Các không gian lồi địa phương các hàm và các dãy

Khoa toán Trờng đại học Vinh .***** Khoa toán nguyễn thị *****hồng thị hồng Trờngnguyễn đại học Vinh Khoa toán .***** Các không gian lồi địa phơng Các hàm lồi cácđịa dÃyphơng Các không gian Các hàm dÃy Tên đề tài: KHOá LUậN TốT NGHIệP KHOá LUậN TốT NGHIệP Các không gian lồi địa phơng Các hàm dÃy NGàNH Cử NHÂN KHOA HọC TOáN Cán hớng dẫn khoa học :PGS.TS.Đinh Huy Hoàng Sinh viên thực Lớp : Nguyễn Thị Hồng :41E4-Toán Vinh – 2005 2005 Vinh - 2005 Vinh – 2005 2005 Vinh - 2005 môc lôc Trang Lêi nãi đầu Đ1 Các kiến thức chuẩn bị §2 Mét số ví dụ không gian lồi địa phơng 2.1 Không gian hữu hạn chiều Rn 2.2 Không gian hàm liên tôc 11 2.3 Không gian hàm khả vi vô hạn X .17 2.4 Không gian hàm chỉnh hình 21 2.5 Không gian dÃy 23 KÕt luËn 29 Tài liệu tham khảo 30 lời nói đầu Trong giáo trình Giải tích hàm dành cho sinh viên, đà đợc học kỹ không gian định chuẩn Có lớp không gian rộng mà không gian định chuẩn trờng hợp riêng lớp không gian lồi địa phơng Lớp không gian có vai trò quan trọng Giải tích hàm nhiều nghành Toán học khác Trong chuyên đề không gian vectơ tôpô , bớc đầu đà đợc biết khái niệm tính chất không gian lồi địa phơng Để tìm hiểu sâu lý thuyết không gian lồi địa phơng, khóa luận nhằm nghiên cứu số không gian lồi địa phơng mà thờng đợc gặp Giải tích hàm , Giải tích phức ,đó không gian hàm không gian dÃy Nh đà biết, có hai phơng pháp để trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian véctơ, dựa vào họ nửa chuẩn họ tập tuyệt đối lồi hút Trong tài liệu Giải tích hàm, ngời ta thờng dựa vào họ nửa chuẩn để trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian hàm không gian dÃy Trong khoá luận này, trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian cách dựa vào họ tập tuyệt đối lồi hút Sau đó, nghiên cứu tính chất khả mêtric, khả định chuẩn tính chất đầy đủ không gian Với mục đích đó, khoá luận đợc viết thành hai phần Phần đầu nhằm nhắc lại số khái niệm kết đà biết cần dùng khoá luận Phần thứ hai trình bày không gian hữu hạn chiều, không gian hàm liên tục, không gian hàm khả vi, không gian hàm chỉnh hình không gian dÃy Đối với không gian này, tính chất khả mêtric, khả định chuẩn, đầy đủ đợc ý tới Trong mệnh đề 2.2.2.1 ,trình bày ví dụ không gian khả mêtric nhng không khả định chuẩn Khoá luận đa ví dụ không gian véctơ tôpô không gian lồi địa phơng không gian lp với p Vì kiến thức hạn chế thời gian không cho phép nên khoá luận nội dung hình thức có nhiều thiếu sót, tác giả mong đợc góp ý thầy, cô giáo bạn Khoá luận đợc thực Trờng Đại Học Vinh dới hớng dẫn thầy giáo,PGS, TS Đinh Huy Hoàng Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn PGS,TS Đinh Huy Hoàng, ngời đà tận tình hớng dẫn tác giả suốt trình làm khoá luận Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy, cô giáo khoa tổ Giải tích đà tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh, ngày tháng năm 2005 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Đ1.CáC KIếN THứC CHUẩN Bị Phần dành cho việc nhắc lại số khái niệm kết cần dùng cho phần sau 1.1 Không gian véc tơ Một không gian véc tơ E trờng số thực tập hợp, có phép cộng (hai phần tử x,y E có tổng x + y, phần tử E) phép nhân với lợng vô hớng ( với x thuộc E thuộc , tích x đợc xác định phần tử E ), với tính chất sau: (1) x + y = y + x; (2) x + (y+z) = (x+y) + z; (3) Trong E cã phần tử không,hay điểm gốc, kí hiệu cho + x = x víi mäi x thuéc E; (4) Với x thuộc E, tồn phÇn tư – 2005x cho x + (-x) = 0; (5) (   )x =  (  x) ; (6) (  +  )x =  x +  x; (7)  (x+y) =  x +  y 1.2 Kh«ng gian t«p« Mét t«p« X họ tập mở thoả mÃn điều kiện sau: +) ,X  ; +) Víi mäi A,B   th× A  B   ; +) NÕu Ai   ,  i  I th× A i iI  1.3 Lân cận điểm Tập U không gian tôpô (X, ) đợc gọi lân cận điểm x X vµ chØ U cã tËp më chøa x 1.4 Cơ sở lân cận điểm Giả sử ò họ tất lân cận ®iĨm x  (X,  ) Hä u  ß đợc gọi sở lân cận điểm x với B ò tồn U  u cho U  B 1.5 Kh«ng gian vectơ tôpô Giả sử E không gian vectơ trờng K Một tôpô E đợc gọi tơng thích với cấu trúc đại số E nếu: +) ¸nh x¹ (x,y)  x + y cđa E x E E liên tục; +) ánh xạ ( ,x)   x cña K x E  E liên tục Một không gian vectơ tôpô K không gian vectơ K với tôpô tơng thích 1.6 Tập hợp lồi Tập A không gian véctơ E đợc gọi tập hợp lồi nÕu  x,y  A ta ®Ịu cã  x +  y  A víi  ,   + =1 1.7 Tập hợp cân Tập A không gian vectơ E đợc gọi cân x A ta có  x  A   1.8 TËp hợp tuyệt đối lồi Tập A không gian vectơ E đợc gọi tuyệt đối lồi A đồng thời lồi cân, nghĩa với x,y  A ta ®Ịu cã  x +  y  A víi  +  1 1.9 TËp bÞ chặn Cho E không gian vectơ tôpô, tập A E gọi tập bị chặn lân cận U E, tån t¹i sè  > cho tA U,  t : t> 1.10 TËp hót TËp A không gian vectơ E đợc gọi hút với x E tồn số > cho x   A,   :    1.11 TËp compact Cho E vectơ không gian tôpô tập A E Ta nói A tập compact A không gian compact với tôpô cảm sinh tôpô E 1.12 Không gian mêtric Một hàm d có giá trị thực đợc xác định với cặp phần tử x,y tập hợp E, đợc gọi mêtric thoả mÃn điều kiện: +) d(x,y) , d(x,x) = vµ d(x,y) > nÕu x  y; +) d(x,y) = d(y,x); +) d(x,z)  d(x,y) + d(y,z) Một tập hợp E với mêtric đợc gọi không gian mêtric 1.13 Không gian Hausdorff Không gian tôpô E đợc gọi không gian Hausdorff với x,y E mà x y tồn lân cận VX x , Vy y cho Vx  VY =  1.14 D·y suy réng a) TËp thø tù tõng phÇn (I, ) tập hợp không rỗng mà phần tử xác định quan hệ  cho: i, NÕu a  b vµ b c th× a c  a,b,c  I; ii, a a ,  a  I TËp thø tự phần I đợc gọi định hớng i,j I tìm đợc k I cho k  i vµ k  j b) Mét d·y suy rộng tập X ánh xạ f:I X , I tập định híng Ta thêng viÕt { xi } thay cho {f(i)} 1.15 D·y suy réng Cauchy Cho E không gian véctơ tôpô, dÃy suy rộng{ xi }iI gäi lµ d·y suy réng Cauchy nÕu víi lân cận U điểm gốc , tồn i0  I cho i,j  I mµ i,j  i0 th× xi – 2005 x  U 1.16 Không gian đầy đủ Cho E không gian vectơ tôpô, không gian E đợc gọi đầy ®đ nÕu víi mäi d·y suy réng Cauchy E ®Ịu héi tơ tíi mét ®iĨm thc E 1.17 Không gian lồi địa phơng Giả sử E không gian vectơ tôpô , E đợc gọi không gian lồi địa phơng điểm gốc E có sở lân cận đợc tạo nên từ tập lồi, nghĩa lân cận U E bao hàm lân cận lồi 1.18 Cơ sở lân cận không gian lồi địa phơng a) Mệnh đề Nếu u sở lân cận ( điểm gốc ) ta có với U u : i, U hót ; ii, Tån t¹i V  u cho V + V U; iii, Tồn lân cận cân w U b) Định lý Một không gian lồi địa phơng E có sở u lân cận điểm gốc có tính chất: c1, Nếu U u, V u tồn W  u víi W  U  V ; c2, NÕu U  u,   K ,  U u; c3, Mỗi U u lồi , cân , hút đóng Ngợc lại, cho tập hợp (khác rỗng ) u tËp cđa mét kh«ng gian tun tÝnh E víi tính chất c 1- c3 tồn tôpô làm cho E trở thành không gian lồi địa phơng với u sở lân cận điểm 0E 1.19 Tôpô địa phơng sinh tập tuyệt đối lồi hút Mệnh đề Giả sử V họ tuỳ ý tập tuyệt đối lồi hút không gian tuyến tính E Khi tồn E tôpô lồi địa phơng yếu tơng thích với cấu trúc đại số E cho tập V lân cận điểm gốc Một sở lân cận tôpô đợc tạo nên tập cã d¹ng :  V ,  > , Vi  V víi i=1, 2, 3,…,n.,n i 1 i n 1.20 Nửa chuẩn Cho E không gian vectơ K Một hàm p xác định E, có giá trị thực không âm (hữu hạn) đợc gọi nửa chuẩn nếu: i, Với x  E th× p(x)  0; ii,Víi mäi   k , x  E th× p(  x) =    p(x); iii, Víi mäi x,y  E p( x+y) p(x) + p(y) 1.21 Mệnh đề i, Giả sử p nửa chuẩn E Khi với >0, tập x:p(x) < x:p(x) lồi, cân hút ii, Với tập A E lồi, cân hút tơng ứng với nửa chuẩn P, xác ®Þnh bëi: p  x  = inf0, x   A, cã tÝnh chÊt x: p(x) 0, pi Q ) 1.23 Mệnh đề Nếu u sở lân cận không gian vectơ tôpô E E U = tách U u 1.24 Định lý Không gian lồi địa phơng E khả mêtric tách có sở lân cận ( điểm gốc) đếm đợc Tôpô không gian khả mêtric luôn xác định mêtric, bất biến phép tịnh tiến Đ2 MộT Số Ví Dụ Về CáC KHÔNG GIAN LồI ĐịA PHƯƠNG Trong mục này, ta trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian thờng gặp Giải tích nh không gian hữu hạn chiều, không gian hàm, không gian dÃy, Nh đà biết, thông thờng có hai phơng pháp trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian tuyến tính, dựa vào họ nửa chuẩn, hai dựa vào họ tập tuyệt đối lồi hút Các không gian đây, đà đợc trình bày tài liệu tham khảo, chúng đà đợc trang bị tôpô nhờ họ nửa chuẩn Chúng trang bị tôpô cho không gian nhờ họ tập tuyệt đối lồi hút Sau trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian, xem xét tôpô có mêtric hoá hay chuẩn hoá đợc hay không? 2.1 Không gian hữu hạn chiều Rn Không gian Rn với điểm x = (x1,x2,,n.,xn), xi R trở thành không gian lồi đia phơng đợc trang bị tôpô đợc sinh từ họ tùy ý tập hợp v =v 1n n  N víi V 1n =x =(x1, , xn)  Rn : n x i 1 i < n Thực vậy, không gian Rn không gian tuyến tính Ta cần chứng minh V1/n tập tuyệt đối lồi hút n N 1) Víi mäi x,y  V cÇn chøng minh  x +  y  V víi n n  +   n x = (x1,x2,,n.,xn) V nên Thật vậy, x n i , sinh tôpô lồi địa phơng CX Tôpô có sở lân cận điểm gồm tập cã d¹ng : V= Vi , Vi  V ,  >0 , n  N 1i n 2.2.3.1 Mệnh đề Nếu X không gian tách compact địa phơng hợp đếm đợc tập compact CX khả mêtric Chứng minh Giả sử X không gian Hausdorff, compact địa phơng X =  An , An lµ tËp compact cđa X víi mäi n n 1 Kh«ng mÊt tính tổng quát , giả thiết An dÃy tăng không nh ta cã thĨ thay An bëi Bn , ®ã : n Bn =  Ak , n=1,2,3… k 1 H¬n , An phủ X nên giả thiÕt An  14 An01 n LÊy bÊt kú x0  Cx , x0  Khi ®ã tån t0 X cho x0(t0) Đặt 0= x0(t0) vµ V= x  Cx : sup x(t) < , tK K0 lân cận compact t0 (K0 tồn X compact địa phơng ) Rõ ràng V = VK , lân cận không chứa x0 Do CX làT2 2005không gian Bây ta chứng minh tôpô CX có sở lân cận đếm đợc điểm Đặt u = V Rõ ràng An , m : n=1,2,…; m=1,2,…  u lµ đếm đợc Giả sử U lân cận Khi đó, tồn > vµ V1, V2, , Vn  V cho n Vi U i Vì Vi V nên tồn tập compact Ki X số i > với i=1,2, , n cho Vi = VK  i , i Tõ  An = X vµ An  A0n+1, suy tån t¹i Aj n 1 n cho  Ki  Aj Chän m  N cho i 1 m <  min 1 ,  , ,  n  Ta cã n V Aj , m  Vi  U i 1 (1) ThËt vËy, víi mäi x  V Aj , m ta cã sup x (t ) tA j < m < min 1 ,  , ,  n  Do ®ã sup tK i 15 1 x (t ) n x   i 1 x (t ) <  i  i =  sup t A  j n Vi hay x    i Vi  U 1, n , Tõ (1) suy u sở lân cận Theo 1.24, C mêtric hoá đợc X 2.3 Không gian hàm khả vi vô hạn X 2.3.1 Không gian hàm khả vi đoạn Giả sử X tập hợp tất hàm khả vi vô hạn đoạn đóng bị chặn có giá trị thực ( hay phức ) X không gian tun tÝnh víi c¸c phÐp to¸n: ta,b , f,g  X; +) (f+g)(t) = f(t) + g(t) +) (f)(t) = f(t) R Với m = 0,1,2, với n = n ; n =1,2, Đặt Um,n =xX : t sup  a,b x ( m ) (t ) < n  Um,n lµ tËp tut ®èi låi vµ hót sup ThËt vËy, víi mäi x,y  Um,n th× t  a , b   x(m) (t)  n sup ; t  a , b   y(m)(t) n Ta cÇn chøng minh x +µy Um,n víi  +   Vì X không gian tuyến tính nên x + µy X Ta cã: sup t  a , b    (x(m) + µy(m)) (t)|  sup t  a , b  x(m)(t) + sup x(m)(t) +  µ  sup y(m) (t) < t  a , b  t a ,b   sup t  a , b  n µy(m)(t)  n +  µ   n Do đó, x+ày Um,n với + VËy Um,n - tËp tut ®èi låi ) Víi x  X vµ n = 1, 2, sup t  a , b   x(m)(t) = k + nên chọn đợc k n Khi với cho |à| Do , x sup x ( m) t a ,b    U m ,n (t ) =  sup x(m)(t) = t a ,b  k   k   n hay x Um,n Vì Um,n tập hút Đặt u = U m,n : m=a,1,2, ;n=1,2 Khi đó, theo định lý 1.19, tồn tôpô u X cho (X, u) không gian lồi địa phơng Các tập dạng Ui ,   0, Ui  u, n  i = 1, , n i Lập thành sở lân cận điểm 0X tôpô u 16 2.3.1.1.Mệnh đề Không gian (X, u ) nói khả mêtric Chứng minh Muốn chứng minh (X, u ) khả mêtric ta cần chứng minh u u (X, u ) T2 không gian họ đếm đợc Rõ ràng đếm đợc U m ,n Khi Giả sử x phần tử thuéc giao nN ; mN * sup t  a b  x ( m ) (t ) < n n , m Suy  x(m)(t) = m, t  [a,b] Do ®ã x = vµ ta cã U m ,n nN * ; mN = 2.3.2 Không gian hàm khả vi R Giả sử CR tập hợp tất các hàm khả vi vô hạn R có giá trị thực (hay phức) CR trở thành không gian lồi địa phơng với tôpô sinh họ b b = U m,n,k : m  N; n, k  N * , u ®ã sup b U m,n,k = x CR : t  n , n   x(m)(t) < k  Chøng minh Ta nhËn thÊy CR với hai phép toán nh X CR b không gian tuyến tính Hơn U m,n,k tập tuyệt đối lồi hút Chứng minh tơng tự nh (2.3.1) Theo mệnh đề 1.19, tồn CR tôpô yếu tơng thích với cấu b trúc đại số, cho U m,n,k lân cận Với tôpô CR không gian lồi địa phơng sở lân cận đợc tạo thành tập hợp Ta kí hiệu tôpô U i 1i l (ε  0, Ui ub, ℓ N ) *  ub 2.3.2.1 Mệnh đề Không gian CR với tôpô lồi địa phơng nói khả mêtric Chứng minh tơng tự nh mệnh đề 2.3.1.1 2.3.3 Không gian hàm giảm nhanh Giả sử không gian hàm khả vi vô hạn R có giá trị thùc (hay phøc) cho víi mäi m vµ n  N ®Ịu cã m = 0,1,2,…; n = 0,1,…; k = 1,2, đặt 17 t n x(m)(t) t Với Ucm,n,k = x : sup   t    ( +  t n ) x(m)(t)   k  Ucm,n,k tập tuyệt đối lồi hút Thật vậy, víi mäi x,y  Ucm,n,k th× sup   t   k  ( +  t n ) x(m)(t)   k sup ;   t    ( +  t n ) y(m)(t)   Víi bÊt kú  vµ  mµ  + µ  ta cã sup  tR (1+tn) [  x(m)(t) +µ y(m)(t)]  | sup 1 + tn) x(m) (t) + |µ| sup  (1 tR tR + |t|n)ym(t)|< (| +µ|) k  k Do ®ã x + y  Ucm,n,k víi  +   VËy Ucm,n,k lµ tập tuyệt đối lồi Với Ucm,n,k x , t(sup 1+tn)x(m)(t) = + nên chọn đợc   , ) cho   kℓ Khi với mà ta có: sup 1  t x n   t   (m) (t ) =   sup  (1 +  t n ) x(m)(t)  =   t     <    k Tõ ®ã suy x  Ucm,n,k Do Ucm,n,k tập tuyệt đối lồi hút Đặt : uc = U c m,n,k : m = 0, 1, 2…; n = 0, 1,… ; k = 0, 1, 2,…  Khi ®ã, theo mƯnh đề 1.19, tồn tôpô yếu tơng thích với cấu trúc đại số, cho Ucm,n,k lân cận Với tôpô không gian lồi địa phơng sở lân cận đợc tạo thành tập hợp  U i 1 i k (  0, Ui  uc, k  N ) * Ta ký hiÖu tôpô u c 2.3.3.1 Mệnh đề Không gian (, u c ) khả mêtric Mệnh đề đợc chứng minh tơng tự nh Mệnh đề 2.3.1.1 Ta thấy - Không gian tuyến tÝnh C R Theo 2.3.2.1, (CR ,  u b ) không gian lồi địa phơng khả vi mêtric Gọi tôpô đợc sinh bëi  u b Nh vËy trªn  cã hai tôpô u c Vấn đề đặt so sánh hai tôpô u c 2.3.3.2 Mệnh đề Tôpô 18 yếu tôpô u c Chứng minh Để chứng minh mệnh đề ta cần chứng minh với Ubm,,n.k ub tồn U c m,n,k uc cho U c m,n,k  Ubm,n,k ThËt vËy, víi mäi x  Ucm,n,k ta cã: sup t  ,   Do ®ã sup t  n ,n   x(m) (t)  k (1 + tn) x(m) (t)   k Tõ ®ã x Ubm,n,k ta có đpcm 2.4 Không gian hàm chỉnh hình Giả sử D miỊn cn Ta kÝ hiƯu H(D) lµ tËp tÊt hàm chỉnh hình D Khi H(D) không gian tuyến tính với phép cộng hai hàm nhân vô hớng với hàm thông thờng Với tập compact K D với > đặt: sup UK, = f H(D) : Z K <  f ( z) UK, lµ tËp tuyệt đối lồi hút Thật vậy, với f, g UK, , số thực cho ta cã: sup (f  g )( z ) Z K = sup (f ( z )  g ( z )) Z K  sup  f ( z) Z K +  sup g ( z ) Z K <  +     Do ®ã f + g  UK ,  Nh vËy UK , tuyệt đối lồi Với f H(D), đặt cho > M sup Z K f ( z) Gi¶ sư   R cho  Ta cã   sup f ( z ) Z K  Do ®ã = M Vì M < nên chọn đợc  R = M   M  <  f  UK ,  hay f  UK , Vì UK , tập hút Đặt u =U K, : K tập compact D, > Vì UK , tuyệt đối lồi hút nên họ u sinh Tôpô lồi địa phơng H(D) Với tôpô này, họ tập dạng n i 19 Vi ,  > , Vi  u , i= 1, n , tạo thành sở lân cận điểm H(D) 2.4.1 Mệnh đề Không gian H(D) với tôpô nói mêtric hóa đợc Chứng minh: Giả sử f H(D), f Khi tồn z0 D cho f(z0) Đặt K = z0, = f (z ) sup Ta cã Z K f ( z)  2 Do ®ã f  UK,  Tõ ®ã suy  U : U u = H(D) T 2005 không gian Bây giờ, để hoàn thành chứng minh Mệnh đề, ta cần chứng tỏ tồn sở lân cận đếm đợc điểm H(D) Với n = 1, 2, đặt An = z cn : Vì z D : d(z, D )  n  z n z  D : d(z, D )   tập đóng z cn : z n   n  lµ tËp compact  nên An tập compact với n Hơn An dÃy tăng An= D n Giả sử K tập compact D Khi d(K, D ) > Do tồn n N cho K An Với > vµ V1, V2, , Vn  u víi V = U K i , i i n , ®Ỉt K = K i i 1 Khi ®ã K tập compact D nên tồn An cho K  An LÊy m N cho m >  mini : i = 1, , n Với f sup Z An m f(z) < U An , m ta cã Do ®ã sup  f(z) < Z  An BÊt d¼ng thøc nµy chøng tá n , 20 n f   i 1 m Vi hay f    Vi V× thÕ i n An , m   Vi i : n, m N * sở lân cận tôpô H(D) đợc sinh mêtric hoá đợc < i : i = 1, , n  n U Tõ ®ã suy hä V =  U A m u Rõ ràng V đếm đợc Vậy H(D) lµ ... Số Ví Dụ Về CáC KHÔNG GIAN LồI ĐịA PHƯƠNG Trong mục này, ta trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian thờng gặp Giải tích nh không gian hữu hạn chiều, không gian hàm, không gian dÃy, Nh đÃ... thờng dựa vào họ nửa chuẩn để trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian hàm không gian dÃy Trong khoá luận này, trang bị tôpô lồi địa phơng cho không gian cách dựa vào họ tập tuyệt đối lồi hút... không gian lồi địa phơng Để tìm hiểu sâu lý thuyết không gian lồi địa phơng, khóa luận nhằm nghiên cứu số không gian lồi địa phơng mà thờng đợc gặp Giải tích hàm , Giải tích phức ,đó không gian