BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH
Dam Van Ngoc
DOI NGAU CUA KHONG GIAN LOI DIA PHUONG
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01
LUAN VAN THAC Si TOAN HOC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS DAU THE CAP
Thành phố Hồ Chí Minh — 2009
Trang 2
BO GIAO DUC VA DAO TAO
TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH
Dam Van Ngoc
DOI NGAU CUA KHONG GIAN LOI DIA PHUONG
LUAN VAN THAC Si TOAN HOC
Thanh phố Hồ Chí Minh - 2009
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình
hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn nàỵ Em cũng xin cảm ơn các quý thầy đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý
kiến đóng góp quý báụ
Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng
Trang 4MUC LUC Trang phu bia Loi cam on Mục lục Chuwong 1 KIEN THUC CHUAN BI II {0i ố3 00,201 3 1.2 Không gian vectơ khả mÊTIC + + 25+ + 3**+t+*E++eEeerereererrerere 4 1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc - + -s++s>ss+s++ 6
1.4 Không gian đầy đủ -2-©2<+22k+EESEEE22112211171121121121 21x crxe 7 1.5 Ánh xạ tuyến tính -2- 2s + ++EEE+EEESEEEE2EE221221211271.27122xe xe 7
1.6 Không gian lỗi địa phương . 2-22- 22+ ©E+2EE+EEEtEEEtErxrrrerrrxee 7
1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều .- 11 Chuong 2 LY THUYET DOI NGAU
2.1 Không gian d6i nga .eecceecceeseesseesseesseesseesseesseesseesseessessesseesseesseees 12 2.2 Hệ đối Qa occ ecceecceeccsecsseessecssessesssecssecssecsseessecssecssesssecsseessessseesseees 15
P.0 19
Phong 0 21
Trang 61 Ly do chon dé tai
Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và
không gian vectơ tôpô nói riêng Do đó, việc nghiên cứu một cách đầy đủ và
phát triển lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương là một vấn đề
quan trọng và cần thiết 2 Mục đích
Tìm hiểu về lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt như : không gian phản
xạ, không gian thùng và (DF) — không gian
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa
phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt
4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quá của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương có
nhiều ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến, trong phương trình đạo hàm
riêng và nhiều ngành toán học khác
5 Cấu trúc của luận văn Gồm ba chương
Chương đầu giới thiệu các kiến thức cơ bản về không gian vectơ tôpô và không gian lỗi địa phương, đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương saụ
Chương thứ hai trình bày các khái niệm của lý thuyết đối ngẫu của không
gian lồi địa phương như : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối
Trang 7Chương cuối của luận văn nhằm mục đích trình bày một số lớp không
gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ và đặc biệt là (DF) - không gian, lớp các không gian chứa các không
gian đối ngẫu của các không gian Frechet Các kết quả quan trọng trong các
Trang 8Chuong 1 KIEN THUC CHUAN BI
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản và một số kết quả trong
không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương được sử dụng trong các các chương sau
1.1 Không gian vectơ tôpô
1.1.1 Định nghĩa
Cho E là một không gian vectơ trên trường K (K =R hoặc K =C) Một tôpô + trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E ) nếu phép cộng
+:ExE->E và phép nhân vô hướng :KxE-—> E liên tục
Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một
không gian vectơ tôpô
1.1.2 Định lý
Cho E là một không gian vectơ tôpô Khi đó:
a) Với mọi ae E, phép tịnh tiến x -> x + a là phép đồng phôi từ E lên Ẹ Đặc
biệt, 3 là một cơ sở lân cận của 0 eE thì a + 4= {a +U, U e U} là cơ sở lân
cận của a cẸ
b) Với mọi ÀAeK,^.0, ánh xạ x—>Àx là phép đồng phôi E lên Ẹ Đặc biệt, U là lân cận của 0 eE thi AU, 2.0 là lân cận của 0
Theo định lý 1.1.2, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ
Trang 91.1.4 Dinh ly
Néu U 1a mét co sé lân cận trong E thì với mọi U e®Ý ta có: a) U là tập hút
b) Tổn tại V eU sao cho V + V c U c) Tén tại lân cận cân W sao cho W c U
1.1.5 Hệ quả
Trong không gian vectơ tôpô, mọi lân cận U đều chứa một lân cận đóng
1.1.6 Hệ quả
Cho U là một cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô Ẹ Khi đó E
là Hausdorff nếu và chỉ nếu | U ={0}
Uef
1.1.7 Định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn
Giả sử E là không gian vectơ Hàm p xác định trên E và nhận giá trị thực gọi là nửa chuẩn trên E nếu 1) p(x)>0, Vx eẸ ii) p(Ax)= |M p(%), Vx eẸ 11) p(x + y) < p(x) + p(y), Vx,yeẸ Nửa chuẩn p gọi là một chuẩn nếu p(x) =0 © x=0 1.1.8 Định nghĩa Một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó gọi là không gian định chuẩn 1.2 Không gian vectơ khả mêtric 1.2.1 Định nghĩa
Trang 101.2.2 Dinh ly
Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric nếu và chỉ nếu E có một
cơ sở lân cận đếm được Trong trường hợp đó tồn tại hàm x —>|x| từ E lênR thỏa mãn : a) |Ax|<|x|,Vx eE,¥eK, A|<1; b) |x+y|<|x|+|y ,Vx,yeE; c) |x|=0©x=0; d) Métric d(x,y) =|x - y| sinh ra tôpô của Ẹ Chứng minh Giả sử { V„} là một cơ sở lân cận cân của E thỏa mãn V, n+l +V, n+l cV, voimoineN () Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng HC, đặt Vụ = XV, Ta có Vụ là neH lan can can Dat p,, = >2" neH Từ (1), bằng quy nạp theo số phần tử của H dễ dàng chứng minh Py <2" S>n<H>V, CV, (2) (6 day n<Hnghia la n<k véi moi keH) Đặt | || khix£V„,VH inf {p„ :x e Vụ} khi3H,x e V„
ta có hàm xa |x| từ E vàọ Dễ thấy |x| e|0;1]
Do Vạ cân nên 1) thỏa mãn Hiển nhiên 2) đúng nếu |x| +|y|> 1 Bây giờ
giả sử |x|+|v| <1 Chọn e>0sao cho |x| +]y|+2e<1 Khi đó tồn tại các tập
Trang 11Vi py +P, <1nén ton tai tap M sao cho p,+py =P,,- Do (1) ta cd Vị, + V„ C Vụ Từ đó suy ra x+yeVyva |x+y|<Pw =P„ +Px <|x|+|y|+2ẹ Vậy có 2) Với mọi e >0, đặt S, = {x :|x|< e} Ta có S41 CV, CS, véimoi neN (3)
That vay, x eV, thi |x|<2™, do dé V, cS,, Mặt khác nếu |x|<2"” thì tồn tại H sao cho x e V„ và p„ <2”" Từ đó theo (2) ta có xe V,
Do E Hausdorff nên theo hệ quả 1.4 và (3) ta có tính chất 3) trong định lý Theo (3) ta cũng có {S.} là cơ sở lân cận của 0 trong Ẹ
Vậy có tính chất 4) trong định lý
1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chan va compac 1.3.1 Định nghĩa
Giả sử E là không gian vectơ tôpô Tập con X c E gọi là bị chặn nếu với
mọi lân cận U của 0e E, tồn tại e >0sao cho XC£V 1.3.2 Mệnh đề Giả sử E là không gian vectơ tôpô Khi đó : a) Bao đóng của tập bị chặn là bị chặn b) Bội vô hướng của tập bị chặn là bị chặn c) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn là bị chặn 1.3.3 Định nghĩa
Giả sử E là không gian vectơ tôpô tập con X c Elà hoàn toàn bị chan
Trang 121.3.4 Dinh nghia
Giả sử E là không gian vectơ tôpô và Xc Eta nói là tập compăc nếu mọi phủ mở của X, tồn tại một phủ con hữu hạn
1.4 Không gian đầy đủ
Cho không gian vectơ tép6 Ẹ Day {x,} c E gọi là day Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tai n,, sao cho x„—x,„ 6U, với mọi m,n>n, Lưới ÔN)
gọi là lưới Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tai 5, sao cho :
X, —xX, €U, V6,y 25)
Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều
hội tụ, gọi là đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ Tập
con A của E gọi là đầy đủ (đầy đủ theo dãy) nếu mọi lưới (dãy) Cauchy trong
A đều hội tụ đến một điểm thuộc Ạ
1.5 Ánh xạ tuyến tính
1.5.1 Mệnh đề
Nếu E và F là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính của E vào F thì f là liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc
1.5.2 Định nghĩa
Đặt L(E,F) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, Tc£Œ,F) Ta nói T là đồng liên tục nếu với mỗi lân cận V trong F, tồn tại một lân cận U trong E sao cho f(U) V với mọi feT
1.6 Không gian lồi địa phương
Trang 131.6.1 Dinh nghia
Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian lồi địa phương nếu E
Hausdorff va E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồị
1.6.2 Bỗ đề
Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff Khi đó, các mệnh đề
sau đây là tương đương:
a) E là không gian lồi địa phương
b) E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lôị e) E có một cơ sở lân cận gồm các tập đóng tuyệt đối lôị 1.6.3 Định nghĩa
Cho A là tập con của không gian vectơ Ẹ Khi đó:
pă%) =|x|, =inf{^.>0:xệA} xác định một hàm từ E vào R, gọi là hàm
cỡ, hay phiếm hàm Minkowski cia tap Ạ 1.6.4 Bỗ đề Với mọi tập con cân và hit A của không gian vectơ E, ||-||, là một nửa chuẩn trên Ẹ 1.6.5 Mệnh đề
Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là một tập bị chặn trong Ẹ
Trang 14b) p=] y› U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục nếu và chỉ nếu
U là lân cận của 0e Evà Ủ={xeE:p(Œ)<1},Ũ ={xeE:pœ) <1}
1.6.7 Định nghĩa
Cho không gian lồi địa phương Ẹ Một họ %3 các lân cận của E gọi là một hệ cơ bản các lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện :
a) Vx eE,x #0, tồn tại U e,e >0 sao cho x ££Ụ
b) Mọi lân cận V của 0 e E, tồn tại U eU và >0 sao cho eU CV
Họ {| ll} ,các nửa chuẩn trên E gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ
cac tap U, = {x :|lx\|, < ) là một hệ cơ bản các lân cận của Ẹ
1.6.8 Định lý
Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn Mọi hệ cơ bản các nửa chuẩn {| " của E có tính chất sau
a) Mọi x eE,x #0, ton tai a eI sao cho Ix||, >0
b) Mọi d,B e1 tồn tại y elI và C > 0 sao cho: max ||- K |, < Cll, 1.6.9 Bỗ đề
Nếu {| ‘la} là một họ các nửa chuẩn có các tính chất a) và b) trong
định lý 1.6.7 thì họ các tập U„„(a)={x eE:|x—a||< e}, a eE, œel, e>0 là
cơ sở của tôpô lồi địa phương duy nhất trên E nhận {| l2 ael làm hệ cơ bản
các nửa chuẩn Nếu họ các các nửa chuẩn có tính chất b) mà không có tính
chất a) thì với tôpô trên, E có một cơ sở lân cận lồi nhưng không Hausdorff
1.6.10 Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương
Giả sử {p.} , là một họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ Ẹ Kí hiệu ae
Trang 15Pu (x) = max p, (x) ta được họ các nửa chuân {Pu} Mes(I) thỏa mãn tính chất b) trong định lý 1.6.8 Do đó theo bổ đề 1.6.9, họ các tập có dạng: Ủy ,(4) ={xE:pu(X—a) < £}= I {xeE:p,(x-a)<el=] U,,(a) œeM œeM
với mọi Mee(I), e>0, aeE là một cơ sở của một tôpô trên Ẹ Với tôpô này,
E là một không gian vectơ có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không
Hausdorff Tôpô này là tôpô yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn p„„œcl liên
œel `
Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) trong định lý 1.6.7 thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương
Bây giờ giả sử 4 là một họ khác rỗng các tập con tuyệt đối lồi và hút
của không gian vectơ Ẹ Khi đó tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {| Ị) „ goi là Ue tôpô sinh bởi họ các tập tuyệt đối lồi và hút 9 Nếu ] U={0} thì E với
Ueft
tôpô nói trên là không gian lồi địa phương
1.6.11 Định lý
Cho E và F là các không gian vectơ tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn
tương ứng là{p,} _ valde} Khi đó, ánh xa tuyến tính A:E-—>F liên tục nếu và chỉ nếu mọi B € J tồn tại M ee(1) và c > 0 sao cho:
q,(A@œ))< cy p, (x), Voi moi x EẸ
aeM
1.6.12 Định nghĩa
Gia sir E là không gian lồi địa phương Ta nói E là :
Trang 16b) Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy đủ
1.6.13 Định nghĩa
Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương Ánh xạ tuyến tính f : E—>F gọi là bị chặn địa phương nếu f biến tập bị chặn trong E thành tập bị chan trong F
1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều
1.7.1 Định lý tách các tập lồi
Giả sử F là không gian vectơ tôpô thực A, B là hai tập lồi rời nhau trong E và A là mở Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E và œ e R sao cho: f(x)> œ, Vxe A và f(x)<a, VxeB
1.7.2 Định lý
Giả sử p là một nửa chuẩn trong không gian vectơ thực E và f là dạng tuyến tính trên một không gian con M của E sao cho f(x) < p(x), VxeM Khi đó, tồn tại dạng tuyến tính g trén E thoa man g(x) =f(x), Vx eM va
g(x) < p(x), Vx EẸ 1.7.3 Hé qua
Giả sử E là không gian vectơ trên trường K, a không thuộc E, p là một nửa chuẩn trên Ẹ Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho :
f(a) = p(a) va F(x) < p(x) voi moi xe E
1.7.4 Nguyén ly bi chan déu
Giả sử E là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và {fab scr là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó nếu với
mọi xeE, sup|f,, (x)| <o thi sup|[f, | <0,
Trang 17Chuong 2 LY THUYET DOI NGAU
Chương này chúng ta sẽ trình bày các vấn đề của lý thuyết đối ngẫu bao
gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫụ Bằng cách
coi rằng các lân cận của điểm gốc là pôla của những tập nào đó trong không
gian lồi địa phương, ta sẽ xác định được các tôpô lồi địa phương khác nhau trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương Các tập hợp được sử dụng cho mục đích ấy là : lớp các tập hợp bị chặn Định lý Mackey — Arens đặc trưng cho tất cả các tôpô lồi địa phương xác định cùng một hệ đối ngẫu cho trước, đó là các tôpô lồi địa phương mạnh hơn tôpô yếu và yếu hơn tôpô Mackeỵ
2.1 Không gian đối ngẫu 2.1.1 Định nghĩa
Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K Ta kí hiệu EÏ =LŒ,K) là không gian các dạng tuyến tính trén E, E’ = £(E,K) 1a khong gian các dạng tuyến tính liên tục trên Ẹ Khi đó, EÏ và É là các không gian vectơ trên K E” gọi là không gian đối ngẫu đại số của E và Égọi là không gian đối ngẫu của Ẹ
Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không
gian lồi địa phương
2.1.2 Bỗ đề
Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ Ẹ Nếu q(x) < 1 kéo theo p(x) <1 thì p(x) <q(x) với mọi x cẸ
Chứng minh
Giả sử ngược lại, tồn tại x, €E va a>0 sao cho 0<q(x,)<a<p(x,)
Khi đó: q(=2) <1 nhưng p( 9) > 1, (mâu thuẫn)
Trang 18Vay p(x) <q(x) voi moi xeẸ
2.1.3 Dinh ly
Cho E là một không gian lồi địa phương, f, là một dạng tuyến tính liên
tục trên một không gian con M của Ẹ Khi đó, tồn tại f eEsao cho f Ine =f)
Ching minh
Do f, lién tyc trén M nên tập V ={x:|f,(x)|< 1} là một lân cận của 0 Từ đó, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi U sao cho UMC V
Với mọi xeM, x[,<1 ta có: xeUnên xeUMcV=|f(x)|<1 Theo bổ đề 2.1.2 ta có: |f,(x)| < | x| „:VxeM
Theo định lí Hahn- Banach 1.7.2 tồn tại f e E” sao cho: fly =f, va |f@&)| <l|xÍ,.vx eẸ
Ta chứng minh feE” Thật vậy, với mọi e>0:x eeUthì £(x)| <|[x||, <£
nên f liên tục tại 0 suy ra f liên tục trên E hay f e E” 2.1.4 Hệ quả
Cho E là một không gian lỗi địa phương Khi đó với mọi ae E,az0,
tồn tai f e E’sao cho f(a) =1
Ching minh
Dat M =(a) là không gian sinh bởi a, f là phiếm hàm trên M xác định
boi f,(Aa) =Ạ Khi d6, với mọi œ,À,À,,À„ eK:
f(A,at+A,a) =£,((A, +A,)a) =A, +A, =£,(A,a) + f(A, a)
f,(ăAa)) =f, ((ad)a) = a = af, (Aa)
Vậy f, là phiếm hàm tuyến tính trên M Do E Hausdorff nên tồn tại lân
Trang 19f, lién tục tại 0, do đó, f, lién tuc trén M Theo dinh ly 2.1.3, tồn tại f e É sao
cho f|„ = f, Từ đó ta có: f(Aa) =2, VAeK = f(a) =1
2.1.5 Định lý
Cho E là một không gian lồi địa phương, A là tập con tuyệt đối lỗi và
a#Ạ Khi đó, tồn tại f eÉ sao cho:
a) f(a) > 1
b) |£(x)| <l,VxeẠ
Chứng minh
Do a£A, E là Hausdorff nên có lân cận tuyệt đối lồi U sao cho (a+U)¬A=Ø Đặt B=A+2U, Vì A tuyệt đối lồi nên suẹ suy ra B
tuyệt đối lồi, hút va ||-||, <| ‘he
Theo hệ quả 1.7.3, tén tai fe E” sao cho f(a)=llal,, va |f()|<||x|| với mọi xẸ Do x›||xỈ, liên tục nên f liên tục tức là f e E”
Trang 201
Vì U hút nên với mọi x e A, chon ¢ > 0sao cho exe5Ụ Taco:
(I+e)x =A+2U=B nên (I+e)|x||, =||(+e)xj, <1 suy ra |x|), <1
Vì |f(x)|<||x[_ nên |f(x)|<1, xe Ạ
2.1.6 Hệ quả
Cho A là tập con tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E và a#Ạ Khi đó, có f eE sao cho f(a) # f(A)
Chứng minh
Theo định lý 2.1.5, tồn tại f e É sao cho: f(a) > 1 va |fQœ)|<1, VxeẠ Vì f(A)c{AeK:|A|<1} = B, mà B là tập đóng nên f(A) c B nên
f(a)¢B= f(a) ¢ f(A) 2.2 Hệ đối ngẫu
2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu
Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường vô hướng K
(.):ExF-—>K là một dạng song tuyến tính Ta gọi cặp ( E, F) là một hệ đối
ngẫu nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :
1) Với mỗi 0x e E, tồn tại x'eF sao cho (x x’) #0 2) Với mỗi 0# x' eF, tồn tại x eE sao cho (x.x) z0
2.2.2 Chú ý
Cho ( E, F) là hệ đối ngẫu thì với mợi x'eF, xa (x.x) là dạng tuyến tính trên E và với x',x" eF, x'#x"— 3x eE đề:
(x,x'— x") 40> (x.x) x (x,x")
Như vậy, ánh xạ x'> (x,x') từ F vào E” là đơn ánh nên ta có thê đồng
Trang 212.2.3 Nhận xét
1)Nếu (Œ, F) là một hệ đối ngẫụ Khi đó, (F,E) với đạng song tuyến tính
(x',x)a (x, x’) sẽ xác định hệ đối ngẫu (F, E)
2) Giả sử E là một không gian vectơ và E” là đối ngẫu đại số của nó Khi đó,
(E,E”) với dạng song tuyến tính (x,f)a f(x) trong đó xeE,feE” sẽ xác
định hệ đối ngẫu (E,E”)
3) Giả sử E là một không gian lồi địa phương với không gian đối ngẫu là É
Xét dang song tuyến tính (x,f)a f(x), xe E, f e E7 Theo hệ quả 2.1.4, điều
kiện 1) được thỏa mãn, còn điều kiện 2) là hiển nhiên, do đó (E, E7) cùng với
(É, E) là các hệ đối ngẫụ
4) Cho E là một không gian lồi địa phương, F là không gian con của É”,
ÉCFCÈ thì ( E, F) cũng là một hệ đối ngẫụ 2.2.4 Tôpô của hệ đối ngẫụ Tôpô yếu
Cho ( E, F) là một hệ đối ngẫụ Tôpô lồi địa phương + trên E sao cho (E,t =F gọi là tôpô của hệ đối ngẫụ Kí hiệu ø(E,F) là tôpô yếu nhất để
, hay là tôpô xác định bởi các hệ cơ bản các nửa chuẩn: xa ly(x) Py (X) = sup|y(x) ,Me4(F) (M(F) là tập hợp các lân cận của 0e F) yeM 2.2.5 Định lý
Cho (E, F) là một hệ đối ngẫụ Khi đó ø(E,F) là một tôpô của hệ đối
ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó
Chứng minh
Trang 222.2.6 Bỗ đề
Cho E là một không gian vectơ và yạ,y,,Y;, ,y„ e E” Khi đó, hoặc yạ
là tổ hợp tuyến tính của y,,y; ,y„ hoặc tồn tại a eE sao cho: y,(a)=Ly,(a)=y,(a) = =y,(a)=0 Chứng minh bỗ đề
Ta có thể giả sử y,.Y; y„ độc lập tuyến tính và chứng minh bé đề
bằng quy nạp
Với n= l1: y, #0 Chọn a, e E sao cho y,(a,)=1,Vx eE ta có:
y,(x~ y,Œ)a,)= y,(X)— Y,()y,(a,) =0
= x-y,(x)a, <y;'(0)=N,
Do đó, hoặc tồn tại a 6N, sao cho yạ(a) = I,y,(a) = 0hoặc
yạ(a)=0,Va eN, Nếu yạ(a)=0,Va eN, thì yạ(x— y,(x)a,)=0,Vx eE
=> yo(X) = yạs(a,)y,(x),Vx eE hay yạ = dy,
Giả sử kết quả đúng cho n—1>1 Khi đó, với mỗi i = 1, ,n, tồn tại
a; €E sao cho y,(a,) =l,y,(a,) =0 với mọi j#1
Từ đó với mọi jzi,vxeE ta có x=Ề`y,(x)a,e] y;'(0)=N Do đó,
isl isl
hoặc tồn tại a e N,yạ(a) =1, và hiển nhiên y,(a) = y;(a) = = y„(a) =0 hoặc yạ(a)=0,VaeN Trong trường hợp này, VxeE,yạ(x— >y, (x)a,)=0 ta
isl
được yạ(x) =À,yạ(a,)y,() tức là y, = Ð^,y,
i=l i=l
Chứng minh định lý
Trang 23ly(x)| <a<l trén mot lan can cé dang U= k : suply, (x) <1
1<i<n
Nếu tồn tại aeF sao cho y(a)=1 và y,(a)= y;(a) = = y„(a) = 0thì
a eU và |y(a)|> 1 (mâu thuẫn)
Vì vậy, theo bổ đề 2.2.6, y= Yay, eF>ÉCF Vay F=E’
isl
R6 rang o(E,F) 1a tépé yéu nhất trong các tôpô của hệ đối ngẫu (E, F)
Nhận xét
Một số tính chất chỉ phụ thuộc vào hệ đối ngẫu mà không phụ thuộc vào
tôpô cụ thể của hệ đối ngẫụ Việc nghiên cứu các tính chất ấy trong một
không gian lồi địa phương có thể tiến hành với tôpô yếu, nếu điều đó thuận lợị Mệnh đề sau là một vi dụ
2.2.7 Mệnh đề
Nếu (E,F) là một hệ đối ngẫu và A là một tập con tuyệt đối lồi của E thì
A có cùng bao đóng A trong mọi tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) Chứng minh
Giả sử t là một tôpô tùy ý của hệ đối ngẫu (E,F) Ta chứng minh bao
đóng Ạ cua A trong tôpô + trùng với bao dong A, trong tôpô o(E,F) Bởi
+ mạnh hơn ø nên A,cA,
Giả sử a ø A,, theo hệ quả 2.1.6, tồn tại y e É =F sao cho y(a) ø y(A) Khi đó, 45 >0 sao cho |y(a—x)|28, Vx Ạ Đặt U ={x :|y(x)| < ồ}, ta có U là lân cận trong ø(E,F) và (a+U)I A=Ø nên a£A,—=A,CA,
Trang 242.3 Péla 2.3.1 Định nghĩa pôla Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và A cẸ Ta gọi pôla của A trong F là tập: A"={yeF: sup|y()| <1} xeA 2.3.2 Ménh dé Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu A,B,A„(œ e I) là các tập con của Ẹ Khi đó: a) A° la tap tuyệt đối lồi và ø(E„F) đóng ; b) ACBthi B°c A’; c) (AA) =|af" A°(AEK, 440); 0 2| UA, | =1): ael ael Ching minh a) Vy,,y,€ A’, XA, EK, A|+|A,| <1 ta cd
sup|(A,y, + A,y2)(x)|< sup((2y||¥, (x)) + sup(A„||y;()|) <|A;|+|A;|<1 xeA x eA
=}¿y¡ +À;y; eA°=A° tuyệt đối lôị
Lại có: A°=[ {yeF:|y(x)|<1} là giao của các tập ø(E,E)- đóng nên
xeA
A°la o(E,F)- dong
Trang 250 d) Vi A, CUA,.Vael nén Ab =[UẠ] ael ael 0 =>] A [I 3 ael ael Gid sit ye] AQ ta có |y(x)|<1,Vx eA„„œ el tức là: cel 0 0
sup |y(x)|<1> ve(UẠ] nén[ Ả <[UẠ]
xeUAu ael ael ael
ael
Vay | al=[UA,) ael acl
Nhận xét
Nếu E là một không gian lồi địa phương thì một tập hợp con Á của đối ngẫu É là đồng liên tục khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U trong E sao cho
ly(x)| $1 véi moi x e Uva moi ye A’, như vậy Á là đồng liên tục khi và chỉ
khi nó được chứa trong pôla của một lân cận nào đó
Sự khảo sát pôla, lấy trong đối ngẫu đại số, của các lân cận cho ta một đặc trưng đơn giản và tiện lợi của đối ngẫu tôpô
2.3.3 Mệnh đề
Nếu E là một không gian lồi địa phương và % là một cơ sở lân cận, thì
đối ngẫu của E là tập [JU” (các pôla trong hệ đối ngẫu (E, É))
Uef
Chứng minh
Dạng tuyến tính y e E” liên tục khi và chỉ khi ton tai mot lan cin Ue U
sao cho |y(x)|<1, VxeUoye UU’
Trang 262.4 Song péla
2.4.1 Định nghĩa song pôla
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫụ Với mọi AcEthì A°CẸ Do Œ, E)
cũng là một hệ đối ngẫu nên A" =(A° } chita trong Ẹ Ta goi A” la song
pola cua Ạ
Nhận xét Với moi x ¢ A:|y(x)| <1, VyeA° nén xe A” do dé ACA”
2.4.2 Dinh ly song péla
Cho (E,F) là mét hé déi ngau va ACẸ Khi do, song péla A°’1a bao o(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi của Ạ
Chứng minh
Rõ ràng theo nhận xét ở định nghĩa thì A"”“là ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi
và chứa Ạ
Giả sử B là bao ø(E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa Ạ Ta có, BC A",
Néu a¢Btheo định lí 2.1.5, 3yeFsao cho y(a) >1và |y(x)|<1,Vx eB Do
AcBnộn yeBcAđ >aÂA Vay ^"c=B=>A"”=B 2.4.3 Hé qua
Cho E là một không gian lồi địa phuong va A CẸ Khi do, A” trong hé
đối ngẫu (E,É) là bao đóng tuyệt đối lồi của Ạ
Chứng minh
Theo 2.4.2, A°là ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi và chứa Ạ Theo mệnh đề 2.2.7 đó cũng chính là bao đóng, tuyệt đối lồi của Ạ
2.4.4 Hệ quả
Cho E là không gian lồi địa phương và A c Ẹ Khi đó, pôla trong É của
Trang 27Ching minh
Theo định lý 2.4.2, pola cua A°’ la o(E,F)- dong, tuyệt đối lồi và chứa
A’ Nhung A°li o(E,F)- déng, tuyệt đối lồi nên (A"")' = A° 2.4.5 Hệ quả Cho E là không gian lồi địa phương và {Av} a 1a ho cac tap con o(E,F)- 0 đóng, tuyệt đối lồi của Ẹ Khi đó, [1 a,| 1a bao o(E,F)- dong, tuyét d6i 16i ael của tập UA’ ael Ching minh
Ta có: (ua:} =[ A’ =[ A, dodo (ua) -(1 A)
ael ael ael ael ael 0 theo hệ quả 2.4.4 : [1 a,| 1a bao o(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi của [JAS ael ael 2.4.6 Dinh ly Cho U lân cận tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương Ẹ Khi đó: ,VxeẸ IU sup|y(x)| = | yeU Chứng minh
Néu yeU® thi |y(x)|<1 véi moi xeU, do dé |x|, <1 kéo theo ly(x)|<1 Theo bé dé 2.1.2 ta cd ly(x)|<|[x||, voi moi x thuộc E, từ đó
sup|y(x)| < |[x||,,-Voi mọi xeE cố định, theo dinh ly Hahn - Banach tén tai
yeủ
y,€E’ sao cho y,(x)=|x||,, va |y,(2|<\lz|,, voi moi z ¢Ẹ Do dé ta cé6 |y,(2|<1 với mọi z thuộc U, tức là yạ eU° Vậy sup|y(x)| > y,(x) =|x|,,-
Trang 28Suy ra_sup|y(x)|=||x||,, Vx €Ẹ yeU 2.5 Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu 2.5.1 Định nghĩa
Cho (E,,E)và (E;,E,) là các hệ đối ngẫu A:E,—>E; là một ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ Á :E2 —> E;, xác định bởi: Á(y)= yoA, Vy E¿
gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ Ạ
Dễ thấy Á là một ánh xạ tuyến tính 2.5.2 Định lý
Giả sử (E,,E,)và (E;,E,) là hai hệ đối ngẫu, A là ánh xạ tuyến tính từ (E,,o(E,,F)) vào (BE;,øŒ;,F,)) Khi đó A liên tục khi và chỉ khi Á(Œ,)CE, Trong trường hợp đó, ánh xạ Á :(E,,oø(E,,E,)) — (E,ø(F.E,))
cũng liên tục
Chứng minh
Giả sử A liên tục, khi đó, VyeE,,Á(y)=y,A liên tục theo tôpô
o(F,E,)nén A‘(y) eR Vay ÁŒ,)CẸ
Ngược lại, giả sử Á(E,)CẸ Đặt V =|y:slt)
1<i<n ,f eE,,Vi =lk n]
là một ø(E;,E,) - lân cận Khi đó nếu U= {x :sup|Á(y)(x)|< 1} thì U là một
6(E,.F,) - lân cận và ĂU) cV
Vậy A liên tục Trong trường hợp đó ta có (Á)} (E,) E; nên theo lập
luận trên, thay A bởi Á ta có Á liên tục
2.5.3 Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính A gọi là liên tục yếu nếu nó liên tục theo các tôpô
Trang 292.5.4 Hé qua
Nếu A là liên tục yếu thì liên hợp của nó là Á cũng liên tục yếụ 2.5.5 Mệnh đề
Cho các hệ đối ngẫu (E,,E,)và (E,,E,), E,,E„ là các không gian lồi địa
phương A:E, —> E; là một ánh xạ tuyến tính liên tục thì A cũng liên tục theo
các tôpô yếu ø(F,,E,) trên E, và ø(E;,E,) trên E,
Chứng minh
Với mỗi y e F, cố định, Á(y)=ysA là dạng tuyến tính liên tục trên E, Vậy Á(y)eE=>Á(y)CE nên theo định lý 2.5.2 ta có điều cần chứng
minh
2.5.6 BO dé
Gia sử (E,,F,) và (E;,F,) là những hệ đối ngẫu va A là ánh xạ tuyến
tính liên tục yếu của E,vào E, với liên hợp Á Khi đó, với mỗi tập con M
của E, ta có: (Á(M)) =(A) '(M9)
Chứng minh
Vì mỗi tập (Á(M)) va (A) (M°) 1a tap hop tat cả các yF,thỏa
man |Á (y)()| =
2.5.7 Định nghĩa
Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A :E—> F Ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ A
là ánh xạ Á=F —>É xác định bởi Á(y) =ys A, Vy eF'
ys Ăx)|<1, Vx eM nên ta có điều cần chứng minh
2.5.8 Định lý Schauder
Cho E, F là các không gian Banach và A e#(E,F) Khi đó, A compăc
Trang 30Ching minh
Kí hiệu U là hình cầu đơn vị của Ẹ Nếu A compăäc thì:
M=| VÌ; :yeF, v|<1] =C(ĂU)) là bị chặn và đồng liên tục Theo định
ly Ascoli, M compac tuong déị
Với mọi y,zeF', Á(y)= Á(z) ta có:
y(Ăx)) = (A’(y))(x) = (A’(z))(x) = z(Ăx)), VxeẸ
Từ đó có ánh xạ tuyến tính @(Á(y)) = Yh:
V6i moi yeF’ taco:
|Ă)|=seply(Ăx)|= sựp Jy(2)|= swp |v(š)|=|e(Á(v))| Is|<! &eĂU) &<ĂU)
nén @ 1a đẳng cự
Dat V ={y €F’:|y|<1} ta có @(Á(V))=M Do M compäc tương đối nên Á(V) compăc tương đốị Vậy A’ compăc
Bây giờ nếu Á là ánh xạ compăc thì theo trên ta có A”:E"->F”
compac
Ki hiéu j, :E—F", j,:F >E” là phép nhúng chính tắc Ta có:
A”sj; =j;sA là ánh xạ compăc
2.6 Tôpô trên không gian đối ngẫụ Định lí Mackey-Arens 2.6.1 Dinh nghĩa M - tôpô
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫụ M là một họ các tập con của F có tính chất
sau:
i) Moi Me M [a o(E,F)- bi chan
ii) Moi M,,M, € M, tén tai M, e M va A>0 sao cho M, UM, CAM,
Trang 31Voi moi Me M, dat Py (x) =sup|y(x)] Ta có họ các nửa chuẩn
yeM
{Pu ,MeM ) là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô trên E, là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô lỗi địa phương t „ trên E gọi là M- tôpô xác định
bởi họ M
Với mọi M eM ta có : {xeE:p„(x)<1}=M” 2.6.2 Bỗ đề
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, t là một tôpô trên E
Khi đó, tồn tại họ các tập con M của F có tính chất i), ii), iii) sao cho
t=t„ khi và chỉ khi tôpô t có tính chất sau:
1)t mạnh hon o(E,F)
2)t có một hệ cơ bản các lân cận U của 0 E gồm các tập tuyệt đối lồi, o(E, F)- đóng
Mọi tôpô của hệ đối ngẫu trên E đếu có tính chất 1), 2) Nếu
F=(E,t) thì t= t„với M ={Ú :U là lân cận trong (E,t)}
Chứng minh
Nếu t= tự thì do iii), t có tính chất 1) Tính chất 2) được suy ra từ tập: {x € E:py(x)< 1} =| {x = E:|y(x) < 1} la tap tuyét déi 16i va o(E,F)-
yeM
dong
Ngược lại, giả sử t có tính chất 1), 2) Do 1) ta có FCE’= (E,t) Dat
M ={Úl F:UecW}, péla lay theo hé d6i ngau (E,F) Theo bé dé 2.4.6 ta
Trang 32Ta có: FC Évà E’=U{AỦ :2>0,Ue U}
và UAM:2>0,Me46} =U{2(U°1 F):Ạ>0,U e]=EI F=F
= M thỏa mãn iii)
Vậy họ M có tính chat i), ii), iii), và tôpô t„ tồn tạị Với mọi U e4,
theo ii) và định lí song pôla ta có:
U=Ũ(&(Œ,F))=(U°1 E)°= {xeE:|y(x)|<1,Vye U°I F}
= {x EE: pio, p(X) <1}
tir đ t=tỵ
Cuối cùng, t là một tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F) thì theo định lý 2.2.5, t mạnh hon o(E,F) Theo bé dé 1.6.2 ta có t có một hệ cơ bản các lân
cận đóng, tuyệt đối lồi, theo định lí song pôla, bỗổ đề 2.2.7, các tập này
o(E,F)- đóng Vậy t có tính chat 1), 2)
2.6.3 Định lý (Alaoglu-Bourbaki)
Với mọi lân cận U của một không gian lồi địa phương E, pôla U° của U là tập tuyệt đối lồi va o(E’,E)- compac
Chứng minh
Đặt D= {a eK | < 1} „ D là tập compăc trong K Theo định lý
Tikhonov , D7 là không gian compăc Định nghĩa :
J:Ủ —DP,J(y)=(y(x)), -
Do U là tập hút nên J đơn ánh, hơn nữa {p„} Mee(U) là một hệ cơ bản các
nửa chuẩn của ø(É,E) Với mỗi Me(U),e >0 và y e U”, ta có:
Trang 33Do đó J:(U",ø(É,E) ” ) —>J (0°) là phép đồng phôị Vì D” compăc nên ta
chỉ cần chứng minh J(U°) đóng trong D”
Ta có: yeDlà thuộc J(U") <y có thể mở rộng thành phiếm hàm tuyến tính trên Ẹ Do đó J(U°)={y e DỶ :Ay(u)+uy(v)+yy(w) =0 với mọi
(^.ụy) < KỶ,(u,v,w )e UỶ thỏa mãn Au + uv + yw =0}
Vì ya_ y(x)là liên tục nên tính đóng của J(U") được chứng minh
2.6.4 Định nghĩa tôpô Mackey
Cho t là một tôpô của hệ đối ngẫu(E,F) trên Ẹ ® là một hệ cơ bản các lân cận tuyệt đối lồi của (E,t) Khi đó theo bổ đề 2.4.6, | =Pụu; với mọi
Uẹ Vì U° là tuyệt đối lồi và do định lý Alaoglu — Bourbaki 2.6.3 nó là
ø(F,E)- compăc nên t=t„ với 4 là một họ các tập tuyệt đối lồi và
ø(F,E)- compăc của Ẹ
Trong hệ đối ngẫu (E,F) tùy ý xét họ: M={MCF:M tuyệt đối lồi va
o(F,E)-compac } Khi đó, họ M có tính chất ì), ii), iii) Thật vậy : mọi tập compăc yếu đều bị chặn yếu nên có ¡) Vì tổng của hai tập compăc yếu là
compăc yếu và mọi Mi,Mạe M, M,UM,CcM,+M,eM nên có ii) Mọi
yeF,ye{Ay:|A| <1} eM nén 6 iii)
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, M - tôpô trên E xác định bởi họ M tắt cả các tập con tuyệt đối lồi, ø(F,E)- compăc cua F gọi là tôpô Mackey, ký hiệu
+(E,F)
2.6.5 Bỗ đề
Tôpô +(E,F) là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô của hệ đối ngẫu
Trang 34Ching minh
Theo 2.6.4, 1(E,F) manh hon moi tôpô của hệ đối ngẫụ Do đó, ta chỉ cần chứng minh +(E,F) cũng là một tôpô của hệ đối ngẫụ
Coi 4 như là họ các tập con của EŸ và xét hệ đối ngẫu (ẸÈ) Theo
định lý 1.6.7, y E thuộc (Ẹt„ } nếu và chỉ nếu tồn tại M ẹ{, c > 0 sao cho
|y|<ePy-
Vì: MP=|xeEssnly(x]<1| ={xeE:păx)<l nên theo bổ đề
yeM
1.6.5 ta có pụ=|L|[„ Vì vậy ye(Ẹt,) nếu và chỉ nếu tổn tại
MeM,A>0 sao cho yeAM™ (péla lay theo hé (E,E’))
Theo định lý song pôla ta có :
(E,ty) =U{AM":2>0,M eM} =Uular(M} :Ä>0,M eat} (1)
trong do T(M}Ƒ là bao tuyệt đối lồi và đóng của M trong o(E’,E)
Vi ø(Ẹ.E)|, =0(F,E)nén ta có T(M) với mọi tập M tuyệt đối lồi và o(F,E)- compac trong F
Do (1) và iii) ta có:
(Ẹ+(ẸF)) =(Ẹt„)=U{AM:2>0,Mẹ=F Vậy +(E,F) là tôpô của
hệ đối ngẫu (E,F)
Do o(E,E) là tôpô yếu nhất của hệ đối ngẫu (E,F) và bổ đề 2.6.5 ta có
Trang 352.6.6 Dinh ly (Dinh ly Mackey-Arens)
Một tôpô lồi địa phương t trên E là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) nếu và chi
nếu o(E,F) ctc +(ẸF)
2.6.7 Nhận xét
Cho t là tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F) A là tập con tuyệt đối lồi của
Ẹ Theo định lý song pôla, bao đóng của A theo tôpô t trùng với bao đóng cua
A theo tôpô o(E,F)
Trong phần ánh xạ liên hợp ta đã chỉ ra một ánh xạ tuyến tính liên tục cũng là liên tục yếu, trong điều kiện nhất định ta cũng có điều ngược lại đó là
2.6.8 Mệnh đề
Nếu E, F là những không gian lồi địa phương và nếu E có đối ngẫu É và
có tôpô +(E,E) thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục yếu của E vào F cũng là
liên tục
Chứng minh
Giả sử V là một lân cận đóng và tuyệt đối lồi trong F Khi đó, theo định lý Alaoglu — Bourbaki 2.6.3, V°là ø(F',F)- compăc Vì liên hợp của Á của ánh xạ tuyến tính liên tục yếu A là liên tục yếu (nént'(V°) lao(E’,E)-
compac Vi vay, péla ca né trong E là một +(É,E) lân cận
0
Mà ta có: (Á(V)) =A-'(V")= A-”(V), bởi vì V là đóng và tuyệt đối
lồị Vậy A là liên tục
2.7 Tôpô mạnh
2.7.1 Định nghĩa
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫụ Họ ( tất cả các tập con ơ (F,E) -bị chặn
của F thỏa 1), 1), 11) .{- tôpô xác định bởi họ 4 này gọi là tôpô mạnh, ký
Trang 36Nhận xét
Nếu E là không gian định chuẩn thì theo nguyên lý bị chặn đều,
MCElà ø(E,É)- bị chặn nếu và chỉ nếu M bị chặn trong Ẹ Do đó, B(É,E)
trùng với tôpô sinh bởi chuẩn
Nếu E là không gian Banach thì theo nguyên lý bị chặn đều, ME” là
ø(E,E)- bị chặn nếu và chỉ nếu M bị chặn trong E’ Do đó trường hợp này B(E,É) trùng với tôpô sinh bởi chuẩn
2.7.2 Bỗ đề
Trong mọi hệ đối ngẫu (E,F), B(E,F)là - tôpô mạnh nhất trên Ẹ Một cơ sở lân cận của E theo tôpô B(E,F) là: 4={UeE:Ulà ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi và hút}
Chứng minh
Từ định nghĩa ( - tôpô ta có ngay B(ẸF) mạnh hơn mọi tôpô khác trên Ẹ Bây giờ ta cần chỉ ra với mọi U e% là B(E,F) - lan can cua 0
Lấy Ue cố định Do U hút nên mọi xeE, tồn tại >0sao cho
xêỤ Với mọi ye U° ta có |y(x)|<2 tức là sup|y(x)|<2 Vậy U° là tập
yeủ
o(F,E)- bi chan nén U" 1a mét B(E,F)- lan can ca 0
2.7.3 Dinh nghia dia Banach
Tập con tuyệt đối lồi B của không gian vectơ E gọi là một đĩa Banach
nếu E; =(B) = LJtB, hàm cỡ ||.|,, là một chuẩn trên E;và (E,,
t>0 .|,) là một
không gian Banach
2.7.4 Dinh ly (Dinh ly Banach — Mackey)
Trang 37Ching minh
Ký hiệu E; là không gian Banach sinh bởi B Vì B là ø(E,F)- bị chặn nên phép nhúng E¿ > (Ẹo(E,F)) liên tục Từ đó, mọi tập ø(E,F)- bị chặn
M trong E, tập A={yl, :yeM] được chứa trong (E;)} và sup|y (x | <œ
B yeA
v6i mgi x €E,
Theo nguyên lý bị chặn đều 1.7.4 ta có:
(„ý €”
+pp.(s)=s|sgjăS|=spi
từ đó B là tập B(E,F) - bị chặn
2.7.5 Bỗ đề
Cho t,,t, là hai tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) Khi đó, mọi tập con t,- đầy
đủ (đầy đủ theo day) của E cũng là t,- đầy đủ (đầy đủ theo dãy)
Chứng minh
Gia sử MCE là tập con t,- đầy đủ và (x;), là một t,- lưới Cauchy
trong M Khi đó (x;), cũng là t,- lưới Cauchy, do đó x; —>x eM theo t, Ta sẽ chứng mỉnh x; ->x theo t, Cố định một lân cận U của 0 theo t„, U là
t,- đóng Do (x;) là t,- lưới Cauchy nên tồn tại 5, sao cho x; —x, €U với mọi 6,y26, Vi x; —>x theo t, va U là t,- đóng nên x; —x e U với mọi 526, Vay x; >x theo t, Phần còn lại ta chứng mỉnh tương tự
2.7.6 Hệ quả
Mọi tập con tuyệt đối lồi, đóng, bị chặn, đầy đủ theo dãy B của một
Trang 38Ching minh
Vì B tuyệt đối lồi, bị chặn nén |.|,, 1a chuan trén B=[JnB va phép
n=l
nhúng E; —> Eliên tục Từ đó, tôpô t, sinh bởi chuẩn trong E; mạnh hơn
tôpô t, cảm sinh bởi tôpô xuất phát trên Ẹ Vì B đầy đủ theo dãy nên theo bổ đề 2.7.5, B cũng t,- đầy đủ theo dãỵ Vậy (E B I,) là không gian Banach
Nếu B là compăc thì B đóng, bị chặn và đầy đủ Do đó, B 1a dia Banach
2.7.7 Định lý (Định lý Mackey)
Cho (ẸF) là một hệ đối ngẫu và M c Ẹ Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:
a) Mla +(E,E)- bị chặn
b) M là t - bị chặn với mọi tôpô t của hệ đối ngẫu (E,F)
c) Mla o(E,F)- bj chin
Ching minh
a) =b) —c) do định lý Mackey- Arens
Dé chimg minh c) =a) ta cố định tập tuyệt đối lồi, ø(E,F)- compăc B
của F Theo hệ quả 2.7.6, B là đĩa Banach, do đó theo định lý Banach-
Mackey, B là B(E,F)- bị chặn Từ đó, mọi tập con ø(E,E)- bị chặn M của E
ta có SUPP (x)= supsup|y (x) =SUPPyy (y)<ọ xe xeM yeB ye
Do B là tập bị chặn tùy ý nên M 1a t(E,F)- bi chan 2.7.8 Bỗ đề
Trang 39Ching minh
Giả sử E đầy đủ với M- tôpô t, và t, là một - tôpô mạnh hơn t, Theo bổ đề 2.7.5 ta chỉ cần chỉ ra t, có một cơ sở lân cận t,- đóng Thật vậy, U là
Trang 40Chuong 3 MOT SO KHONG GIAN LOI DIA PHUONG DAC BIET
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số lớp các không gian lồi
địa phương đặc biệt như không gian thùng, không gian phản xạ, (DF) - không gian và đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet và (DF) - không gian
3.1 Không gian thùng 3.1.1 Định nghĩa
Tập MCE gọi là một cái thùng của E nếu M tuyệt đối lồi và hút Tập
M gọi là hút các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B trong E đều tồn tại ^>0sao cho BCÀM
Mọi không gian lồi địa phương đều có một cơ sở lân cận với mỗi lân cận
trong đó là một cái thùng
3.1.2 Định nghĩa không gian thùng
Không gian lồi địa phương gọi là không gian tựa thùng nếu mọi cái
thùng hút các tập bị chặn là lân cận của 0 Không gian lồi địa phương gọi là không gian thùng nếu mọi các thùng đều là lân cận của 0
3.1.3 Mệnh đề
Giả sử E là một không gian lồi địa phương với đối ngẫu É Khi đó, một tập con B của E là một cái thùng khi và chỉ khi B là pôla của một tập
ø(É,E)- đóng trong E’
Chứng minh
Pôla của một tập hợp o(E’,E)- đóng là một tập tuyệt đối lồi, đóng và dé
thấy nó hút Ngược lại, nếu B là một cái thùng thì B= B”(theo định lý song