Không gian metric tuyến tính và các tính chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ YẾN KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hồng Trí Đà Nẵng – Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Yến MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.2 CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHƠNG GIAN MODULAR 18 1.3 KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH ĐẦY ĐỦ 33 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ BANACH-STEINHAUS CHO CÁC F-KHÔNG GIAN 40 2.1 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH 40 2.2 ĐỊNH LÝ BANACH-STEINHAUS CHO CÁC F- KHÔNG GIAN 44 CHƯƠNG 3: SỰ LIÊN TỤC CỦA CÁC TOÁN TỬ NGƯỢC TRONG CÁC F-KHÔNG GIAN 49 3.1 NGUYÊN LÝ ÁNH XẠ MỞ CHO CÁC F- KHÔNG GIAN 49 3.2 CÁC HỆ QUẢ 53 CHƯƠNG 4: CÁC CƠ SỞ CỦA CÁC F- KHÔNG GIAN 55 4.1 ĐỊNH NGHĨA 55 4.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN 56 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một hướng giải tích nghiên cứu khơng gian tính chất nó, khơng gian tuyến tính nhiều nhà tốn học nghiên cứu Khái niệm không gian đưa Fréchet vào năm 1926, sau Banach cộng ông phát triển thêm đạt nhiều kết như: Định lí Banach ánh xạ mở, định lí Banach- Steinhaus chặn đều, kết khơng quan trọng với mơn giải tích hàm mà cịn ứng dụng với nhiều mơn khác tốn học Các giáo trình giải tích hàm chương trình Đại học người thường tìm hiểu khơng gian tuyến tính định chuẩn, khơng gian Banach số định lí liên quan đến khơng gian khơng biết có mở rộng sang khơng gian tổng qt hay khơng? Vì luận văn tìm hiểu khơng gian tổng qt khơng gian Metric tuyến tính Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa chứng minh, ví dụ trình bày chi tiết trình chứng minh định lý, góp phần bổ sung kiến thức khơng gian Metric tuyến tính vốn có hội tiếp cận trình học đại học, mục tiêu luận văn Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khơng gian Metric tuyến tính, khơng gian modular, khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ Tìm hiểu Định lý Banach-Steinhaus cho − khơng gian Tìm hiểu liên tục tốn tử ngược Tìm hiểu sở − không gian − không gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu − Đối tượng nghiên cứu: Tìm hiểu khơng gian Metric tuyến tính, khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ, khơng gian modular, liên tục tốn tử ngược − không gian sở − không gian − Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ tài tiệu không gian Metric tuyến tính, tạp chí Tốn học số trang web Toán học Phương pháp nghiên cứu Thu thập hệ thống tài liệu khơng gian Metric tuyến tính có liên quan đến nội dung đề tài Phân tích, khảo sát tư liệu thu thập Trao đổi với giáo viên hướng dẫn Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày qua bốn chương: − Chương Các khái niệm khơng gian Metric tuyến tính tuyến tính Trong chương trình bày định nghĩa khơng gian Metric tuyến tính, định nghĩa chuẩn bất biến, modular, khơng gian metric tuyến tính đầy đủ − Chương Định lý Banach - Steinhaus cho − không gian Trong chương mở rộng định lí Banach- Steinhaus cho khơng gian Banach sang khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ − Chương Tính liên tục tốn tử ngược khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ Trong chương mở rộng ngun lí ánh xạ mở cho khơng gian Banach sang khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ − Chương Các sở − không gian Trong chương định nghĩa sở khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ tìm hiểu tính chất liên quan CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢNVỀ KHÔNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH Cho khơng gian tuyến tính trường số thực Phép tốn cộng hai phần tử Phép toán nhân phần tử kí hiệu + với tích vơ hướng kí hiệu Cho , tập Khi A + B ≜{ Cho t ∈ ℝ + | ∈ , ∈ } tA ≜ { | ∈ } Định nghĩa 1.1.1 Giả sử có metric Khơng gian gọi khơng gian metric tuyến tính phép tốn cộng phép toán nhân với số liên tục metric Tức (i) ∀ , ∈ , ∀ > 0, ∃ , mà ( , (ii) ∀ ,∀ ∈ )< ∈ ,∀ Có thể gọi ( + , + ∈ ℝ, ∀ > 0, ∃ , mà ( , metric tuyến tính > 0: ∀ ∈ )< ( , )< mà ( , )< > 0: ∀ ∈ ℝ mà | − )< ,∀ ∈ |< khơng gian metric tuyến tính ( , ) khơng gian Chúng ta nói tập ∈ ℝ, | | ≤ Nhận xét 1.1.2 Chứng minh ⊂ cân (hay cân bằng) với ⊂ Từ ta có nhận xét sau cân ⇔ ∀ ∈ [−1 ,1], ∀ ∈ , ∈ " ⇒ " ∀ ∈ [−1 ,1], ∀ ∈ ∈ Ta có ⇒ ⇒ ∈ ∈ ⇒ ⊂ ⊂ " ⇐ " ∀ ∈ [−1 ,1], ta phải chứng minh ∀ ∈ ⇒∃ ∈ : = ∈ Vậy cân ⇒ ⇒ ∈ ⊂ Từ giả thiết ta suy ⊂ Nhận xét 1.1.3 Mỗi lân cận zero chứa lân cận cân zero Để chứng minh điều trước hết ta chứng minh bổ đề sau khơng gian metric tuyến tính, ∀ ∈ ℝ, ≠ 0, Bổ đề 1.1.4 Cho mở mở Chứng minh Cho : suy → xác định ⟼ liên tục (do định nghĩa khơng gian metric tuyến tính) : → suy xác định ⟼ liên tục (do phép nhân số với vectơ phép toán liên tục) ngồi = = phép đồng phơi Ta có ( ) = Vậy tV mở X Bổ đề 1.1.5 Cho ∈ , + ={ không gian metric tuyến tính, + | ∈ } mở , cho ⊂ mở + Chứng minh Cho : → suy xác định ⟼ liên tục : ⟼ suy liên tục + → xác định − Và = = ⇒ phép đồng phôi ⇒ + ⇒ ( ) mở Ta lại có Vậy + + = ∈ + = ( ) mở X mở Ta chứng minh nhận xét Cho Đặt lân cận X ⇒ ∃ > 0: (0, ) ⊂ ≜ (0, ) = 0(do phép nhân vectơ tích vơ hướng liên tục) Suy tồn , ∀ ∈ ℝ mà | | < > 0, , ∀ ∈ , ( , 0) < ( , 0) < , mở Đặt Suy = (0, ), = mở lân cận điểm mở ⊂ Tiếp theo ta chứng minh ∀ ∈ ⇒ ⇒∃ ∈ | | ∈ ℝ: < | | < ⇒∃ ∈ : ⇒ ( , 0) < ⇒ ( ⇒ ⇒ ∈ ⇒ Vậy cân cân | | ⇒ ∃ ∈ ℝ: < | | < Mà |⋋ | ≤ | | < ∈ ∈ Ta chứng minh ⋋ ⇒∃ ∈ : ∈ ∈ ∈ (0, ) ⊂ Với ⋋∈ [−1,1], = mà , 0) < Cuối ta chứng minh Ta có ∀ ∈ | | ⇒⋋ = =⋋ Nếu ⋋= ⇒⋋ ∈⋋ , ∈ ∈ = ∈ (do U lân cận 0) Nếu ⋋≠ ⇒ < |⋋ | < ⇒⋋ ∈∑ | | = Ta nói hai ( , ) ′( , ) tương đương topo cảm sinh chúng trùng hay nói cách khác: ∀ ∈ , ∀ > 0, ∃ , ′ cho >0 { : ′ ( , ) < } ⊂ { : ( , ) < } Một dãy { { : ( , ) < ′} ⊂ { : ′( , ) < } } gọi tiến đến phần tử metric ( , ) Ta viết → lim ( →∞ ∈ (hay hội tụ đến ) , )=0 Định nghĩa 1.1.6 Một metric ( , ) gọi bất biến ( + , + ) = ( , ); ∀ , , ∈ Định lý 1.1.7 (Kakutani, 1936) Cho ( , ) không gian metric tuyến tính Khi tồn metric bất biến ′ ( , ) ( , ) tương đương với metric Để chứng minh Định lí Kakutani, ta chứng minh định lí tổng quát sau Định lý 1.1.8 Cho khơng gian topo tuyến tính, tồn hệ bản, đếm lân cận có metric bất biến tương ứng với topo cho Ở đây, tồn hệ bản, đếm lân cận có nghĩa tồn họ { mà với lân cận ⊂ Nhận xét 1.1.9 Nếu metric với } ∈ℕ gồm lân cận ta tìm số ∈ ℕ cho khơng gian topo tuyến tính khả metric, gọi tương thích với topo cho Khi xét { } ∈ℕ 54 Cho khơng gian tuyến tính Một họ hàm tuyến tính được gọi đầy đủ thỏa mãn ( ) = 0, ∀ ∈ = xác định ∗ − không gian với hai Hệ 3.2.2 Giả sử ‖ ‖ ‖ ‖ Giả sử đầy đủ với hai − chuẩn khác − chuẩn tồn họ đủ hàm tuyến tính mà đồng thời liên tục hai − chuẩn ‖ ‖ ‖ ‖ tương đương đầy − chuẩn Khi Chứng minh Ta xây dựng chuẩn không gian Ta thấy không gian Cho { − chuẩn ‖ ‖ Giả sử { }→ −chuẩn ‖ ‖ , − chuẩn ‖ ‖ mạnh }→ ≠ chuẩn ‖ ‖ chuẩn ‖ ‖ Do họ ) Do tính liên tục ⇒ − chuẩn ‖ ‖ Khi dãy đầy đủ ‖ ‖ ‖ ‖ nên ta có { ( đầy đủ chuẩn ‖ ‖ − chuẩn ‖ ‖ − chuẩn ‖ ‖ Vì ‖ ‖ =‖ ‖+‖ ‖ } dãy trong công thức ⇒ ( hai chuẩn ) = lim ( giới hạn { Vì đầy đủ nên tồn hàm → )= ( ∈ : ( )≠ )(mâu thuẫn) } hai chuẩn ‖ ‖ ‖ ‖ giới hạn { } chuẩn ‖ ‖ Khi khơng gian ( , ‖ ‖ ) đầy đủ Theo Hệ 3.2.1 chuẩn ‖ ‖ tương đương chuẩn ‖ ‖ chuẩn ‖ ‖ Do chuẩn ‖ ‖ chuẩn ‖ ‖ tương đương 55 CHƯƠNG − KHÔNG GIAN CÁC CƠ SỞ CỦA CÁC 4.1 ĐỊNH NGHĨA − không gian, dãy { } phần tử Cho ( , ‖ ‖) không gian gọi cở sở Schauder (hay đơn giản sở) khơng gian ∀ ∈ biểu diễn thành tổng chuỗi = Một dãy { }⊂ gọi dãy sở cở sở khơng gian đóng sinh Rõ ràng, Thật vậy, lấy =ℚ Thì Suy , ,…, (4.2) , nghĩa sở − khơng gian có sở khả ly +ℚ ;…; =ℚ , … tập đếm +ℚ ∞ đếm Đặt = Ta thấy = { trù mật +⋯+ℚ ;… } 56 Vậy không gian khả li hay tách 4.2 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN Với dạng (4.1), tức = Đặt ; ∀ ∈ ℕ∗ ( )= Định lý 4.2.1 Các toán tử liên tục đồng bậc Chứng minh Cho không gian tất dãy vô hướng hội tụ Ta kiểm tra ∗ Gọi khơng gian tuyến tính khơng gian dãy số vơ hướng Ta thấy ∗ Ta có ∈ khơng gian tuyến tính ∗ ={ } ∀ ={ }∈ suy hội tụ = { } cho chuỗi 57 ∀ ={ }∈ suy hội tụ · Ta có { + + ={ }+{ }=( ( + } + ) = ( , + ,…, )= + + + Mà Nên Do Ta có Mà + ( ∈ · ∀ ∈ℝ = ( , ,…, ( + ,…) = ( ) = hội tụ ) hội tụ , ( ,…, )= hội tụ ,…) ,…) = 58 Nên Do ⊂ Vì ∈ ∗ hội tụ ∗ tuyến tính Vậy ∗ kín hai phép tốn nên khơng gian khơng gian tuyến tính Đặt Khơng gian với ‖ ‖∗ = sup đầy đủ, tức Giả sử { }∈ Vì ( ⇒ ( ⇒ ( suy ∀ > 0, ∃ = ) ) > 0, ∀ , = ) − − − } dãy Cauchy nên ∗ − − không gian − không gian Ta cần dãy Cauchy Do { = Đặt ∗ − chuẩn ‖ ‖ ( = ≤ ( − − ( ( ) − − − ) > ) ) < (4.3) ( − − + ( ( ) − − ) ) − đầy đủ toán tử từ (4.4) = > ;∀ , dãy Cauchy Do tồn ‖< − ‖ ‖ ‖≤‖ Vì ∀ , > Do − = Từ (4.3) ta có , > = 1,2, … − vào ) ={ }∈ ≤ ,∀ > định nghĩa sau để 60 ( )= Theo định nghĩa không gian tồn khơng gian Ta suy toán tử định nghĩa đắn toán tử tuyến tính Thật Cho · ∀ , chứng minh ( ∈ = { } cho + hội tụ = { } cho hội tụ Ta có ( Ta có Vậy + )= · ∀ ( + ) = = ( )+ ( ) ∈ ) = ( ) + ( ) + , ∀ ∈ ℝ chứng minh ( ( )= tốn tử tuyến tính Từ { } sở, toán tử )= = song ánh từ ‖ ( )‖ = = = sup + ( ) = ( ) → Toán tử = ‖ ‖∗ liên tục 61 Theo Định lí Banach tốn tử ngược đồng liên tục ∈ Ta viết Đặt ( )‖ = ( )= Đặt ≤ ‖ ‖∗ = ‖ ‖ ( )‖ = tốn tử liên tục, hàm tuyến tính Thật ( · ∀ , )= + = Do theo giả thiết ∈ , ta có ( )+ ( Vậy = ∈ , ∈ ℝ, ta có )= = = ( ) ( )= · ∀ + ( ) nên ( + ( )= = ( ) = ( )− Từ định lí ta có hệ ( ) Hệ 4.2.2 Các hàm sở hàm liên tục Chứng minh Ta có tốn tử hàm liên tục = + = = hàm tuyến tính Ta gọi hàm sở Để ý ) = 62 ⇒ hàm liên tục ⇒ − ⇒ ( )= liên tục ( )− Mặt khác, Vậy ( )= hàm liên tục hàm liên tục Cho hai − không gian Gọi { } sở không gian { } cở sở khơng gian Ta nói { } { } hai sở tương đương hội tụ hội tụ Định lý 4.2.3 Nếu hai sở { } { } tương đương khơng gian đẳng cấu Chứng minh Cho : → định nghĩa ( )= Theo Hệ 4.2.2 tốn tử = tuyến tính liên tục Ta có ( ) = lim → ( ),∀ ∈ Theo hệ Mazur and Orlicz ( ) liên tục Từ hai sở { } { } hai sở tương đương, toán tử từ vào nên theo Định lý Banach tốn tử ngược song ánh liên tục Ta có Định lý 4.2.4 Cho ( , ‖ ‖) không gian dạng − không gian, { } dãy phần tử độc lập tuyến tính Gọi tập tất phần tử có 63 = Đặt ( )= dãy tốn tử tuyến tính định nghĩa liên tục khơng gian Nếu tốn tử đồng đầy đủ Chứng minh Vì tốn tử liên tục đồng bậc Với chuỗi Đặt ∈ mở rộng = khơng gian dãy { } cho chuỗi = Đặt Ta chứng minh ‖ ‖∗ Chứng minh ‖ ‖∗ ∀{ } ∈ ta suy ‖{ }‖∗ = sup − chuẩn ( − chuẩn Theo giả thiết ta có ‖{ }‖ ≥ Cho ‖{ }‖ = 0, chứng minh = hội tụ , ‖ ‖∗ ) hội tụ = (0,0,0, ,0, ) − khơng gian 64 Ta có ‖{ }‖∗ = ⇔ sup ⇔ ⇒ ∀ ∈ ℕ∗ ⇒ ‖ = 0, =0 = 0, ∀ ∈ ℕ∗ ‖=0 ∀ = 1, ⇒ | |‖ ‖ = ⇒| |=0 ∀ ∈ ℕ∗ ⇒ ‖ ⇒‖ ⇒| Tương tự ta có ⇒| ∀ ∈ ℕ∗ ⇒ ‖ ⇒‖ ⇒| Vậy Ta có ⇒| = (0,0, ,0, ) ∀{ } ∈ , + ‖=0 ‖=0 |‖ ‖ = |=0 + ‖=0 +⋯+ |‖ ‖ = |=0 = −1 ‖{− }‖∗ = sup = sup − + ⋯‖ = 65 = ‖{ }‖∗ ∀{ }, { } ∈ Ta có ‖{ } + { }‖∗ = sup mặt khác + ⇒ ( = + ⇒ ) ( ( + ≤ + ) ( + ≤ Với {a } ∈ X α ∈ ℝ ‖ { }‖ = ‖{ }‖ = sup = =| | ⇒ | | = | |‖{ }‖ khơng gian tuyến tính định chuẩn ⇒ ‖ ‖∗ ∗ − không gian ) ) ⇒ ‖{ } + { }‖∗ ≤ ‖{ }‖∗ + ‖{ }‖∗ Ta có + + 66 ⇒( , ‖ ‖∗ ) −khơng gian Ta có ‖ ‖ ≤ ‖{ }‖∗ Mặt khác, toán tử đồng liên tục nên Do khơng gian Vậy ‖{ }‖∗ → đẳng cấu với không gian →0 − không gian 67 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu thực hiện, luận văn nêu kết sau Tìm hiểu trình bày khơng gian Metric tuyến tính, khơng gian Modular, chứng minh cụ thể định lý mối liên hệ − chuẩn không gian modular, cụ thể hóa nhận xét liên quan, trình bày chi tiết ví dụ khơng gian Metric tuyến tính Trình bày định lý Banach - Steinhaus cho không gian Banach sang khơng gian tuyến tính đầy đủ Tìm hiểu tính liên tục tốn tử ngược khơng gian Metric tuyến tính đầy đủ Tìm hiểu sở chất liên quan tới − khơng gian, định nghĩa sở tính 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (2000), Topo đại cương, độ đo tích phân, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nxb Đại học Quốcgia Hà Nội Tiếng Anh [3] Kalton, N.J and Peck N.T (1981), A Re-Examination of the Robertsof a Compact Convex Sets without Extreme Points, Math.Ann [4] Roberts, J.W (1976), Pathological Compact Convex Sets in the Spaces Lp, 0