Đối ngẫu của không gian lồi địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đàm Văn Ngọc ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành : Tốn giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đàm Văn Ngọc ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Em xin cảm ơn quý thầy giảng dạy em suốt trình học cao học quý thầy hội đồng khoa học đọc có ý kiến đóng góp quý báu Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy làm việc phịng KHCN – SĐH giúp đỡ em nhiều trình học tập thực luận văn MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.2 Không gian vectơ khả mêtric 1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn compăc 1.4 Không gian đầy đủ 1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.6 Không gian lồi địa phương 1.7 Định lý Hahn- Banach nguyên lý bị chặn 11 Chương LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU 2.1 Không gian đối ngẫu 12 2.2 Hệ đối ngẫu 15 2.3 Pôla 19 2.4 Song pôla 21 2.5 Ánh xạ liên hợp ánh xạ đối ngẫu 23 2.6 Tơpơ khơng gian đối ngẫu Định lí Mackey-Arens 25 2.7 Tôpô mạnh 30 Chương MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT 3.1 Không gian thùng 35 3.2 Không gian phản xạ 40 3.3 (DF) - Không gian 43 3.4 Đặc trưng đối ngẫu không gian Frechet (F - không gian) (DF) - không gian 48 KẾT LUẬN 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt đối ngẫu khơng gian lồi địa phương có vai trị đặc biệt quan trọng chun ngành giải tích hàm nói chung khơng gian vectơ tơpơ nói riêng Do đó, việc nghiên cứu cách đầy đủ phát triển lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương vấn đề quan trọng cần thiết Mục đích Tìm hiểu lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương tổng quát số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt : không gian phản xạ, không gian thùng (DF) – không gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương tổng quát số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng giải tích phức nhiều biến, phương trình đạo hàm riêng nhiều ngành toán học khác Cấu trúc luận văn Gồm ba chương Chương đầu giới thiệu kiến thức không gian vectơ tôpô không gian lồi địa phương, đồng thời nhắc lại số kết giải tích hàm sử dụng chương sau Chương thứ hai trình bày khái niệm lý thuyết đối ngẫu không gian lồi địa phương : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu tôpô hệ đối ngẫu, mà kết quan trọng định lý Mackey-Arens Chương cuối luận văn nhằm mục đích trình bày số lớp khơng gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian phản xạ đặc biệt (DF) - không gian, lớp không gian chứa không gian đối ngẫu không gian Frechet Các kết quan trọng không gian xây dựng dựa kết lý thuyết đỗi ngẫu Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày kiến thức số kết không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương sử dụng các chương sau 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian vectơ trường K ( K  R K  C ) Một tơpơ  E gọi tương thích ( với phép toán đại số E ) phép cộng  : E  E  E phép nhân vô hướng : K  E  E liên tục Ta gọi không gian vectơ E tơpơ tương thích khơng gian vectơ tôpô 1.1.2 Định lý Cho E không gian vectơ tơpơ Khi đó: a) Với a E , phép tịnh tiến x  x + a phép đồng phôi từ E lên E Đặc biệt, U sở lân cận  E a + U = { a  U, U  U} sở lân cận a  E b) Với   K,   , ánh xạ x  x phép đồng phôi E lên E Đặc biệt, U lân cận  E U,   lân cận Theo định lý 1.1.2, toàn cấu trúc tôpô E xác định sở lân cận Sau lân cận gọi vắn tắt lân cận 1.1.3 Định nghĩa  Tập A không gian vectơ E gọi hút UnA  E Gọi cân n 1 x  A với   K,   có x  A 1.1.4 Định lý Nếu U sở lân cận E với U  U ta có: a) U tập hút b) Tồn V U cho V  V  U c) Tồn lân cận cân W cho W  U 1.1.5 Hệ Trong không gian vectơ tôpô, lân cận U chứa lân cận đóng 1.1.6 Hệ Cho U sở lân cận không gian vectơ tôpô E Khi E Hausdorff I U  0 UU 1.1.7 Định nghĩa nửa chuẩn chuẩn Giả sử E không gian vectơ Hàm p xác định E nhận giá trị thực gọi nửa chuẩn E i) p(x)  0, x  E ii) p(x)   p(x), x  E iii) p(x  y)  p(x)  p(y), x, y  E Nửa chuẩn p gọi chuẩn p(x)   x  1.1.8 Định nghĩa Một không gian vectơ với chuẩn gọi khơng gian định chuẩn 1.2 Khơng gian vectơ khả mêtric 1.2.1 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi không gian khả mêtric tồn mêtric d sinh tôpô E 1.2.2 Định lý Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric E có sở lân cận đếm Trong trường hợp tồn hàm x  x từ E lên R thỏa mãn : a) x  x , x  E,   K,   ; b) x  y  x  y , x, y  E ; c) x   x  ; d) Mêtric d(x,y) = x  y sinh tôpô E Chứng minh Giả sử Vn  sở lân cận cân E thỏa mãn Vn 1  Vn 1  Vn với n  N Với tập hữu hạn khác rỗng H  (1) , đặt VH   Vn Ta có VH nH lân cận cân Đặt p H   2 n nH Từ (1) , quy nạp theo số phần tử H dễ dàng chứng minh p H  2 n  n  H  VH  Vn (2) (ở n  H nghĩa n  k với k  H ) x  VH , H 1 Đặt : x   inf p H : x  VH  H, x  VH ta có hàm x a x từ E vào Dễ thấy x   0;1 Do VH cân nên 1) thỏa mãn Hiển nhiên 2) x  y  Bây giả sử x  y  Chọn   cho x  y  2  Khi tồn tập hữu hạn H K N cho x  VH , y  VK p H  x  ,p K  y   Vì p H  p K  nên tồn tập M cho p H  p K  p M Do (1) ta có VH  VK  VM Từ suy x  y  VM x  y  p M  p H  p K  x  y  2 Vậy có 2) Với   , đặt S  x : x   Ta có S2 n 1  Vn  S2 n với n  N (3) Thật vậy, x  Vn x  2 n , Vn  S2 n Mặt khác x  2 n 1 tồn H cho x  VH p H  2 n Từ theo (2) ta có x  Vn Do E Hausdorff nên theo hệ 1.4 (3) ta có tính chất 3) định lý Theo (3) ta có S 0 sở lân cận E Vậy có tính chất 4) định lý 1.3 Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn compăc 1.3.1 Định nghĩa Giả sử E không gian vectơ tôpô Tập X  E gọi bị chặn với lân cận U  E , tồn   cho X  V 1.3.2 Mệnh đề Giả sử E khơng gian vectơ tơpơ Khi : a) Bao đóng tập bị chặn bị chặn b) Bội vô hướng tập bị chặn bị chặn c) Hợp tổng hữu hạn tập bị chặn bị chặn 1.3.3 Định nghĩa Giả sử E không gian vectơ tôpô tập X  E hoàn toàn bị chặn với lân cận U  E , tồn tập hữu hạn B  E để X  B  U 1.3.4 Định nghĩa Giả sử E không gian vectơ tơpơ X  E ta nói tập compăc phủ mở X, tồn phủ hữu hạn 1.4 Không gian đầy đủ Cho không gian vectơ tôpô E Dãy x n   E gọi dãy Cauchy lân cận U, tồn n , cho x m  x n  U , với m,n  n Lưới x  D gọi lưới Cauchy lân cận U, tồn 0 cho : x   x   U, ,   0 Không gian vectơ tôpô E gọi đầy đủ lưới Cauchy E hội tụ, gọi đầy đủ theo dãy dãy Cauchy E hội tụ Tập A E gọi đầy đủ (đầy đủ theo dãy) lưới (dãy) Cauchy A hội tụ đến điểm thuộc A 1.5 Ánh xạ tuyến tính 1.5.1 Mệnh đề Nếu E F không gian vectơ tơpơ f ánh xạ tuyến tính E vào F f liên tục E f liên tục điểm gốc 1.5.2 Định nghĩa Đặt L (E, F) tập hợp ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F, T  L (E,F) Ta nói T đồng liên tục với lân cận V F, tồn lân cận U E cho f (U)  V với f  T 1.6 Không gian lồi địa phương Tập A không gian vectơ gọi tập lồi x, y  A,    0,1 , có (1   )x  y  A Tập A lồi cân gọi tập tuyệt đối lồi 1.6.1 Định nghĩa Không gian vectơ tôpô E gọi không gian lồi địa phương E Hausdorff E có sở lân cận gồm tập lồi 1.6.2 Bổ đề Cho E không gian vectơ tơpơ Hausdorff Khi đó, mệnh đề sau tương đương: a) E không gian lồi địa phương b) E có sở lân cận gồm tập tuyệt đối lồi c) E có sở lân cận gồm tập đóng tuyệt đối lồi 1.6.3 Định nghĩa Cho A tập khơng gian vectơ E Khi đó: p A (x)  x A  inf   : x A xác định hàm từ E vào R , gọi hàm cỡ, hay phiếm hàm Minkowski tập A 1.6.4 Bổ đề Với tập cân hút A không gian vectơ E,  A nửa chuẩn E 1.6.5 Mệnh đề Giả sử E không gian lồi địa phương A tập bị chặn E n n   Khi bao tuyệt đối lồi (A)   x    i x i :   i  1, x i  A, i  1,n,n   i 1 i 1   A bị chặn 1.6.6 Bổ đề Cho E không gian lồi địa phương p nửa chuẩn E Khi : a) p liên tục p liên tục  E b) p  U , U tập tuyệt đối lồi hút p liên tục o U lân cận  E U  x  E : p(x)  1 , U  x  E : p(x)  1 1.6.7 Định nghĩa Cho không gian lồi địa phương E Một họ U lân cận E gọi hệ lân cận thỏa mãn điều kiện : a) x  E, x  0, tồn U  U ,   cho x U b) Mọi lân cận V  E , tồn U U   cho U V Họ    I nửa chuẩn E gọi hệ nửa chuẩn hệ  tập U   x : x    hệ lân cận E 1.6.8 Định lý Mọi không gian lồi địa phương E có hệ nửa chuẩn Mọi hệ nửa chuẩn    I E có tính chất sau a) Mọi x  E, x  0, tồn   I cho x  0  b) Mọi ,  I tồn   I C > cho: max   ,   C   1.6.9 Bổ đề Nếu    I họ nửa chuẩn có tính chất a) b) định lý 1.6.7 họ tập U  , (a)  x  E : x  a   , a  E,   I,   sở tôpô lồi địa phương E nhận    I làm hệ nửa chuẩn Nếu họ các nửa chuẩn có tính chất b) mà khơng có tính chất a) với tơpơ trên, E có sở lân cận lồi không Hausdorff 1.6.10 Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương Giả sử p I họ nửa chuẩn khơng gian vectơ E Kí hiệu (I) họ tập hữu hạn khác rỗng I Với M  (I) , đặt p M (x)  max p (x) M ta họ nửa chuẩn p M M (I) thỏa mãn tính chất b) định lý 1.6.8 Do theo bổ đề 1.6.9, họ tập có dạng: U M, (a)  x  E : p M (x  a)   = I M x  E : p (x  a)   = I M U  , (a) với M (I) ,   0, a  E sở tôpô E Với tơpơ này, E khơng gian vectơ có sở lân cận lồi khơng Hausdorff Tôpô tôpô yếu E để nửa chuẩn p ,   I liên tục, gọi tôpô sinh họ nửa chuẩn p I Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) định lý 1.6.7 E với tơpơ nói không gian lồi địa phương Bây giả sử U họ khác rỗng tập tuyệt đối lồi hút khơng gian vectơ E Khi tôpô sinh họ nửa chuẩn tôpô sinh họ tập tuyệt đối lồi hút U Nếu I   U UU gọi U  0 E với UU tơpơ nói khơng gian lồi địa phương 1.6.11 Định lý Cho E F không gian vectơ tôpô sinh họ nửa chuẩn tương ứng p I q J Khi đó, ánh xạ tuyến tính A : E  F liên tục  J tồn M  (I) c > cho: q (A(x))  c  p  (x), với x  E M 1.6.12 Định nghĩa Giả sử E không gian lồi địa phương Ta nói E : a) Khơng gian Frechet (hay cịn gọi F-khơng gian) khả mêtric đầy đủ b) Khơng gian Banach khơng gian định chuẩn đầy đủ 1.6.13 Định nghĩa Giả sử E F không gian lồi địa phương Ánh xạ tuyến tính f : E  F gọi bị chặn địa phương f biến tập bị chặn E thành tập bị chặn F 1.7 Định lý Hahn- Banach nguyên lý bị chặn 1.7.1 Định lý tách tập lồi Giả sử F không gian vectơ tôpô thực A, B hai tập lồi rời E A mở Khi tồn dạng tuyến tính liên tục f E   R cho: f (x)  , x  A f (x)  , x  B 1.7.2 Định lý Giả sử p nửa chuẩn không gian vectơ thực E f dạng tuyến tính khơng gian M E cho f (x)  p(x), x  M Khi đó, tồn dạng tuyến tính g E thỏa mãn g(x)  f (x), x  M g(x)  p(x), x  E 1.7.3 Hệ Giả sử E không gian vectơ trường K, a không thuộc E, p nửa chuẩn E Khi đó, tồn phiếm hàm tuyến tính f E cho : f(a) = p(a) f (x)  p(x) với x E 1.7.4 Nguyên lý bị chặn Giả sử E không gian Banach, F không gian định chuẩn f  I họ ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F Khi với x  E , sup f  (x)   sup f    I I Chương LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU Chương trình bày vấn đề lý thuyết đối ngẫu bao gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu tôpô hệ đối ngẫu Bằng cách coi lân cận điểm gốc pơla tập khơng gian lồi địa phương, ta xác định tôpô lồi địa phương khác đối ngẫu không gian lồi địa phương Các tập hợp sử dụng cho mục đích : lớp tập hợp bị chặn Định lý Mackey – Arens đặc trưng cho tất tôpô lồi địa phương xác định hệ đối ngẫu cho trước, tôpô lồi địa phương mạnh tôpô yếu yếu tôpô Mackey 2.1 Không gian đối ngẫu 2.1.1 Định nghĩa Cho E không gian vectơ tôpô trường K Ta kí hiệu E*  L(E,K) khơng gian dạng tuyến tính E, E  L (E,K) khơng gian dạng tuyến tính liên tục E Khi đó, E* E khơng gian vectơ K E* gọi không gian đối ngẫu đại số E E gọi không gian đối ngẫu E Sau số tính chất khơng gian đối ngẫu khơng gian lồi địa phương 2.1.2 Bổ đề Cho p q hai nửa chuẩn không gian vectơ E Nếu q(x) < kéo theo p(x)  p(x)  q(x) với x  E Chứng minh Giả sử ngược lại, tồn x  E   cho  q(x )    p(x ) Khi đó: q( x0 x )  p( )  1, (mâu thuẫn)   Vậy p(x)  q(x) với x  E 2.1.3 Định lý Cho E không gian lồi địa phương, f1 dạng tuyến tính liên tục khơng gian M E Khi đó, tồn f  E cho f M  f1 Chứng minh Do f1 liên tục M nên tập V  x : f1 (x)  1 lân cận Từ đó, tồn lân cận tuyệt đối lồi U cho U  M  V Với x  M, x U  ta có: x  U nên x  U  M  V  f1 (x)  Theo bổ đề 2.1.2 ta có: f1 (x)  x U , x  M Theo định lí Hahn- Banach 1.7.2 tồn f  E* cho: f M  f1 f (x)  x U , x  E Ta chứng minh f  E Thật vậy, với   : x  U f (x)  x U  nên f liên tục suy f liên tục E hay f  E 2.1.4 Hệ Cho E khơng gian lồi địa phương Khi với a  E, a  , tồn f  E cho f (a)  Chứng minh Đặt M  a không gian sinh a, f1 phiếm hàm M xác định f1 (a)   Khi đó, với , , 1 ,   K : f (1a   2a)  f1 ((1   )a)  1    f1 (1a)  f1 ( 2a) f1 ((a))  f1 (()a)    f1 (a) Vậy f1 phiếm hàm tuyến tính M Do E Hausdorff nên tồn lân cận tuyệt đối lồi U cho a  U Với   0, a  U f1 (a)   nên f1 liên tục 0, đó, f1 liên tục M Theo định lý 2.1.3, tồn f  E cho f M  f1 Từ ta có: f (a)  ,   K  f (a)  2.1.5 Định lý Cho E không gian lồi địa phương, A tập tuyệt đối lồi a  A Khi đó, tồn f  E cho: a) f(a) > b) f (x)  1, x  A Chứng minh Do a  A , E Hausdorff nên có lân cận tuyệt đối lồi U cho 1 (a  U)  A   Đặt B  A  U Vì A tuyệt đối lồi nên U  B , suy B 2 tuyệt đối lồi, hút  B   U Theo hệ 1.7.3, tồn f  E* cho f (a)  a x  E Do x  x B B f (x)  x B với liên tục nên f liên tục tức f  E Ta chứng minh f (a)  a B  Giả sử f (a)  a B  Vì a  B nên a  B với   Lấy r > cho r 1 a r  U r 1  (  r  nên ta r 1 lấy vậy) Do a  rB  rA  r U nên tồn x  A, y  U cho: 2 a  rx  ry hay x  a  y Vì x  A nên x  a  U  x  a  U nên r 1 x  a U  Vậy f(a) >1 a ya r  U r 1 ay r  U r 1 a r  U  1(mâu thuẫn) Vì U hút nên với x  A , chọn   cho x  U Ta có : (1  )x  A  U  B nên (1  ) x Vì f (x)  x B B  (1  )x B  suy x B 1 nên f (x)  1, x  A 2.1.6 Hệ Cho A tập tuyệt đối lồi không gian lồi địa phương E a  A Khi đó, có f  E cho f (a)  f (A) Chứng minh Theo định lý 2.1.5, tồn f  E cho: f(a) > f (x)  1, x  A Vì f (A)    K :   1  B , mà B tập đóng nên f (A)  B nên f (a)  B  f (a)  f (A) 2.2 Hệ đối ngẫu 2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu Cho E, F hai không gian vectơ trường vô hướng K ., : E  F  K dạng song tuyến tính Ta gọi cặp ( E, F) hệ đối ngẫu thỏa mãn hai điều kiện sau : 1) Với  x  E , tồn x  F cho x, x  2) Với  x  F , tồn x  E cho x, x  2.2.2 Chú ý Cho ( E, F) hệ đối ngẫu với x  F , x a x, x dạng tuyến tính E với x, x  F, x  x  x  E để: x, x  x   x, x  x, x Như vậy, ánh xạ x  x, x từ F vào E* đơn ánh nên ta đồng F không gian E*