1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

60 539 7
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 60
Dung lượng 15,05 MB

Nội dung

Trang 1

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Dam Van Ngoc

DOI NGAU CUA KHONG GIAN LOI DIA PHUONG

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS DAU THE CAP

Thành phố Hồ Chí Minh — 2009

Trang 2

BO GIAO DUC VA DAO TAO

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Dam Van Ngoc

DOI NGAU CUA KHONG GIAN LOI DIA PHUONG

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

Thanh phố Hồ Chí Minh - 2009

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình

hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn nàỵ Em cũng xin cảm ơn các quý thầy đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý

kiến đóng góp quý báụ

Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng

Trang 4

MUC LUC Trang phu bia Loi cam on Mục lục Chuwong 1 KIEN THUC CHUAN BI II {0i ố3 00,201 3 1.2 Không gian vectơ khả mÊTIC + + 25+ + 3**+t+*E++eEeerereererrerere 4 1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc - + -s++s>ss+s++ 6

1.4 Không gian đầy đủ -2-©2<+22k+EESEEE22112211171121121121 21x crxe 7 1.5 Ánh xạ tuyến tính -2- 2s + ++EEE+EEESEEEE2EE221221211271.27122xe xe 7

1.6 Không gian lỗi địa phương . 2-22- 22+ ©E+2EE+EEEtEEEtErxrrrerrrxee 7

1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều .- 11 Chuong 2 LY THUYET DOI NGAU

2.1 Không gian d6i nga .eecceecceeseesseesseesseesseesseesseesseesseessessesseesseesseees 12 2.2 Hệ đối Qa occ ecceecceeccsecsseessecssessesssecssecssecsseessecssecssesssecsseessessseesseees 15

P.0 19

Phong 0 21

Trang 6

1 Ly do chon dé tai

Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và

không gian vectơ tôpô nói riêng Do đó, việc nghiên cứu một cách đầy đủ và

phát triển lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương là một vấn đề

quan trọng và cần thiết 2 Mục đích

Tìm hiểu về lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt như : không gian phản

xạ, không gian thùng và (DF) — không gian

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa

phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quá của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương có

nhiều ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến, trong phương trình đạo hàm

riêng và nhiều ngành toán học khác

5 Cấu trúc của luận văn Gồm ba chương

Chương đầu giới thiệu các kiến thức cơ bản về không gian vectơ tôpô và không gian lỗi địa phương, đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm được sử dụng trong các chương saụ

Chương thứ hai trình bày các khái niệm của lý thuyết đối ngẫu của không

gian lồi địa phương như : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối

Trang 7

Chương cuối của luận văn nhằm mục đích trình bày một số lớp không

gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ và đặc biệt là (DF) - không gian, lớp các không gian chứa các không

gian đối ngẫu của các không gian Frechet Các kết quả quan trọng trong các

Trang 8

Chuong 1 KIEN THUC CHUAN BI

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản và một số kết quả trong

không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương được sử dụng trong các các chương sau

1.1 Không gian vectơ tôpô

1.1.1 Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ trên trường K (K =R hoặc K =C) Một tôpô + trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E ) nếu phép cộng

+:ExE->E và phép nhân vô hướng :KxE-—> E liên tục

Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một

không gian vectơ tôpô

1.1.2 Định lý

Cho E là một không gian vectơ tôpô Khi đó:

a) Với mọi ae E, phép tịnh tiến x -> x + a là phép đồng phôi từ E lên Ẹ Đặc

biệt, 3 là một cơ sở lân cận của 0 eE thì a + 4= {a +U, U e U} là cơ sở lân

cận của a cẸ

b) Với mọi ÀAeK,^.0, ánh xạ x—>Àx là phép đồng phôi E lên Ẹ Đặc biệt, U là lân cận của 0 eE thi AU, 2.0 là lân cận của 0

Theo định lý 1.1.2, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ

Trang 9

1.1.4 Dinh ly

Néu U 1a mét co sé lân cận trong E thì với mọi U e®Ý ta có: a) U là tập hút

b) Tổn tại V eU sao cho V + V c U c) Tén tại lân cận cân W sao cho W c U

1.1.5 Hệ quả

Trong không gian vectơ tôpô, mọi lân cận U đều chứa một lân cận đóng

1.1.6 Hệ quả

Cho U là một cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô Ẹ Khi đó E

là Hausdorff nếu và chỉ nếu | U ={0}

Uef

1.1.7 Định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn

Giả sử E là không gian vectơ Hàm p xác định trên E và nhận giá trị thực gọi là nửa chuẩn trên E nếu 1) p(x)>0, Vx eẸ ii) p(Ax)= |M p(%), Vx eẸ 11) p(x + y) < p(x) + p(y), Vx,yeẸ Nửa chuẩn p gọi là một chuẩn nếu p(x) =0 © x=0 1.1.8 Định nghĩa Một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó gọi là không gian định chuẩn 1.2 Không gian vectơ khả mêtric 1.2.1 Định nghĩa

Trang 10

1.2.2 Dinh ly

Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric nếu và chỉ nếu E có một

cơ sở lân cận đếm được Trong trường hợp đó tồn tại hàm x —>|x| từ E lênR thỏa mãn : a) |Ax|<|x|,Vx eE,¥eK, A|<1; b) |x+y|<|x|+|y ,Vx,yeE; c) |x|=0©x=0; d) Métric d(x,y) =|x - y| sinh ra tôpô của Ẹ Chứng minh Giả sử { V„} là một cơ sở lân cận cân của E thỏa mãn V, n+l +V, n+l cV, voimoineN () Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng HC, đặt Vụ = XV, Ta có Vụ là neH lan can can Dat p,, = >2" neH Từ (1), bằng quy nạp theo số phần tử của H dễ dàng chứng minh Py <2" S>n<H>V, CV, (2) (6 day n<Hnghia la n<k véi moi keH) Đặt | || khix£V„,VH inf {p„ :x e Vụ} khi3H,x e V„

ta có hàm xa |x| từ E vàọ Dễ thấy |x| e|0;1]

Do Vạ cân nên 1) thỏa mãn Hiển nhiên 2) đúng nếu |x| +|y|> 1 Bây giờ

giả sử |x|+|v| <1 Chọn e>0sao cho |x| +]y|+2e<1 Khi đó tồn tại các tập

Trang 11

Vi py +P, <1nén ton tai tap M sao cho p,+py =P,,- Do (1) ta cd Vị, + V„ C Vụ Từ đó suy ra x+yeVyva |x+y|<Pw =P„ +Px <|x|+|y|+2ẹ Vậy có 2) Với mọi e >0, đặt S, = {x :|x|< e} Ta có S41 CV, CS, véimoi neN (3)

That vay, x eV, thi |x|<2™, do dé V, cS,, Mặt khác nếu |x|<2"” thì tồn tại H sao cho x e V„ và p„ <2”" Từ đó theo (2) ta có xe V,

Do E Hausdorff nên theo hệ quả 1.4 và (3) ta có tính chất 3) trong định lý Theo (3) ta cũng có {S.} là cơ sở lân cận của 0 trong Ẹ

Vậy có tính chất 4) trong định lý

1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chan va compac 1.3.1 Định nghĩa

Giả sử E là không gian vectơ tôpô Tập con X c E gọi là bị chặn nếu với

mọi lân cận U của 0e E, tồn tại e >0sao cho XC£V 1.3.2 Mệnh đề Giả sử E là không gian vectơ tôpô Khi đó : a) Bao đóng của tập bị chặn là bị chặn b) Bội vô hướng của tập bị chặn là bị chặn c) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn là bị chặn 1.3.3 Định nghĩa

Giả sử E là không gian vectơ tôpô tập con X c Elà hoàn toàn bị chan

Trang 12

1.3.4 Dinh nghia

Giả sử E là không gian vectơ tôpô và Xc Eta nói là tập compăc nếu mọi phủ mở của X, tồn tại một phủ con hữu hạn

1.4 Không gian đầy đủ

Cho không gian vectơ tép6 Ẹ Day {x,} c E gọi là day Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tai n,, sao cho x„—x,„ 6U, với mọi m,n>n, Lưới ÔN)

gọi là lưới Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tai 5, sao cho :

X, —xX, €U, V6,y 25)

Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều

hội tụ, gọi là đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ Tập

con A của E gọi là đầy đủ (đầy đủ theo dãy) nếu mọi lưới (dãy) Cauchy trong

A đều hội tụ đến một điểm thuộc Ạ

1.5 Ánh xạ tuyến tính

1.5.1 Mệnh đề

Nếu E và F là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính của E vào F thì f là liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc

1.5.2 Định nghĩa

Đặt L(E,F) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, Tc£Œ,F) Ta nói T là đồng liên tục nếu với mỗi lân cận V trong F, tồn tại một lân cận U trong E sao cho f(U) V với mọi feT

1.6 Không gian lồi địa phương

Trang 13

1.6.1 Dinh nghia

Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian lồi địa phương nếu E

Hausdorff va E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồị

1.6.2 Bỗ đề

Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff Khi đó, các mệnh đề

sau đây là tương đương:

a) E là không gian lồi địa phương

b) E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lôị e) E có một cơ sở lân cận gồm các tập đóng tuyệt đối lôị 1.6.3 Định nghĩa

Cho A là tập con của không gian vectơ Ẹ Khi đó:

pă%) =|x|, =inf{^.>0:xệA} xác định một hàm từ E vào R, gọi là hàm

cỡ, hay phiếm hàm Minkowski cia tap Ạ 1.6.4 Bỗ đề Với mọi tập con cân và hit A của không gian vectơ E, ||-||, là một nửa chuẩn trên Ẹ 1.6.5 Mệnh đề

Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là một tập bị chặn trong Ẹ

Trang 14

b) p=] y› U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục nếu và chỉ nếu

U là lân cận của 0e Evà Ủ={xeE:p(Œ)<1},Ũ ={xeE:pœ) <1}

1.6.7 Định nghĩa

Cho không gian lồi địa phương Ẹ Một họ %3 các lân cận của E gọi là một hệ cơ bản các lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện :

a) Vx eE,x #0, tồn tại U e,e >0 sao cho x ££Ụ

b) Mọi lân cận V của 0 e E, tồn tại U eU và >0 sao cho eU CV

Họ {| ll} ,các nửa chuẩn trên E gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ

cac tap U, = {x :|lx\|, < ) là một hệ cơ bản các lân cận của Ẹ

1.6.8 Định lý

Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn Mọi hệ cơ bản các nửa chuẩn {| " của E có tính chất sau

a) Mọi x eE,x #0, ton tai a eI sao cho Ix||, >0

b) Mọi d,B e1 tồn tại y elI và C > 0 sao cho: max ||- K |, < Cll, 1.6.9 Bỗ đề

Nếu {| ‘la} là một họ các nửa chuẩn có các tính chất a) và b) trong

định lý 1.6.7 thì họ các tập U„„(a)={x eE:|x—a||< e}, a eE, œel, e>0 là

cơ sở của tôpô lồi địa phương duy nhất trên E nhận {| l2 ael làm hệ cơ bản

các nửa chuẩn Nếu họ các các nửa chuẩn có tính chất b) mà không có tính

chất a) thì với tôpô trên, E có một cơ sở lân cận lồi nhưng không Hausdorff

1.6.10 Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương

Giả sử {p.} , là một họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ Ẹ Kí hiệu ae

Trang 15

Pu (x) = max p, (x) ta được họ các nửa chuân {Pu} Mes(I) thỏa mãn tính chất b) trong định lý 1.6.8 Do đó theo bổ đề 1.6.9, họ các tập có dạng: Ủy ,(4) ={xE:pu(X—a) < £}= I {xeE:p,(x-a)<el=] U,,(a) œeM œeM

với mọi Mee(I), e>0, aeE là một cơ sở của một tôpô trên Ẹ Với tôpô này,

E là một không gian vectơ có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không

Hausdorff Tôpô này là tôpô yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn p„„œcl liên

œel `

Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) trong định lý 1.6.7 thì E với tôpô nói trên là không gian lồi địa phương

Bây giờ giả sử 4 là một họ khác rỗng các tập con tuyệt đối lồi và hút

của không gian vectơ Ẹ Khi đó tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn {| Ị) „ goi là Ue tôpô sinh bởi họ các tập tuyệt đối lồi và hút 9 Nếu ] U={0} thì E với

Ueft

tôpô nói trên là không gian lồi địa phương

1.6.11 Định lý

Cho E và F là các không gian vectơ tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn

tương ứng là{p,} _ valde} Khi đó, ánh xa tuyến tính A:E-—>F liên tục nếu và chỉ nếu mọi B € J tồn tại M ee(1) và c > 0 sao cho:

q,(A@œ))< cy p, (x), Voi moi x EẸ

aeM

1.6.12 Định nghĩa

Gia sir E là không gian lồi địa phương Ta nói E là :

Trang 16

b) Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy đủ

1.6.13 Định nghĩa

Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương Ánh xạ tuyến tính f : E—>F gọi là bị chặn địa phương nếu f biến tập bị chặn trong E thành tập bị chan trong F

1.7 Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều

1.7.1 Định lý tách các tập lồi

Giả sử F là không gian vectơ tôpô thực A, B là hai tập lồi rời nhau trong E và A là mở Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E và œ e R sao cho: f(x)> œ, Vxe A và f(x)<a, VxeB

1.7.2 Định lý

Giả sử p là một nửa chuẩn trong không gian vectơ thực E và f là dạng tuyến tính trên một không gian con M của E sao cho f(x) < p(x), VxeM Khi đó, tồn tại dạng tuyến tính g trén E thoa man g(x) =f(x), Vx eM va

g(x) < p(x), Vx EẸ 1.7.3 Hé qua

Giả sử E là không gian vectơ trên trường K, a không thuộc E, p là một nửa chuẩn trên Ẹ Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho :

f(a) = p(a) va F(x) < p(x) voi moi xe E

1.7.4 Nguyén ly bi chan déu

Giả sử E là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và {fab scr là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi đó nếu với

mọi xeE, sup|f,, (x)| <o thi sup|[f, | <0,

Trang 17

Chuong 2 LY THUYET DOI NGAU

Chương này chúng ta sẽ trình bày các vấn đề của lý thuyết đối ngẫu bao

gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫụ Bằng cách

coi rằng các lân cận của điểm gốc là pôla của những tập nào đó trong không

gian lồi địa phương, ta sẽ xác định được các tôpô lồi địa phương khác nhau trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương Các tập hợp được sử dụng cho mục đích ấy là : lớp các tập hợp bị chặn Định lý Mackey — Arens đặc trưng cho tất cả các tôpô lồi địa phương xác định cùng một hệ đối ngẫu cho trước, đó là các tôpô lồi địa phương mạnh hơn tôpô yếu và yếu hơn tôpô Mackeỵ

2.1 Không gian đối ngẫu 2.1.1 Định nghĩa

Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K Ta kí hiệu EÏ =LŒ,K) là không gian các dạng tuyến tính trén E, E’ = £(E,K) 1a khong gian các dạng tuyến tính liên tục trên Ẹ Khi đó, EÏ và É là các không gian vectơ trên K E” gọi là không gian đối ngẫu đại số của E và Égọi là không gian đối ngẫu của Ẹ

Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không

gian lồi địa phương

2.1.2 Bỗ đề

Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ Ẹ Nếu q(x) < 1 kéo theo p(x) <1 thì p(x) <q(x) với mọi x cẸ

Chứng minh

Giả sử ngược lại, tồn tại x, €E va a>0 sao cho 0<q(x,)<a<p(x,)

Khi đó: q(=2) <1 nhưng p( 9) > 1, (mâu thuẫn)

Trang 18

Vay p(x) <q(x) voi moi xeẸ

2.1.3 Dinh ly

Cho E là một không gian lồi địa phương, f, là một dạng tuyến tính liên

tục trên một không gian con M của Ẹ Khi đó, tồn tại f eEsao cho f Ine =f)

Ching minh

Do f, lién tyc trén M nên tập V ={x:|f,(x)|< 1} là một lân cận của 0 Từ đó, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi U sao cho UMC V

Với mọi xeM, x[,<1 ta có: xeUnên xeUMcV=|f(x)|<1 Theo bổ đề 2.1.2 ta có: |f,(x)| < | x| „:VxeM

Theo định lí Hahn- Banach 1.7.2 tồn tại f e E” sao cho: fly =f, va |f@&)| <l|xÍ,.vx eẸ

Ta chứng minh feE” Thật vậy, với mọi e>0:x eeUthì £(x)| <|[x||, <£

nên f liên tục tại 0 suy ra f liên tục trên E hay f e E” 2.1.4 Hệ quả

Cho E là một không gian lỗi địa phương Khi đó với mọi ae E,az0,

tồn tai f e E’sao cho f(a) =1

Ching minh

Dat M =(a) là không gian sinh bởi a, f là phiếm hàm trên M xác định

boi f,(Aa) =Ạ Khi d6, với mọi œ,À,À,,À„ eK:

f(A,at+A,a) =£,((A, +A,)a) =A, +A, =£,(A,a) + f(A, a)

f,(ăAa)) =f, ((ad)a) = a = af, (Aa)

Vậy f, là phiếm hàm tuyến tính trên M Do E Hausdorff nên tồn tại lân

Trang 19

f, lién tục tại 0, do đó, f, lién tuc trén M Theo dinh ly 2.1.3, tồn tại f e É sao

cho f|„ = f, Từ đó ta có: f(Aa) =2, VAeK = f(a) =1

2.1.5 Định lý

Cho E là một không gian lồi địa phương, A là tập con tuyệt đối lỗi và

a#Ạ Khi đó, tồn tại f eÉ sao cho:

a) f(a) > 1

b) |£(x)| <l,VxeẠ

Chứng minh

Do a£A, E là Hausdorff nên có lân cận tuyệt đối lồi U sao cho (a+U)¬A=Ø Đặt B=A+2U, Vì A tuyệt đối lồi nên suẹ suy ra B

tuyệt đối lồi, hút va ||-||, <| ‘he

Theo hệ quả 1.7.3, tén tai fe E” sao cho f(a)=llal,, va |f()|<||x|| với mọi xẸ Do x›||xỈ, liên tục nên f liên tục tức là f e E”

Trang 20

1

Vì U hút nên với mọi x e A, chon ¢ > 0sao cho exe5Ụ Taco:

(I+e)x =A+2U=B nên (I+e)|x||, =||(+e)xj, <1 suy ra |x|), <1

Vì |f(x)|<||x[_ nên |f(x)|<1, xe Ạ

2.1.6 Hệ quả

Cho A là tập con tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E và a#Ạ Khi đó, có f eE sao cho f(a) # f(A)

Chứng minh

Theo định lý 2.1.5, tồn tại f e É sao cho: f(a) > 1 va |fQœ)|<1, VxeẠ Vì f(A)c{AeK:|A|<1} = B, mà B là tập đóng nên f(A) c B nên

f(a)¢B= f(a) ¢ f(A) 2.2 Hệ đối ngẫu

2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu

Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường vô hướng K

(.):ExF-—>K là một dạng song tuyến tính Ta gọi cặp ( E, F) là một hệ đối

ngẫu nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :

1) Với mỗi 0x e E, tồn tại x'eF sao cho (x x’) #0 2) Với mỗi 0# x' eF, tồn tại x eE sao cho (x.x) z0

2.2.2 Chú ý

Cho ( E, F) là hệ đối ngẫu thì với mợi x'eF, xa (x.x) là dạng tuyến tính trên E và với x',x" eF, x'#x"— 3x eE đề:

(x,x'— x") 40> (x.x) x (x,x")

Như vậy, ánh xạ x'> (x,x') từ F vào E” là đơn ánh nên ta có thê đồng

Trang 21

2.2.3 Nhận xét

1)Nếu (Œ, F) là một hệ đối ngẫụ Khi đó, (F,E) với đạng song tuyến tính

(x',x)a (x, x’) sẽ xác định hệ đối ngẫu (F, E)

2) Giả sử E là một không gian vectơ và E” là đối ngẫu đại số của nó Khi đó,

(E,E”) với dạng song tuyến tính (x,f)a f(x) trong đó xeE,feE” sẽ xác

định hệ đối ngẫu (E,E”)

3) Giả sử E là một không gian lồi địa phương với không gian đối ngẫu là É

Xét dang song tuyến tính (x,f)a f(x), xe E, f e E7 Theo hệ quả 2.1.4, điều

kiện 1) được thỏa mãn, còn điều kiện 2) là hiển nhiên, do đó (E, E7) cùng với

(É, E) là các hệ đối ngẫụ

4) Cho E là một không gian lồi địa phương, F là không gian con của É”,

ÉCFCÈ thì ( E, F) cũng là một hệ đối ngẫụ 2.2.4 Tôpô của hệ đối ngẫụ Tôpô yếu

Cho ( E, F) là một hệ đối ngẫụ Tôpô lồi địa phương + trên E sao cho (E,t =F gọi là tôpô của hệ đối ngẫụ Kí hiệu ø(E,F) là tôpô yếu nhất để

, hay là tôpô xác định bởi các hệ cơ bản các nửa chuẩn: xa ly(x) Py (X) = sup|y(x) ,Me4(F) (M(F) là tập hợp các lân cận của 0e F) yeM 2.2.5 Định lý

Cho (E, F) là một hệ đối ngẫụ Khi đó ø(E,F) là một tôpô của hệ đối

ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó

Chứng minh

Trang 22

2.2.6 Bỗ đề

Cho E là một không gian vectơ và yạ,y,,Y;, ,y„ e E” Khi đó, hoặc yạ

là tổ hợp tuyến tính của y,,y; ,y„ hoặc tồn tại a eE sao cho: y,(a)=Ly,(a)=y,(a) = =y,(a)=0 Chứng minh bỗ đề

Ta có thể giả sử y,.Y; y„ độc lập tuyến tính và chứng minh bé đề

bằng quy nạp

Với n= l1: y, #0 Chọn a, e E sao cho y,(a,)=1,Vx eE ta có:

y,(x~ y,Œ)a,)= y,(X)— Y,()y,(a,) =0

= x-y,(x)a, <y;'(0)=N,

Do đó, hoặc tồn tại a 6N, sao cho yạ(a) = I,y,(a) = 0hoặc

yạ(a)=0,Va eN, Nếu yạ(a)=0,Va eN, thì yạ(x— y,(x)a,)=0,Vx eE

=> yo(X) = yạs(a,)y,(x),Vx eE hay yạ = dy,

Giả sử kết quả đúng cho n—1>1 Khi đó, với mỗi i = 1, ,n, tồn tại

a; €E sao cho y,(a,) =l,y,(a,) =0 với mọi j#1

Từ đó với mọi jzi,vxeE ta có x=Ề`y,(x)a,e] y;'(0)=N Do đó,

isl isl

hoặc tồn tại a e N,yạ(a) =1, và hiển nhiên y,(a) = y;(a) = = y„(a) =0 hoặc yạ(a)=0,VaeN Trong trường hợp này, VxeE,yạ(x— >y, (x)a,)=0 ta

isl

được yạ(x) =À,yạ(a,)y,() tức là y, = Ð^,y,

i=l i=l

Chứng minh định lý

Trang 23

ly(x)| <a<l trén mot lan can cé dang U= k : suply, (x) <1

1<i<n

Nếu tồn tại aeF sao cho y(a)=1 và y,(a)= y;(a) = = y„(a) = 0thì

a eU và |y(a)|> 1 (mâu thuẫn)

Vì vậy, theo bổ đề 2.2.6, y= Yay, eF>ÉCF Vay F=E’

isl

R6 rang o(E,F) 1a tépé yéu nhất trong các tôpô của hệ đối ngẫu (E, F)

Nhận xét

Một số tính chất chỉ phụ thuộc vào hệ đối ngẫu mà không phụ thuộc vào

tôpô cụ thể của hệ đối ngẫụ Việc nghiên cứu các tính chất ấy trong một

không gian lồi địa phương có thể tiến hành với tôpô yếu, nếu điều đó thuận lợị Mệnh đề sau là một vi dụ

2.2.7 Mệnh đề

Nếu (E,F) là một hệ đối ngẫu và A là một tập con tuyệt đối lồi của E thì

A có cùng bao đóng A trong mọi tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) Chứng minh

Giả sử t là một tôpô tùy ý của hệ đối ngẫu (E,F) Ta chứng minh bao

đóng Ạ cua A trong tôpô + trùng với bao dong A, trong tôpô o(E,F) Bởi

+ mạnh hơn ø nên A,cA,

Giả sử a ø A,, theo hệ quả 2.1.6, tồn tại y e É =F sao cho y(a) ø y(A) Khi đó, 45 >0 sao cho |y(a—x)|28, Vx Ạ Đặt U ={x :|y(x)| < ồ}, ta có U là lân cận trong ø(E,F) và (a+U)I A=Ø nên a£A,—=A,CA,

Trang 24

2.3 Péla 2.3.1 Định nghĩa pôla Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và A cẸ Ta gọi pôla của A trong F là tập: A"={yeF: sup|y()| <1} xeA 2.3.2 Ménh dé Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu A,B,A„(œ e I) là các tập con của Ẹ Khi đó: a) A° la tap tuyệt đối lồi và ø(E„F) đóng ; b) ACBthi B°c A’; c) (AA) =|af" A°(AEK, 440); 0 2| UA, | =1): ael ael Ching minh a) Vy,,y,€ A’, XA, EK, A|+|A,| <1 ta cd

sup|(A,y, + A,y2)(x)|< sup((2y||¥, (x)) + sup(A„||y;()|) <|A;|+|A;|<1 xeA x eA

=}¿y¡ +À;y; eA°=A° tuyệt đối lôị

Lại có: A°=[ {yeF:|y(x)|<1} là giao của các tập ø(E,E)- đóng nên

xeA

A°la o(E,F)- dong

Trang 25

0 d) Vi A, CUA,.Vael nén Ab =[UẠ] ael ael 0 =>] A [I 3 ael ael Gid sit ye] AQ ta có |y(x)|<1,Vx eA„„œ el tức là: cel 0 0

sup |y(x)|<1> ve(UẠ] nén[ Ả <[UẠ]

xeUAu ael ael ael

ael

Vay | al=[UA,) ael acl

Nhận xét

Nếu E là một không gian lồi địa phương thì một tập hợp con Á của đối ngẫu É là đồng liên tục khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U trong E sao cho

ly(x)| $1 véi moi x e Uva moi ye A’, như vậy Á là đồng liên tục khi và chỉ

khi nó được chứa trong pôla của một lân cận nào đó

Sự khảo sát pôla, lấy trong đối ngẫu đại số, của các lân cận cho ta một đặc trưng đơn giản và tiện lợi của đối ngẫu tôpô

2.3.3 Mệnh đề

Nếu E là một không gian lồi địa phương và % là một cơ sở lân cận, thì

đối ngẫu của E là tập [JU” (các pôla trong hệ đối ngẫu (E, É))

Uef

Chứng minh

Dạng tuyến tính y e E” liên tục khi và chỉ khi ton tai mot lan cin Ue U

sao cho |y(x)|<1, VxeUoye UU’

Trang 26

2.4 Song péla

2.4.1 Định nghĩa song pôla

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫụ Với mọi AcEthì A°CẸ Do Œ, E)

cũng là một hệ đối ngẫu nên A" =(A° } chita trong Ẹ Ta goi A” la song

pola cua Ạ

Nhận xét Với moi x ¢ A:|y(x)| <1, VyeA° nén xe A” do dé ACA”

2.4.2 Dinh ly song péla

Cho (E,F) là mét hé déi ngau va ACẸ Khi do, song péla A°’1a bao o(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi của Ạ

Chứng minh

Rõ ràng theo nhận xét ở định nghĩa thì A"”“là ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi

và chứa Ạ

Giả sử B là bao ø(E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa Ạ Ta có, BC A",

Néu a¢Btheo định lí 2.1.5, 3yeFsao cho y(a) >1và |y(x)|<1,Vx eB Do

AcBnộn yeBcAđ >aÂA Vay ^"c=B=>A"”=B 2.4.3 Hé qua

Cho E là một không gian lồi địa phuong va A CẸ Khi do, A” trong hé

đối ngẫu (E,É) là bao đóng tuyệt đối lồi của Ạ

Chứng minh

Theo 2.4.2, A°là ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi và chứa Ạ Theo mệnh đề 2.2.7 đó cũng chính là bao đóng, tuyệt đối lồi của Ạ

2.4.4 Hệ quả

Cho E là không gian lồi địa phương và A c Ẹ Khi đó, pôla trong É của

Trang 27

Ching minh

Theo định lý 2.4.2, pola cua A°’ la o(E,F)- dong, tuyệt đối lồi và chứa

A’ Nhung A°li o(E,F)- déng, tuyệt đối lồi nên (A"")' = A° 2.4.5 Hệ quả Cho E là không gian lồi địa phương và {Av} a 1a ho cac tap con o(E,F)- 0 đóng, tuyệt đối lồi của Ẹ Khi đó, [1 a,| 1a bao o(E,F)- dong, tuyét d6i 16i ael của tập UA’ ael Ching minh

Ta có: (ua:} =[ A’ =[ A, dodo (ua) -(1 A)

ael ael ael ael ael 0 theo hệ quả 2.4.4 : [1 a,| 1a bao o(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi của [JAS ael ael 2.4.6 Dinh ly Cho U lân cận tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương Ẹ Khi đó: ,VxeẸ IU sup|y(x)| = | yeU Chứng minh

Néu yeU® thi |y(x)|<1 véi moi xeU, do dé |x|, <1 kéo theo ly(x)|<1 Theo bé dé 2.1.2 ta cd ly(x)|<|[x||, voi moi x thuộc E, từ đó

sup|y(x)| < |[x||,,-Voi mọi xeE cố định, theo dinh ly Hahn - Banach tén tai

yeủ

y,€E’ sao cho y,(x)=|x||,, va |y,(2|<\lz|,, voi moi z ¢Ẹ Do dé ta cé6 |y,(2|<1 với mọi z thuộc U, tức là yạ eU° Vậy sup|y(x)| > y,(x) =|x|,,-

Trang 28

Suy ra_sup|y(x)|=||x||,, Vx €Ẹ yeU 2.5 Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu 2.5.1 Định nghĩa

Cho (E,,E)và (E;,E,) là các hệ đối ngẫu A:E,—>E; là một ánh xạ tuyến tính Khi đó ánh xạ Á :E2 —> E;, xác định bởi: Á(y)= yoA, Vy E¿

gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ Ạ

Dễ thấy Á là một ánh xạ tuyến tính 2.5.2 Định lý

Giả sử (E,,E,)và (E;,E,) là hai hệ đối ngẫu, A là ánh xạ tuyến tính từ (E,,o(E,,F)) vào (BE;,øŒ;,F,)) Khi đó A liên tục khi và chỉ khi Á(Œ,)CE, Trong trường hợp đó, ánh xạ Á :(E,,oø(E,,E,)) — (E,ø(F.E,))

cũng liên tục

Chứng minh

Giả sử A liên tục, khi đó, VyeE,,Á(y)=y,A liên tục theo tôpô

o(F,E,)nén A‘(y) eR Vay ÁŒ,)CẸ

Ngược lại, giả sử Á(E,)CẸ Đặt V =|y:slt)

1<i<n ,f eE,,Vi =lk n]

là một ø(E;,E,) - lân cận Khi đó nếu U= {x :sup|Á(y)(x)|< 1} thì U là một

6(E,.F,) - lân cận và ĂU) cV

Vậy A liên tục Trong trường hợp đó ta có (Á)} (E,) E; nên theo lập

luận trên, thay A bởi Á ta có Á liên tục

2.5.3 Định nghĩa

Ánh xạ tuyến tính A gọi là liên tục yếu nếu nó liên tục theo các tôpô

Trang 29

2.5.4 Hé qua

Nếu A là liên tục yếu thì liên hợp của nó là Á cũng liên tục yếụ 2.5.5 Mệnh đề

Cho các hệ đối ngẫu (E,,E,)và (E,,E,), E,,E„ là các không gian lồi địa

phương A:E, —> E; là một ánh xạ tuyến tính liên tục thì A cũng liên tục theo

các tôpô yếu ø(F,,E,) trên E, và ø(E;,E,) trên E,

Chứng minh

Với mỗi y e F, cố định, Á(y)=ysA là dạng tuyến tính liên tục trên E, Vậy Á(y)eE=>Á(y)CE nên theo định lý 2.5.2 ta có điều cần chứng

minh

2.5.6 BO dé

Gia sử (E,,F,) và (E;,F,) là những hệ đối ngẫu va A là ánh xạ tuyến

tính liên tục yếu của E,vào E, với liên hợp Á Khi đó, với mỗi tập con M

của E, ta có: (Á(M)) =(A) '(M9)

Chứng minh

Vì mỗi tập (Á(M)) va (A) (M°) 1a tap hop tat cả các yF,thỏa

man |Á (y)()| =

2.5.7 Định nghĩa

Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A :E—> F Ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ A

là ánh xạ Á=F —>É xác định bởi Á(y) =ys A, Vy eF'

ys Ăx)|<1, Vx eM nên ta có điều cần chứng minh

2.5.8 Định lý Schauder

Cho E, F là các không gian Banach và A e#(E,F) Khi đó, A compăc

Trang 30

Ching minh

Kí hiệu U là hình cầu đơn vị của Ẹ Nếu A compăäc thì:

M=| VÌ; :yeF, v|<1] =C(ĂU)) là bị chặn và đồng liên tục Theo định

ly Ascoli, M compac tuong déị

Với mọi y,zeF', Á(y)= Á(z) ta có:

y(Ăx)) = (A’(y))(x) = (A’(z))(x) = z(Ăx)), VxeẸ

Từ đó có ánh xạ tuyến tính @(Á(y)) = Yh:

V6i moi yeF’ taco:

|Ă)|=seply(Ăx)|= sựp Jy(2)|= swp |v(š)|=|e(Á(v))| Is|<! &eĂU) &<ĂU)

nén @ 1a đẳng cự

Dat V ={y €F’:|y|<1} ta có @(Á(V))=M Do M compäc tương đối nên Á(V) compăc tương đốị Vậy A’ compăc

Bây giờ nếu Á là ánh xạ compăc thì theo trên ta có A”:E"->F”

compac

Ki hiéu j, :E—F", j,:F >E” là phép nhúng chính tắc Ta có:

A”sj; =j;sA là ánh xạ compăc

2.6 Tôpô trên không gian đối ngẫụ Định lí Mackey-Arens 2.6.1 Dinh nghĩa M - tôpô

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫụ M là một họ các tập con của F có tính chất

sau:

i) Moi Me M [a o(E,F)- bi chan

ii) Moi M,,M, € M, tén tai M, e M va A>0 sao cho M, UM, CAM,

Trang 31

Voi moi Me M, dat Py (x) =sup|y(x)] Ta có họ các nửa chuẩn

yeM

{Pu ,MeM ) là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô trên E, là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô lỗi địa phương t „ trên E gọi là M- tôpô xác định

bởi họ M

Với mọi M eM ta có : {xeE:p„(x)<1}=M” 2.6.2 Bỗ đề

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, t là một tôpô trên E

Khi đó, tồn tại họ các tập con M của F có tính chất i), ii), iii) sao cho

t=t„ khi và chỉ khi tôpô t có tính chất sau:

1)t mạnh hon o(E,F)

2)t có một hệ cơ bản các lân cận U của 0 E gồm các tập tuyệt đối lồi, o(E, F)- đóng

Mọi tôpô của hệ đối ngẫu trên E đếu có tính chất 1), 2) Nếu

F=(E,t) thì t= t„với M ={Ú :U là lân cận trong (E,t)}

Chứng minh

Nếu t= tự thì do iii), t có tính chất 1) Tính chất 2) được suy ra từ tập: {x € E:py(x)< 1} =| {x = E:|y(x) < 1} la tap tuyét déi 16i va o(E,F)-

yeM

dong

Ngược lại, giả sử t có tính chất 1), 2) Do 1) ta có FCE’= (E,t) Dat

M ={Úl F:UecW}, péla lay theo hé d6i ngau (E,F) Theo bé dé 2.4.6 ta

Trang 32

Ta có: FC Évà E’=U{AỦ :2>0,Ue U}

và UAM:2>0,Me46} =U{2(U°1 F):Ạ>0,U e]=EI F=F

= M thỏa mãn iii)

Vậy họ M có tính chat i), ii), iii), và tôpô t„ tồn tạị Với mọi U e4,

theo ii) và định lí song pôla ta có:

U=Ũ(&(Œ,F))=(U°1 E)°= {xeE:|y(x)|<1,Vye U°I F}

= {x EE: pio, p(X) <1}

tir đ t=tỵ

Cuối cùng, t là một tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F) thì theo định lý 2.2.5, t mạnh hon o(E,F) Theo bé dé 1.6.2 ta có t có một hệ cơ bản các lân

cận đóng, tuyệt đối lồi, theo định lí song pôla, bỗổ đề 2.2.7, các tập này

o(E,F)- đóng Vậy t có tính chat 1), 2)

2.6.3 Định lý (Alaoglu-Bourbaki)

Với mọi lân cận U của một không gian lồi địa phương E, pôla U° của U là tập tuyệt đối lồi va o(E’,E)- compac

Chứng minh

Đặt D= {a eK | < 1} „ D là tập compăc trong K Theo định lý

Tikhonov , D7 là không gian compăc Định nghĩa :

J:Ủ —DP,J(y)=(y(x)), -

Do U là tập hút nên J đơn ánh, hơn nữa {p„} Mee(U) là một hệ cơ bản các

nửa chuẩn của ø(É,E) Với mỗi Me(U),e >0 và y e U”, ta có:

Trang 33

Do đó J:(U",ø(É,E) ” ) —>J (0°) là phép đồng phôị Vì D” compăc nên ta

chỉ cần chứng minh J(U°) đóng trong D”

Ta có: yeDlà thuộc J(U") <y có thể mở rộng thành phiếm hàm tuyến tính trên Ẹ Do đó J(U°)={y e DỶ :Ay(u)+uy(v)+yy(w) =0 với mọi

(^.ụy) < KỶ,(u,v,w )e UỶ thỏa mãn Au + uv + yw =0}

Vì ya_ y(x)là liên tục nên tính đóng của J(U") được chứng minh

2.6.4 Định nghĩa tôpô Mackey

Cho t là một tôpô của hệ đối ngẫu(E,F) trên Ẹ ® là một hệ cơ bản các lân cận tuyệt đối lồi của (E,t) Khi đó theo bổ đề 2.4.6, | =Pụu; với mọi

Uẹ Vì U° là tuyệt đối lồi và do định lý Alaoglu — Bourbaki 2.6.3 nó là

ø(F,E)- compăc nên t=t„ với 4 là một họ các tập tuyệt đối lồi và

ø(F,E)- compăc của Ẹ

Trong hệ đối ngẫu (E,F) tùy ý xét họ: M={MCF:M tuyệt đối lồi va

o(F,E)-compac } Khi đó, họ M có tính chất ì), ii), iii) Thật vậy : mọi tập compăc yếu đều bị chặn yếu nên có ¡) Vì tổng của hai tập compăc yếu là

compăc yếu và mọi Mi,Mạe M, M,UM,CcM,+M,eM nên có ii) Mọi

yeF,ye{Ay:|A| <1} eM nén 6 iii)

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, M - tôpô trên E xác định bởi họ M tắt cả các tập con tuyệt đối lồi, ø(F,E)- compăc cua F gọi là tôpô Mackey, ký hiệu

+(E,F)

2.6.5 Bỗ đề

Tôpô +(E,F) là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô của hệ đối ngẫu

Trang 34

Ching minh

Theo 2.6.4, 1(E,F) manh hon moi tôpô của hệ đối ngẫụ Do đó, ta chỉ cần chứng minh +(E,F) cũng là một tôpô của hệ đối ngẫụ

Coi 4 như là họ các tập con của EŸ và xét hệ đối ngẫu (ẸÈ) Theo

định lý 1.6.7, y E thuộc (Ẹt„ } nếu và chỉ nếu tồn tại M ẹ{, c > 0 sao cho

|y|<ePy-

Vì: MP=|xeEssnly(x]<1| ={xeE:păx)<l nên theo bổ đề

yeM

1.6.5 ta có pụ=|L|[„ Vì vậy ye(Ẹt,) nếu và chỉ nếu tổn tại

MeM,A>0 sao cho yeAM™ (péla lay theo hé (E,E’))

Theo định lý song pôla ta có :

(E,ty) =U{AM":2>0,M eM} =Uular(M} :Ä>0,M eat} (1)

trong do T(M}Ƒ là bao tuyệt đối lồi và đóng của M trong o(E’,E)

Vi ø(Ẹ.E)|, =0(F,E)nén ta có T(M) với mọi tập M tuyệt đối lồi và o(F,E)- compac trong F

Do (1) và iii) ta có:

(Ẹ+(ẸF)) =(Ẹt„)=U{AM:2>0,Mẹ=F Vậy +(E,F) là tôpô của

hệ đối ngẫu (E,F)

Do o(E,E) là tôpô yếu nhất của hệ đối ngẫu (E,F) và bổ đề 2.6.5 ta có

Trang 35

2.6.6 Dinh ly (Dinh ly Mackey-Arens)

Một tôpô lồi địa phương t trên E là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) nếu và chi

nếu o(E,F) ctc +(ẸF)

2.6.7 Nhận xét

Cho t là tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F) A là tập con tuyệt đối lồi của

Ẹ Theo định lý song pôla, bao đóng của A theo tôpô t trùng với bao đóng cua

A theo tôpô o(E,F)

Trong phần ánh xạ liên hợp ta đã chỉ ra một ánh xạ tuyến tính liên tục cũng là liên tục yếu, trong điều kiện nhất định ta cũng có điều ngược lại đó là

2.6.8 Mệnh đề

Nếu E, F là những không gian lồi địa phương và nếu E có đối ngẫu É và

có tôpô +(E,E) thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục yếu của E vào F cũng là

liên tục

Chứng minh

Giả sử V là một lân cận đóng và tuyệt đối lồi trong F Khi đó, theo định lý Alaoglu — Bourbaki 2.6.3, V°là ø(F',F)- compăc Vì liên hợp của Á của ánh xạ tuyến tính liên tục yếu A là liên tục yếu (nént'(V°) lao(E’,E)-

compac Vi vay, péla ca né trong E là một +(É,E) lân cận

0

Mà ta có: (Á(V)) =A-'(V")= A-”(V), bởi vì V là đóng và tuyệt đối

lồị Vậy A là liên tục

2.7 Tôpô mạnh

2.7.1 Định nghĩa

Cho (E,F) là một hệ đối ngẫụ Họ ( tất cả các tập con ơ (F,E) -bị chặn

của F thỏa 1), 1), 11) .{- tôpô xác định bởi họ 4 này gọi là tôpô mạnh, ký

Trang 36

Nhận xét

Nếu E là không gian định chuẩn thì theo nguyên lý bị chặn đều,

MCElà ø(E,É)- bị chặn nếu và chỉ nếu M bị chặn trong Ẹ Do đó, B(É,E)

trùng với tôpô sinh bởi chuẩn

Nếu E là không gian Banach thì theo nguyên lý bị chặn đều, ME” là

ø(E,E)- bị chặn nếu và chỉ nếu M bị chặn trong E’ Do đó trường hợp này B(E,É) trùng với tôpô sinh bởi chuẩn

2.7.2 Bỗ đề

Trong mọi hệ đối ngẫu (E,F), B(E,F)là - tôpô mạnh nhất trên Ẹ Một cơ sở lân cận của E theo tôpô B(E,F) là: 4={UeE:Ulà ø(E,F)- đóng, tuyệt đối lồi và hút}

Chứng minh

Từ định nghĩa ( - tôpô ta có ngay B(ẸF) mạnh hơn mọi tôpô khác trên Ẹ Bây giờ ta cần chỉ ra với mọi U e% là B(E,F) - lan can cua 0

Lấy Ue cố định Do U hút nên mọi xeE, tồn tại >0sao cho

xêỤ Với mọi ye U° ta có |y(x)|<2 tức là sup|y(x)|<2 Vậy U° là tập

yeủ

o(F,E)- bi chan nén U" 1a mét B(E,F)- lan can ca 0

2.7.3 Dinh nghia dia Banach

Tập con tuyệt đối lồi B của không gian vectơ E gọi là một đĩa Banach

nếu E; =(B) = LJtB, hàm cỡ ||.|,, là một chuẩn trên E;và (E,,

t>0 .|,) là một

không gian Banach

2.7.4 Dinh ly (Dinh ly Banach — Mackey)

Trang 37

Ching minh

Ký hiệu E; là không gian Banach sinh bởi B Vì B là ø(E,F)- bị chặn nên phép nhúng E¿ > (Ẹo(E,F)) liên tục Từ đó, mọi tập ø(E,F)- bị chặn

M trong E, tập A={yl, :yeM] được chứa trong (E;)} và sup|y (x | <œ

B yeA

v6i mgi x €E,

Theo nguyên lý bị chặn đều 1.7.4 ta có:

(„ý €”

+pp.(s)=s|sgjăS|=spi

từ đó B là tập B(E,F) - bị chặn

2.7.5 Bỗ đề

Cho t,,t, là hai tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) Khi đó, mọi tập con t,- đầy

đủ (đầy đủ theo day) của E cũng là t,- đầy đủ (đầy đủ theo dãy)

Chứng minh

Gia sử MCE là tập con t,- đầy đủ và (x;), là một t,- lưới Cauchy

trong M Khi đó (x;), cũng là t,- lưới Cauchy, do đó x; —>x eM theo t, Ta sẽ chứng mỉnh x; ->x theo t, Cố định một lân cận U của 0 theo t„, U là

t,- đóng Do (x;) là t,- lưới Cauchy nên tồn tại 5, sao cho x; —x, €U với mọi 6,y26, Vi x; —>x theo t, va U là t,- đóng nên x; —x e U với mọi 526, Vay x; >x theo t, Phần còn lại ta chứng mỉnh tương tự

2.7.6 Hệ quả

Mọi tập con tuyệt đối lồi, đóng, bị chặn, đầy đủ theo dãy B của một

Trang 38

Ching minh

Vì B tuyệt đối lồi, bị chặn nén |.|,, 1a chuan trén B=[JnB va phép

n=l

nhúng E; —> Eliên tục Từ đó, tôpô t, sinh bởi chuẩn trong E; mạnh hơn

tôpô t, cảm sinh bởi tôpô xuất phát trên Ẹ Vì B đầy đủ theo dãy nên theo bổ đề 2.7.5, B cũng t,- đầy đủ theo dãỵ Vậy (E B I,) là không gian Banach

Nếu B là compăc thì B đóng, bị chặn và đầy đủ Do đó, B 1a dia Banach

2.7.7 Định lý (Định lý Mackey)

Cho (ẸF) là một hệ đối ngẫu và M c Ẹ Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương:

a) Mla +(E,E)- bị chặn

b) M là t - bị chặn với mọi tôpô t của hệ đối ngẫu (E,F)

c) Mla o(E,F)- bj chin

Ching minh

a) =b) —c) do định lý Mackey- Arens

Dé chimg minh c) =a) ta cố định tập tuyệt đối lồi, ø(E,F)- compăc B

của F Theo hệ quả 2.7.6, B là đĩa Banach, do đó theo định lý Banach-

Mackey, B là B(E,F)- bị chặn Từ đó, mọi tập con ø(E,E)- bị chặn M của E

ta có SUPP (x)= supsup|y (x) =SUPPyy (y)<ọ xe xeM yeB ye

Do B là tập bị chặn tùy ý nên M 1a t(E,F)- bi chan 2.7.8 Bỗ đề

Trang 39

Ching minh

Giả sử E đầy đủ với M- tôpô t, và t, là một - tôpô mạnh hơn t, Theo bổ đề 2.7.5 ta chỉ cần chỉ ra t, có một cơ sở lân cận t,- đóng Thật vậy, U là

Trang 40

Chuong 3 MOT SO KHONG GIAN LOI DIA PHUONG DAC BIET

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số lớp các không gian lồi

địa phương đặc biệt như không gian thùng, không gian phản xạ, (DF) - không gian và đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet và (DF) - không gian

3.1 Không gian thùng 3.1.1 Định nghĩa

Tập MCE gọi là một cái thùng của E nếu M tuyệt đối lồi và hút Tập

M gọi là hút các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B trong E đều tồn tại ^>0sao cho BCÀM

Mọi không gian lồi địa phương đều có một cơ sở lân cận với mỗi lân cận

trong đó là một cái thùng

3.1.2 Định nghĩa không gian thùng

Không gian lồi địa phương gọi là không gian tựa thùng nếu mọi cái

thùng hút các tập bị chặn là lân cận của 0 Không gian lồi địa phương gọi là không gian thùng nếu mọi các thùng đều là lân cận của 0

3.1.3 Mệnh đề

Giả sử E là một không gian lồi địa phương với đối ngẫu É Khi đó, một tập con B của E là một cái thùng khi và chỉ khi B là pôla của một tập

ø(É,E)- đóng trong E’

Chứng minh

Pôla của một tập hợp o(E’,E)- đóng là một tập tuyệt đối lồi, đóng và dé

thấy nó hút Ngược lại, nếu B là một cái thùng thì B= B”(theo định lý song

Ngày đăng: 06/08/2014, 11:57

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w