Sử dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán về dòng điện xoay chiều

Bài viết Sử dụng phương pháp số phức để giải một số bài toán về dòng điện xoay chiều vận dụng các kiến thức về số phức để giải một số bài toán về dòng điện xoay chiều, các kết quả của bài báo sẽ là tài liệu hữu ích cho những người quan tâm đến vấn đề này.

TẠP CHÍ KHOA HỌC Khoa học Tự nhiên Cơng nghệ Nguyên Thanh Lâm (2022) (25): - (26): 16- 23 SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SƠ BÀI TỐN VỀ DÕNG ĐIỆN XOAY CHIỀU Nguyễn Thanh Lâm Trƣờng Đại học Tây Bắc Tóm tắt: Trong báo này, vận dụng kiến thức số phức để giải số toán dòng điện xoay chiều, kết báo tài liệu hữu ích cho người quan tâm đến vấn đề Ngồi ra, chúng tơi đề cập đến số toán mạch điện R, L, C mắc song song - dạng ài tốn khơng đề cập đến chương trình vật lý trung học phổ thơng Từ khóa: Số phức, dòng điện xoay chiều, mạch điện mắc nối tiếp, mạch điện mắc song song I ĐẶT VẤN ĐỀ nhất, chƣơng "Số phức" đƣợc phân phối chƣơng tr nh đại số học kỳ lớp 12, Trong chƣơng tr nh vật lý lớp 12 trung chƣơng "Dòng điện xoay chiều" đƣợc phân học phổ thơng (THPT) phần dòng điện phối học chƣơng tr nh vật lý lớp 12 Thứ xoay chiều chiếm tỉ trọng tƣơng đối lớn hai, để áp dụng phƣơng pháp số phức GV phải (gần 50% số tiết học kỳ 1) [1], không nghiên cứu lại kiến thức, hƣớng dẫn HS tìm vậy, đề thi THPT Quốc gia hiểu kiến thức mới, tăng thời lƣợng môn năm gần th phần dịng điện học…Chính v lý nên GV hầu nhƣ xoay chiều thƣờng chiếm tỉ lệ từ 20 đến 25% không áp dụng phƣơng pháp Tuy nhiên, (tƣơng đƣơng từ đến 10 câu/tổng số 40 câu) nhận thấy phƣơng pháp số phức [2][3][4][5] Vì vậy, phƣơng pháp đơn giản cho kết có nội dung quan trọng mà giáo viên (GV) độ xác cao, đặc biệt học sinh (HS) quan tâm nhiều mạch điện phức tạp Với phƣơng pháp Khi giải tốn phần ngƣời học khơng phải phân tích mạch điện chƣơng tr nh thƣ ờng đề cập đến hai mà giải đƣợc tập việc giải tập phƣơng pháp: phƣơng pháp lƣợng giác, trở nên đơn giản phƣơng pháp h nh học (giản đồ Fresnel) Ƣu điểm phƣơng pháp là: Áp dụng II NỘI DUNG tốn đơn giản, dễ tính tốn; Số phức nhƣng hạn chế là: khó áp dụng Xét tập hợp cặp số thực (x,y) lấy theo toán phức tạp, HS phải ghi nhớ, vận dụng thứ tự xác định Cặp số thực coi nhiều kiến thức liên mơn, khó tính tốn nhƣ vectơ mặt phẳng Descartes máy tính bỏ túi… vng góc xOy Mỗi cặp số thực đƣợc gọi Trong chƣơng tr nh đào tạo cử nhân Sƣ phạm Vật lý, học phần Kỹ thuật điện có đề cập đến phƣơng pháp số phức để giải số toán mạch điện, nhƣng lại giới hạn đoạn mạch mắc song song Hiện nay, qua tìm hiểu chúng tơi chƣa có tài liệu thống báo đề cập đến vấn đề Thứ số phức mặt phẳng Descartes xOy đƣợc gọi mặt phẳng số phức Nhƣ tập hợp số phức (x,y) tập hợp điểm z mặt phẳng xOy có liên hệtập hợp điểm z có liên hệ đối một, ta viết đẳng thức: z = (x,y) 16 r  z  Kí hiệu:     arg z Chú ý: Môđun số phức đƣợc xác định acgumen đƣợc xác định sai khác bội 2 Với z  , giá trị acgumen, có giá trị nằm   ta gọi giá trị kí hiệu argz: Trong thành phần số phức z = (x,y), x đƣợc gọi phần thực, y đƣợc gọi phần ảo  x  Re z Kí hiệu:   y  Im z - z1  (x1, y1 ) z  (x , y2 ) đƣợc coi x1  x 2;y1 y - Số phức dạng z  (x,0) nghĩa số phức có thành phần ảo đƣợc coi nhƣ trùng với số thực x điểm tƣơng ứng mặt phẳng xOy nằm trục hoành Trên sở trục hồnh mặt phẳng Descartes xOy cịn gọi trục thực - Số phức dạng z  (0, y) nghĩa số phức có thành phần thực 0, ứng với điểm nằm trục tung đƣợc gọi trục ảo - Hai số phức z1  (x, y) z1  (x,  y) ứng   arg z   Nhƣ argz  argz 2k  ( k  0;  1;  ) Ta có: z  r cos   jr sin  Áp dụng công thức Euler: e j  cos   jsin  Số phức z đƣợc viết dƣới dạng: z  r.e j z  z Ngoài ra, số phức biểu diễn đại lƣợng h nh sin đƣợc ký hiệu chữ in hoa, có dấu chấm trên: I  I.e ji ; U  U.e ju hay với hai điểm đối xứng trục thực đƣơc gọi hai số phức liên hợp Ký hiệu: (x,  y)  (x, y) Chú ý: Hai số phức liên hợp chúng số thực I  Ii ; U  Uu Ví dụ: Dịng điện i  10 2sin( t 30 )o (A) đƣợc biểu diễn số phức I  10.e  j30 (A) hay I  10  30o (A) o 1.1 Dạng đại số số phức Mỗi biểu thức a + jb, a, b  ; j2 = -1 đƣợc gọi số phức (trong tài liệu toán học ký hiệu a + i, để tránh nhầm lẫn với ký hiệu dòng điện i nên báo ký hiệu j) Đối với số phức z = a + jb, ta nói a phần thực, b phần ảo z, j đơn vị ảo Ngồi ra, dạng đại số cịn đƣợc biểu diễn dƣới dạng: z  r cos   jr sin  Trong đó: r = độ lớn (module) z;  = pha ban đầu (acgumen) z 1.3 Các phép toán tập hợp số phức [Tr38, 6] 1.3.1 Phép cộng, trừ Phép cộng, trừ hai số phức đƣợc thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức (coi j biến) Tức là: Khi thực phép cộng (trừ) số phức ta nên đƣa số phức dạng đại số, cộng (trừ) phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo Xét hai số phức: z1  a  jb z  c  jd , ta có: 1.2 Dạng mũ số phức z1  z2  (a  c)  j(b  d) Về hình học, số phức z đƣợc xác định hoàn toàn hai đại lƣợng r  Chúng đƣợc gọi toạ độ cực số phức z z1  z2  (a  c)  j(b  d) 1.3.2 Phép nhân, chia Khi phải nhân, chia ta nên đƣa dạng mũ: Nhân (chia) hai số phức với nhau, ta nhân 17 (chia) module, cịn acgumen cộng (trừ) cho Xét hai số phức: z1  A.e j1 z  B.e j2 , ta 1.3.5 Biểu diễn đạo hàm di dt Nếu i  I sin t đƣợc biểu diễn số phức I di   Thì  I 2 cos t  I 2 sin  t   dt 2  di Vậy: đƣợc biểu diễn jI dt 1.3.6 Biểu diễn tích phân  idt có: z1.z  (A.B).e j( 12 ) z1  A  j( 12 )   e z2  B  Ta thực phép nhân, chia hai số phức dƣới dạng đại số cách bình thƣờng Xét hai số phức: z1  a  jb z  c  jd Nếu i  I sin t đƣợc biểu diễn số phức I Phép nhân: z1.z2  (a  jb)(c  jd)  (ac  bd)  j(bc  ad) t Thì  idt   Phép chia: Ta nhân tử mẫu với số liên hợp phức mẫu số I I   cost  sin  t      2 t I j 1.3.7 Biểu diễn định luật Kirchhoff (Kiếchốp) dƣới dạng phức Vậy: z1 (a  jb) (a  jb)(c  jd) (ac  bd)  j(bc  ad)    z (c  jd) (c  jd)(c  jd) c2  d 1.3.3 Nhân số phức với e j Giả sử ta có số phức: z  A.e j  idt đƣợc biểu diễn - Định luật 1: Từ biểu thức  i   I  - Định luật 2: Đối với đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, ta có: di u  u R  u L  u C  Ri  L   idt dt C V dòng điện điện áp phần tử đại lƣợng sin tần số nên ta biểu diễn dƣới dạng số phức: I    U  RI  jLI   R  j  L   I  ZI jC  C    Ta có: z  A.e j.e j  A.e j( ) Tức nhân số phức với e j ta quay véc tơ biểu diễn số phức góc  ngƣợc chiều quy kim đồng hồ Khi nhân số phức với e j ta quay véc tơ biểu diễn số phức góc  chiều kim đồng hồ 1.3.4 Nhân số phức với  j Theo công thức Euler:  j   e  cos  jsin  j 2  j     e  cos     jsin      j  2  2 Nhƣ nhân số phức với j ta  quay véctơ biểu diễn số phức góc ngƣợc chiều quay kim đồng hồ Ngƣợc lại, nhân với (-j) ta quay véc tơ góc      chiều kim đồng hồ  2 Trong đó:   Z  R  j  L    R  j(X L  X C ) gọi C   tổng trở phức mạch điện Vậy ta có:  U   E hay  IZ   E Cách lập sơ đồ mạch điện phức Trong trƣờng hợp sơ đồ mạch cho dạng tức thời phải t m sơ đồ phức tƣơng đƣơng (đại số hóa sơ đồ mạch) ta thực nhƣ sau: - Điện trở R chuyển sang sơ đồ phức đƣợc giữ nguyên 18 - Điện cảm L chuyển sang sơ đồ phức đƣợc thay jL  jX L Ví dụ 2: Cho mạch điện xoay chiều gồm ba phần tử mắc nối tiếp với (H nh 2), điện trở R 8( ) Cuộn dây cảm có độ - Điện dung C phức hóa đƣợc thay  jX C jC - Suất điện động e(t) chuyển sang sơ đồ phức đực thay E - Giữ nguyên kết cấu mạch tự cảm L  (H) , tụ điện có điện dung 80 104 (F) Đặt vào hai đầu doạn mạch 8 hiệu điện xoay chiều có biểu thức C u  34 sin(2000 t)(V) Ví dụ Ví dụ 1: Đặt điện áp u  220 2cos 100t  V vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp (Hình 1) 104 gồm điện trở R = 100 Ω, tụ điện có C  F 2 cuộn cảm có L  H Biểu thức  cƣờng độ dòng điện đoạn mạch là: (Hình 1)   A i  2, 2cos 100t   A 4    B i  2, 2cos 100t   A 4    C i  2, 2cos 100t   A 4    D i  2, 2cos 100t   A 4  Hƣớng dẫn Ta có:   1 Z  100  j 100   104   100  2  (Hình 2) Tìm biểu thức cƣờng độ dịng điện tức thời mạch Viết biểu thức hiệu điện tức thời hai đầu điện trở, hai đầu cuộn cảm hai đầu tụ điện Hƣớng dẫn Theo ta có: UAB  34 0o (V) X L  L  2000 XC   C  25() 80  40() 104 2000 8 Tổng trở phức đoạn mạch: ZAB   j(25  40)   j15 17  62o () Dòng điện hiệu dụng phức mạch: U 340o IAB  AB   262o (A) ZAB 17  62 Vậy biểu thức cƣờng độ dòng tức thời 62   mạch là: i  2 sin  2000t   (A) 180   Ta có: + Hiệu điện hiệu dụng phức hai đầu điện trở: UR  IABR  262o.8  1662o (V)      Hay Z  100  j100  100 2  45o () Áp dụng Định luật Ohm: U 220 20o Io  o   2, 245o (A) o Z 100 2  45   Vậy i  2,2cos 100  t   Đáp án C 4  Vậy biểu thức hiệu điện tức thời hai đầu điện trở là: 62 u R 16 sin(2000t  )(V) 180 + Hiệu điện hiệu dụng phức hai đầu cuộn cảm: 19 UL  IAB.( jXL )  262.( j25)  50152o (V)  j(100  XC )  Vậy biểu thức hiệu điện tức thời hai đầu cuộn cảm là: 152   u L  50 sin  2000t   (V) 180   + Hiệu điện hiệu dụng phức hai đầu tụ điện: UC  IAB.( jXC )  262.( j40)  80  28o (V) 100  XC   XC 100 C Mà XC  C 1 104   (F) XC 100.100  Khi mạch xảy tƣợng cộng hƣởng Cách 2: Theo ta có: 1 X L  L  100  100 () ; X C   C Để hiệu điện pha với dịng điện (xảy cộng hƣởng) thì: XL  XC  100 () Vậy biểu thức hiệu điện tức thời hai đầu tụ điện là: u C  80 sin(2000t  28 )(V) Ví dụ 3: Cho mạch điện nhƣ h nh vẽ (Hình 3) R  50(); L  (H) Đặt vào hai đầu mạch  điện xoay chiều u  220 2sin(100 t)(V) Biết  tụ điện thay đổi Tính C để hiệu điện pha cƣờng độ dòng điện XC  Mà C C 1 104   (F) XC 100.100  Ví dụ 4: Cho đoạn mạch điện xoay chiều nhƣ h nh vẽ (Hình 4) gồm cuộn dây có điện trở r, độ tự cảm L mắc nối tiếp với điện trở R =20 () Biết hiệu điện hai đầu đoạn mạch cƣờng độ dòng điện qua mạch có biểu thức:   u  80 2cos 100t   (V) 2    i  2cos 100t   (A) 4  Tìm giá trị r L (Hình 3) Hƣớng dẫn Cách 1: Theo ta có: 1 X L  L  100  100 () ; X C   C Hiệu điện hiệu dụng phức hai đầu đoạn mạch: UAB  2200o (V) Tổng trở phức mạch:   ZAB  R  j(X L  XC )  50  j 100   C   Cƣờng độ dòng điện hiệu dụng phức hai đầu đoạn mạch: (Hình 4) Hƣớng dẫn Ta biểu diễn đại lƣợng dƣới dạng số phức Hiệu điện hiệu dụng phức đầu đoạn U AB 2200 2200   ZAB 50  j(100  ) 50  j(100  X C ) C Để hiệu điện pha với cƣờng độ dịng điện IAB  ( uAB  ) IAB  o o 80 290o  8090o (V) Cƣờng độ dòng điện hiệu dụng phức mạch là: U AB  245o  245o (A) Tổng trở phức mạch là: mạch: IAB  20 Z U 8090o   20  j20 () I 245o Tổng trở phức đoạn mạch AN: ZAN  j 200 100   j100  10090o    (1) Hiệu điện hiệu dụng phức hai đầu AN: UAN  IZAN  40o.10090o  40090o  V  Mạch cho gồm cuộn dây có điện trở r độ tự cảm L mắc nối tiếp với điện trở R nên ta có: Z  (R  r)  jL (2) Từ (1) (2) ta có: Xét đoạn mạch AB ta có: UAB  UAN  U NB  U NB  U AB  U AN  200 0o  40090o  r  20  R   R  r  20    20  L  .L  20    200  j400  447, 21  63, 4o  V  Tổng trở phức đoạn mạch NB là: U NB 200  j400   50  j100    I 40o Từ biểu thức ZNB ta thấy X gồm phần ZNB  r  20  20  8, 28()   20 2  (H) L  100 5  tử điện trở R o 50    mắc nối tiếp Vậy: r  8,28() ; L  (H) 5 Ví dụ 5: Cho mạch điện xoay chiều nhƣ h nh vẽ (Hình 5): với tụ điện với jX Co j100     Vậy X gồm hai phần tử điện trở tụ điện 104 với: R o 50    Co   F  Ví dụ 6: Cho mạch điện mắc song song nhƣ h nh vẽ (H nh 6) Biết U = 220V, R1 = 10  , X1 = 10 R2 =  , X2 =  , Tính dịng điện I1 , I2 I Viết biểu thức tức thời i1 , i2 i Tính P, Q, S, cos  tồn mạch? (Hình 5) 4 10  hai đầu Với C   F  H  Nếu đặt vào  điện áp xoay chiều L  mạch 1 104 100  Co    F Co 10   u AB  200 2.cos100t  V  th cƣờng độ đong điện mạch i  2cos(100t)  A  X đoạn mạch gồm hai ba phần tử ( R o ,Lo (thuần cảm), Co ) mắc nối tiếp Tìm phần tử hộp X giá trị chúng Hƣớng dẫn Ta biểu diễn đại lƣợng dƣới dạng số phức: 200 2.e j0 U AB   2000o  V  (Hình 6) Hƣớng dẫn a Tính dịng điện I1 , I2 I Chọn U  U0o  2200o (V) Tổng trở phức nhánh 1: 20o I  40o  A  2 X L L 100  200     1 XC   100    104 C 100  Z1  R1  jX1  10  j10  10 245o () Dòng điện phức nhánh 1: 21 U 2200o I1    11 2  45o (A) o Z1 10 245 (1) Tổng trở phức nhánh 2: Z2  R  jX2   j8  10  53o10'() Dòng điện phức nhánh 2: U 2200o I2    22  53o10' (A) o Z2 10  53 10' Dòng điện tổng: I  I1  I2  25,0815o28' (2) (Hình 7) Hƣớng dẫn (A) (3) Viết biểu thức tức thời i1 , i2 i Từ (1) ta có: Dịng điện tức thời qua nhánh 1: i1 15,55 sin(t  45o ) (A) Từ (2) ta có: Dịng điện tức thời qua nhánh 2: i  22 sin(t  53o10') (A) Từ (3) ta có:Dịng điện tức thời chạy mạch chính: i  25,08 sin(t  15o28') (A) Tính P, Q, S, cos  tồn mạch Ta có cơng suất phức tích điện áp phức nhân với dịng điện liên hợp phức (v góc lệch pha   u  i ): S  UIˆ  2200o.25,08  15o28'  (Hình 8) Áp dụng phƣơng pháp điện áp hai nút, ta có: Giả sử chiều dòng điện nhánh và điện áp hai nút U AB nhƣ h nh vẽ (Hình 8) Ta có: U AB  1 3 Trong đó: 1 Y1    (0,08  j0,06) () Z1  j6  5518  15o 28'  5323  j1454  P  jQ Suy ra: S  5518 (VA) Y2  1   (0,08  j0,06) () Z2  j6 Y3  1   0,325 () R 3,125 P = Re{ S }= 5323 (W) Q = Im{ S } = -1454 (Var) Từ công thức: P 5323 P  UIcos  cos    0,965 UI 220.25,08 Thay số ta đƣợc: UAB  (8,83  j8,83)V Áp dụng định luật Ohm ta tính đƣợc dòng điện nhánh: E  U AB I1   (4,78  j1,95)A  I1  5,16A Z1 Ví dụ 7: Cho mạch điện nhƣ h nh vẽ (Hình 7) Biết e1  50 sin( t 45 0)(V)  EY  E Y  E Y Y Y  Y  Y ; e3  50 sin( t 135 0)(V) , R1  R  8 , R  3,125 , L   6 Tính dịng điện C nhánh 22 I2  E  U AB  (1,95  j4,78)A  I3  5,16A Z2 I3  U AB  (2,83  j2,83)A  I3  4A Z3 Chú ý: Bài tốn giải cách sau: Dùng giản đồ Fresnel, áp dụng phƣơng pháp số phức, phƣơng pháp dòng điện nhánh, phƣơng pháp dòng điện vòng…để giải từ năm học 2020 - 2021, (Văn đính kèm cơng văn số 3280 Bộ Giáo Dục Đào Tạo ngày 27-8-2020) [2] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2017, Đề thi THPT Quốc gia 2017 mơn thi thành phần Vật lí [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2018, Đề thi THPT Quốc gia 2018 mơn thi thành phần Vật lí [4] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2019, Đề thi THPT Quốc gia 2019 mơn thi thành phần Vật lí [5] Bộ Giáo dục Đào tạo, 2020, Đề thi THPT Quốc gia 2020 mơn thi thành phần Vật lí [6] Đặng Văn Đào - Lê Văn Doanh, 2007, Kỹ thuật điện, NXB KHKT [7] Lƣơng Duyên B nh, 2008, Vật lí 12, NXB Giáo dục III KẾT LUẬN Nhƣ vậy, việc áp dụng phƣơng pháp số phức để giải tốn dịng điện xoay chiều chúng tơi nhận thấy: phƣơng pháp không áp dụng đƣợc tốn đơn giản mà cịn hiệu toán phức tạp, toán mạch điện mắc song song Ngồi ra, việc tính tốn thuận tiện, HS cần tính tốn giải tích máy tính bỏ túi mà khơng cần quan tâm nhiều đến việc phân tích mạch nhƣ vận dụng kiến thức liên quan để giải TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo, Hướng dẫn điều chỉnh nội dung giảng dạy vật lý THCS THPT USING COMPLEX NUMBER METHOD TO SOLVE SOME ALTERNATING CURRENT PROBLEMS Nguyen Thanh Lam Tay Bac University Abstract: The article focuses on the use of complex numbers to solve some alternating current problems In addition, some matters on circuits R, L, C connected in parallel which are not presented in the high school Physics program are also mentioned Keywords: Complex number, alternating current, series circuit, parallel circuit Ngày nhận bài: 19/03/2021 Ngày nhận đăng: 28/04/2021 Liên lạc: Nguyễn Thanh Lâm, e - mail: nguyenthanhlam@utb.edu.vn 23 ... nhân số phức với e j ta quay véc tơ biểu diễn số phức góc  ngƣợc chiều quy kim đồng hồ Khi nhân số phức với e j ta quay véc tơ biểu diễn số phức góc  chiều kim đồng hồ 1.3.4 Nhân số phức. .. áp phức nhân với dòng điện liên hợp phức (v góc lệch pha   u  i ): S  UIˆ  2200o.25,08  15o28''  (Hình 8) Áp dụng phƣơng pháp điện áp hai nút, ta có: Giả sử chiều dòng điện nhánh và điện. .. mạch  điện xoay chiều u  220 2sin(100 t)(V) Biết  tụ điện thay đổi Tính C để hiệu điện pha cƣờng độ dòng điện XC  Mà C C 1 104   (F) XC 100.100  Ví dụ 4: Cho đoạn mạch điện xoay chiều