương Các điều kiện đủ tối ưu cấp 2 được trình bày dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke của các hàm H và M được xây dựng kiểu hàm quy gọn của Ioffe [9] Các kết quả được trình bày trong chương này là của Chaney [6] 2. 1 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐỦ CẤP 2 Giả sử W là một tập mở trong không gian Euclide thực n–chiều n R g 0 , g1 , g 2 , g q là các hàm giá trị thực trên R n , Lipschitz địa phương trên...  0 , với mọi k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2. 4) http://www.lrc-tnu.edu.vn □ Bây giờ ta trình bày một điều kiện đủ cho bài toán P1* Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 29 với mỗi vectơ d khác không trong R n Hơn nữa, nếu x  W và nếu Hệ quả 2. 1.1 Giả sử x*  W và F là một hàm Lipschitz địa phương giá trị thực v*  v  m * ( x ... )  t | v ~ |2  0 như trong ví dụ 2. 2 và từ Định lý 2. 6 ta nhận được một điều kiện đủ tối ưu cấp hai cổ điển Sử dụng Định lý 2. 6 và phương pháp chứng minh của Định lý 2. 1 Ta suy ra d  tv ~ không thể thuộc K (đối với t > 0) Do đó, d không thể ta nhận được Định lý sau đây: thuộc int (K), mâu thuẫn Vì vậy, ta đã chỉ ra được v ~ = 0 Do (2. 20), ta có Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên... x))}, 2 h *  x   h  x    m * /2  |x  x*| , x W (2. 9) Ở đây, chỉ số trên T ký hiệu phép chuyển vị với x  W Bây giờ ta làm như trong chứng minh Hệ quả 2. 1.1, áp dụng Định lý 2. 3 cho F* và h* □ Miffin đã chỉ ra rằng hàm hợp của 2 hàm bán trơn là hàm bán trơn Từ Nhận xét 2. 2 suy ra f là bán trơn tại mỗi điểm của W Một vài sự kiện về g được liệt kê dưới đây: 2. 2 SO SÁNH VỚI ĐIỀU KIỆN ĐỦ TỐI