Tính chất co rút tuyệt đối của các tập lồi compact trong các không gian metric tuyến tính có cơ sở chứng minh khẳng định cho Bài toán AR trong trường hợp không gian metric tuyến tính có cơ sở (Schauder), có nghĩa rằng chứng minh mỗi tập lồi, compact trong một không gian metric tuyến tính có cơ sở đều là một co rút tuyệt đối (do đó, cũng có tính chất điểm bất động).
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.1, 2022 39 TÍNH CHẤT CO RÚT TUYỆT ĐỐI CỦA CÁC TẬP LỒI COMPACT TRONG CÁC KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH CĨ CƠ SỞ THE AR-PROPERTY OF COMPACT CONVEX SETS IN METRIC LINEAR SPACES WITH A BASIS Lê Hồng Trí1, Trần Lê Thương2* Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng Lớp cao học K42, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng *Tác giả liên hệ: thuong14st@gmail.com (Nhận bài: 06/10/2022; Chấp nhận đăng: 04/11/2022) Tóm tắt – Trong [1], giả thuyết Schauder phát biểu tập lồi, compact không gian metric tuyến tính có tính chất điểm bất động(?) Ta biết không gian metric compact, co rút tuyệt đối có tính chất điểm bất động (Định lý Borsuk, xem [2]) Do đó, Giả thuyết Schauder liên quan đến toán AR sau: Mỗi tập lồi, compact khơng gian metric tuyến tính AR (co rút tuyệt đối), xem [1] Bài tốn AR giải cho trường hợp khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương Trong báo này, nhóm tác giả chứng minh khẳng định cho Bài tốn AR trường hợp khơng gian metric tuyến tính có sở (Schauder), có nghĩa chứng minh tập lồi, compact không gian metric tuyến tính có sở co rút tuyệt đối (do đó, có tính chất điểm bất động) Nhóm tác giả cho ví dụ khơng gian metric tuyến tính có sở mà khơng lồi địa phương Abstract – In [1], The Schauder Conjecture states that every convex, compact set in any linear metric space has the property of fixed points(?) We know that every compact, absolutely retract metric space has the property of fixed points (Borsuk's theorem, see [2]) Therefore, the Schauder Conjecture is related to the following AR Problem: Every convex, compact set in a linear metric space is an AR (absolute retract), see [1] The AR problem has been solved for the case of a local convex linear metric space In this paper, we will prove the claim for the AR Problem in the case of a linear metric space having a basis (Schauder), i.e., proving that every compact, convex set in a linear metric space having a basis has an absolute retract (thus, it also has the property of fixed points) We also give some examples of basic linear metric spaces having a basis, but nonlocal convexity Từ khóa – Khơng gian metric tuyến tính; giả thuyết Schauder; sở Schauder; tính chất điểm bất động; khơng gian co rút tuyệt đối Key words - Linear metric spaces; Schauder conjecture; Schauder basis; fixed point property; absolute retract spaces Đặt vấn đề Cho X không gian topo A tập X , A gọi co rút X tồn ánh xạ liên tục r : X → A cho r (a) = a, với a A Khi đó, X gọi khơng gian metric tuyến tính đầy đủ (xem [3]) Khi nói khơng gian metric tuyến tính ta quy ước metric xét metric bất biến Một không gian topo tuyến tính (hay metric tuyến tính) gọi lồi địa phương lân cận phần tử không chứa lân cận lồi phần tử khơng Một khơng gian topo X gọi có tính chất điểm bất động ánh xạ liên tục f : X → X có điểm Ta nhận xét X khơng gian topo Hausdorff A co rút X A đóng X Một khơng gian topo khả metric Y gọi co rút tuyệt đối thỏa mãn điều kiện Y đồng phơi với tập A đóng khơng gian metric X A co rút X Mỗi khơng gian topo tuyến tính khơng gian tuyến tính, có topo mà phép cộng khơng gian tuyến tính phép nhân phần tử phần tử khơng gian tuyến tính với vơ hướng liên tục Mỗi khơng gian metric tuyến tính khơng gian tuyến tính, có metric mà phép cộng khơng gian tuyến tính phép nhân phần tử phần tử khơng gian tuyến tính với vô hướng liên tục Cho X khơng gian metric tuyến tính với metric ta chọn metric d X tương đương với , d metric bất biến (có nghĩa với x, y, z X , d ( x + z, y + z ) = d ( x, y ) Nếu metric đầy đủ d metric đầy đủ bất động (có nghĩa tồn phần tử x0 X : f ( x0 ) = x0 ) Năm 1910, Brouwer chứng minh đơn hình đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều có tính chất điểm bất động Sau đó, năm 1930, Schauder mở rộng kết cho tập lồi, compact không gian tuyến tính định chuẩn (khơng thiết hữu hạn chiều) Đến năm 1935, Tychonoff mở rộng kết cho tập lồi, compact không gian topo tuyến tính lồi địa phương (xem [4]) Schauder đặt giả thuyết kết cho không gian không lồi địa phương Giả thuyết 1.1 (Giả thuyết Schauder) Mỗi tập lồi, compact khơng gian metric tuyến tính có tính chất điểm bất động? (xem [1]) The University of Danang - University of Science and Education (Le Hoang Tri) Student of Mathematics, The University of Danang – University of Science and Education (Tran Le Thuong) Lê Hồng Trí, Trần Lê Thương 40 Có vài tác giả “cơng bố” giải giả thuyết “lời giải” tranh cãi Tính chất điểm bất động tính chất co rút tuyệt đối có liên quan theo định lý sau Định lý 1.2 (Định lý Borsuk, xem [2]) Mỗi AR compact có tính chất điểm bất động Do đó, giả thuyết Schauder có liên quan với tốn sau: Bài tốn AR: Mỗi tập lồi, compact không gian metric tuyến tính AR? (xem [1]) Năm 1951, Dugundji chứng minh tập lồi khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương co rút tuyệt đối (xem [3]) Như vậy, Bài toán giải cho trường hợp khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương, người ta chưa giải toán cho trường hợp tổng quát Có số trường hợp riêng Giả thuyết Schauder Bài toán AR giải [5], [6], [7] [8] Cho X khơng gian metric tuyến tính đầy đủ, hệ vector e1 , e2 , , en , gọi sở (Schauder) X x X , tồn với n =1 [7] trường hợp compact Cho E = u = (u1 , u2 , un , ) / un R, n N * Với u = (u1 , u2 , un , ), v = (v1 , v2 , , ) E , | un − | n 1+ | un − | n =1 (u, v) = số nguyên n0 N * : với n0 vn + n n n n =1 + n =1 + n = n0 +1 + r r r + + r n n 4 n =1 n = n0 +1 n0 Do đó, V B(0, r ) (quả cầu tâm gốc tọa độ, bán kính r E ) Vì vậy, E khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương Kết định lý Định lý 2.1 Mỗi tập lồi, compact khơng gian metric tuyến tính có sở co rút tuyệt đối Chứng minh Cho ( X , d ) không gian metric tuyến tính với sở e1 , e2 , , en , Ở đây, d metric bất biến Với n N * , với x X , tồn n (1 , , , n , ) mà x = n en n =1 Nếu f n ( x) = n f n : X → R hàm tuyến tính liên tục (xem [7], trang 69, 70) Cho F : X → E xác định F ( x) = ( f1 ( x), f ( x), , f n ( x), ), x X Khi đó, F ánh xạ tuyến tính khơng gian metric tuyến tính Để chứng minh F liên tục ta cần chứng minh liên tục phần tử Với 0, chuỗi 2 n =1 n hội tụ nên ta tìm , hàm n n = n0 +1 f1 : X → R , f : X → R ,…, f n0 : X → R liên tục nên tồn cho d (0, x) f1 ( x) , f ( x) , , f n0 ( x) 4 Do đó, d (0, x) Khi đó, E khơng gian metric tuyến tính với metric bất biến Bây ta kiểm tra E khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương n =1 đó, Khi (0, v) = số nguyên n0 N * : Các kết Trước chứng minh kết chính, nêu khơng gian metric tuyến tính cần thiết lồi Một khơng gian metric tuyến tính gọi có sở khơng gian metric tuyến tính đầy đủ có sở Bên cạnh đó, có khơng gian metric tuyến tính khơng có sở (xem [9]) Trong báo này, nhóm tác giả chứng minh tập lồi, compact khơng gian metric tuyến tính có sở co rút tuyệt đối Như vậy, chúng có tính chất điểm bất động theo Định lý Borsuk Nhóm tác giả cho ví dụ khơng gian metric tuyến tính có sở khơng lồi địa phương, khơng gian metric tuyến tính có sở khác khơng gian l p (0 p 1) Do đó, báo thực mở rộng 2 V tập v = (v1 , v2 , , , ) V , (1 , , , n , ) mà x = n en Với r , chuỗi r v = (v1 , v2 , , , )/ | vk | , k 1, 2, , n0 , hội tụ nên ta tìm r n n = n0 +1 Nếu V tập E cho bởi: f n ( x) n + f n ( x) n =1 ( F (0), F ( x)) = (0, F ( x)) = f n ( x) f n ( x) + n n n =1 + f n ( x ) n = n0 +1 + f n ( x ) n0 + n + n 4 n =1 n = n0 +1 n0 Vì vậy, F : X → E ánh xạ tuyến tính liên tục nên ánh xạ tuyến tính liên tục Bây cho K tập lồi, compact X ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 20, NO 11.1, 2022 Khi đó, F ( K ) tập lồi, compact không gian metric tuyến tính lồi địa phương E Do K tập compact nên F ( K ) đồng phôi với K Do F ( K ) tập lồi khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương nên co rút tuyệt đối Vì thế, K đồng phơi với co rút tuyệt đối (xem [3] [2]) Một vài ví dụ khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương Các khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương đơn giản không gian l p (0 p 1) sau: Ta đặt e1 = (1,0,0, ), e2 = (0,1,0, ), e3 = (0,0,1, ), l p Khi đó, x = (1 ,2 ,3 , ,n , ) l p , ta xét chuỗi n =1 cho x p n n =1 + (chuỗi x n =1 x = ( xn ), ( yn ) l p , xn − yn xn p n =1 p n =1 + yn x n =1 n p p p xn n =1 cận lồi V mà V B (0,1) , ta chọn : B(0, ) V , p n N * , u1 = (( ) , 0, 0, , 0, 0, 0, ), u2 = (0, ( ) p , 0, , 0, 0, 0, ), , p un = (0.0, , ( ) , 0, 0, ) B(0, ) V Do V tập lồi nên u = (u1 + u2 + + un ) V n u = ( ( ) p , ( ) p , , ( ) p , 0, ) V n n n n 1− p d (0, u ) = p = n n 1− p Do u V B(0,1) nên n điều vô lý chọn n đủ lớn; Như không gian l p không lồi địa phương Bây ta chứng minh l p có sở: k = n +1 tụ, k p , p x l p n n =1 | lim n → k = n +1 | p = 0, k n → giả n =1 x = n en , sử ta n =1 n = n , n N * Thật vậy, giả sử ngược lại n k =1 n =1 e n =1 n n , có tổng riêng n → lim S n = x tính khơng lồi địa phương Giả sử l p lồi địa phương Khi đó, ta tìm lân hội n → n → p Định lí 2.2 Khơng gian l p (0 p 1) không Tn = k ek , x = n en nên lim Tn = x ta có: gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương có sở Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh l p không gian metric tuyến lim d ( x, Tn ) = 0, lim d ( x, Sn ) = n → n → lim d (Tn , Sn ) = d metric bất biến l p , ta có nhận xét sau: n Sn = k ek , lim d ( x, Sn ) = lim Sn = x x = n en n =1 riêng m N * : m m , ta xét chuỗi Do đó, l p không gian vector Ta đặt: x = ( xn ), ( yn ) l p , d ( x, y ) = xn − yn tổng +, n =1 + k =1 Bây p R, x = ( xn ) l p , x = ( xn ), có chuỗi chuỗi hội tụ) Ta có p n e , n n n N * , d ( x, S n ) = p (0,1), l p tập hợp tất dãy số thực x = ( xn ) 41 n → Mà với n m, n d (Tn , S n ) = k − k p k =1 m − m p Điều mâu thuẫn với lim d (Tn , Sn ) = n → Nên n = n , n N * Từ đó, hệ vector {e1 , e2 , e3 , , en , } sở l p l p không gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương có sở □ Như theo Định lý 2.1, tập lồi, compact không gian l p (0 p 1) co rút tuyệt đối (xem [7]) Một ví dụ khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương có sở mà khơng l p Cho dãy số thực { pn } mà pn (0,1), n N * , Cho X tập hợp tất dãy số thực x = ( xn ) cho x n =1 pn n + (chuỗi x n =1 pn n chuỗi hội tụ) x = ( xn ), ( yn ) X , x n =1 n − yn pn xn n =1 pn + yn pn +, n =1 R, x = ( xn ) l p , x = ( xn ), xn n =1 pn n =1 pn xn pn max{1, } xn Do X khơng gian vector, ta đặt n =1 pn + Lê Hồng Trí, Trần Lê Thương 42 x = ( xn ), ( yn ) X , d ( x, y ) = | xn − yn | pn n k =1 n =1 riêng Tn = k ek , x = n en nên lim Tn = x ta n =1 d metric bất biến X ta có nhận xét sau Định lí 2.3 Khơng gian X khơng gian metric tuyến tính có sở lồi địa phương sup{ pn / n N *} n → có lim S n = x n → lim d ( x, Tn ) = 0, lim d ( x, Sn ) = n → n → lim d (Tn , Sn ) = n → Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh X khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương sup{ pn / n N *} Mà với n m, Ta đặt p = sup{ pn / n N *} Giả sử X lồi địa phương; Khi đó, ta tìm lân cận lồi V mà V B (0,1) , ta chọn : B(0, ) V , Điều mâu thuẫn với lim d (Tn , Sn ) = un = (0.0, , ( ) pn , 0, 0, ) B(0, ) V Do V tập lồi nên u = (u1 + u2 + + un ) V n Do u V B(0,1) nên n1− p điều vô lý Bây ta chứng minh X có sở: Ta đặt e1 = (1, 0, 0, ), e2 = (0,1, 0, ), e3 = (0, 0,1, ), X , n =1 e , n n riêng n Sn = k ek , k =1 n N * , d ( x, S n ) = chuỗi tổng hội k = n +1 tụ, pk k , x X n pn n =1 lim n → k = n +1 k pk =0 lim d ( x, Sn ) = lim Sn = x x = n en n → Bây n → giả sử n =1 x = n en , ta n =1 n = n , n N * ; Thật vậy, giả sử ngược lại m N * : m m , ta xét chuỗi n en , có tổng n =1 Nên n = n , n N Lời cảm ơn: Nghiên cứu tài trợ Tập đồn Vingroup – Cơng ty CP hỗ trợ Chương trình học bổng thạc sĩ, tiến sĩ nước Quỹ Đổi sáng tạo Vingroup (VINIF), Viện Nghiên cứu Dữ liệu lớn, mã số VINIF.2021.ThS.17 TÀI LIỆU THAM KHẢO x = (1 ,2 ,3 , ,n , ) l p , ta xét chuỗi có n → * (3) Tìm số khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương có sở ma không không gian l p chọn n đủ lớn; Như không gian X không lồi địa phương trường hợp sup{ pn / n N *} pm Kết luận Như ta chứng minh được: (1) Mỗi tập lồi, compact khơng gian metric tuyến tính có sở co rút tuyệt đối, có tính chất điểm bất động (2) Chứng minh l p (0 p 1) có sở u = ( ( ) p1 , ( ) p2 , , ( ) pn , 0, ) V n n n 1 d (0, u ) = ( p1 + p2 + + pn ) n n n 1 ( p + p + + p ) = n1− p n n n m − m có sở □ Theo Định lý 2.1, tập lồi không gian X co rút tuyệt đối u2 = (0, ( ) , 0, , 0, 0, 0, ), , pk l p không gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương p2 k =1 Từ hệ vector {e1 , e2 , e3 , , en , } sở l p n N * , u1 = (( ) p1 , 0, 0, , 0, 0, 0, ), n d (Tn , S n ) = k − k [1] Ross Geoghegan, “Open problems in infinite dimensional topology”, Topology Proc 4, 1979, 287-333 [2] Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer, 2003 [3] Czeslaw Bessaga and Aleksander Pelczynski, Selected Topics in Infinite-dimensional Topology, Warszawa, 1975 [4] Sehie Park, Ninety Years of the Brouwer Fixed Point Theorem, Springer, 1999 [5] Nguyen To Nhu and Le hoang Tri, “Every needle point space contains a compact convex AR – Set with no Extreme points”, Proc Amer Math Soc Volume 120, number 4, 1994, 1261-1265 [6] Nguyen To Nhu and Le Hoang Tri, “No Roberts space is a counter – example to Schauder’s conjecture”, Topology, 33, 1994, 371-378 [7] Le Hoang Tri, “The AR- property of bounder convex sets in the space l p (0 p 1) ”, The University of Danang - Journal of Science and Technology, 13, 2006, 59-64 [8] Le Hoang Tri, “The fixed point theory property for compact maps normal simplex in the space l p (0 p 1) ”, The University of Danang - Journal of Science and Technology, 1(24), 2008, 93-96 [9] Stefan Rolewicz, Metric Linear Space, Warszawa, 1985 ... khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương Kết định lý Định lý 2.1 Mỗi tập lồi, compact không gian metric tuyến tính có sở co rút tuyệt đối Chứng minh Cho ( X , d ) khơng gian metric tuyến tính. .. khơng gian metric tuyến tính cần thiết lồi Một khơng gian metric tuyến tính gọi có sở khơng gian metric tuyến tính đầy đủ có sở Bên cạnh đó, có khơng gian metric tuyến tính khơng có sở (xem... lồi, compact khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương E Do K tập compact nên F ( K ) đồng phôi với K Do F ( K ) tập lồi khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương nên co rút tuyệt đối Vì