Điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ cho bài toán tối ưu đa trị

Từ các kết quả về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị dựa trên khái niệm dưới vi phân yếu của hàm véc tơ, bài viết này trình bày nghiên cứu dưới vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị. Khái niệm - dưới vi phân yếu cho hàm đa trị được đề nghị. Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John và KuhnTucker cho bài toán được thiết lập.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 71 (05/2020) No 71 (05/2020) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU DẠNG XẤP XỈ CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA TRỊ Approximate optimality conditions for set-valued optimization problems ThS Trần Hòa Hiệp Trường Đại học Sài Gịn TĨM TẮT Từ kết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa trị dựa khái niệm vi phân yếu hàm véc tơ, báo trình bày nghiên cứu vi phân xấp xỉ yếu cho hàm đa trị Khái niệm - vi phân yếu cho hàm đa trị đề nghị Điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John KuhnTucker cho toán thiết lập Từ khoá: tối ưu đa trị, điều kiện tối ưu dạng xấp xỉ, vi phân yếu dạng xấp xỉ ABSTRACT Motivated by optimality conditions for set-valued optimization problems based on the notion of weaksubdifferential for vector functions, this paper deals with approximate weak-subdifferentials for setvalued functions The notion of - weak subdifferential for set-valued functions is proposed The approximate optimality conditions in Fritz-John and Kuhn-Tucker types for the problem are investigated Keywords: approximate weak-subdifferential, approximate optimality conditions, set-valued optimization báo tối ưu đa trị tác giả Lin [2] Cho X ,Y Z không gian véctơ tơpơ, C D nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng tương ứng Y Z Với khơng gian X Y nói trên, ánh xạ đa trị F từ không gian tuyến tính X vào khơng gian tuyến tính Y , gọi C - lồi Phần giới thiệu Trong tối ưu véc tơ, khái niệm nghiệm tối tiểu, tối tiểu yếu, tối tiểu mạnh, tối tiểu thường, định nghĩa tập khơng gian tuyến tính có thứ tự Trong năm qua, dựa tính chất quan hệ tập hợp, tối ưu véc tơ, tối ưu đa trị phát triển cách độc lập Có nhiều báo gần giới thiệu kết điều kiện tối ưu cho toán tối ưu đa trị [1], [5] Về kết liên quan tối ưu đa trị, tài liệu A A Khan, C Tammer C Zălinescu [6] nhiều nhà nghiên cứu quan tâm F(x ) (1 )y ] C , x, y X, [0,1] Cho F : X 2Y G : X 2Z tương ứng ánh xạ đa trị C - lồi D - lồi (xem Định nghĩa 2.1) Với E tập lồi khác rỗng X , toán Lai-Jiu Lin [2] viết lại sau Các kết xuất phát từ Email: thhiep@sgu.edu.vn )F(y) F[ x (1 (P) Minimize {F (x ) | x 109 E G 1( D)} SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 71 (05/2020) Mơ hình tốn nêu hiểu sau: với E tập khác rỗng phần sinh nón lồi nhọn có phần khác rỗng G 1( D ) Mục đích chúng tơi báo thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz-John Kuhn Tucker cho nghiệm xấp xỉ yếu toán tối ưu đa trị không gian Banach Cụ thể: với số dương cho trước, chúng tơi tìm X , cần tìm điểm x E cho với y0 F (x ) điểm tối tiểu yếu tập F[E G 1( D)] Điểm x tìm thế, gọi nghiệm yếu toán (P) Trong báo Lin [2], tác giả đạt số kết quan trọng thiết lập điều kiện tối ưu dạng FritzJohn dạng Kuhn-Tucker cho toán tối ưu đa trị Không phiên mở rộng vi phân tổng hai hàm lồi đơn trị tác giả bổ sung cho trường hợp hàm đa trị Lấy cảm hứng từ kết đó, báo này, bước đầu quan tâm thiết lập điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John Kuhn-Tucker cho dạng toán tối ưu đa trị (P) Cần biết rằng, dạng nghiệm xấp xỉ cho toán tối ưu véc tơ giới thiệu Loridan [7] xét khơng gian có thứ tự phận Đến nay, có nhiều định nghĩa khác nghiệm xấp xỉ cho tối ưu véc tơ tối ưu đa trị [8], nhiều kết liên quan đến nghiệm xấp xỉ đề cập cơng trình [9], [13] G 1( D) cho u x0 E u b điểm cực tiểu yếu tập F[E G 1( D)], với b F (x ) intC Y Trong trường hợp x gọi -nghiệm yếu toán (P) Trong phần sau đây, dành để nhắc lại kiến thức kết bản; tính chất vi phân yếu tổng hai hàm đa trị điều kiện tối ưu cho nghiệm yếu toán tối ưu đa trị nhắc lại phần Tiếp đến đề nghị khái niệm -dưới vi phân yếu cho hàm đa trị Phần cuối dành để trình bày kết đóng góp chúng tơi điều kiện tối ưu xấp xỉ cho toán tối ưu đa trị Các ví dụ giới thiệu chương Kiến thức Qua khảo sát kết Lai-Jiu Lin việc thiết lập điều kiện tối ưu dạng Fritz-John dạng Kuhn-Tucker cho toán tối ưu đa trị, nhận thấy kết cịn mở rộng cho trường hợp nghiệm xấp xỉ Trong năm qua có nhiều tác giả giới thiệu định nghĩa khác nghiệm xấp xỉ cho tối ưu véc tơ tối ưu đa trị [7], [8], [11], [12], [13], [18], [19], [20] Với nghiên cứu này, sử dụng định nghĩa nghiệm xấp xỉ cho tối ưu đa trị giới thiệu tài liệu Rong Wu [19], xét khơng gian Banach có thứ tự riêng Trong báo này, X ,Y Z dùng để khơng gian Banach tương ứng có véc tơ không: X , Y Z , vài nội dung không gây nhầm lẫn, ghi thay cho trường hợp vừa nêu Cho trước ánh xạ đa trị ký hiệu bởi: F :X 2Y G : X 2Z Các miền hữu hiệu F G tương ứng ký hiệu định nghĩa là: 110 TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN D(F ) : {x X | F(x ) Với A }, D(G) {x X | G(x ) X, ta ký hiệu F (A) với V G 1(V ) x A tục từ D vào C ký hiệu } (Z,Y ) : {w F (x ), X | G(x ) V } Định nghĩa 2.1 Cho ánh xạ đa trị F :X 2Y , A tập lồi X C nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng Y Ánh xạ đa trị F gọi C - lồi A với x1, x A Y Y gọi C với y C với Nón C gọi lồi có thêm tích chất tập lồi, tức x y C với x, y C với , Nón C đuợc gọi nón nhọn Tập hợp C nón y C ( C) [0,1], ta có { Y } F(x1) (1 Ký hiệu X *,Y * Z * không gian đối ngẫu tương ứng X ,Y Z Với x X x * X *, ký hiệu x *, x dùng để giá trị thực ánh xạ tuyến tính x * x Tương tự ta dùng y *, y z *, z F (x1 ) (1 Y , ký hiệu Cho A, B X, 0, y )F (x ) F[ x1 (1 )x ] intC Trên Y với nón C nêu trên, ta định nghĩa quan hệ thứ tự theo nón sau: Với y1, y2 Y , C , định nghĩa là: C : {y* Y * | y*, y )x2 ] C (0,1), ta có F(x ), y* Y *} Nón đối cực tập C )F(x2 ) F[ x1 (1 Ánh xạ F gọi C - lồi chặt A với x1, x A, x1 x 2, Chúng sử dụng thêm ký hiệu sau: y*, F(x ) : { y*, y | y C } Trong báo C D tương ứng nón lồi nhọn, có phần khác rỗng tương ứng Y Z Z , ta ký hiệu {x (Z,Y ) | w(D) C } , có phép y1 C y2 y2 y1 C \ { }, y1 C y2 y2 y1 C, y1 C y2 y2 y1 intC Khi đó, với y0 tốn Y , chúng tơi sử dụng thêm cách viết: A B : {x y |x A: { x |x A, y B}, A}, Chúng ta qui ước A A, , F (x ) C y0 y C y0, y F (x ), F (x ) C y0 y C y0, y F (x ), F (x ) C y0 y C y0, y F (x ) Định nghĩa 2.2 (Xem [14, Definition 3.1.1], [15, Definition 1.7]) Cho tập Y với không gian Z Y nêu trên, ký hiệu (Z ,Y ) để tập tất các toán tử tuyến tính liên tục từ Z vào Y Khi với C Y D Z , tập (Z ,Y ) gồm toán tử tuyến tính liên i) Điểm y0 tiểu 111 gọi điểm tối không tồn điểm y SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY cho y [y0 C No 71 (05/2020) ký hiệu WMin , tập hợp điểm -tối tiểu yếu ký hiệu - WMin y0 Điều tương đương với (C \ { Y })] ii) Điểm y0 gọi điểm tối (ii) WMin tiểu yếu không tồn điểm y cho y C y0 Điều tương đương với [y0 intC ] (iii) y0 gọi toán tối ưu đa trị ký hiệu x E Khi đó, điểm x gọi nghiệm yếu toán x0 x E - Khi đó, điểm x gọi - nghiệm yếu toán Trong báo này, xét ánh xạ đa trị F G nói với C D nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng tương ứng không gian Y Z Giả sử E X tập lồi khác rỗng Xét toán Cho trước - tối tiểu yếu không tồn điểm cho y C y0 y b Điều b intC ] F (x ) -WMinimize (C \ { Y })] tương đương với [y0 cho trước, tốn tìm tìm Với E cho y0 F (x ) y0 b điểm tối tiểu yếu tập F (E ) ký hiệu thuộc intC Điều tương đương với gọi điểm F (x ) WMinimize tối tiểu không tồn điểm cho y C y0 b, b véc tơ y ii) Điểm y0 X khác rỗng y điểm tối tiểu yếu tập F (E ) Định nghĩa 2.3 (Xem [14, Definition Y số dương cho 3.1.1]) Cho tập trước b WMin 2Y cho ánh xạ đa trị F : E X Bài tốn tìm x E cho y0 F (x ) Chú ý 2.1 Trong phần đây, ta ký hiệu b véc tơ cho trước thuộc int(C ) không gian Y [y0 b Định nghĩa 2.4 Cho E điểm tối tiểu tối tiểu yếu định nghĩa với nón C nón cố định cho trước Trong nghiên cứu Lin [2], kết điều kiện cần tối ưu cho toán tối ưu đa trị dạng Fritz-John Kuhn-Tucker giới thiệu Sau đây, mở rộng kết cho trường hợp nghiệm xấp xỉ tối tiểu yếu [11, 13, 18] gọi điểm y0 -WMin Sau định nghĩa nghiệm toán tối ưu đa trị tập hợp Chú ý rằng, gần nhiều tác giả mở rộng định nghĩa nêu với nón C nón động, tức nón phụ thuộc vào điểm y xét Trong báo này, khái niệm i) Điểm y0 -WMin (P) Chú ý 2.2 (i) Tập hợp điểm tối tiểu yếu -WMinimize F (x ) s.t 112 x E G 1( D) TRẦN HÒA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN Điểm x ánh xạ không G 1( D) gọi E Sau mở rộng khái niệm gradient yếu cho hàm đa trị F ứng với y x thành khái niệm - - nghiệm yếu toán (P) với b điểm tối tiểu yếu u F (x ) u G 1( D)] tập F[E gradient F ứng với y x Sự mở Chúng cần đến khái niệm gradient cho hàm đa trị Khái niệm Tanio giới thiệu cho hàm véc tơ [21] Lin giới thiệu lại cho hàm đa trị [2] mà chúng tơi trích dịch đây: rộng lấy cảm hứng từ khái niệm - vi phân hàm lồi đơn trị giới thiệu nghiên cứu HiriartUrruty Lemarechal [16] Định nghĩa 2.6 Cho A X, F : A Định nghĩa 2.5 (xem [2, Definition 3]) Cho A X tập khác rỗng Y ánh xạ đa trị F : A Cho x Với A hàm đa trị F x y0 ánh F ứng với y x (x ) {F (x ) WMin y0 x A w {F (x ) WMin (x )} , hay F (x ; y0 ) Nếu y0 (x ) F (x ; y0 ) {F (x ) WMin (x )} x A F (x ) với y0 -WMin {F (x ) (x )} x A F (x ; y0 ) w F (x ; y0 ) với y0 F (x ), Nhận xét 2.2 x A F (x ), 0, tập hợp (i) Nếu suy biến thành Nhận xét 2.1 Từ định nghĩa nêu trên, ta thấy x A y0 F (x ) WMin int(C ), ánh xạ đa trị F gọi - khả vi yếu x ánh xạ đa trị F gọi khả vi yếu x y0 (x )}, b x A (x ) Nếu x A (X ,Y ) {F (x ) WMin gọi - vi phân yếu hàm đa trị F ứng với y x ký hiệu F (x ; y0 ) Ta viết: (x ) b Tập tất - gradient yếu hàm đa trị F ứng với y x vi phân yếu của ánh xạ F ứng với y x ký hiệu (X ,Y ) | y0 (x ) hay ta viết (x )} Tập hợp tất gradient yếu ánh xạ F ứng với y x gọi F (x ; y0 ) : (X,Y ) gọi - gradient yếu ứng với y (X,Y ) gọi gradient yếu y0 2Y F (x ) Một toán A y0 0,x tử tuyến tính liên tục F (x ) Một tốn tử tuyến tính liên tục y0 (X,Y ) y0 A y0 b y0 x A F (x ) F (x ; y0 ) F (x ; y0 ) (ii) Nếu x WMin w F (x ), F (x ) -WMin x A w F (x 0; y0 ) Định nghĩa 2.7 Cho ánh xạ đa trị G :X 2Z D - lồi, gọi khả F (x ; y0 ), 113 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 71 (05/2020) Z không gian Banach Cho C D nón lồi, nhọn, có phần khác rỗng tương ứng Y Z Cho ánh xạ đa trị F : E 2Y G :E 2Z tương ứng C - lồi D - lồi Giả sử thêm E : domF domG tập lồi X Nếu hệ vi yếu qui x với z G(x ) với (Z ,Y ) có G )(x ; (z )) ( G(x ; z ) Định nghĩa 2.8 Ta nói ánh xạ đa trị X 2Y liên thông điểm A tồn ánh xạ đơn trị liên F :A x0 tục H : A Y cho H (x ) F (x ) với x thuộc lân cận x E : domF1 E X, tức là, F2 )(x; z1 F1(x; z1) F2 )(x; z1 z2 ) F1(x; z1 ) tồn D \ {(0, 0)} cho z *,G(x ) 0, E, nghĩa là, z *, z y 0, F (x ), z G(x ) (2) (G(x )) , không thoả C E Định lý 2.3 [2] Cho X ,Y Z không gian Banach Cho C D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z Cho ánh xạ đa trị F : E 2Y G : E 2Z tương ứng C - lồi D - lồi Giả sử thêm E : domF domG tập lồi X Xét toán F2(x; z2 ) Hệ 2.1 [2, Corollary 3.2] Trong Định lý 2.1, Y ta có (F1 C E, mãn với x F2 (x ), có z2 ) nghiệm cho F (x ) có ánh xạ liên thông điểm x int E Khi đó, với x E (F1 (1) Hệ 2.3 Trong định lý 2.1, thêm giả thiết tồn xˆ E cho G(xˆ) ( D) tồn (Z ,Y ) domF2 Giả sử thêm F1(x ), z Z y*, y F1, F2 ánh xạ C - lồi đa trị E z1 D với x 2Y ánh xạ đa trị lồi G (x ) y*, F (x ) Giả sử F1, F2 có miền hữu hiệu tập Y (y*, z *) Định lý 2.1 [2, Theorem 3.1] Cho C vô Nhắc lại số kết giới thiệu nghiên cứu Lin [2] F1, F2 : X F (x ) F2(x; z ) Nhận xét 2.3 Hệ 2.1 dạng suy rộng Định lý Moreau-Rockafellar vi phân tổng hai hàm lồi đơn trị giới thiệu nghiên cứu Rockafellar [17] (P1 ) WMinimize F (x ) s.t x E G 1( D) Nếu x nghiệm yếu toán Định lý sau dạng định lý thay phiên dùng để thiết lập điều kiện tối ưu tối ưu đa trị (P1 ) u F (x ) với u WMinF[E G 1( D)], tồn (y*, z *) C Định lý 2.2 [2, Theorem 3.3] (Định lý Fakas-Minkowski suy rộng) Cho X ,Y cho 114 D \ {(0, 0)} TRẦN HÒA HIỆP với z z *, z y*, F (x ) TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN u G(x ) z *,G(x ) x 0, Giả sử ngược lại hệ (8) có(3) nghiệm trên, tức là, tồn ( D), E (4) x G 1( D) cho hệ (8) E Điều kiện Fritz John KuhnTucker cho nghiệm yếu toán (P) dạng xấp xỉ Từ định lý nói trên, chúng tơi mở rộng kết cho trường hợp nghiệm xấp xỉ yếu cho toán (P) sau: thoả mãn Ta nhận F (x ) Định lý 3.1 Cho X ,Y Z không gian Banach Cho C D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z Cho ánh xạ đa trị F : E 2Y G : E 2Z tương ứng C - lồi D - lồi Giả sử thêm E : domF domG tập lồi X Nếu x phân tử - nghiệm yếu với giả thiết x u0 tức (P), toán b WMinF[E u0 F (x ) G 1( D)], b tồn (y*, z *) C G(x ) với z G(x ) ( D), y*, F (x ) z *,G(x ) y*, u0 F[E Định lý 2.2, tồn (y*, z *) C y*, F (x ) u0 x E z *,G(x ) G 1( D )], G(x ) C D y*, u y*,b Chú ý y*,b b Từ giả thiết x z (7) (11) int(C ) nên E E G(x ) ( D) G(x ) b (10) ( D) Do z G 1( D ) Lấy G(x ), nên từ (11), ta nhận hệ sau vô nghiệm E b z *,G(x ) cho ta x F (x ) u0 y*, u b , u F(x ), x E (9) z *,G(x ) G 1( D) cho F (x ) E, thay x x , ta (5) WMinF [E x 0, Từ bất đẳng thức (9), thay u u - nghiệm yếu toán (P), tức là, b z *,G(x ) Để kết thúc chứng minh, chứng minh (5) thoả mãn Thật vậy, từ (6), cho ta int(C ), Nên u0 b tức (6) thoả mãn Chứng minh Chứng minh Định lý tương tự chứng minh Lin [2] Trước hết, ta chứng minh x u0 D \ {(0,0)} cho y*, u0 E -nghiệm yếu Từ kết hệ (8) vô nghiệm, theo (6) x0 b không toán (P), hay điều mâu thuẫn với (7) D \ {(0, 0)} y*,b , b - tối tiểu yếu tập G 1( D)] mâu thuẫn điểm y*, u z *, z u0 D Khi đó, theo ii) Định nghĩa 2.3, điểm u0 cho y*,b int D C z *, z Do z (8) 115 y*,b D theo chứng minh SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY cho ta z * No 71 (05/2020) Vì Giả sử ngược lại y* (y*, z *) (0, 0), nên z * Do đó, D nên z *, z 0 z *, z Tóm lại, y*,b z *, z Nhận xét 3.1 Trong Định lý 3.1, , kết thu Định lý 2.3 Chúng cần đến điều kiện sau xˆ E : G(xˆ) ( intD) với z G(x ) (z ) y*,b y0 , Y (z ) ], (G(x )) (12) x E D z z *, z 0 u0 b z *,G(x ) tức là, y*, u z *, v y0 Để đến kết luận Hệ quả, trước tiên, chứng minh với Y cho (z ) : z *, z y0 : z *, s , từ định nghĩa nón Do C , dẫn C Qua ta Hơn nữa, (13) và, chúng có C , ta nhận kết (z ) y* C y *, y :Z xđếnEh, C Thế nên (D) (Z ,Y ) có b , x E, u F (x ), v G(x ) (14) y*, u0 y* Xét đối cực D D cho ta đó, từ giả thiết C - nón lồi y0 (13) 0, intC thể chọn y cho y*, y0 ta đặt y*, F (x ) , lấy y0 , ta có G(x ) ( D) cho y*,b ] Dễ dàng kiểm chứng toán tử tuyến tính, liên tục Ở (D) C , bởi, với h (D) h (s ) tồn s D cho z *, s y , Chứng minh Do giả thiết Định lý 3.1, tồn (y*, z *) (0, 0) tập hợp C Y Do tính chất nón y* ánh xạ F (x ) -WMinimize y*,b y0 , [ Thật vậy, intC C cho x - nghiệm yếu toán: (P2 ) (Z ,Y ) cho ( D), cho [ (16) Tiếp theo tồn Hệ 3.1 Giả sử với giả thiết Định lý 3.1 điều kiện ( ) thoả mãn Khi đó, tồn (Z ,Y ) tồn y0 int D Chú ý từ giả thiết có xˆ E cho Lấy G(xˆ) ( int D) z G(xˆ) ( int D), có z *, z Tuy nhiên, từ (14), với 0, dẫn đến điều y* , kéo theo z *, z vơ lý Vậy phải có y* Định lý chứng minh xong đây: ( ) 0, z [ y*,b y0 , Y ] Cuối cùng, ta x , 0, y intC - nghiệm yếu toán (P2 ) Chú ý (15) 116 TRẦN HỊA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN - nghiệm yếu tốn (P) x Điều có nghĩa x F (x ) G 1( D ) E toán (P2 ) F (x ), u0 b Chú ý 3.1 , kết Trong Hệ 3.1, thu Corollary 3.6 nghiên cứu Lin [2] G 1( D )] WMinF [E Ta cần chứng minh u0 b F (x ) WMin (G(x )) Chú ý 3.2 x E Giả sử ngược lại v F (x ) Khi Y (G(x )) : v x E Khi đó, tồn x v F (x ) (G(x )), u0 (z ), z C u0 b v F (x ), w Cũng (y * F )(x ) thay cho y *, F (x ) intC , (G(x )), y u0 v b intC , [y b (z )] w intC Từ (15), có y*, u0 [y (z )] z *, z y0, nên ta nhận Vì (z ) y*, u0 b [y b z *, z y0 ] 0, toán (P), tức u0 hay y*, u0 b u0 z *, z y*, y0 b y*, y b F (x ) WMinF[E G 1( D)], b tồn (y*, z *) C 1, ta Mà y *, y0 y*, u0 y*, y dùng Định lý 3.2 Cho X ,Y Z không gian Banach Cho C D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z Cho ánh xạ đa trị F : E 2Y G : E 2Z tương ứng C - lồi D - lồi Giả sử thêm E : domF domG tập lồi X Nếu x phân tử - nghiệm yếu nên, u0 X, Phần lại báo dành để trình bày diều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John dạng Karush-KuhnTucker cho - nghiệm yếu toán (P) G(x ) cho v , x0 F (x ; y0 ) thay cho b ,F :X y0 F (x ), dùng ký hiệu F (x ; y0 ) E cho tức là, tồn y hay w - yếu tức là, x nghiệm u thoả mãn u0 (G(x )), x E int(C ), D \ {(0, 0)} cho z *, z , điều trái với (14) Do đó, u0 y*,b b với z nghiệm yếu tập 117 w z *, z G(x ) ( D), (17) (y* F(.) z * G(.))(x 0; y*, u0 z *, z ) (18) SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 71 (05/2020) Chứng minh Giả thiết cho x - tối tiểu yếu toán (P), tức u0 b G 1( D )] WMinF [E Theo Định lý 3.1, tồi (y*, z *) C với z y*, F(x ) D \ {(0, 0)} cho y*,b z *, z G(x ) ( D), z *,G(x ) y*, u0 (19) y*,b , Từ (20) với z *, z toán x E (20) u0 (19), cho ta z *, z y*, F (x ) x0 y*, F (x ) H (.) : z *,G(x ) w y*, F (.) w WMinF[E H ( x ; y*, u0 z0 z *, z ), ( y* F (.) z * G(.))(x 0; y*, u0 G 1( D)], b G(x ) y*,b y0 , [ int(C ), C cho ( D), ta có w (F Y ], G )(x ; u0 G(x ) [ y*,b y0 , Y ], - yếu x nghiệm z *, z ) toán (P2 ), tức x - nghiệm yếu toán WMinimize F (x ) (G(x )) x E Vì vậy, (y*, z *) C Ta viết v0 x0 E G 1( D), v0 v0 D \ {(0, 0)} cho G(x ) ( D), (z )) ( D) ta có Hệ 3.2 Khi 0, với giả thiết Định lý 3.2, giả thiết thêm hai hàm F G liên thơng x kết luận định lý tồn với z F (x ) (Z ,Y ), y0 (z ) Trong Định lý 3.2, 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu kết Theorem 3.7 nghiên cứu Lin [2], phát biểu dạng Hệ sau: z *, z u0 Chứng minh Theo Hệ 3.1, tồn (Z ,Y ), y0 C , cho với z *,G(.) , hay b theo Nhận xét 2.2, tức x E Đặt (P), (z ) - nghiệm toán Min (z * G)(x 0; z *, z ) (22) - nghiệm yếu với z z *,G(x ) Điều kéo theo w Nếu x tồn Chú ý y*, u0 (y* F )(x 0; y*, u0 ) Định lý 3.3 Cho X ,Y Z không gian Banach Cho C D nón lồi, nhọn có phần khác rỗng tương ứng Y Z Cho ánh xạ đa trị F : E 2Y G : E 2Z tương ứng C - lồi D - lồi Giả sử thêm E : domF domG tập lồi thoả mãn X điều kiện F (x ) u0 w u0 (21) 118 b F (x ), z WMin F (x ) ( F (x ) ( G )(x ) G )(x ) x E u0 (z ) với G(x ) Vậy, ta TRẦN HÒA HIỆP u0 (z ) TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN b F (x ) WMin ( G )(x ) - (F Nên, G)(x 0; u (z 0`)) u0 -WMinF[E cho z 0 toán định lý tồn cho với (z ) Y w z0 (Z ,Y ), y0 G(x ) C ( D), ta có G(x ; z ) Để kết thúc báo này, giới thiệu trường hợp đặc biệt hoá Định lý , ký hiệu toán 3.3, Y Z lý bỏ qua ánh domG E tập lồi X Giả sử tồn xˆ E cho G(xˆ) (int ) Khi đó, x G(x ) ( ) , 0] (F G )(x ; u0 z ) w F (x ; u0 ) và G(x ; z ) w Kết luận Với khái niệm vi phân yếu cho hàm véc tơ, báo đề xuất dạng - vi phân yếu cho hàm đa trị Nghiệm yếu xấp xỉ cho tốn tối ưu đa trị quan tâm Từ đó, điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John KuhnTucker cho tốn tối ưu đa trị có ràng 0, điều buộc thiết lập Khi kiện xấp xỉ thu kết Lin [2] (Pr ) thay cho (P) Phần chứng minh Định - lồi đa trị domF w )] tồn định lý tồn z G(x ) ( ) cho z w Định lý 3.4 Cho F,G : E [ với Hệ 3.3 Khi 0, với giả thiết Định lý 3.4, giả thiết thêm hai hàm F G liên thông nghiệm yếu x kết luận F (x ; u0 ) G 1( 0, z (Pr ) Trong Định lý 3.4, 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu kết Corollary 3.9 [2], phát biểu dạng Hệ sau: Hệ 3.3 Khi 0, với giả thiết Định lý 3.2, giả thiết thêm hai hàm F G liên thông nghiệm yếu x kết luận xạ 0, Trong Định lý 3.3, 0, kết hợp với Định lý 2.1, ta thu kết Theorem 3.8 nghiên cứu Lin [2], phát biểu dạng Hệ sau: yếu x E - nghiệm 119 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 71 (05/2020) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J Borwein, “Multivalued convexity and optimization: A unified approach to inequality and equality constraints”, Math Oper Statist, 11, 235-248, 1980 [2] L.J Lin, “Optimization of Set-valued Functions”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 186, 30-51, 1994 [3] W Song, “Duality for Vector Optimization of Set-Valued Function”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 201, 212-225, 1996 [4] S.M Guu, N.J Huang, J Li, “Scalarization approaches for set-valued vector optimization problems and vector variational inequalities”, Journal of Mathematial Analysis and Applications, 356, 564-576, 2009 [5] E Hernádez, L Rodríguez, and M Sama, “On Solutions of Set-Valued Optimzation Problems”, Computer and Mathematics with Applications, 60, 1401-1408, 2010 [6] Khan A, Tammer C and Zălinescu C, Set-valued Optimization: An introduction with applications Vector optimization, Springer, 2015 [7] P Loridan, “ - solutions in vector minimization problems” Journal of Optimization Theory and Applications, 43, 265-276 1984 [8] Q Qiu and X Yang, “Some properties of approximate solutions for vector optimization problem with set-valued functions”, Journal of Global Optimization, 27, 1-12, 2010 [9] C Gutiéreez, B Jiménez and V Novo, “Optimality conditions via scalarization for a new e-efficiency concept in vector optimization problems”, European Journal of Operational Research, 201, 11-22, 2010 [10] C Guitérrez, B Jiménez, V Novo, and L Thibault, “Strict approximate solutions in set-valued optimization with applications to the approximate Ekeland variational principle”, Nonlinear Analysis, 73, 3842-3855, 2010 [11] M Alonso Durán and L Rodríguez-Marín, “On approximate solutions in set-valued optimization problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics, 326, 4421-4427, 2012 [12] B Soleimani and C Tammer, “Optimality conditions for approximate solutions of vector optimization problems with variable ordering structures”, Bulletin of the Iranian Mathematical Society, 42, 5-23 2016 [13] M Dhingra and C.S Lalitha, “Approximate solutions and scalarization in set-valued optimization”, Optimization, 66, 1793-1805, 2017 [14] H.B Soleimani, Vector Optimization Problems with Variable Ordering Structures, PhD Dissertation, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg, Germany, 2015 120 TRẦN HỊA HIỆP TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN [15] G.A Chen, X Huang, X Yang, Vector Optimization: Set-Valued and Variational Analysis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, Germany, 2005 [16] Hiriart-Urruty, and Lemarechal, Convex Analysis and Minimization Algorithms, Volumes and 2, Springer Verlag, Berlin, Germany, 1993 [17] R.T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, Newyork, 1970 [18] W Grecksch, F Heyde, G Isac, Chr Tammer, “A characterization of approximate solutions of multiobjective stochastic optimal control problems”, Optimization, 52(2), 153-170, 2003 [19] W.D Rong and Y.N Wu, “ - Weak mimimal solutions of vector optimization problems with set-valued maps”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 106, 569-579, 2000 [20] D.S Kim and T.Q Son, “An approach to - duality theorems for nonconvex semiinfinite multiobjective optimization problems”, Taiwanese Journal of Mathematics, 22, 1261-1287, 2018 [21] T Tanio and Y Sawaragi, “Conjugate maps and duality in multiobjective optimization”, Journal of Optimaization Theory and Applications, 31, 473-499, 1980 Ngày nhận bài: 15/4/2020 Biên tập xong: 15/5/2020 121 Duyệt đăng: 20/5/2020 ... trị Nghiệm yếu xấp xỉ cho toán tối ưu đa trị quan tâm Từ đó, điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John KuhnTucker cho tốn tối ưu đa trị có ràng 0, điều buộc thiết lập Khi kiện xấp xỉ thu kết Lin... đầu chúng tơi quan tâm thiết lập điều kiện tối ưu xấp xỉ dạng Fritz-John Kuhn-Tucker cho dạng toán tối ưu đa trị (P) Cần biết rằng, dạng nghiệm xấp xỉ cho toán tối ưu véc tơ giới thiệu Loridan [7]... yếu cho hàm đa trị Phần cuối dành để trình bày kết đóng góp điều kiện tối ưu xấp xỉ cho tốn tối ưu đa trị Các ví dụ giới thiệu chương Kiến thức Qua khảo sát kết Lai-Jiu Lin việc thiết lập điều kiện