Ánh xạ không giãn, compact yếu trong không gian lồi đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Mai Văn Duy ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Mai Văn Duy ÁNH XẠ KHÔNG GIÃ`1`N, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời để gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Lê Hoàn Hoá- người ân cần bảo, hướng dẫn nhiệt tình mặt chuyên môn phương pháp học tập quý báu, giúp hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy cô phòng sau đại học, thầy cô công tác trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ toàn trình học tập trường trình làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, gia đình người thân- người động viên, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Mai Văn Duy MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu viết tắt MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ 1.4 Tính khả vi Gateaux khả vi Frechet 14 1.5 Tập định hướng lưới 18 1.6 Tập có thứ tự bổ đề Zorn 19 Chương TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI CHẶT CỦA KHÔNG GIAN 21 2.1 Tính khả vi Gateaux chuẩn, không gian trơn 21 2.2 Không gian lồi chặt 29 Chương TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN 33 3.1 Tính khả vi Frechet chuẩn 33 3.2 Tính khả vi Frechet chuẩn, không gian trơn đều, không gian lồi 42 Chương CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 65 4.1 Cấu trúc chuẩn tắc 65 4.2 Ánh xạ không giãn định lý điểm bất động 67 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT x Chuẩn x không gian định chuẩn x, y Tích vô hướng x, y không gian tiền Hilbert S ( X ) := 1} Mặt cầu đơn vị đóng không gian Banach X {x ∈ X | x = B( X ) := { x ∈ X | x ≤ 1} Quả cầu đơn vị đóng không gian Banach X MỞ ĐẦU Điểm bất động ánh xạ đối tượng nghiên cứu từ lâu có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ Các định lý điểm bất động bắt đầu nghiên cứu từ lớp ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều, định lý Brouwer: Định lý Brouwer: Cho X không gian hữu hạn chiều, B cầu đơn vị đóng X Khi đó, ánh xạ liên tục U : B → B có điểm bất động Định lý Brouwer mở rộng: Cho X không gian hữu hạn chiều, C tập lồi đóng bị chặn X Khi đó, ánh xạ liên tục U : C → C có điểm bất động Thực chất, điều kiện định lý ánh xạ liên tục tập lồi đóng bị chặn không gian hữu hạn chiều(do compact) Ta biết lớp không gian hữu hạn chiều khiêm tốn Do đó, người ta muốn mở rộng định lý lên không gian vô hạn chiều, số chiều không gian vô hạn tính liên tục trở nên yếu tính compact tập lồi đóng bị chặn Do đó, điều kiện cần phải mạnh hơn: Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X không gian Hilbert, C ⊂ X tập lồi đóng bị chặn U : C → C ánh xạ không giãn Khi đó, U có điểm bất động C Định lý Shauder: Cho X không gian Banach, C ⊂ X tập lồi đóng, U : C → C liên tục U (C ) compact tương đối Khi đó, U có điểm bất động C Rõ ràng mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục không đảm bảo cho tồn điểm bất động, ta cần tính không giãn Còn mở rộng lên không gian Banach, tính lồi đóng không đảm bảo tồn điểm bất động, ta cần điều kiện không dễ đạt được, tính compact mạnh Vấn đề đặt ta cần phải thay điều kiện compact mạnh điều kiện nhẹ mà định lý không gian Banach Điều dẫn đến việc nâng cấp không gian lên lớp không gian mạnh không gian lồi cần thêm cấu trúc cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu Đặc trưng cấu trúc dựa vào khái niệm lồi đều, lồi chặt không gian Tính lồi đều, lồi chặt không gian lại đặc trưng tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn Vì vậy, luận văn nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả vi Frechet, mối liên quan chúng với tính lồi chặt, lồi cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu, không gian lồi để từ có định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn Luận văn làm dựa theo [1,tr 20-57] Luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nhắc lại số kiến thức, khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert tính chất, hội tụ dãy không gian Ngoài chương phát biểu chứng minh số khái niệm, tính chất, định lý tôpô yếu, tôpô yếu sao, tính phản xạ, tập định hướng lưới, tập thứ tự bổ đề Zorn, tính khả vi Gateaux khả vi Frechet ánh xạ Chương 2: Tính khả vi Gateaux chuẩn tính lồi chặt không gian Chương trình bày khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn, tính trơn không gian, tính lồi chặt không gian định lý mối liên hệ tính chất thông qua khái niệm ánh xạ tựa Chương 3: Tính khả vi Frechet chuẩn tính lồi không gian Chương trình bày khái niệm, tính chất phân biệt khả vi Gateaux khả vi Frechet ánh xạ chuẩn Chương trình bày khái niệm, tính chất phân biệt tính lồi chặt lồi không gian Bên cạnh nghiên cứu tính trơn không gian, tính khả vi Frechet ánh xạ chuẩn tính compact yếu không gian lồi Chương 4: Cấu trúc chuẩn tắc định lý điểm bất động ánh xạ không giãn Chương nội dung luận văn Chương trình bày khái niệm, tính chất tập có cấu trúc chuẩn tắc, tập có cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi định lý tồn tại, tính chất tập điểm bất động ánh xạ không giãn tập compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach, tồn điểm bất động ánh xạ không giãn tập lồi đóng bị chặn không gian lồi tồn điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn giao hoán 4 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, tôpô yếu, tính phản xạ, tập thứ tự, bổ đề Zorn, khả vi Gateaux, khả vi Frechet Chương làm dựa theo [4,chương 1,3] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1:Cho X không gian vector  Ánh xạ  : X →  gọi chuẩn nếu: i) x ≥ 0, ∀x ∈ X , x = ⇔ x = 0, ii) λ x λ x , ∀x ∈ X , ∀λ ∈ , = iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2: Không gian vector X trang bị ánh xạ chuẩn  gọi không gian vector định chuẩn hay gọi tắt không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3: Cho X không gian định chuẩn { xn }n∈N * dãy X Ta nói { xn }n∈N * hội tụ x nếu: ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀n ≥ n0 ⇒ xn − x < ε Định nghĩa 1.1.4: Cho X không gian định chuẩn { xn }n∈N * dãy X Ta nói { xn }n∈N * dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀m, n ≥ n0 ⇒ xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.5: Cho X không gian định chuẩn, X gọi không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ phần tử X Mệnh đề 1.1.1: Cho X không gian tôpô compact { X i }i∈I họ tập đóng có tính chất giao hữu hạn khác rỗng Khi đó, họ { X i }i∈I có giao khác rỗng 5 Chứng minh: Giả sử X i i∈I đó, X X= = ∅ Khi = \  Xi i∈I { X \ X i }i∈I phủ mở không gian compact cho X X i1 , X i2 , , X ik sao= k ) ( (X \ X ) i Như vậy, i∈I X nên tồn hữu hạn tập k X \ X ij X \  X i j ≠ X (mâu thuẫn với tính giao hữu = =j =j hạn khác rỗng họ { X i }i∈I ) Vậy X i ≠ ∅ i∈I 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1: Cho X không gian vector  Ánh xạ , : X × X →  gọi tích vô hướng với x, y ∈ X , λ ∈ y : i) x, y = y, x , ii) x + y, z = x, z + y, z , iii) λ x, y = λ x, y , iv) x, x ≥ 0, x, x = ⇔ x = Mệnh đề 1.2.1: Cho , tích vô hướng không gian vector X x, y ∈ X x, y ≤ x, x y, y Đẳng thức xảy tồn λ ∈  cho x = λ y Chứng minh: Nếu y = : = x, y = y, x 0= x, x = x, x 0, y, y = Bất đẳng thức nghiệm với x ∈ X Nếu y ≠ : Ta có: x − λ y, x − λ y ≥ 0, ∀x, y ∈ X , λ ∈ y Đặt: f (λ ) = x − λ y, x − λ y f (λ ) = y, y λ − 2λ x, y + x, x f tam thức bậc hai 6 = ∆ 'f x, y − x, x y , y Do f (λ ) ≥ 0, ∀λ ∈  ⇒ ∆ 'f ≤ ⇒ x, y ≤ x, x y , y Đẳng thức xảy ∆ 'f = Khi đó, phương trình f (λ ) = có nghiệm kép λ= λ= x, y y, y Suy ra:  x, y f   y, y   =  ⇒ x− x, y x, y y, x − y = y, y y, y x, y ⇒x= y y, y Định nghĩa 1.2.2: Không gian vector X  trang bị tích vô hướng gọi không gian tiền Hilbert Mệnh đề 1.2.1: Một không gian định chuẩn X không gian tiền Hilbert chuẩn X thoả đẳng thức hình bình hành: x + y + x − y= 2( x + y ) 2 2 Chứng minh: ( ⇐ ) Cho = x X không gian tiền Hilbert với tích vô hướng , Đặt : x, x , ∀x ∈ X Ta chứng minh  chuẩn ∀x, y ∈ X , λ ∈ y : i) x = x, x ≥ 0, x = ⇔ x, x = ⇔ x = 0, ii) λ x = = λ x, λ x = λ x, λ x = λ λ x, x = λ x, x = λ x, x λ x , iii) x+ y = = x + y, x + y = x + y, x + x + y, y x, x + x, y + y , y ≤ = x +2 x y + y 2 x, x + x, x y , y + y , y =x + y Ta chứng minh  thoả đẳng thức hình bình hành: x + y + x − y = x + y, x + y + x − y, x − y 2 = x, x + x, y + y , y + x, x − x, y + y , y = 2( x, x + y, y ) = 2( x + y ) ( ⇒ ) Cho X không gian định chuẩn với chuẩn thoả mãn đẳng thức hình bình hành Đặt: x+ y − x− y Ta chứng minh , tích vô hướng, với x, y = 2 x, y ∈ X , λ ∈ y : x+ y − x− y = i) x, y = x+ y − y−x = 2 y, x , ii) x+ y+z − x+ y−z x + y, z = = ( x + z) + y ( + (x + z) − y − x + ( y − z) + x − ( y − z) 2 ) x+ z +2 y −2 x −2 y−z = 2 2 )− y − z −( y − z −2 y ) − y+z ) ( x+z + z − x−z = ( x+ z + x+ z −2 x = 2 ) − y − z − (2 z 2 x+z − x−z = 2 y+z − y−z + 2 = x, z + y , z iii) Ta chứng minh: λ x, y = λ x, y 0+ y − 0− y = Với = λ = : λ x, y Với λ ∈ *+ : λ x, y = x + x + + x, y = x, y + x, y + x, y = λ x, y Với λ ∈ *− λ ' = −λ , λ ' ∈ *+ : λx + y − λx − y = λ x, y = λ 'x + y − λ 'x − y = − −λ ' x + y − −λ ' x − y 2 = − λ ' x, y = − λ ' x, y = λ x, y Suy ra: λ= x, y λ x, y , ∀λ ∈  Với λ ∈ , λ = m , m ∈ , n ∈  + : n 2 m m x+ y − x− y 2 mx + ny − mx − ny m n n x, y λ x, y = = = 4 n n 1 1 m mx, ny m x, ny m ny, x mn y, x = x, y λ x, y = = = = = 2 2 n n n n n Với λ ∈ , ∃{λn }n∈N * ⊂ , λn → λ : l x, y ( ) ( ) 2 − lim ( n x − y ) lim ( ll nx + y) − lim n x − y lim ll n x+ y n→∞ n→∞ = n→∞ n→∞ Do chuẩn liên tục nên ta có: ll x + y − nx − y = lll = lim = x, y lim n lim n x, y n x, y 2 n→∞ = n→∞ = x, y lim ll x, y n n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.2.3: Không gian tiền Hilbert mà dãy Cauchy hội tụ theo chuẩn sinh tích vô hướng gọi không gian Hilbert 1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ { } Cho X không gian Banach, B ( X ) := x ∈ X | x ≤ cầu đơn vị đóng X X * không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  với chuẩn xác định bởi: f X* = sup f ( x) , B( X *) := { f ∈ X *| f x =1 X* ≤ 1} cầu đơn vị đóng X * X ** không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X * vào  với chuẩn xác định bởi: ξ X ** = sup ξ ( f ) f X* =1 Định lý 1.3.1: ( Định lý tách tập lồi, xem [4,trang 7] ) Cho X không gian Banach, A, B ⊂ X , A ∩ B = ∅ Nếu A tập lồi đóng B tập compact tồn α ∈ , f ∈ X *: f ( y ) < α < f ( z ), ∀y ∈ A, ∀z ∈ B Định lý 1.3.2: (Hệ định lý Hahn- Banach, xem [4,trang 3] ) Cho X không gian Banach, x ∈ X , x ≠ Khi đó, tồn f ∈ X * cho: = f ( x) = x , f x Định nghĩa 1.3.1: ( Xem [4,trang 57] ) Cho X không gian Banach, x0 ∈ X Với ε > hữu hạn f i ∈ X *, i ∈{1,2, , k} Đặt Vx0 { f1 , f , , f k ; ε }= {x ∈ X : fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2, , k}} 10 = U x0 {V { f , f , , f ;ε } | f ∈ X *, ∀i ∈{1,2, , k}, ε > 0, k ∈ N *} x0 k i {V ⊂ X | ∀x ∈V , ∃U ∈U x : U ⊂ V } σ ( X , X *)= Khi tôpô xác định họ lân cận {U x }x∈X , tập mở tập thuộc σ ( X , X *) gọi tôpô yếu X kí hiệu σ ( X , X *) Như vậy, X ta xét hai tôpô, tôpô yếu tôpô thông thường X sinh chuẩn ( gọi tôpô mạnh) Mệnh đề 1.3.1: Tôpô yếu tôpô yếu (ít tập mở ) để tất ánh xạ tuyến tính liên tục X Chứng minh: Lấy f ∈ X * Do cách đặt lân cận tôpô yếu ta có f liên tục với tôpô yếu Giả sử ánh xạ f ∈ X * liên tục với tôpô τ Suy {x ∈ X | f ( x − x0 ) < ε } tập mở τ với f ∈ X *, ε > Ta chứng minh τ ⊃ σ ( X , X *) Lấy x0 ∈ X Ta chứng minh với U lân cận mở x0 σ ( X , X *), tồn lân cận mở V x0 τ cho V ⊂ U Thật vậy, tồn ε > 0, fi ∈ X * , i ∈{1,2, , k} để U có dạng: {x ∈ X | U= fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2, , k}} = ∩{ x ∈ X | fi ( x − x0 ) < ε } k i =1 k { } Chọn V = ∩ x ∈ X | fi ( x − x0 ) < ε V lân cận mở cần tìm i =1 Mệnh đề 1.3.2: Cho X không gian hữu hạn chiều tôpô yếu trùng với tôpô mạnh Chứng minh: Đặt τ tôpô mạnh sinh chuẩn X Hiển nhiên ta có τ ⊃ σ ( X , X *) Ta chứng minh τ ⊂ σ ( X , X *) Lấy U lân cận mở x0 τ Ta chứng minh tồn lân cận mở V x0 σ ( X , X *) cho V ⊂ U { } Chọn r > cho B = x ∈ X : x − x0 < r ⊂ U Do X không gian hữu hạn chiều, gọi {e1 , e2 , , ek } , ei ∈ X , ei = 1, ∀i ∈{1,2, , k} sở X Khi đó, 11 = x k k x e , x ∑ x e Gọi ∑= i i =i =i i i pi : X → , pi ( x) = xi , ∀x = pi , i ∈{1,2, , k} phép chiếu tắc: k ∑xe i =1 i i Ta có pi ∈ X *, ∀i ∈{1,2, , k} Đặt ε= r > ta có V = k {x ∈ X | pi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2, , k}} lân cận x0 tôpô yếu với x ∈V : x − x0 = = k =r ∑ ( xi − xi0 ) ei ≤ ∑ xi − xi0 ei = ∑ pi ( x − x0 ) < ∑ ee k k k k =i =i =i =i ⇒ V ⊂ B ⊂ U Vậy τ ⊂ σ ( X , X *) Mệnh đề 1.3.3: Cho X không gian Banach C ⊂ X , C tập lồi Khi C đóng yếu C đóng mạnh Chứng minh: Nếu C đóng yếu hiển nhiên C đóng mạnh Bây giờ, cho C đóng mạnh Ta chứng minh C đóng yếu cách chứng minh X \ C mở yếu Lấy x0 ∈ X \ C Ta có C tập lồi đóng, { x0 } compact, { x0 } ∩ C = ∅ Do định lý tách tập lồi, tồn α ∈ , f ∈ X * cho: f ( x0 ) < α < f ( y ), ∀y ∈ C Đặt V = { x ∈ X | f ( x) < α } V mở yếu x0 ∈V ⊂ X \ C Suy X \ C mở yếu hay C đóng yếu Mệnh đề 1.3.4: Cho X không gian Banach, { xn }n∈N * dãy X Khi đó: σ ( X , X *) i) xn → x f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X *  σ ( X , X *) ii) xn → x xn → x σ ( X , X *)  iii) Nếu xn → x tồn dãy { yn }n∈N * ⊂ conv { xn : n ∈ N *} cho yn → x 12 Chứng minh: σ ( X , X *) i) Nếu xn → x với f ∈ X *, f liên tục yếu suy f ( xn ) → f ( x) Giả σ ( X , X *) sử f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X * Ta chứng minh xn → x Lấy {x ∈ X | V= fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2, , k}} lân cận x0 Do f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X * nên fi ( xn ) → f ( x), ∀i ∈{1,2, , k} Do đó, với ε > 0, ∃n0i > 0, ∀n ≥ noi ⇒ fi ( x − x0 ) < ε , ∀i ∈{1,2, k} Đặt n0 = max{n01 , n01 , , n0k } : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈V Suy ∀V ∈U x0 , ∃n0 > : ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈V Nghĩa σ ( X , X *) xn → x  ii)Cho xn → x Do với f ∈ X * f liên tục với tôpô mạnh nên σ ( X , X *) f ( xn ) → f ( x), ∀f ∈ X * Áp dụng i) ta có xn → x σ ( X , X *) ∞  → x Đặt C = conv { xn } Do xn → x nên ta có x nằm  n=1  σ ( X , X *) iii) Cho xn bao đóng yếu ∞ { x }, suy x nằm bao đóng yếu C Do C n n =1 lồi nên bao đóng yếu C bao đóng mạnh C Suy x nằm  bao đóng mạnh C Suy tồn dãy { yn }n∈N * ⊂ C , yn → x Ta có { yn }n∈N * ⊂ C nghĩa yn bao lồi tuyến tính hữu hạn xn Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3.5: Tập compact yếu bị chặn theo chuẩn Chứng minh: Xét X không gian Banach, A ⊂ X tập compact yếu Với (f) x ∈ A, ta coi x ∈ X **, x : X * → , x= nên f ( A) compact, suy f , x , ∀f ∈ X * Do A compact yếu f ( A) bị chặn với f ∈ X * Nghĩa 13 f , x < ∞, ∀f ∈ X *, x ∈ A Suy sup x, f < ∞, ∀f ∈ X * Theo nguyên lý bị chặn x∈ A ta suy sup x < ∞ Nghĩa A bị chặn theo chuẩn x∈ A Định nghĩa 1.3.2: (Xem [4]) Cho X không gian Banach, X * không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  f ∈ X * Với ε > hữu hạn xi ∈ X , i ∈{1,2, , k} Đặt V f { x1 , x2 , , xk ; ε }= { f ∈ X *: ( f − f ) ( x) < ε , ∀i ∈{1,2, , k}} {V {x , x , , x ;ε } | x ∈ X *, ∀i ∈{1,2, , k}, ε > 0, k ∈ N *} σ ( X *, X )= {V ⊂ X *| ∀f ∈V , ∃U ∈U : U ⊂ V } , tập mở tập thuộc σ ( X *, X ) Khi tôpô xác định họ lân cận {U } = U f0 f0 k i f f f ∈X * gọi tôpô yếu X * kí hiệu σ ( X *, X ) Mệnh đề 1.3.6: (Xem [4,trang 62] ) Cho X không gian Banach, f ∈ X *, { f n }n∈N * dãy X * Xem X không gian X ** ta có kết sau tương tự với tôpô yếu: σ ( X *, X ) i) f n → f f n ( x) → f ( x), ∀x ∈ X  σ ( X *, X ) ii) f n → f f n → f Định lý 1.3.3: (Định lý Banach- Alaoglu, Xem [4,trang 66]) Quả cầu đơn vị đóng X * compact tôpô yếu Định nghĩa 1.3.3: Cho X không gian Banach Với x ∈ X , ánh xạ J x : X * → , J x (= f ) f ( x), ∀f ∈ X * ánh xạ tuyến tính liên tục Do đó, ánh xạ J : X → X **, x  J x đơn cấu đẳng cự Nếu J toàn ánh X gọi không gian phản xạ Định lý 1.3.4: (Định lý Kakutani, Xem [4,trang 67] ) Không gian Banach X không gian phản xạ cầu đơn vị đóng X compact tôpô yếu 14 Định lý 1.3.5: (Định lý James) Không gian Banach X không gian phản xạ với f ∈ B ( X *), tồn x ∈ B ( X ) cho f ( x) = f X* 1.4 Tính khả vi Gateaux khả vi Frechet Định nghĩa 1.4.1: Cho ( X ,  X ) (Y , Y Y ) không gian Banach x∈ X , F : X →Y F gọi khả vi Gateaux x ∈ X tồn ánh xạ tuyến tính liên tục Ax : X → Y cho với y ∈ X : lim F ( x + l y ) − F ( x) l →0 l = Ax ( y ) (1) Ánh xạ Ax gọi đạo hàm Gateaux F x Định nghĩa 1.4.2: Cho ( X ,  X ) (Y , Y Y ) không gian Banach x∈ X , F : X →Y F gọi khả vi Frechet x ∈ X tồn ánh xạ tuyến tính liên tục Ax : X → Y cho: F ( x + h)= F ( x) + Ax (h) + O(h) O ( h) = 0Y h →0 X h X với O : X → Y , lim Nhận xét 1.4.1: Ánh xạ khả vi Frechet x liên tục x Mệnh đề 1.4.1: Cho ( X ,  X ) (Y , Y Y ) không gian Banach x∈ X , F : X →Y i) Nếu F khả vi Frechet x F khả vi Gateaux x ii) Nếu F khả vi Gateaux x giới hạn (1) theo y ∈ S ( X ) F khả vi Frechet x Chứng minh: i) Do F khả vi Frechet x nên tồn ánh xạ tuyến tính liên tục Ax : X → Y cho: 15 F ( x + h)= F ( x) + Ax (h) + O(h) O ( h) = 0Y h →0 X h X với O : X → Y , lim Với y ∈ X , y ≠ Xét giới hạn: lim F ( x + lll y ) − F ( x) A ( y ) + O( y ) = lim x ll A (lll y) O( y ) O( y ) lim x Ax ( y ) + lim = + lim = lll →0 →0 →0 lll ll →0 →0  O( y )  O(ll y) O (l y )  Do lim lim y X  nên lim = = = 0Y ll →0 →0  l →0  ll y l Y X Y   Suy ra: lim F ( x + l y ) − F ( x) l →0 l Với y ∈ X , y = X : lim l →0 = Ax ( y ) F ( x + l y ) − F ( x) Ax (0 X ) = 0= Y l Vậy với y ∈ X : lim F ( x + l y ) − F ( x) l l →0 = Ax ( y ) , F khả vi Gateaux x ii) Do F khả vi Gateaux nên ta có Ax ánh xạ tuyến tính liên tục Ta có giới hạn (1) theo y ∈ S ( X ) , nghĩa là: ∀ε > 0, ∃δ > : F ( x + λ y ) − F ( x) λ − Ax ( y ) < ε , ∀λ : λ < δ , ∀y ∈ X : y X =1 Y ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > : F ( x + λ y ) − F ( x) − Ax (λ y ) Y < ε λ , ∀λ : < λ < δ , ∀y ∈ X : y Với h ∈ X , h ≠ X , h X Đặt λ : ∀h ∈ X , h ≠ X , h X [...]... đơn vị đóng trong X * là compact trong tôpô yếu sao Định nghĩa 1.3.3: Cho X là không gian Banach Với mỗi x ∈ X , ánh xạ J x : X * → , J x (= f ) f ( x), ∀f ∈ X * là ánh xạ tuyến tính liên tục Do đó, ánh xạ J : X → X **, x  J x là đơn cấu đẳng cự Nếu J là toàn ánh thì X được gọi là không gian phản xạ Định lý 1.3.4: (Định lý Kakutani, Xem [4,trang 67] ) Không gian Banach X là không gian phản xạ nếu và... 1.2.3: Không gian tiền Hilbert mà mỗi dãy Cauchy đều hội tụ theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert 1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ { } Cho X là không gian Banach, B ( X ) := x ∈ X | x ≤ 1 là quả cầu đơn vị đóng trong X X * là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào  với chuẩn xác định bởi: f X* = sup f ( x) , B( X *) := { f ∈ X *| f x =1 X* ≤ 1} là quả cầu đơn vị đóng trong. .. được gọi là tôpô yếu trên X và kí hiệu là σ ( X , X *) Như vậy, trên X ta xét hai tôpô, tôpô yếu và tôpô thông thường trên X sinh bởi chuẩn ( gọi là tôpô mạnh) Mệnh đề 1.3.1: Tôpô yếu là tôpô yếu nhất (ít tập mở nhất ) để tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục trên X Chứng minh: Lấy f ∈ X * Do cách đặt các lân cận trong tôpô yếu ta có f liên tục với tôpô yếu Giả sử mọi ánh xạ f ∈ X * đều liên tục với... đơn vị đóng trong X là compact đối với tôpô yếu 14 Định lý 1.3.5: (Định lý James) Không gian Banach X là không gian phản xạ nếu và chỉ nếu với mọi f ∈ B ( X *), tồn tại x ∈ B ( X ) sao cho f ( x) = f X* 1.4 Tính khả vi Gateaux và khả vi Frechet Định nghĩa 1.4.1: Cho ( X ,  X ) và (Y , Y Y ) là các không gian Banach x∈ X , F : X →Y F được gọi là khả vi Gateaux tại x ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính... X , X *) iii) Cho xn trong bao đóng yếu của ∞ { x }, suy ra x nằm trong bao đóng yếu của C Do C n n =1 lồi nên bao đóng yếu của C chính là bao đóng mạnh của C Suy ra x nằm trong  bao đóng mạnh của C Suy ra tồn tại dãy { yn }n∈N * ⊂ C , yn → x Ta có { yn }n∈N * ⊂ C nghĩa là mỗi yn là bao lồi tuyến tính của hữu hạn các xn Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.3.5: Tập compact yếu thì bị chặn theo chuẩn... là không gian Banach, A ⊂ X là tập compact yếu Với mỗi (f) x ∈ A, ta có thể coi x ∈ X **, x : X * → , x= nên f ( A) compact, suy ra f , x , ∀f ∈ X * Do A compact yếu f ( A) bị chặn với mọi f ∈ X * Nghĩa là 13 f , x < ∞, ∀f ∈ X *, x ∈ A Suy ra sup x, f < ∞, ∀f ∈ X * Theo nguyên lý bị chặn x∈ A đều ta suy ra sup x < ∞ Nghĩa là A bị chặn theo chuẩn x∈ A Định nghĩa 1.3.2: (Xem [4]) Cho X là không gian. .. − y = 0 y, y y, y x, y ⇒x= y y, y Định nghĩa 1.2.2: Không gian vector X trên  được trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian tiền Hilbert Mệnh đề 1.2.1: Một không gian định chuẩn X là không gian tiền Hilbert khi và chỉ khi chuẩn trên X thoả đẳng thức hình bình hành: x + y + x − y= 2( x + y ) 2 2 2 2 Chứng minh: ( ⇐ ) Cho = x X là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng , Đặt : x, x ,... yếu bằng cách chứng minh X \ C là mở yếu Lấy x0 ∈ X \ C Ta có C là tập lồi đóng, { x0 } compact, { x0 } ∩ C = ∅ Do định lý tách các tập lồi, tồn tại α ∈ , f ∈ X * sao cho: f ( x0 ) < α < f ( y ), ∀y ∈ C Đặt V = { x ∈ X | f ( x) < α } thì V mở yếu và x0 ∈V ⊂ X \ C Suy ra rằng X \ C mở yếu hay C đóng yếu Mệnh đề 1.3.4: Cho X là không gian Banach, { xn }n∈N * là dãy trong X Khi đó: σ ( X , X *) i) xn... X *) := { f ∈ X *| f x =1 X* ≤ 1} là quả cầu đơn vị đóng trong X * X ** là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X * vào  với chuẩn xác định bởi: ξ X ** = sup ξ ( f ) f X* =1 Định lý 1.3.1: ( Định lý tách các tập lồi, xem [4,trang 7] ) Cho X là không gian Banach, A, B ⊂ X , A ∩ B = ∅ Nếu A là tập lồi đóng và B là tập compact thì tồn tại α ∈ , f ∈ X *: f ( y ) < α < f ( z ), ∀y ∈ A, ∀z ∈ B... x0 trong tôpô yếu và với mọi x ∈V : x − x0 = = k =r ∑ ( xi − xi0 ) ei ≤ ∑ xi − xi0 ei = ∑ pi ( x − x0 ) < ∑ ee k k k k =i 1 =i 1 =i 1 =i 1 ⇒ V ⊂ B ⊂ U Vậy τ ⊂ σ ( X , X *) Mệnh đề 1.3.3: Cho X là không gian Banach và C ⊂ X , C là tập lồi Khi đó C là đóng yếu nếu và chỉ nếu C đóng mạnh Chứng minh: Nếu C là đóng yếu thì hiển nhiên C là đóng mạnh Bây giờ, cho C là đóng mạnh Ta chứng minh C là đóng yếu