Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết này trình bày kết quả nghiên cứu của chúng tôi về ứng dụng của tập lồi đa diện trong giải các bài toán thực tế trong chương trình Đại số lớp 10. Cụ thể, chúng tôi đã phát biểu các bài toán thực tế về cực trị trong chương trình Đại số lớp 10 theo ngôn ngữ của Giải tích lồi và sử dụng các tính chất của hàm lồi để giải chúng.
VJE Tạp chí Giáo dục, Số 457 (Kì - 7/2019), tr 37-40; 36 SỬ DỤNG KIẾN THỨC VỀ TẬP LỒI ĐA DIỆN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ NỘI DUNG THỰC TIỄN Ở LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nguyễn Thị Tuyết Mai - Phạm Quỳnh Trang Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Ngày nhận: 12/2/2018; ngày chỉnh sửa: 29/4/2019; ngày duyệt đăng: 21/5/2019 Abstract: This article discusses our research results on the application of Polyhedral convex sets to solve the real problems in teaching Algebra in grade 10 Specifically, we have stated practical problems of extremes in Algebraic curriculum in grade 10 in the language of convex analysis and use the properties of convex function to solve real problems We also built algorithms and programming on Pascal software to solve some practical problems of that type of problems Keywords: Polyhedral convex set, practical problem, grade 10 Mở đầu Nghị số 44/NQ-CP ngày 09/6/2014 Chính phủ đổi toàn diện GD-ĐT xác định vả rõ “Triển khai đổi chương trình giáo dục theo hướng tinh giản, đại, thiết thực; phát triển lực phẩm chất người học; trọng giáo dục lí tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống; nâng cao lực ngoại ngữ, tin học; rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; phát triển khả sáng tạo ý thức tự học” [1] Tiếp đó, Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn rõ đặc trưng quan trọng Chương trình mơn Tốn “chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn, …, gắn với xu hướng phát triển đại kinh tế, khoa học, đời sống xã hội, …” [1] Theo đó, chương trình mơn Tốn trọng vào mạch kiến thức gắn liền với sống Các chuyên đề ứng dụng Toán học giúp học sinh biết vận dụng kiến thức toán học giải số vấn đề thực tế sống đặt đầu tư, lãi suất vay nợ tổ chức tín dụng, … Hiện có số nghiên cứu trước vấn đề giải tốn có nội dung thực tiễn Nghiên cứu Lê Xuân Trường [3] đề xuất hướng khai thác toán góc nhìn định hướng đổi chương trình mơn Tốn trường phổ thơng, có hướng tìm ứng dụng thực tiễn Nghiên cứu Nguyễn Thị Châu Giang Lê Thị Kiều Diễm (2015) đề xuất số biện pháp rèn luyện kĩ toán học hố tình thực tiễn cho học sinh thơng qua dạy học nội dung tổ hợp, xác xuất [4] Nghiên cứu Trần Cường Nguyễn Thuỳ Duyên (2018) làm rõ số nội dung quan trọng lí thuyết giáo dục tốn học gắn với thực tiễn sâu vào khai thác khái niệm toán thực tiễn nhằm khai thác toán thực tiễn dạy học mơn Tốn cho học sinh phổ thơng [5] Trong Đại số 10 phần Hệ bất phương trình bậc hai ẩn, toán thực tế giải phương pháp 37 đồ thị Cách làm thường tốn thời gian phải tiến hành vẽ hình sau tính tốn Vì vậy, việc tìm cách giải toán khắc phục nhược điểm phương pháp đồ thị việc làm cần thiết Lí thuyết tập lồi tính chất tập lồi có vị trí quan trọng tốn học, liên quan đến hầu hết ngành tốn học giải tích, hình học, tối ưu hóa, Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản biểu diễn thơng qua tập (hữu hạn) đỉnh cạnh [6] Nhiều tốn tối ưu tuyến tính giải hiệu nhờ khai thác cấu trúc tập lồi đa diện, đặc biệt cấu trúc đỉnh, cạnh diện Trong Đại số 10 có số toán thực tế cực trị mà việc giải chúng đưa giải tốn cực đại hàm lồi với miền ràng buộc đa giác lồi Trong nghiên cứu này, nghiên cứu sử dụng tích chất hàm lồi tập lồi đa diện để đưa thuật toán giải số tốn có nội dung thực tiễn, khơng phải vẽ hình, biểu diễn tập lồi hệ trục toạ độ Nội dung nghiên cứu 2.1 Một số khái niệm kết liên quan Định nghĩa 2.1 Một tập lồi gọi tập lồi đa diện giao họ hữu hạn nửa khơng gian đóng Một tập lồi đa diện cịn gọi khối đa diện Nói cách khác, khối đa diện tập nghiệm hệ hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính có dạng a i , x bi ,i 1, ,m dạng ma trận: Ax b , với a11 a i i i i , a (a1 ,a , ,a n ) A m a1 a12 a 22 a 2m a1n a n2 m an Email: maisptn@gmail.com VJE Tạp chí Giáo dục, Số 457 (Kì - 7/2019), tr 37-40; 36 b1 b ma trận cỡ m n b bm Trong trường hợp n , khối đa diện đa giác lồi Định nghĩa 2.2 Cho C tập lồi R n Tập lồi F tập lồi C gọi mặt C đoạn thẳng C có điểm thuộc F (trừ hai đầu mút) nằm hồn tồn F , tức x, y C Nếu ta 1 x y F, x, y F có Mệnh đề 2.1 Kí hiệu D khối đa diện xác định hệ bất đẳng thức tuyến tính a i , x bi , i 1, , m đặt I0 i a i , x bi , x D Khi đó, tập F D mặt D F x a i , x bi ,i I; a i , x bi ,i I với tập số I thỏa mãn I0 I 1, , m Định nghĩa 2.2 Một mặt - chiều (điểm cực trị) D gọi đỉnh D Hệ 2.1 Một điểm x D đỉnh D a i , x b i , i I, I n Hiển nhiên R n tập lồi Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.3 Cho ánh xạ f : R n R Khi đó: - Tập epif : x, y R n R f x y gọi đồ thị hàm f ; - f gọi hàm lồi R n epif tập lồi R n R Mệnh đề 2.2 Giả sử f hàm lồi R n D R n tập lồi đa diện khác rỗng không chứa đường thẳng, f bị chặn D Khi cực đại tương đối f D đạt hữu hạn điểm cực trị D Với n , mệnh đề 2.2 phát biểu sau: Giả sử f (x, y) hàm lồi, liên tục xác định đa giác lồi D R n Giả sử Ai (x i , yi ), i 1, n đỉnh Khi đó: D max max f (x1 , y1 ), f (x , y ), , f (x n , y n ) (x,y)D 38 2.2 Ứng dụng giải số tốn có nội dung thực tiễn Trong chương trình Đại số 10, hệ bất phương trình bậc hai ẩn nội dung khó Học sinh thường gặp khó khăn giải toán thực tế, đặc biệt tốn tìm cực trị Chúng tơi đưa thuật toán giải toán việc sử dụng tính chất khối đa diện Bài tốn Các tốn cực trị chương trình Đại số lớp 10 phát biểu sau: Cho D R n tập lồi đa diện đóng xác định hệ bất phương trình tuyến tính a i ,x b i,i 1, ,m Tìm max f x x D với f : R n R hàm lồi xác định D Các bước giải: Sử dụng kết tập lồi, trực tiếp hệ 2.1 mệnh đề 2.2 n , ta giải tốn cực trị chương trình Đại số lớp 10 theo bước sau: + Bước Phân tích tốn; + Bước Phát biểu tốn theo ngơn ngữ giải tích lồi + Bước Sử dụng kết tập lồi giải toán vừa đưa + Bước Kết luận Dưới số ví dụ minh hoạ cho việc thực bước trên: Ví dụ (VD 1, tr 279 [7]) Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm công ty hệ thống phát truyền hình Chi phí cho phút quảng cáo sóng phát 800.000 đồng, sóng truyền hình 4.000.000 đồng Đài phát nhận chương trình quảng cáo dài phút Do nhu cầu quảng cáo truyền hình lớn nên đài truyền hình nhận phát chương trình dài tối đa phút Theo phân tích, thời lượng phút quảng cáo, truyền hình có hiệu gấp lần sóng phát Cơng ty dự định chi tối đa 16.000.000 cho quảng cáo Cơng ty cần đặt thời lượng quảng cáo sóng phát truyền để hiệu nhất? Bài giải: * Phân tích tốn: Gọi thời lượng cơng ty đặt quảng cáo sóng phát x (phút) ( x ) , sóng truyền hình y (phút) ( y ) Chi phí cho việc 800000x 4000000y 16000000 hay x 5y 20 Theo điều kiện mà đài phát truyền hình đưa ra, ta có: x , y VJE Tạp chí Giáo dục, Số 457 (Kì - 7/2019), tr 37-40; 36 Hiệu chung quảng cáo là: x 6y x 5y 20 x 5 Với I 2;3 , ta giải hệ: y y * Phát biểu tốn theo ngơn ngữ giải tích lồi: Xác định x, y cho: M x, y x 6y đạt giá trị lớn với điều kiện x; y 5;0 đỉnh x 5y 20 x 5 D y y D; x 5y 20 x 5 Với I 2;4 , ta giải hệ: thấy không y y tồn đỉnh D ; x 5y 20 x 5 Với I 3;4 , ta giải hệ: thấy không y y tồn đỉnh D Vậy giá trị lớn M x,y x 6y đạt 5;3 , 20;0 , 5;0 Ta có: M 5;3 23 , M 20;0 20 , M 5;0 5 Vậy giá trị Hình Miền D tam giác màu trắng * Giải toán vừa đưa : Dễ thấy D tập lồi đa lớn M x;y 23, đạt 5;3 điểm diện nên theo mệnh đề 2.2 giá trị lớn M đạt điểm cực trị D đỉnh D Ta tìm đỉnh D theo hệ 2.1 * Kết luận: Vậy đặt thời lượng quảng cáo sóng phát phút truyền hình phút đạt hiệu cao Như vậy, giải tốn mà khơng cần vẽ đồ thị (như hình 1) Cách giải khơng giải toán mà tọa độ đỉnh số ngun mà cịn giải tốn mà tọa độ đỉnh khơng số nguyên Do đó, cách giải khắc phục vấn đề tồn phương pháp đồ thị Ví dụ Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, kilôgam sản phẩm loại I cần 2,1kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kilôgam sản phẩm loại II cần 3,7kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 1200 làm việc Nên sản xuất loại sản phẩm để mức lời cao nhất? Bài giải: * Phân tích tốn: Gọi số sản phẩm loại I cần sản xuất x kg x , số sản phẩm loại II cần sản xuất Xét với I 1;2 , I 1;3 , I 1;4 , I 2;3 , I 2;4 , I 3;4 x 5y 20 x 5 Với I 1;2 , ta giải hệ: y y x; y 5;3 đỉnh D ; x 5y 20 x 5 Với I 1;3 , ta giải hệ: y y x; y 20;0 đỉnh D ; y kg y x 5y 20 x 5 Với I 1;4 , ta giải hệ: thấy không y y tồn đỉnh D ; Theo đề để sản xuất x kg sản phẩm loại I y kg sản phẩm loại II thì: - Số nguyên liệu cần dùng 2,1x 3, 7y - Thời gian cần dùng 30x 15y 39 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 457 (Kì - 7/2019), tr 37-40; 36 Do đó, giá trị lớn M x;y 2037735,85, - Mức lời thu 40000x 30000y Theo giả thiết tốn ta có: 2,1x 3, 7y 200 , 30x 15y 1200 hay 2x y 80 * Phát biểu tốn theo ngơn ngữ giải tích lồi: Xác định x, y cho: M x, y 40000x 30000y đạt giá trị lớn với điều kiện 2,1x 3,7y 200 2x y 80 D x y Hình Miền D đa giác trắng Dễ thấy D tập lồi đa diện nên theo mệnh đề 2.2 giá trị lớn M đạt điểm cực trị D đỉnh D Ta tìm đỉnh D theo hệ 2.1 Kết là: 960 2320 +) x; y ; đỉnh D; 53 53 2000 +) x; y 0; đỉnh D ; 37 +) x; y 40;0 đỉnh D ; +) x; y 0;0 đỉnh D Vậy giá trị lớn M x, y 40000x 30000y đạt 960 2320 2000 điểm ; , 0;0 , 40;0 , 0; 37 53 53 Ta có: 960 2320 M ; 2037735,85 , 53 53 2000 M 0; 1621621, 62 , 37 M 0;0 , M 40;0 1.600.000 40 960 2320 đạt ; 53 53 Kết luận: Vậy cần sản xuất khoảng 18,1kg sản phẩm loại I 43,8kg sản phẩm loại II để có mức lời lớn Bằng cách giải tương tự, học sinh dễ dàng giải tập sau: Ví dụ (Bài 4.63, tr 282 [7]) Nhân dịp tết Trung Thu, xí nghiệp sản xuất bánh King muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, đậu, bột, trứng, mứt, Giả sử số đường chuẩn bị 300kg, đậu 200kg, nguyên liệu khác có nguồn cung đủ Sản xuất bánh Đậu xanh cần 0,06 kg đường, 0,08 kg đậu cho lãi 2.000 đồng Sản xuất bánh dẻo cần 0,07 kg đường, 0,04 kg đậu cho lãi 1.800 đồng Cần lập kế hoạch để sản xuất loại bánh để không bị động đường, đậu tổng số lãi thu lớn (nếu sản xuất bán hết)? Đáp số: 625 bánh đậu xanh 3750 bánh dẻo Ví dụ Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường, lít nước g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điển thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để số điểm thưởng lớn Đáp số: lít nước cam lít nước táo Ví dụ Một máy cán thép sản xuất hai sản phẩm thép thép cuộn (máy sản xuất hai loại thép lúc làm việc 40 tuần) Cơng suất sản xuất thép 250 tấn/giờ, công suất sản xuất thép cuộn 150 tấn/giờ Mỗi thép có giá 25 USD, thép cuộn có giá 30 USD Biết tuần thị trường tiêu thụ tối đa 5000 thép 3500 thép cuộn Hỏi cần sản xuất thép loại tuần để lợi nhuận thu cao Đáp số: 5000 thép 3000 thép cuộn Kết luận Nghiên cứu cho thấy khả khai thác ví dụ có nội dung thực tiễn q trình dạy học mơn Tốn Việc vận dụng số lí thuyết tập lồi, cách đơn giản, tương đương với lí thuyết trình bày sách giáo khoa lớp 10, hồn tồn giải nhiều tập có nội dung thực tiễn liên quan (như trình bày trên) Hi vọng kết nghiên cứu chúng tơi đóng góp dù nhỏ cho cơng đổi giáo dục phổ thông, đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội (Xem tiếp trang 36) VJE Tạp chí Giáo dục, Số 457 (Kì - 7/2019), tr 29-36 Kết luận Qua nghiên cứu trình MHH tốn học, biểu lực MHH tốn học, chúng tơi lí giải thiết kế sử dụng tình học tập có đặc điểm: tính mâu thuẫn; tính kết nối tốn học thực tiễn; tính mở có nhiều hướng giải khác nhau; tính cụ thể trực quan sinh động; tính phân bậc để hỗ trợ đánh giá lực MHH toán học HS Lời cảm ơn: Cơng trình thực tài trợ đề tài cấp Bộ, mã số B2018-TDV-08 Tài liệu tham khảo [1] Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn [2] Nguyễn Danh Nam (2016) Phương pháp mơ hình hóa dạy học mơn Tốn trường phổ thông NXB Đại học Thái Nguyên [3] Trần Vui (2014) Giải vấn đề thực tế dạy học toán NXB Đại học Huế [4] Matthias Ludwig - Binyan Xu (2009) A Comparative Study of Modelling Competencies Among Chinese and German Students Journal für Mathematik-Didaktik, Vol 31, pp 77-97 [5] Katja Maaβ (2006) What are modelling competencies? Freiburg Univercity of Education, ZDM, Vol 38 (2), pp 113-142 [6] Bộ GD-ĐT (2014) Tài liệu tập huấn PISA 2015 dạng câu hỏi theo OECD phát hành lĩnh vực Toán học [7] Mogens Niss (2018) Advances and research and development concering Mathematical, modelling in Mathematics Education Proceedings of the 8th ICMI-East Asia Regional Conference on Mathematics Education, 7-11 May 2018, Taipei, Taiwan, pp 26-36 [8] Nguyễn Bá Kim (2002) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm [9] Werner Blum and Mogens Niss (1991) Applied Mathematical problem solving, modelling, applictions, and link to other subjects state, trends and isues in Mathematics instruction Educational studies in mathematics, Vol 22, pp 37-68 [10] Werner Blum (1993) Mathematical modelling in mathematics education and instruction Teaching and learning mathematics in context, Edited by Breiteig (etc.), Ellis Horwood Limited, Chichester, pp 3-14 ĐỀ XUẤT QUY TRÌNH DẠY HỌC (Tiếp theo trang 28) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Giao - Nguyễn Hữu Quỳnh - Vũ Vǎn Tảo - Bùi Hiền (2001) Từ điển Giáo dục học NXB Từ điển Bách khoa 36 [2] Trần Thị Thanh Thuỷ (chủ biên, 2016) Dạy học tích hợp phát triển lực học sinh (quyển 2) NXB Đại học Sư phạm [3] Dự án Phát triển giáo viên tiểu học - Bộ GD-ĐT (2007) Lịch sử địa phương [4] Dự án Phát triển giáo viên tiểu học - Bộ GD-ĐT (2007) Địa lí địa phương [5] Nguyễn Chí Bền - Lê Chí Vịnh (2003) Địa chí Phú Yên NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [6] Uỷ ban nhân dân tỉnh Phú Yên (2009) Lịch sử quyền nhân dân tỉnh Phú Yên (1945-2009) [7] Cục Thống kê tỉnh Phú Yên (2016) Niên giám thống kê tỉnh Phú Yên 2016 NXB Thống kê [8] Ban Chấp hành Đảng tỉnh Phú Yên (1996) Lịch sử Phú Yên kháng chiến chống Mĩ, cứu nước (1954-1975) [9] Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình Giáo dục phổ thơng mơn Lịch sử Địa lí cấp tiểu học [10] Trần Sĩ Huệ (2011) Đất trời Phú Yên NXB Lao động SỬ DỤNG KIẾN THỨC (Tiếp theo trang 40) Tài liệu tham khảo [1] Chính phủ (2014) Nghị số 44/NQ-CP ngày 09/6/2014 ban hành Chương trình hành động Chính phủ thực nghị số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 Hội nghị lần thứ Tám Ban Chấp hành Trung ương khóa XI Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế [2] Bộ GD-ĐT (2018) Thông tư số 32/2018/TTBGDĐT ngày 26/12/2018 Bộ GD-ĐT việc ban hành Chương trình giáo dục phổ thơng [3] Lê Xn Trường (2018) Một số hướng khai thác toán dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Tạp chí Giáo dục, số 424, tr 33-36; [4] Nguyễn Thị Châu Giang Lê Thị Kiều Diễm (2015) Một số biện pháp rèn luyện kĩ tốn học hố tình thực tiễn cho học sinh thông qua dạy học nội dung tổ hợp, xác xuất Tạp chí Giáo dục, số 361, tr 44-47 [5] Trần Cường (2018) Tìm hiểu lí thuyết giáo dục tốn học gắn với thực tiễn vận dụng xây dựng tập thực tiễn dạy học mơn Tốn Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt, kì tháng 5, tr 165-169 [6] Hoang Tuy (2002) Convex analysis and Global optimization, Institute of Mathematics [7] Nguyễn Anh Trường - Nguyễn Tấn Siêng - Đỗ Ngọc Thủy (2018) Phân loại phương pháp giải Đại số 10 NXB Đại học Quốc gia Hà Nội ... dụ có nội dung thực tiễn q trình dạy học mơn Tốn Việc vận dụng số lí thuyết tập lồi, cách đơn giản, tương đương với lí thuyết trình bày sách giáo khoa lớp 10, hồn tồn giải nhiều tập có nội dung. .. Chúng tơi đưa thuật tốn giải tốn việc sử dụng tính chất khối đa diện Bài toán Các toán cực trị chương trình Đại số lớp 10 phát biểu sau: Cho D R n tập lồi đa diện đóng xác định hệ bất phương trình... biểu tốn theo ngơn ngữ giải tích lồi + Bước Sử dụng kết tập lồi giải toán vừa đưa + Bước Kết luận Dưới số ví dụ minh hoạ cho việc thực bước trên: Ví dụ (VD 1, tr 279 [7]) Một công ty kinh doanh