Trong bài viết này, chúng tôi xây dựng điều kiện chính quy cần và đủ để có điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu DC với ràng buộc hệ bất phương trình lồi và một tập lồi. Đồng thời, chúng tôi cũng thiết lập điều kiện chính quy cần và đủ để có điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu phân thức và bài toán tối ưu lồi yếu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi và một tập lồi.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) ĐIỀU KIỆN CHÍNH QUY CHO BÀI TỐN TỐI ƯU DC VỚI RÀNG BUỘC HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LỒI VÀ TẬP LỒI Huỳnh Ngọc Cảm(*) Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi xây dựng điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu cho toán tối ưu DC với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi Đồng thời, chúng tơi thiết lập điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu cho toán tối ưu phân thức toán tối ưu lồi yếu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi Từ khóa: BCQ tương ứng tập lồi, bất phương trình lồi tập lồi, lồi yếu, phân thức, điều kiện cần đủ Giới thiệu Bài toán tối ưu DC toán tối ưu hàm mục tiêu biểu diễn thành hiệu hai hàm lồi Nhiều toán thực tế mơ hình hóa dạng toán tối ưu DC [7], [10] Bài toán tối ưu DC quan tâm nghiên cứu tác giả [5], [9] Trong tối ưu lồi, điều kiện quy khái niệm quan trọng nghiên cứu tác giả [1], [2] Một điều kiện quy quan trọng kể đến BCQ (basic constraint qualification) BCQ lần đầu giới thiệu Hiriart-Urruty Lemaréchal [5] Sau khái niệm mở rộng nghiên cứu tác giả [3], [4] Li cộng [6] nghiên cứu điều kiện quy BCQ cho tốn tối ưu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi chứng tỏ BCQ điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu tồn cục lớp toán Năm 2011, Saeki cộng [9] xét toán tối ưu DC sau f ( x) g ( x), (1.1) i ( x) 0, i I , f ,i : X {}, i I , hàm lồi, thường, nửa liên tục g : X {} hàm lồi, nửa liên tục dưới, X không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương, I tập số Các tác giả chứng tỏ BCQ điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu DC (1.1) Đồng thời, họ áp dụng kết đạt để nghiên cứu toán tối ưu phân thức toán tối ưu lồi yếu, hai tốn chúng tơi trình bày chi tiết mục sau (*) Trường Đại học Đồng Tháp 64 Trong báo này, mở rộng kết [9] cho toán tối ưu DC với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi sau f ( x) g ( x), i ( x) 0, i I , (1.2) x A, A tập lồi Cụ thể, chúng tơi thiết lập điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu DC (1.2) Sau áp dụng kết để chứng minh điều kiện cần đủ để có điều kiện tối ưu cho toán tối ưu phân thức toán tối ưu lồi yếu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi Một điều cần lưu ý rằng, trường hợp tổng quát, tốn (1.2) khơng thể đưa tốn (1.1) tập A khơng cần đóng Tương tự [9], báo thiết lập chứng minh BCQ tương ứng với tập điểm điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu tốn tối ưu DC (1.2) Đồng thời, chúng tơi thiết lập điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu phân thức toán tối ưu lồi yếu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi Cuối chúng tơi đưa ví dụ cho kết đạt Trước tiên, trình bày số khái niệm tính chất quan trọng tối ưu lồi mà sử dụng báo (xem [5], [6], [8]) Mở đầu Cho X không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương X * không gian đối ngẫu X Kí hiệu x* , x giá trị hàm x* X * x X Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Giả sử K X , tích tập tập K xác định * * K {ta : t , a K } Qui ước K {0} K Hàm tập K , kí hiệu K , định nghĩa sau 0, x K , K ( x) , x K Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho tập lồi X x Khi nón pháp tuyến tập x , kí hiệu N (, x ), định nghĩa sau N (, x ) : {x* X * | x* , x x 0, x } Định nghĩa 1.2 ([8]) Cho hàm : X {} Khi (1) Miền hữu hiệu hàm , kí hiệu dom , định nghĩa sau dom {x X | ( x) } (2) Hàm gọi thường dom (3) Tập hợp đồ thị , kí hiệu epi , định nghĩa sau epi {( x, ) X | x dom , ( x) } (4) Hàm liên hợp , kí hiệu: * : X * {}, xác định sau ( x ) sup{ x* , x ( x), x X }, x* X * * * Định nghĩa 1.3 ([8]) Cho hàm {} hàm lồi, thường x dom Dưới vi phân x , kí hiệu ( x ), xác định : X ( x ) {x* X * | x* , x x ( x) ( x )} Trong toán (1.2), gọi S : {x X | i ( x) 0, i I } giả sử S A Các tác giả [3], [6] giới thiệu khái niệm BCQ BCQ tương ứng tập sau Định nghĩa 1.4 ([3]) (1) Lớp hàm {i , i I } thỏa mãn BCQ x S N ( S , x ) cone co i ( x ) iI ( x ) (2) Lớp hàm {i , i I } thỏa mãn BCQ tương ứng tập A x S A N ( S A, x ) coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) I ( x ) {i I ,i ( x ) 0} Nhận xét 1.5 ([6]) Vì N ( S A, x ) coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) nên lớp hàm {i : i I } thỏa mãn BCQ tương ứng A x S A N ( S A, x ) coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) Kí hiệu: (I ) { (i )iI | i i I ,card{i I | i 0} } Saeki cộng [9] xây dựng điều kiện cần đủ để có điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu DC (1.1) sau Định lí 1.6 ([9]) Giả sử {i , i I } lớp hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} x S Khi mệnh đề sau tương đương: (1) Lớp hàm {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ x (2) Giả sử f hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} cho dom f S epi f * epi S* đóng yếu* giả sử g : X hàm lồi, nửa liên tục Khi x nghiệm địa phương f g S với v g ( x ) tồn (i )iI (I ) cho ii ( x ) với i I v f ( x ) i i ( x ) iI Điều kiện cần cho nghiệm địa phương tốn tối ưu DC khơng ràng buộc giới thiệu Hiriart-Urruty [6] sau Định lí 1.7 ([5]) Giả sử f : X {} hàm lồi, thường, nửa liên tục hàm lồi, nửa liên tục Nếu g:X x X nghiệm địa phương f g X g ( x ) f ( x ) 65 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Sử dụng lập luận [6, page 14], chúng tơi có bổ đề sau Bổ đề sử dụng chứng minh kết chúng tơi Bổ đề 1.8 ([6]) Giả sử f : X {} hàm lồi, thường, nửa liên tục dưới, A tập lồi cho dom f A nghiệm địa phương ( f S A ) g X Theo Định lí 1.7, ta có g ( x ) ( f S A )( x ) Theo Bổ đề 1.8, ta có ( f S A )( x ) f ( x ) S A ( x ) f ( x ) N ( S A, x ) f ( x ) N ( S A, x ) epi f * epi A* đóng yếu* Khi với x dom f A, ta có ( f A )( x ) f ( x ) A ( x ) Kết Trong định lí sau đây, chúng tơi thiết lập chứng minh BCQ tương ứng với tập A điểm điều kiện quy cần đủ để có điều kiện tối ưu tốn tối ưu DC (1.2) Định lí 2.1 Giả sử {i , i I } lớp hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} x S A Khi mệnh đề sau tương đương: (1) Lớp hàm {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ tương ứng tập A x (2) Giả sử f hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} cho đóng dom f S A epi f epi yếu* giả sử g : X hàm lồi, nửa liên tục Khi x nghiệm địa phương f g S A với v g ( x ) * * SA tồn (i )iI (I ) cho ii ( x ) với i I v f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI Chứng minh (1) (2) Giả sử {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ tương ứng tập A x , nghĩa N ( S A, x ) coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) Giả sử f : X {} cho dom f S A epi f * epi S* A đóng yếu*, g : X hàm lồi, nửa liên tục Vì x nghiệm địa phương của f g S A nên x nghiệm địa phương ( f S A ) g X x 66 f ( x ) coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) Đặt i i I f ( x ) I ( x ), ( x ) N ( A, x ) f ( x ) ( x ) N ( A, x ) i i i iI ( x ) i iI Do (2) thỏa mãn (2) (1) Giả sử (2) thỏa mãn lấy * x N (S A, x ) Khi x* , x x 0, x S A Tương đương, x* ( x ) x* ( x), x S A Khi x nghiệm địa phương x* S A Đặt f x* g 0, x nghiệm địa phương f g S A Do tồn (i )iI ii ( x ) với i I (I ) cho x* i i ( x ) N ( A, x ) iI Do x* i i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) N ( A, x ) coneco i i iI ( x ) iI ( x ) i ( x ) N ( A, x ), nên ta có N ( S A, x ) coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) Do đó, lớp hàm {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ tương ứng tập A x Vậy (1) thỏa mãn Tiếp theo áp dụng kết Định lý 2.1 để thiết lập điều kiện cần đủ để có điều kiện tối ưu cho toán tối ưu phân thức với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi sau f ( x) , g ( x) i ( x) 0, i I , x A, Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP f : X {} hàm lồi, thường, nửa liên tục dưới, khơng âm S A g : X hàm lồi, dương S A Định lí 2.2 Giả sử {i , i I } lớp hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} x S A Khi mệnh đề sau tương đương: (1) Lớp hàm {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ tương ứng tập A x (2) Giả sử f hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} cho dom f S A epi f * epi S* A đóng yếu*, f không âm S A g : X hàm lồi, nửa liên tục dương S A Khi x nghiệm địa phương f ( x) S A tồn 0 cho với g ( x) v 0g ( x ) tồn (i )iI ii ( x ) với i I (I ) cho v f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI f (x ) Chứng minh (1) (2) Đặt 0 g(x ) f ( x) Khi đó, với x S A, ta có 0 g ( x) Suy 0 g ( x) f ( x) 0 g ( x) f ( x ) f ( x) f ( x ) 0 g ( x) 0 g ( x ) f ( x) f ( x ) Do ( f 0 g )( x ) ( f 0 g )( x), x S A Suy x nghiệm địa phương f 0 g S A Theo Định lí 2.1, với v 0g ( x ) tồn (i )iI (I ) cho ii ( x ) với i I v f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI (2) (1) Đặt f ( x) x* , x x g ( x) 1, x S A Khi đó, x nghiệm f ( x) địa phương , ta có x nghiệm địa g ( x) phương f ( x) x* , x x S A, suy f ( x ) x* , x x* , x , x S A Do đó, x* N (S A, x ) theo giả thiết (2), tồn (i )iI (I ) cho ii ( x ) Do x* i i ( x ) N ( A, x ), nên iI x* coneco i ( x ) N ( A, x ) iI ( x ) Tiếp theo, áp dụng Định lí 2.1 cho tốn tối ưu lồi yếu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi không gian Banach thực, trơn Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm sử dụng mục Cho X không gian Banach thực với chuẩn Để tiện lợi, kí hiệu chuẩn X * Ánh xạ đa trị J : X X * định nghĩa sau 2 J ( x) {x* X * | x* , x x x* }, x X Gọi B( X ) {x X | x 1} hình cầu đơn vị X Khi X gọi trơn x ty x giới hạn lim tồn với t 0 t x, y B( X ) Trong trường hợp này, ánh xạ đối ngẫu J X đơn trị nên tập J ( x) xác định phần tử J ( x) với x X Một hàm g gọi lồi yếu viết dạng g h với h hàm lồi Chúng ta xét toán lồi yếu sau f ( x) i ( x) 0, i I , x , x A, f : X {} hàm lồi, thường, nửa liên tục dưới, Chúng tơi có kết sau không gian Banach trơn Định lí 2.3 Giả sử {i , i I } lớp hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới 67 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP {} , X trơn x S A Khi mệnh đề sau tương đương: (1) Lớp hàm {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ tương ứng tập A x (2) Giả sử f hàm lồi, thường, nửa liên tục từ X tới {} cho dom f S A epi f * epi S* A đóng yếu* Khi x nghiệm địa phương f ( x) x S A tồn (i )iI (I ) cho ii ( x ) với i I J ( x ) f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI Chứng minh Từ X không gian Banach trơn, suy J hàm đơn trị Đặt g ( x) x , x S A Khi đó, g ( x ) J ( x ) Theo Định lí 2.1, ta có ta có J ( x ) f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI Ngược lại, lại đặt g ( x) x , x S A Theo giả thiết (2), ta có J ( x ) f ( x ) i i ( x ) N ( A, x ) iI Theo Định lí 2.1, ta có {i , i I } thỏa mãn điều kiện BCQ tương ứng A x Ví dụ 2.4 Xét toán tối ưu DC sau 1 | x |3 | x | x , max{0, x} 0, x [1,1) Ta có X , I 1, f ( x) | x |3 | x |, 1, 1 ( x) max{0, x}, S [0, ), A [1,1) Khi f 1 hàm lồi, liên tục {1} thỏa mãn BCQ điểm S A Giả sử x nghiệm f ( x) x Theo Định lí 2.3, tồn 1 cho x f ( x ) 11 ( x ) N ( A, x ) 11 ( x ) Khi x 0, từ f ( x ) x {1} 1 ( x ) {0} N ( A, x ) {0}, ta có x x {1}, x nghiệm phương trình x x 0, phương trình vơ nghiệm Khi x 0, từ 1 ( x ) x [1,1] 1 ( x ) [1,0] N ( A, x ) {0}, ta có [1,1] 1[1,0] [1 1,1] nghiệm tồn cục tốn./ Tài liệu tham khảo [1] L T H An, P D Tao, and D N Hao (2003), “Solving an inverse problem for an elliptic equation by DC programming”, J Glob Optim., (25), pp 407-423 [2] L T H An and P D Tao (2005), “The DC (difference of convex functions) programming and DCA revisited with DC models of real world non-convex optimization problems”, Ann Oper Res., (133), pp 23-46 [3] H Bauschke, J Borwein, and W Li (1999), “Strong conical hull intersection property, bounded linear regularity, Jameson’s property (G), and error bounds in convex optimization”, Math Program., (86), pp 135-160 [4] H H Bauschke, J M Borwein, and W Li (2002), “Nonlinearly constrained best approximation in Hilbert space: The strong chip and the basic constraint qualification”, SIAM J Optim., (13), pp 228-239 [5] J B Hiriart-Urruty and C Lemaréchal (1993), Convex analysis and minimization algorithmsi, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, Germany [6] C Li, K F Ng, and T K Pong (2008), “Constraint qualifications for convex inequality systems with applications in constrained optimization”, SIAM J Optim., (19), pp 163-187 [7] V Jeyakumar, A Rubinov, B.M Glover, and Y Ishizuka (1996), “Inequality systems and global optimization”, J Math Anal Appl., (202), pp 900-919 68 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) [8] J Peypouquet, Convex optimization in normed spaces: Theory, methods and examples (2015), Springer, Cham [9] Y Saeki, S Suzuki and D Kuroiwa (2011), “A necessary and sufficient constraint qualification for DC programming problems with convex inequality constraints”, Scientiae Mathematicae Japonicae, pp 169-174 [10] M V Ramana, L Tucel, and H Wolewicz (1997), “Strong duality for semi-definite grogramming”, SIAMJ Optim., (7), pp 644-662 THE CONSTRAINT QUALIFICATION FOR DC PROGRAMMING PROBLEMS WITH CONVEX SET CONSTRAINTS Summary In this paper, we provide a necessary and sufficient constraint qualification for optimal conditions in DC programming problems with constraints of convex inequality systems and a convex set We also set up necessary and sufficient qualifications for optimal conditions in fractional and weakly convex programming problems with constraints of convex inequality systems and a convex set Keywords: BCQ, convex inequality and convex set, weakly convex, fractional, necessary and sufficient qualification Ngày nhận bài: 21/02/2019; Ngày nhận lại: 16/4/2019; Ngày duyệt đăng: 19/4/2019 69 ... điều kiện BCQ tương ứng tập A x Vậy (1) thỏa mãn Tiếp theo áp dụng kết Định lý 2.1 để thiết lập điều kiện cần đủ để có điều kiện tối ưu cho tốn tối ưu phân thức với ràng buộc hệ bất phương trình. .. tối ưu lồi yếu với ràng buộc hệ bất phương trình lồi tập lồi khơng gian Banach thực, trơn Trước hết, chúng tơi trình bày số khái niệm sử dụng mục Cho X không gian Banach thực với chuẩn Để tiện... địa phương f g S với v g ( x ) tồn (i )iI (I ) cho ii ( x ) với i I v f ( x ) i i ( x ) iI Điều kiện cần cho nghiệm địa phương tốn tối ưu DC khơng ràng buộc giới thiệu