chuyên đề luyện tập tư duy vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

UBND HUYỆN NGHI XUÂN TRƯỜNG THCS TIÊN YÊN TỔ TOÁN - LÝ “NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG QUÝ THẦY CÔ VỀ DỰ BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ” CHUYÊN ĐỀ LUYỆN TẬP TƯ DUY VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Người thể hiện: Nguyễn Thị Kim Nhung I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn chuyên đề Trong chương trình tốn THCS có nhiều lý thuyết sử dụng trình bày nên nhiều lời giải hay, giải nhiều tốn khó Học sinh THCS thường thích học Đại số học Hình học Các em tiếp cận với hình học thường hay ngại khó, bên cạnh nắm lý thuyết khơng chắn trình bày thiếu tính khoa học Đặc biệt với hình học 9, với tương đối dài lý thuyết, giáo viên học sinh phải thật nỗ lực hồn thành cơng việc nắm kiến thức Nói đến việc vận dụng thành thạo nâng cao kiến thức trình 45’ lớp Vì tơi suy nghĩ tìm tịi tốn để đưa vận dụng có hệ thống, để học sinh dễ nắm bắt, dễ phát huy lực cách qua câu hỏi từ dễ đến khó để khắc sâu lý thuyết học, học sinh vận dụng thành thạo lý thuyết học từ toán thuận, toán đảo, thêm bớt giả thiết, Với suy nghĩ giúp em tìm tịi, phát tạo hứng thú q trình học Hình học Vì tơi chọn đề tài “ Luyện tư vẽ thêm yếu tố phụ để giải số toán hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông” Đối tượng phạm vi nghiên cứu : - Chương trình hình lớp 8, - Sách giáo khoa lớp 8, - Sách nâng cao phát triển Toán Mục tiêu nhiệm vụ nghiên cứu: Hướng dẫn học sinh phương pháp tìm tịi, khai thác phát triển số tốn Từ học sinh biết hệ thống tập, quy trình giải dạng tập Tìm hiểu vướng mắc, khó khăn, hạn chế trình giải tốn học sinh lớp 8, để tìm biện pháp giúp học sinh khắc phục khó khăn gây hứng thú học tập cho học sinh II NỘI DUNG PHẦN I - MỘT SỐ BÀI TỐN CỤ THỂ Bài tốn 1: Cho M điểm thuộc miền hình chữ nhật ABCD Chứng minh rằng: MA + 2 MC = MB + MD Gợi ý Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lý Pi-ta-go Vì lý vẽ đường phụ qua M vng góc với AB E ME cắt DC F Ta có MF ⊥ DC Khi ta có tam giác vng EAM, FMC, EBM, FMD hai hình chữ nhật AEFD, EBCF giúp ta tìm lời giải toán Chứng minh Vẽ ME ⊥ AB, E ∈ AB, EM cắt DC F Tứ giác AEFD có µnên=làE µhình µchữ=nhật A =D 900 Suy ra: EA = FD, Tứ giác EBCF có µnên=làB µ hình µchữ=nhật E =C 900 Suy ra: EB = FC, Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vng EAM, FMC, EBM, FMD, ta có: MA2 = EM2 + EA2 ; MC2 = FM2 + FC2 MB2 = EM2 + EB2 ; MD2 = FM2 + FD2 2 2 2 Do đó: MA + MC = EM + EA + FM + FC Và 2 2 2 MB + MD = EM + EB + FM + FD Mà : EA = FD, FC = EB 2 2 Suy ra: MA + MC = MB + MD GV Lưu ý : Các em nghĩ xem trường hợp M nằm ngồi hình chữ nhật điều có có cịn khơng ? µ +C µ = 900 D Bài tốn 2 : Cho tứ giác ABCD có 2 2 Chứng minh AB + CD = AC + BD Gợi ý Vì µ +C µ = 90nên < thẳng AD BC cắt hai180 đường D Gọi E giao điểm AD BC Từ ta có : · Các tam CED = giác 900EAB, ECD, EAC, EBD vuông E, áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác cho ta kết cần chứng minh Điểm E điểm cần vẽ thêm Chứng minh Ta có: µ +C µ =, 90 nên hai D < đường 1800 thẳng AD BC cắt Gọi E giao điểm AD BC Vì : ∆ ECD có µ +Nên: µ = 900 D C · CED = 900 Các tam giác EAB, ECD, EAC EBD vng E nên theo định lý Pi-ta-go, ta có: 2 EA + EB = AB (1); 2 EC + ED = CD (2) 2 EA + EC = AB (3); 2 EB + ED = BD (4) Từ (1) (2) ta có : 2 2 2 EA + EB + EC + ED = AB + CD Từ (3) (4) ta có  : 2 2 2 EA + EB + EC + ED = EC + BD Do đó : 2 2 AB + CD = AC + DB Bài toán 3: a) Chứng minh hình thang cân ABCD (AB//CD) ta có 2 2 AC + BD = AD + BC + 2AB CD b) Chứng minh với tứ giác ABCD ta có: 2 2 AC + BD ≤ AD + BC + 2AB CD Tìm điều kiện cần đủ để dấu đẳng thức xảy ra.? Gợi ý Ta vẽ đường phụ AH ⊥ DC, BK ⊥ DC, H ∈ DC, K ∈ DC a) Vẽ đường AH ⊥ DC, BK ⊥ DC, H ∈ DC, K ∈ DC Dễ thấy tứ giác ABKH hình chữ nhật nên : HK = AB ∆HAD có ¶ ,H theo = định 900lý Pi-ta-go ta có: 2 AD = HA + HD ∆HAC có ¶ ,H theo = định 900lý Pi-ta-go ta có: 2 AC = HA + HC 2 2 Do đó: AC – AD = HC – HD = (HC + HD) (HC – HD) = CD(HC – HD) 2 Chứng minh tương tự có BD – BC = CD (KD – KC) 2 2 Do đó: AC – AD + BD – BC = CD(HC – HD + KD – KC) 2 2 ⇒ (AC + BD ) – (AD + BC ) = CD [(HC – KC) + (KD - HD)] = CD (HK + HK) = 2AB CD ⇒AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB CD b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: 2 2 (AC + BD ) – (AD + BC ) = 2HK CD (*) Mà HK ≤ AB nên 2HK CD ≤ 2AB CD 2 2 Nên AC + BD ≤ AD + BC + 2AB CD (*) ABCD hình thang (AB//DC) Dấu “=” xảy AB//CD, hay tứ giác ABCD hình thang Vẽ đường thẳng qua A vng góc với AF cắt DC G Xét ∆ABE ∆ADG có: · · ; AB== AD ABCD hình vng) ABE = ADG 90(vì (hai ) · · góc phụ với góc BAE = DAG Do đó: ∆ABE = ∆ADG (g.c.g) AE = AG · DAE ⇒ ∆AGF có Nên ta có: Do đó: · ; AD ⊥=GF hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông GAF 90theo + = AG AF2 AD2 + = AE2 AF2 AD2 Bài tốn 5: Cho tam giác vng ABC vng A, AH đường cao.Cho biết BH = a; HC = b Chứng minh rằng: a+b ab ≤ Gợi ý ∆ABC vuông A, AH đường cao Nên có: AH = BH HC Như vậy: Mặt khác: AH = ab a + b = BC 2 Gợi ta nghĩ đến đường trung tuyến AM ∆ABC Vì AH ⊥ HM Nên có AH ≤ AM Ta đến với kết cần chứng minh Yếu tố phụ cần vẽ thêm đường trung tuyến AM ∆ABC Chứng minh Vẽ đường trung tuyến AM hai tam giác ABC Tam giác ABC vuông A Mà : AH đường cao, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Ta có : AH = BH HC; BH = a(gt); HC = b (gt) Nên : AH2 = ab ⇒ AH = ab ∆ABC vng A có AM đường trung tuyến Nên : Ta có: AM = BC = a + b 2 AH ⊥ HM Nên : AH ≤ AM Do đó: ab ≤ a + b Bài toán 6: Cho tam giác cân ABC,  = 20 , AB = AC = b, BC = a 3 Chứng minh a + b = 3ab Gợi ý · cạnh = AC 200tại D , Bx CBx cắt Vẽ tia Bx cho Nên : · · · ABD = ABC – CBx = 600 Ta có: ∆ABD ~ ∆ABC ∆ABD có · ABD = 600 ⇒ BD = BC = DC AB AC BC 2 Do đó: AD = AB + BD – AB BD Từ ta tìm đẳng thức cần chứng minh Chứng minh ·cắt cạnh = AC 200tại D , BxCBx Vẽ tia Bx cho Vẽ AE ⊥ Bx, E ∈ Bx · µ = BAC = 200; C ⇒ BD = BC = DC AB AC BC BD = BC = a⇒ Xét ∆BDC ∆ABC có : Nên: ∆ABD ~ ∆ABC · chung CBD Do : DC = BD BC = a AB b AD = AC - DC = b - a b · nên= làABC · nửa tam · đều= 600 giác ABE – CBD ∆ABE vng E có Suy ra: BE = AB = b ⇒ DE = BE - BD = b - a 2 ∆ABE vuông E, nên theo định lí Pi-ta-go ta có: AE + BE = AB ⇒ AE = AB - BE = b 2 2 2 ∆ADE vng E, nên theo định lí Pi-ta-go ta có: 2  b a2   2 AE +DE = AD ⇒ b +  - a ÷ =  b ÷ b  2  4 a ⇒ b + b - ab + a = b - 2a + 44 b a ⇒ + ab = 3a ⇒ a +b3 =3ab b Bài tốn 7: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có đường cao 4cm, đường chéo BD = 5cm, hai đường chéo AC BD vng góc với Tính diện tích hình thang ABCD Gợi ý Chỉ cần tính độ dài AC tính diện tích ABCD tứ giác ABCD có AC ⊥ BD Ta nhận đường phụ BE //AC, E ∈ DC giúp ta tính AC Bài tốn 8: Cho tam giác ABC cân đỉnh A có góc A nhọn, đường cao BH  AB  Chứng minh rằng: AH HC =  ÷ ÷  BC  -1 Gợi ý Chọn điểm phụ D điểm đối xứng C qua A, ta có tam giác BDC vng B Trong ∆BDC ta có BH đường cao Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vng ta tìm lời giải toán Bài toán 9: Cho tam giác vuông ABC vuông A, đường cao AH Lấy D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối tia HA cho AD = HE = AC HA Chứng minh rằng: · BED = 900 Gợi ý Từ giả thiết: ta nghĩ đến vẽ DF ⊥ AH, F ∈AH Từ AF = HE, HA = FE áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông HEB, FDE, HAB, FAD, ABD ta chứng minh được: 2 BE + ED = BD Nên ∆BED vuông E Suy điều cần chứng minh Bài toán 10: Cho tam giác ABC, D điểm thuộc cạnh BC 2 Chứng minh rằng: AB CD + AC BD - AD BC = CD BD BC Gợi ý Ta vẽ thêm đường phụ AH ⊥ BC, H ∈ BC để xuất tam giác vuông áp dụng định lý Pi-ta-go Chú ý: Cần phải xét trường hợp D ≡ H, D ≡ B D ≡ C, D thuộc đoạn HC (D ≠ H, D ≠ C), D thuộc đoạn HB (D ≠ H, D ≠ B) Bài tốn 11: Cho hình thoi ABCD với  = 1200 Tia Ax tạo với tia ABgóc Bax 150và cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N Chứng minh rằng: + = AM2 AN2 3AB2 Gợi ý Bài toán đầu gợi ta đến công thức : + = h b2 c2 Điều cho ta nghĩ đến vẽ đường phụ AE ⊥ AN (E ∈ DC) AH ⊥ DC (H ∈ DC) Tam giác AEN vuông A, AH đường cao, theo hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Ta có: Nếu chứng minh được: + = Thì ta tìm lời giải2 tốn AE AN AH2 AE = AM = AH2 3AB2 Bài tốn 12: Cho hình vng ABCD Lấy O thuộc miền hình vng cho OA : OB : OC = : : Tính số đo góc AOB Gợi ý Sau vẽ hình ta dự đốn Ta vẽ tia OE cho · AOB = 1350 · chứng chỉBOE = minh 450 ·phải vẽ = 90điểm Tuy nhiênEOA E cho ∆BEO vng cân đỉnh B tìm lời giải tốn! Bài tốn 13: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a; AC = b; AB = c đường cao tương ứng hb hc Chứng minh rằng: h ≤ (a a) a b) + b + c)(-a + b + c) h a2 + h + h c2 ≤ (a + b + c) b Dấu “=” xảy nào? Gợi ý h a2 ≤ (a + b + c)(-a + b + c) ⇔ (h a ) ≤ (b + c) - a ⇔ (h a ) + a ≤ (b + c) Ta có: Ta nghĩ đến định lý Pi-ta-go, từ tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng có độ dài ha, a cạnh huyền y mà y ≤ b + c Ta vẽ đường phụ Ax // BC điểm phụ D đối xứng với B qua Ax Xét điểm A, D, C có y = DC ≤ AC + AD cho ta lời giải tốn BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tốn 14: hình thang ABCD vng góc A, đáy nhỏ AB Biết BC = 13; CD = 14; BD = 15 Tính: a) Độ dài đoạnthẳng AB, AD b) Diện tích hình thang ABCD Bài toán 15: Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông dài 25cm Tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền 16 : Tính độ dài hai góc vng Lưu ý: + Các tốn đưa nâng dần theo cấp độ nhận thức bắt đầu với tập dễ Các em tự trao đổi, tham khảo ý kiến tự đánh giá qua hoạt động nhóm Các em ưu tiên trả lời câu hỏi dẫn dắt gặp phải vấn đề khó hơn, phức tạp + Tập cho học sinh tự kiểm tra lại kết cách xác Khuyến khích học sinh tự nêu hạn chế bạn + Yêu cầu HS thực nhiều tập có tính ứng dụng thực tế cao Cám ơn ý lắng nghe thầy cô! ...CHUYÊN ĐỀ LUYỆN TẬP TƯ DUY VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Người thể hiện: Nguyễn Thị Kim Nhung I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn chun đề Trong. .. điểm phụ D điểm đối xứng C qua A, ta có tam giác BDC vng B Trong ∆BDC ta có BH đường cao Áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta tìm lời giải tốn Bài tốn 9: Cho tam giác vuông ABC vuông. .. toán thuận, toán đảo, thêm bớt giả thiết, Với suy nghĩ giúp em tìm tịi, phát tạo hứng thú q trình học Hình học Vì tơi chọn đề tài “ Luyện tư vẽ thêm yếu tố phụ để giải số toán hệ thức cạnh đường