Phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật trong dạy học Hình học họa hình thông qua khai thác lời giải một số bài toán sử dụng phép quay

Bài viết khai thác lời giải một lớp bài toán sử dụng phép quay để đưa ra bài toán tổng quát, qua đó giúp người học phát triển tư duy thuật toán trong dạy học Hình học họa hình cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật.

VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 ISSN: 2354-0753 PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT TOÁN CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI KĨ THUẬT TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC HỌA HÌNH THƠNG QUA KHAI THÁC LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN SỬ DỤNG PHÉP QUAY Hoàng Văn Tài+, Lê Thị Thanh Hằng Trường Đại học Mỏ - Địa chất +Tác giả liên hệ ● Email: taihh.mdc@gmail.com Article History Received: 25/4/2020 Accepted: 10/5/2020 Published: 25/5/2020 ABSTRACT In teaching Graphic Geometry module for college students of engineering, most of the instructors rarely use or instruct students to use the projection transformations, namely the rotation to solve the math problems They mostly use the usual general method instead The article exploits the solution of maths problems using rotation of a straight line, thereby helping students practise and develop algorithmic thinking for learners in solving geometry problems In teaching Graphic Geometry for undergraduate engineering students, exploiting the rotation when solving some problems helps them to gain unique solutions, explore more different solutions for a problem, have the opportunity to train and develop algorithmic thinking through related mathematical forms Keywords algorithmic thinking, geometry, students, rotation Mở đầu Có nhiều quan niệm khác tư thuật toán Theo James Walden (2013), tư thuật toán hình thức tư tốn học, khác với tư thảo luận tài liệu giáo dục tính chặt chẽ nghiêm ngặt Theo Knuth (1985), thuật ngữ “tư thuật toán” nhà toán học quan tâm vào năm 1980, dẫn đến loạt thảo luận tư thuật toán giảng dạy toán học Khoa học máy tính Ở Việt Nam, có nhiều cơng trình nghiên cứu thuật tốn, tư thuật toán tầm quan trọng tư thuật toán Nguyễn Bá Kim (2015, tr 379-382): “Để rèn luyện tư thuật toán, trước hết cần tập luyện cho người học thực tốt dẫn nêu thuật toán quy tắc tựa thuật toán, thực hoạt động theo trình tự xác định, phù hợp với thuật toán cho trước” Theo Nguyễn Bá Kim Vũ Dương Thụy (1992), thuật toán hiểu quy tắc mô tả dẫn rõ ràng xác để thực loạt thao tác nhằm đạt mục tiêu đề hay giải lớp toán định Để rèn luyện tư thuật toán, trước hết cần tập luyện cho người học thực dẫn nêu thuật toán quy tắc tựa thuật toán, thực hoạt động theo trình tự xác định, phù hợp với thuật toán cho trước Trong dạy học học phần Hình học họa hình cho sinh viên (SV) đại học khối Kĩ thuật, tốn hình học họa hình hình biểu diễn định dạng, tốn có đáp án Do vậy, thường nghĩ đến việc thuật tốn hóa lời giải tốn hình học họa hình Bài viết khai thác lời giải lớp toán sử dụng phép quay để đưa toán tổng quát, qua giúp người học phát triển tư thuật tốn dạy học Hình học họa hình cho SV đại học khối Kĩ thuật Kết nghiên cứu 2.1 Cơ sở lí thuyết phép quay 2.1.1 Quay mặt phẳng quanh trục * Trục quay đường thẳng chiếu - Trục quay đường thẳng chiếu đứng (xem hình 1): Nếu điểm M quay vịng quanh trục đường thẳng chiếu đứng t M vạch lên đường tròn e nằm mặt phẳng (M) Hình chiếu đứng e đường trịn e1 = e có tâm O1 trùng t1 Hình chiếu e đoạn thẳng qua M2 song song với trục x 90 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 e1 ISSN: 2354-0753 P1 M1 t1= O1 t1= O1 M M1 e1 x e x O t O2 M2 M2 e2 M2 P2 t2 e2 t2 O2 M2 Hình - Trục quay đường thẳng chiếu (xem hình 2): Nếu điểm M quay vòng quanh trục đường thẳng chiếu t M vạch lên đường trịn e nằm mặt phẳng (B) Hình chiếu e đường trịn e2 = e có tâm O2 trùng t2 Hình chiếu đứng e đoạn thẳng qua M1 song song với trục x t1 P1 t1 M1 t B1 M1 e o t2 = o2 B x e2 x B1 O1 e1 o1 e1 e2 P2 t2 = o2 M2 Hình M2 * Trục quay đường (xem hình 3) Nếu điểm M quay vòng quanh trục đường b M vạch lên đường trịn nằm mặt phẳng chiếu (Q)  b Người ta thường quay mặt phẳng R (b, M) quanh đường b để R trở thành mặt phẳng Khi đó, bán kính quay OM (OM  b) có vị trí OM’ song song với (P2), O2M2’ = OM Trên hình 2, để xác định M2’, ta làm sau: Bước 1: Vẽ qua M2 đường thẳng VQ2  b2, xác định O2 hình chiếu tâm O Bước 2: Tìm độ lớn thật bán kính quay O2M* = OM Bước 3: Đặt V2Q đoạn thẳng O2M2’ = O2M*; M1’ thuộc b1 91 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 ISSN: 2354-0753 v1q M'1 P1 v1q M M'1 O1 b1 x O M' b M2 q x O2 v2q P2 O2 M2 M* b2 M'2 b2 M'2 v q Hình H.4-10 * Trục quay đường mặt (xem hình 4) Người ta thường quay mặt phẳng (R) = (m, M) quanh đường mặt m để (R) trở thành mặt phẳng mặt Trong phép quay này, cần xác định vị trí sau quay M M’ Trên hình biểu diễn xác định M’ sau: Bước 1: Vẽ qua M đường thẳng VQ1  m1, xác định O1 hình chiếu đứng tâm quay O Bước 2: Tìm độ lớn thật bán kính quay O1M* = OM Bước 3: Đặt V1Q đoạn thẳng O1M’1 = O1M*; M’2 thuộc m2 v1q M'1 M* O1 M1 m1 x m2 O2 M'2 M2 v2 q H.4-11 Hình 2.1.2 Quay mặt phẳng quanh vết Việc quay mặt phẳng quanh vết nhằm đưa mặt phẳng đến vị trí trùng với mặt phẳng hình chiếu đó, hình thuộc mặt phẳng cho có độ lớn thể mặt phẳng hình chiếu * Quay mặt phẳng quanh vết (xem hình 5): 92 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 ISSN: 2354-0753 v1R P1 v1q v1q v1R M1=M M1=M x x I=I1=I2 M* M2 I O=O2 M'2=M' v2R M2 O1 v'1q O2 v2q q M'2=M' P2 v2 q v2R v'1q HìnhH.4-12 Quay mặt phẳng (Q) quanh vết V2Q nhằm đưa (Q) trùng với mặt phẳng hình chiếu (P2) Trong phép quay này, vết V2Q Chẳng hạn M thuộc V1Q quay quanh V2Q Tuy nhiên, IM thuộc (P1) nên IM = I1M1 = IM’1 Do đó, thay xác định bán kính quay O2M*, để xác định M’2, ta làm sau: Bước 1: Lấy M1 thuộc V1Q, từ M1 xác định M2 thuộc x Bước 2: Qua M2 vẽ đường V2R  V2Q Bước 3: Xác định giao điểm M’2 V2R với cung tròn tâm I, bán kính IM1 2.2 Một số biện pháp phát triển tư thuật toán cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học Hình học họa hình thơng qua việc khai thác lời giải tốn có sử dụng phép quay 2.2.1 Những biểu hội phát triển tư thuật toán cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học học phần Hình học họa hình 2.2.1.1 Cơ hội phát triển tư thuật toán cho sinh viên dạy học học phần Hình học họa hình Thơng qua q trình giảng dạy học phần Hình học họa hình cho SV đại học khối Kĩ thuật, nhận thấy, học phần ẩn tàng nhiều hội để phát triển tư thuật toán cho SV, cụ thể: - Hầu hết tốn học phần Hình học họa hình quy thuật tốn, tốn Bởi vậy, SV có nhiều hội để thực lặp lặp lại nhiều lần thành thạo thuật toán, toán - Có thể xếp, phân loại, phát triển tốn hình học họa hình theo mức độ từ đơn giản đến phức tạp; từ dễ đến khó; từ thuật tốn, tốn đến thuật toán, toán phức tạp để thuận tiện cho việc phát triển tư thuật toán cho SV - Các tốn học phần Hình học họa hình cần giải vấn đề theo trình tự logic xác Đó thành tố tư thuật toán Vì vậy, việc giải tốn dạy học học phần củng cố kiến thức cho SV - Các tốn hình học họa hình giải nhiều cách, trường hợp khác Những toán dạng hội cho SV tham gia đề xuất nhiều thuật toán để giải 2.2.1.2 Một số biểu phát triển tư thuật toán sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học học phần Hình học họa hình Kế thừa quan niệm, cơng trình nghiên cứu tư thuật toán tác giả nước, tham khảo tài liệu (Sterneckert, 2003), (Knuth, 1985), chúng tơi cho tư thuật tốn SV biểu dạy học học phần Hình học họa hình thơng qua cấp độ tăng dần sau đây: i) Thực thuật toán biết q trình giải tốn ii) Hình dung biểu diễn tồn q trình giải toán, giải vấn đề theo sơ đồ khối, ngơn ngữ trình, viết thành chương trình thuật tốn 93 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 ISSN: 2354-0753 iii) Biết vận dụng thuật tốn biết q trình giải tốn iv) Có thể tham gia đề xuất, thiết kế thuật tốn q trình giải tốn v) Có thể lựa chọn thuật tốn tối ưu nhiều thuật toán để giải vấn đề 2.2.2 Một số biện pháp phát triển tư thuật toán cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học Hình học họa hình thơng qua khai thác lời giải số toán sử dụng phép quay 2.2.2.1 Phân tích, chia tốn thành tốn nhỏ Hầu hết, giải toán tổng hợp có tính chất phức tạp, người học cần có nhìn tồn diện, xun suốt, từ nhận vấn đề đặt cấu thành từ vấn đề, module nhỏ nào, mấu chốt để giải toán nằm nút thắt Khi giải tốn hình học họa hình, đặc biệt tốn nâng cao, GV hướng dẫn SV phân tích, chia nhỏ tốn lí sau: 1) Lời giải tốn hình học họa hình mang tính thuật tốn tựa thuật tốn, cần chia nhỏ để người học tìm thuật toán nhỏ tổng thể thuật toán lớn; 2) Để tìm thuật tốn, địi hỏi SV phải có kiến thức định hình học Euclide việc phân chia toán việc làm quen thuộc với người học; 3) Hình học họa hình biểu diễn yếu tố hình học thơng qua hai hình chiếu, không chia nhỏ vấn đề, người học gặp khó khăn q trình vẽ hình biểu diễn Ví dụ 1: Qua điểm A, vẽ đường thẳng nghiêng với (P1) góc α nghiêng với (P2) góc β (xem hình 6) Lời giải t1 A1 d  N* a  O1 x D1= E1 B1= C1 E2 N1 B2 N2 A2=O2= t2 D2 C2 Hình H.4-19 Trước hết, để tìm tập hợp đoạn thẳng AN nghiêng với (P2) góc β có N thuộc (P2), cần: - Dựng đoạn thẳng AN // (P1), cho góc (A1N1, x) = β - Quay AN vòng quanh trục đường thẳng chiếu t vẽ qua A Khi đó: N vạch nên đường trịn nằm (P2), góc nghiêng (AN, (P2)) = β khơng đổi, độ dài AN = A1N1 = a (không đổi) Để tìm tập hợp đoạn thẳng AN, đoạn AN có góc nghiêng α so với (P1), ta vẽ tam giác vng A1N*N1 có cạnh huyền A1N1 = a góc nhọn N1A1N* = α Hình chiếu đứng đoạn thẳng cần tìm có độ dài A1N* = d Giao điểm trục x với đường tròn (A1, d) hình chiếu đứng vết đoạn thẳng cần tìm Hình chiếu vết nằm đường trịn (A2, A2N2) Để giải tốn nêu, SV cần phân tích, chia tốn thành hai toán nhỏ: Bài toán 1: Xác định tất đoạn AN cho đoạn thẳng AN nghiêng với (P2) góc β có điểm N thuộc (P2) Trong toán này, người giải biết vận dụng phép quay để đưa toán tổng quát toán đặc biệt, qua xác định dễ dàng hình chiếu 94 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 ISSN: 2354-0753 Bài tốn 2: Tìm nghiệm hình thỏa mãn yêu cầu thứ hai tốn: Đoạn AN có góc nghiêng α so với (P1) Với việc vận dụng kiến thức toán lượng, đồng thời sử dụng kết có phép quay tốn 1, người giải tìm nghiệm hình xác tốn Trong ví dụ 1, thấy người học cấp độ i) iii) xét theo khung tham chiếu mức độ phát triển tư thuật toán 2.2.2.2 Vận dụng kết hợp thuật toán toán biết cách giải Ở biện pháp 2.2.2.1, giảng viên hướng dẫn SV chia nhỏ toán lớn thành module nhỏ, module thường toán sở, tốn quen thuộc Vì vậy, giảng viên cần giúp SV nhận thấy việc vận dụng kết hợp thuật toán bản, toán biết cách giải cần thiết, từ em rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo giải tốn hình học họa hình Ví dụ 2: Biết đường chéo BD (B1D1 // x) hình chiếu đứng A1 đỉnh A hình thoi ABCD Hãy vẽ hình chiếu cịn lại hình thoi xác định hình thực hình thoi (xem hình 7) Hướng dẫn: Vì ABCD hình thoi nên hai đường chéo AC BD vng góc trung điểm O đường Vì BD đường nên A2C2  B2D2 Từ đó, thuật tốn để giải toán đề xuất sau: Bước 1: Vẽ qua trung điểm O2 B2D2 đường vng góc với B2D, cắt đường dóng qua A1 A2 Bước 2: Xác định đỉnh C nhờ tính đối xứng A C qua O, tính song song bảo toàn Bước 3: Thực quay mặt (ABCD) quanh đường BD cho mặt phẳng trở thành mặt phẳng Khi đó, A tới vị trí A’ mà O2A2’ = O2A* = OA, ta A’2B’2C’2D’2 hình thực ABCD A1 O1 B1 D1 C1 x C'2 C2 B2 A* O2 A2 D2 A'2 H.4-23 Hình Nhận xét: Để giải ví dụ 2, người học cần: 1) Thực thuật toán trang bị (cấp độ i) iii)); 2) Phân tích tốn, hình dung thuật tốn nhỏ thuật toán lớn (cấp độ ii)); 3) Đề xuất việc sử dụng phép quay để đưa toán trường hợp đặc biệt, từ xác định nghiệm hình tốn (cấp độ iv) 2.2.2.3 Linh hoạt vận dụng phép quay dạng toán Khi giải vấn đề hay giải tốn, thường có nhiều hướng tiếp cận để tìm nhiều cách giải Tuy vậy, người học nắm vững kiến thức, hiểu sâu chất vấn đề tìm cách giải tối ưu Trong q trình giải tốn hình học họa hình, giảng viên cần giải thích rõ cho SV việc chọn trục quay cho hợp lí tốn, củng cố cho em kĩ sử dụng phép quay cho dạng tốn Ví dụ 3: Cho hình chiếu A2B2 đoạn thẳng AB thuộc mặt phẳng (Q) = (V1Q, V2Q) Hãy vẽ hình chiếu tam giác ABC thuộc mặt phẳng (Q) (xem hình 8) 95 VJE Tạp chí Giáo dục, Số đặc biệt kì tháng 5/2020, tr 90-96 ISSN: 2354-0753 Hướng dẫn - Bước 1: Tìm vết đứng I (I2 = A2B2 giao x, từ I2 tìm I1 thuộc V1Q) vết J (J2 = A2B2 giao V2Q, từ J2 tìm J1 thuộc x) đường thẳng AB xác định hình chiếu đứng A1B1 AB - Bước 2: Quay mặt phẳng (Q) quanh vết V2Q để đưa (Q) trùng với mặt phẳng hình chiếu P2 Trong phép quay này, điểm I tới vị trí I’ mà I’2 giao điểm đường thẳng qua I2 vng góc với V2Q, đường trịn tâm O bán kính OI = O1I1 Vết đứng V1Q tới vị trí V’1Q trùng với O1I’2 v1q K1 b1 C1 I1 x O1=O2 I'2 I2 A1 K2 A2 B1 J1 C2 A'2 b2 B2 B'2 J2 v2q K'2 v'1q C'2 b'2 Hình H.4-35b Nhận xét: Các tốn hồn tồn sử dụng phép biến đổi hình chiếu để đưa vị trí đặc biệt Việc giải tốn giúp người học: 1) Biết phân tích tốn để tìm thuật toán giải toán (mức ii) 2) Vận dụng thành thạo thuật toán bản, thuật tốn biết q trình giải tốn (mức i) iii) 3) Vận dụng hợp lí phép quay toán cụ thể Kết luận Trong dạy học học phần Hình học họa hình cho SV đại học khối Kĩ thuật, việc khai thác phép quay giải số toán giúp em thu lời giải độc đáo, tìm tịi hướng giải khác cho vấn đề, có hội rèn luyện phát triển tư thuật tốn thơng qua dạng tốn liên quan Tài liệu tham khảo Bùi Văn Nghị (1996) Vận dụng tư thuật tốn vào việc xác định hình để giải tốn Hình học khơng gian trường trung học phổ thông Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội B Sterneckert (2003) Critical Incident Management Prentice Hall Futschek G (2006) Algorithmic Thinking: The Key for Understanding Computer Science In Lecture Notes in Computer Science, 159-168 Knuth D (1985) Algorithmic Thinking and Mathematical Thinking Mathematical Writing, 92(3), 170-181 James Walden (2013) An informatics perspective on computational thinking Conference Paper, Proceedings of the 18th ACM conference on Innovation and technology in computer science Education Nguyễn Bá Kim (2015) Phương pháp dạy học mơn Tốn NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy (1992) Phương pháp dạy học mơn Tốn (tập 1) NXB Giáo dục Nguyễn Đình Điện, Đỗ Mạnh Mơn (2015) Hình học họa hình NXB Giáo dục Việt Nam 96 ... triển tư thuật toán cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học học phần Hình học họa hình 2.2.1.1 Cơ hội phát triển tư thuật toán cho sinh viên dạy học học phần Hình học họa hình Thơng qua q... 2.2 Một số biện pháp phát triển tư thuật toán cho sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học Hình học họa hình thơng qua việc khai thác lời giải tốn có sử dụng phép quay 2.2.1 Những biểu hội phát triển. .. nhiều thuật toán để giải 2.2.1.2 Một số biểu phát triển tư thuật toán sinh viên đại học khối Kĩ thuật dạy học học phần Hình học họa hình Kế thừa quan niệm, cơng trình nghiên cứu tư thuật tốn tác