Không gian metric tuyến tính không lồi địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG  TRẦN BÁ ĐỊNH KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHƠNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ ĐÀ NẴNG – NĂM 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Học viên Trần Bá Định MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 Định lí khơng gian metric tuyến tính định lí chuẩn bất biến 1.2 Không gian Modular 20 1.3 Không gian metric tuyến tính đầy đủ 32 CHƯƠNG MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH KHƠNG LỒI ĐỊA PHƯƠNG 36 2.1 Ví dụ 36 2.2 Ví dụ 39 2.3 Ví dụ 40 2.4 Ví dụ 44 2.5 Ví dụ 46 2.6 Ví dụ 47 CHƯƠNG ĐỊNH LÍ KREIN-MILMAN VÀ CÁC VÍ DỤ CỦA ROBERTS VỀ CÁC TẬP LỒI, COMPACT KHƠNG CĨ ĐIỂM CỰC BIÊN 49 3.1 Điểm cực biên 49 3.2 Định lí Krein- Milman 52 3.3 Định nghĩa điểm nhọn điểm xấp xỉ nhọn 58 3.4 Định lí Roberts 1976 63 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong giáo trình học Đại học người ta thường quan tâm đến khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương, nhiều định lí liên quan đến khơng gian metric tuyến tính lồi địa phương khơng mở rộng cho khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương, nên mục đích đề tài tìm hiểu khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương tính chất Định nghĩa khơng gian metric tuyến tính đưa Fréchet vào năm 1926, hầu hết định lý không gian metric tuyến tính chứng minh trước năm 1940 phần lớn Banach cộng Vào thời gian đầu trình nghiên cứu, người ta quan tâm đến định lý không gian định chuẩn, xuất định lý điểm cực biên góp phần phát triển nhanh chóng hướng nghiên cứu định lý khơng gian topo lồi địa phương Cụ thể vào năm 1940, đời định lý Krein-Milman điểm cực biên góp phần khơng nhỏ vào lĩnh vực giải tích, đặc biệt giải tích lồi Đến năm 1976, Roberts phát biểu định lý tiếng, ông xây dựng F − không gian, chứa tập compact khơng có điểm cực biên, định lý Krein-Milman khơng cịn cho khơng gian khơng lồi địa phương Với mục đích tìm hiểu, cụ thể hóa chứng minh, ví dụ, trình bày chi tiết bổ sung ý nhỏ trình chứng minh định lý, góp phần bổ sung kiến thức khơng gian metric tuyến tính vốn khơng có hội tiếp cận trình học đại học, mục tiêu khóa luận Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu số khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương số tính chất - Tìm hiểu định lí Krein-Milman điểm cực biên Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu không gian metric tuyến tính tính chất - Nghiên cứu điểm cực biên ví dụ Roberts Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức - Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Khơng gian metric tuyến tính khơng lồi địa phương” - Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài - Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày qua ba chương: - Chương trình bày khái niệm khơng gian metric tuyến tính, khơng gian modular, mối liên hệ F − chuẩn khơng gian modular, ví dụ khơng gian metric tuyến tính - Chương trình bày số ví dụ khơng gian metric tuyến tính không lồi địa phương - Chương chủ yếu mô tả nguyên tắc xây dựng không gian F − chuẩn chứa tập compact lồi khơng có điểm cực biên Roberts đưa năm 1976, trình bày chi tiết bổ sung ý nhỏ chứng minh định lý Roberts CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH 1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ KHƠNG GIAN METRIC TUYẾN TÍNH VÀ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI METRIC BẤT BIẾN Cho X không gian tuyến tính trường số thực Phép tốn cộng hai phần tử x y kí hiệu: x + y Phép toán nhân phần tử x với tích vơ hướng t kí hiệu: tx Cho A, B tập X Khi đó: ∆ A + B = {a + b/a ∈ A, b ∈ B} Cho t ∈ R: ∆ tA = {ta/a ∈ A} Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X có metric ρ Khơng gian X gọi khơng gian metric tuyến tính phép tốn cộng phép toán nhân với số liên tục metric ρ Tức là: (i) ∀x0 , y0 ∈ X, ∀ε > 0, ∃δ1 , δ2 > : ∀x ∈ X mà ρ(x, x0 ) < δ1 , ∀y ∈ X mà ρ(y, y0 ) < δ2 ρ(x + y, x0 + y0 ) < ε (ii) ∀x0 ∈ X, ∀t0 ∈ R, ∀ε > 0, ∃δ1 , δ2 > : ∀t ∈ R mà |t − t0 | < δ1 , ∀x ∈ X mà ρ(x, x0 ) < δ2 ρ(tx, t0 x0 ) < ε Có thể gọi X khơng gian metric tuyến tính (X, ρ) khơng gian metric tuyến tính Chúng ta nói tập U ⊂ X cân (hay cân bằng) với t ∈ R, |t| tU ⊂ U Từ ta có nhận xét sau: Nhận xét 1.1.1 U cân ⇔ ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U, tu ∈ U Chứng minh "⇒": ∀t ∈ [−1, 1], ∀u ∈ U ⇒ tU ⊂ U Ta có: u ∈ U ⇒ tu ∈ tU ⊂ U ⇒ tu ∈ U "⇐": ∀t ∈ [−1, 1] phải chứng minh tU ⊂ U : ∀z ∈ tU ⇒ ∃u ∈ U : z = tu Từ giả thiết ta suy ra: tu ∈ U ⇒ z ∈ U ⇒ tU ⊂ U ⇒ U cân Nhận xét 1.1.2 Mỗi lân cận W zero chứa lân cận cân U zero Chứng minh Để chứng minh điều trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.1 Cho X khơng gian metric tuyến tính ∀t ∈ R, t = 0, V mở X tV mở X Chứng minh Cho ϕ : X −→ X xác định bởi: x −→ tx ⇒ ϕ liên tục (do định nghĩa khơng gian metric tuyến tính) và: ψ : X −→ X xác định bởi: y −→ y t ⇒ ψ liên tục (do phép nhân số với vectơ) ψo ϕ = idX ϕo ψ = idX ⇒ ϕ phép đồng phơi Ta có: ϕ(V ) = tV ⇒ tV mở X Bổ đề 1.1.2 Cho X không gian metric tuyến tính, V mở X, x0 ∈ X, U ⊂ X x0 + V = {x0 + x|x ∈ V } mở X, U + V mở X Chứng minh Cho ϕ : X −→ X xác định bởi: x −→ x + x0 ⇒ ϕ liên tục ψ : X −→ X xác định bởi: y −→ y − x0 ⇒ ψ liên tục ψo ϕ = idX ϕo ψ = idX ⇒ ϕ phép đồng phôi ⇒ ϕ(V ) mở ⇒ x0 + V = ϕ(V ) mở X Ta lại có U + V = (x + V ) x∈U ⇒ U + V mở X Ta chứng minh nhận xét Cho W lân cận X ⇒ ∃ε > : B(0, ε) ⊂ W ∆ Đặt W1 = B(0, ε) Ta có: o.0 = (do phép nhân vectơ tích vơ hướng liên tục) ⇒ ∃δ1 , δ2 > : ∀t ∈ R mà |t| < δ1 , ∀x ∈ X mà ρ(x, 0) < δ2 ρ(tx, 0) < ε tV ⇒ U mở tV mở lân cận Đặt V = B(0, δ2 ), U = 0