Ánh xạ không giãn, compact yếu trong không gian lồi đều

Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Mai Văn Duy ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Mai Văn Duy ÁNH XẠ KHÔNG GIÃ`1`N, COMPACT YẾU TRONG KHÔNG GIAN LỒI ĐỀU Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 16 Header Page of 16 LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành lời để gửi lời cám ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS Lê Hoàn Hoá- người ân cần bảo, hướng dẫn nhiệt tình mặt chuyên môn phương pháp học tập quý báu, giúp hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn thầy cô phòng sau đại học, thầy cô công tác trường đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ toàn trình học tập trường trình làm luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, gia đình người thân- người động viên, giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Mai Văn Duy Footer Page of 16 Header Page of 16 MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu viết tắt MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Tôpô yếu – Tính phản xạ 1.4 Tính khả vi Gateaux khả vi Frechet 14 1.5 Tập định hướng lưới 18 1.6 Tập có thứ tự bổ đề Zorn 19 Chương TÍNH KHẢ VI GATEAUX CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI CHẶT CỦA KHÔNG GIAN 21 2.1 Tính khả vi Gateaux chuẩn, không gian trơn 21 2.2 Không gian lồi chặt 29 Chương TÍNH KHẢ VI FRECHET CỦA CHUẨN VÀ TÍNH LỒI ĐỀU CỦA KHÔNG GIAN 33 3.1 Tính khả vi Frechet chuẩn 33 3.2 Tính khả vi Frechet chuẩn, không gian trơn đều, không gian lồi 42 Chương CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN 65 4.1 Cấu trúc chuẩn tắc 65 4.2 Ánh xạ không giãn định lý điểm bất động 67 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 Footer Page of 16 Header Page of 16 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VÀ VIẾT TẮT x Chuẩn x không gian định chuẩn x, y Tích vô hướng x, y không gian tiền Hilbert S ( X ) := 1} Mặt cầu đơn vị đóng không gian Banach X {x ∈ X | x = B( X ) := { x ∈ X | x ≤ 1} Quả cầu đơn vị đóng không gian Banach X Footer Page of 16 Header Page of 16 MỞ ĐẦU Điểm bất động ánh xạ đối tượng nghiên cứu từ lâu có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ Các định lý điểm bất động bắt đầu nghiên cứu từ lớp ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều, định lý Brouwer: Định lý Brouwer: Cho X không gian hữu hạn chiều, B cầu đơn vị đóng X Khi đó, ánh xạ liên tục U : B → B có điểm bất động Định lý Brouwer mở rộng: Cho X không gian hữu hạn chiều, C tập lồi đóng bị chặn X Khi đó, ánh xạ liên tục U : C → C có điểm bất động Thực chất, điều kiện định lý ánh xạ liên tục tập lồi đóng bị chặn không gian hữu hạn chiều(do compact) Ta biết lớp không gian hữu hạn chiều khiêm tốn Do đó, người ta muốn mở rộng định lý lên không gian vô hạn chiều, số chiều không gian vô hạn tính liên tục trở nên yếu tính compact tập lồi đóng bị chặn Do đó, điều kiện cần phải mạnh hơn: Định lý Brouwer cho không gian Hilbert: Cho X không gian Hilbert, C ⊂ X tập lồi đóng bị chặn U : C → C ánh xạ không giãn Khi đó, U có điểm bất động C Định lý Shauder: Cho X không gian Banach, C ⊂ X tập lồi đóng, U : C → C liên tục U (C ) compact tương đối Khi đó, U có điểm bất động C Rõ ràng mở rộng lên không gian Hilbert, tính liên tục không đảm bảo cho tồn điểm bất động, ta cần tính không giãn Còn mở rộng lên không gian Banach, tính lồi đóng không đảm bảo tồn điểm bất động, ta cần điều kiện không dễ đạt được, tính compact mạnh Vấn đề đặt ta cần phải thay điều kiện compact mạnh điều kiện nhẹ mà định lý không gian Banach Điều dẫn đến việc nâng cấp không gian lên lớp không gian mạnh không gian lồi cần thêm cấu trúc cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu Đặc Footer Page of 16 Header Page of 16 trưng cấu trúc dựa vào khái niệm lồi đều, lồi chặt không gian Tính lồi đều, lồi chặt không gian lại đặc trưng tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn Vì vậy, luận văn nghiên cứu tính khả vi Gateaux, khả vi Frechet, mối liên quan chúng với tính lồi chặt, lồi cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu, không gian lồi để từ có định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn Luận văn làm dựa theo [1,tr 20-57] Luận văn trình bày chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Nhắc lại số kiến thức, khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert tính chất, hội tụ dãy không gian Ngoài chương phát biểu chứng minh số khái niệm, tính chất, định lý tôpô yếu, tôpô yếu sao, tính phản xạ, tập định hướng lưới, tập thứ tự bổ đề Zorn, tính khả vi Gateaux khả vi Frechet ánh xạ Chương 2: Tính khả vi Gateaux chuẩn tính lồi chặt không gian Chương trình bày khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn, tính trơn không gian, tính lồi chặt không gian định lý mối liên hệ tính chất thông qua khái niệm ánh xạ tựa Chương 3: Tính khả vi Frechet chuẩn tính lồi không gian Chương trình bày khái niệm, tính chất phân biệt khả vi Gateaux khả vi Frechet ánh xạ chuẩn Chương trình bày khái niệm, tính chất phân biệt tính lồi chặt lồi không gian Bên cạnh nghiên cứu tính trơn không gian, tính khả vi Frechet ánh xạ chuẩn tính compact yếu không gian lồi Chương 4: Cấu trúc chuẩn tắc định lý điểm bất động ánh xạ không giãn Chương nội dung luận văn Chương trình bày khái niệm, tính chất tập có cấu trúc chuẩn tắc, tập có cấu trúc chuẩn tắc không gian lồi định lý tồn tại, tính chất tập điểm bất động ánh xạ không giãn tập compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach, Footer Page of 16 Header Page of 16 tồn điểm bất động ánh xạ không giãn tập lồi đóng bị chặn không gian lồi tồn điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn giao hoán Footer Page of 16 Header Page of 16 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian tiền Hilbert, không gian Hilbert, tôpô yếu, tính phản xạ, tập thứ tự, bổ đề Zorn, khả vi Gateaux, khả vi Frechet Chương làm dựa theo [4,chương 1,3] 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1:Cho X không gian vector  Ánh xạ  : X →  gọi chuẩn nếu: i) x ≥ 0, ∀x ∈ X , x = ⇔ x = 0, ii) λ x λ x , ∀x ∈ X , ∀λ ∈ , = iii) x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X Định nghĩa 1.1.2: Không gian vector X trang bị ánh xạ chuẩn  gọi không gian vector định chuẩn hay gọi tắt không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.3: Cho X không gian định chuẩn { xn }n∈N * dãy X Ta nói { xn }n∈N * hội tụ x nếu: ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀n ≥ n0 ⇒ xn − x < ε Định nghĩa 1.1.4: Cho X không gian định chuẩn { xn }n∈N * dãy X Ta nói { xn }n∈N * dãy Cauchy nếu: ∀ε > 0, ∃n0 > : ∀m, n ≥ n0 ⇒ xn − xm < ε Định nghĩa 1.1.5: Cho X không gian định chuẩn, X gọi không gian Banach dãy Cauchy X hội tụ phần tử X Mệnh đề 1.1.1: Cho X không gian tôpô compact { X i }i∈I họ tập đóng có tính chất giao hữu hạn khác rỗng Khi đó, họ { X i }i∈I có giao khác rỗng Footer Page of 16 Header Page 10 of 16 Chứng minh: Giả sử X i i∈I đó, X X= = ∅ Khi = \  Xi i∈I { X \ X i }i∈I phủ mở không gian compact cho X X i1 , X i2 , , X ik sao= k ) ( (X \ X ) i Như vậy, i∈I X nên tồn hữu hạn tập k X \ X ij X \  X i j ≠ X (mâu thuẫn với tính giao hữu = =j =j hạn khác rỗng họ { X i }i∈I ) Vậy X i ≠ ∅ i∈I 1.2 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.2.1: Cho X không gian vector  Ánh xạ , : X × X →  gọi tích vô hướng với x, y ∈ X , λ ∈ y : i) x, y = y, x , ii) x + y, z = x, z + y, z , iii) λ x, y = λ x, y , iv) x, x ≥ 0, x, x = ⇔ x = Mệnh đề 1.2.1: Cho , tích vô hướng không gian vector X x, y ∈ X x, y ≤ x, x y, y Đẳng thức xảy tồn λ ∈  cho x = λ y Chứng minh: Nếu y = : = x, y = y, x 0= x, x = x, x 0, y, y = Bất đẳng thức nghiệm với x ∈ X Nếu y ≠ : Ta có: x − λ y, x − λ y ≥ 0, ∀x, y ∈ X , λ ∈ y Đặt: f (λ ) = x − λ y, x − λ y f (λ ) = y, y λ − 2λ x, y + x, x f tam thức bậc hai Footer Page 10 of 16 Header Page 68 of 16 63 x k − y k ≥ xkk+1 − xkk+1 =  tk + sk   k k xi + yi  = 4 1  2 0 i =1 i ∈{k + 1, k + 2} i= k + i ∈ N * \{1, k + 1, k + 2} x +y   ∞  xik + yik   x +y : i ≥ 1 +  ∑  = sup     2 i i =       k k k i k i 1 1 t +s = + ( k k )2 + + + 2 2 16 ( k + 1) 16 ( k + ) ( k + 3) Khi cho k tiến vô xk + y k → xk + y k Suy ∀δ > ,tồn k cho >1−δ Như vậy, ∃ε = > 0, ∀δ > 0, ∃x k , y k , x k = y k = 1, x k − y k ≥ ε xk + y k >1−δ ( ) Vậy c0 ,  không không gian lồi Định lý 3.2.2: Mọi không gian Banach lồi không gian phản xạ Chứng minh:Lấy f ∈ S ( X *) Ta chứng minh tồn x0 ∈ S ( X ) cho f ( x0 ) = Do= = f sup f ( x) nên tồn dãy { xn } ⊂ S ( X ), f ( xn ) → Giả sử x =1 { xn } không dãy Cauchy nghĩa là: Footer Page 68 of 16 Header Page 69 of 16 64 ∃ε > : ∀n0 > 0, ∃m, n ≥ n0 xn − xm ≥ ε Như vậy, ta chọn dãy {x } nk k∈N * thoả mãn: xnk − xnl ≥ ε , ∀k , l ∈ N *, k ≠ l Do X không gian lồi đều, tồn δ > cho : xnk + xnl ≤ − δ , ∀k , l ∈ N *, k ≠ l Mà ta có xnk + xnl  xn + xnl  ⇒ f k ≤ ≤ − δ , ∀k , l ∈ N *, k ≠ l    f ( xnk ) + f ( xnl ) ⇒ ≤ − δ , ∀k , l ∈ N *, k ≠ l (Mâu thuẫn với f ( xn ) → ) Vậy { xn } dãy Cauchy nên hội tụ x0 ∈ S ( X ) Như vậy, ∀f ∈ S ( X *), ∃x0 ∈ S ( X ) : f ( x0 ) = = f Theo định lý James ta có X không gian phản xạ Định lý 3.2.3: Cho X không gian Banach lồi Khi đó, tập lồi đóng bị chặn X compact yếu Chứng minh: Cho K ⊂ X tập lồi đóng, bị chặn Khi đó, tồn M > cho: K ⊂ B(0, M ) Do K tập lồi đóng mạnh nên K đóng yếu Mặt khác, X lồi đều, theo định lý 3.2.2, X phản xạ, theo định lý Kakutani, B (0, M ) compact yếu Như vậy, K đóng yếu tập compact yếu Vậy K compact yếu Footer Page 69 of 16 Header Page 70 of 16 65 Chương CẤU TRÚC CHUẨN TẮC VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chương trình bày khái niệm, ví dụ điểm xuyên tâm, cấu trúc chuẩn tắc, định lý tồn tính chất tập điểm bất động ánh xạ không giãn Chương làm dựa theo [1,chương 2], [6] 4.1 Cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 4.1.1: Cho X không gian Banach, C tập lồi đóng bị chặn X x ∈ C Điểm x gọi điểm xuyên tâm ( diametral) : diamC= sup { y − x : y ∈ C} Ví dụ 4.1.1: Cho X không gian Banach, điểm x0 ∈ S ( X ) điểm xuyên tâm tập B( X ), điểm y0 ∈ B( X ) \ S ( X ) không điểm xuyên tâm Thật vậy, x0 − (− x0 ) = x0 = ≤ diamB( X ) = sup x , y∈B ( X ) x − y ≤ sup ( x + y ) ≤ nên x , y∈B ( X ) diamB( X ) = sup { y − x0 : y ∈ B ( X )} Nghĩa x0 điểm xuyên tâm B( X ) Với y0 ∈ B( X ) \ S ( X ), diamB ( X ) Do đó, y0 không sup y − y0 ≤ sup ( y + y0 ) ≤ sup y + sup y0 < = y∈B ( X ) y∈B ( X ) y∈B ( X ) y∈B ( X ) điểm xuyên tâm B( X ) Định nghĩa 4.1.2: Cho X không gian Banach, K tập lồi đóng bị chặn X K gọi tập có cấu trúc chuẩn tắc tập lồi đóng bị chặn C K mà có nhiều điểm chứa điểm không xuyên tâm (non- diametral) K Sau ta xét số lớp tập có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach: Định lý 4.1.1: Mọi tập lồi compact không gian Banach tập có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh: Gọi K tập lồi compact không gian Banach X Ta chứng minh K có cấu trúc chuẩn tắc Thật vậy: Footer Page 70 of 16 Header Page 71 of 16 66 Giả sử ngược lại, K cấu trúc chuẩn tắc, tồn tập lồi đóng bị chặn C ⊂ K , diamC > điểm x ∈ C điểm xuyên tâm Lấy x1 ∈ C , diamC = sup { x − x1 : x ∈ C} nên tồn dãy { yn } ⊂ C , diamC − < yn − x1 ≤ diamC , ∀n ∈ N * Tập K compact suy C n { } compact, tồn dãy ynk k∈N * = x2= lim ynk ∈ C , x2 ∈ C , diamC k →∞ hội tụ C Đặt x2 − x1 Do C lồi, x1 , x2 ∈ C nên Suy tồn x3 ∈ C cho diamC = x3 − x1 + x2 ∈C x2 + x1 Tiếp tục bước trên, ta xây dựng dãy { xn } ⊂ C thoả mãn: xn+1 − x1 + x2 + + xn = diamC , ∀n ∈ N * Khi với n ∈ N * : diamC = x1 + x2 + + xn n n xn+1 − ≤ ∑ xn+1 − xk ≤ ∑ diamC = diamC n n k 1= nk1 = ⇒ xn+1 − = xk diamC , ∀k ∈{1,2, , n} Nghĩa { xn } có dãy Cauchy nào, hay { xn } dãy hội tụ ( mâu thuẫn tính compact C ) Vậy K có cấu trúc chuẩn tắc Định lý 4.1.2: Mọi tập lồi đóng bị chặn không gian Banach lồi có cấu trúc chuẩn tắc Chứng minh: Cho X không gian Banach lồi đều, K ⊂ X tập lồi đóng bị chặn Giả sử K cấu trúc chuẩn tắc, tồn tập lồi đóng bị chặn C ⊂ K , diamC > điểm x ∈ C điểm xuyên tâm Lấy x1 ∈ C , ta có sup { x − x1 : x ∈ C} = d , suy chọn x2 ∈ C , x1 − x2 ≥ x1 + x2 ∈ C Ta có: Footer Page 71 of 16 d Do C lồi nên Header Page 72 of 16 ∀x ∈ C ⇒ 67 x − x1 x − x2 x − x1 x − x2 ≤ 1, ≤ 1, − = d d d d Do X không gian lồi nên với ε= x ∈ C thì: x − x1 x − x2 = + 2d 2d x−( x1 − x2 ≥ d > 0, tồn δ > cho với x1 + x2 ) ≤1−d d Suy ra: x1 + x2    x−( )  sup  : x ∈C ≤1− d diamK C < diamK Footer Page 72 of 16 Header Page 73 of 16 68 Chứng minh: i) Do K compact yếu nên K bị chặn Với n ∈ N *, x ∈ K , đặt 1  K n ( x) =  y ∈ K : x − y ≤ r ( K ) +  = K ∩ B( x, r ( K ) + ) K n ( x) tập lồi n n  n đóng yếu khác rỗng bị chặn Thật vậy, K lồi đóng yếu, B ( x, r ( K ) + ) tập lồi đóng mạnh (và đóng yếu) nên K n ( x) lồi đóng yếu Hơn nữa: Do K bị chặn khác rỗng nên với x ∈ K rx ( K ), r ( K ) số không âm hữu hạn Do r ( K ) inf {rx ( K ) : x ∈ K } nên với = ry0 ( K ) ≤ r ( K ) + > tồn y0 ∈ K cho n 1 Suy sup { x − y0 : x ∈ K } ≤ r ( K ) + Do đó, n n x − y0 ≤ r ( K ) + Như vậy, K n ( x) tập khác rỗng n n Lấy y ∈ K n ( x) y ≤ x + y − x ≤ x + r ( K ) + Suy K n ( x) bị chặn Như vậy, với x ∈ K , n ∈ N * ta có K n ( x) tập lồi đóng yếu bị chặn khác { } rỗng tập compact yếu K Mặt khác, sup x − y0 : x ∈ K ≤ r ( K ) + nên n x − y0 ≤ r ( K ) + , ∀x ∈ K Suy y0 ∈ K n ( x), ∀x ∈ K hay K n =  K n ( x) n x∈X tập lồi đóng yếu khác rỗng với n ∈ N * Ta có, với n, m ∈ N *, n > m K n ( x) ⊂ K m ( x), ∀x ∈ X Do đó, {K n }n∈N * dãy tập lồi đóng yếu khác rỗng K compact yếu giảm theo quan hệ bao hàm tập hợp Suy K n∈N * đóng khác rỗng K Ta chứng minh: K C = K n∈N * Footer Page 73 of 16 n : n tập lồi Header Page 74 of 16 69 y ∈ K n , ∀n ∈ N * ⇔ y − x ≤ r ( K ) + , ∀n ∈ N *, ∀x ∈ K n ⇔ r ( K ) ≤ ry ( K ) ≤ r ( K ) + , ∀n ∈ N * n ⇔ r ( K ) ≤ ry ( K ) ≤ r ( K ) ⇔ r(K ) = ry ( K ) ⇔ y ∈ KC Vậy ta có K C tập lồi đóng khác rỗng K ii) Do K có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn x ∈ K cho rx ( K ) < diamK Giả sử z, w ∈ KC : z − w ≤ rz ( K ) = r(K ) ⇒ diamK C= sup { z − w : z , w ∈ K C } ≤ r ( K ) ≤ rx ( K ) < diamK Ta xét ví dụ để thấy rõ khái niệm bán kính điểm, bán kính tập cấu trúc chuẩn tắc: Ví dụ 4.2.1: Xét X không gian hàm liên tục đoạn [0,1] với chuẩn x = sup x(t ) Y không gian hàm liên tục đoạn [0,1] với chuẩn t∈[0,1] = x1 x + ∫ x(t ) dt Gọi K = { x ∈ C[0,1] : = x(0) ≤ x(t ) ≤ x(1) = 1, ∀t ∈ [0,1]} , x0 ∈ K Với K tập X : 1) Bán kính K x0 : sup = x0 − y sup sup x0 (t ) − y= (t ) ≤ − y∈K y∈K t∈[0,1] Mặt khác, với ε ∈ (0,1) Do x0 (0) = x0 liên tục nên tồn n0 ∈ N *  n0t , t ∈ [0, n ]  cho x0 (t ) < ε , ∀t ∈ [0, ] Xét yn0 ∈ K , yn0 (t ) = Ta có:  n0 1, t ∈ ( ,1]  n0 Footer Page 74 of 16 Header Page 75 of 16 x0 − yn0 70 ≥ x0 ( 1 ) − yn0 ( ) = − x0 ( ) > − ε n0 n0 n0 ⇒ rx0 ( K ) = 2)Bán kính K: = r ( K ) inf {rx ( K ) := x ∈ K } 3) Tâm K: KC = r ( K )} = K { x ∈ K : rx ( K ) = Với K tập Y : 1) Bán kính K x0 : Chọn dãy yn , zn ∈ K sau: n −1  0, t ∈ [0, n ] yn (t ) =  nt + − n, t ∈ ( n − ,1]  n  nt , t ∈ [0, n ] zn (t ) =  1, t ∈ ( ,1]  n Do tính liên tục x0 nên ta chọn n0 ∈ N * đủ lớn để yn (t ) ≤ x0 (t ) ≤ zn (t ), ∀t ∈ [0,1], n ≥ n0 Lại tính liên tục x0 x0 (0) = ≤ x0 (t ) ≤ x0 (1) = nên:   rK ( x0 ) ≥ lim  sup ( x0 (t ) − yn (t ) ) + ∫ ( x0 (t ) − yn (t ) ) dt  n →∞ t∈[0,1]    n −1  ≥ lim  x0 ( ) + ∫ x0 (t )dt − ∫ yn (t )dt  n →∞ n 0    n −1  = lim  x0 ( ) + ∫ x0 (t )dt − ∫ (nt + − n)dt  n →∞ n 0   = + ∫ x0 (t )dt Footer Page 75 of 16 Header Page 76 of 16 71   rK ( x0 ) ≥ lim  sup ( zn (t ) − x0 (t ) ) + ∫ ( zn (t ) − x0 (t ) ) dt  n →∞ t∈[0,1]   1   ≥ lim 1 − x0 ( ) − ∫ x0 (t )dt + ∫ zn (t )dt  n →∞ n 0     1 n   = lim 1 − x0 ( ) − ∫ x0 (t )dt + ∫ ntdt + ∫ dt  n →∞ n   n  1 = lim 1 − x0 ( ) − ∫ x0 (t )dt + −  n →∞ 2n  n  = − ∫ x0 (t )dt 1  Như vậy, ta có rK ( x0 ) = + max  ∫ x0 (t )dt ,1 − ∫ x0 (t )dt  0  1  2)Bán kính K: Từ rK ( x0 ) =1 + max  ∫ x0 (t )dt ,1 − ∫ x0 (t )dt  , ∀x0 ∈ K Ta suy 0  rK ( x0 ) ≥ Hơn nữa, chọn x0 (t ) = t , ∀t ∈ [0,1] x0 ∈ K rK ( x0 ) = Vậy 2 r(K ) =  1 3) Tâm K: K C =  x ∈ K : ∫ x(t )dt =    Như vậy, tập K xét không gian X tập lồi đóng mà phần tử điểm xuyên tâm Do K tập cấu trúc chuẩn tắc Ngược lại, xét K không gian Y K tập lồi đóng tính chất K , ∫ x(t )dt < 1, ∀x ∈ K , suy < rK ( x0 ) < Nghĩa K điểm xuyên tâm hay tập lồi đóng nhiều phần tử K chứa điểm không xuyên tâm Vậy K tập có cấu trúc chuẩn tắc Định nghĩa 4.2.1: Cho C tập không gian Banach X Ánh xạ U : C → X gọi ánh xạ không giãn : Footer Page 76 of 16 Header Page 77 of 16 72 Ux − Uy ≤ x − y , ∀x, y ∈ C Định nghĩa 4.2.2: Cho C tập không gian Banach X , x ∈ C ánh xạ U : C → X Khi đó, x gọi điểm bất động U Ux = x Tập điểm bất động U kí hiệu FixU Tập K ⊂ C gọi bất biến qua U U (K ) ⊂ K Sự tồn điểm bất động có cấu trúc chuẩn tắc compact yếu thể qua định lý sau: Định lý 4.2.1: Cho X không gian Banach, K ⊂ X tập lồi, compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc Khi đó, ánh xạ không giãn U : K → K có điểm bất động Chứng minh: Ta chứng minh định lý bước: Bước 1: Ta chứng minh tồn tập bất biến cực tiểu F K qua U (tập bất biến K qua U nhỏ theo quan hệ bao hàm tập hợp): Đặt ζ họ tập lồi đóng khác rỗng bất biến qua U K Xét ζ với quan hệ bao hàm tập hợp ( A ≤ B ⇔ A ⊂ B ) Do K compact yếu nên họ tập ζ thứ tự toàn phần có giao khác rỗng ( có phần tử nhỏ ) Áp dụng bổ đề Zorn, tồn F tập tối tiểu ζ Bước 2: Ta chứng minh tập F có phần tử: Ta có F tập lồi đóng khác rỗng bất biến qua U Do K có cấu trúc chuẩn tắc, F tập lồi đóng khác rỗng K nên F có cấu trúc chuẩn tắc Theo mệnh đề 4.2.1, FC tập lồi đóng khác rỗng F Ta chứng minh U ( FC ) ⊂ FC Lấy x ∈ FC : Ux − Uy ≤ x − y ≤ r ( F ), ∀y ∈ F ⇒ U ( F ) ⊂ B (Ux, r ( F ) ) Do đó, với y ∈ F ∩ B (Ux, r ( F ) ) Uy ∈ F ,Uy ∈U ( F ) ⊂ B (Ux, r ( F ) ) Suy U ( F ∩ B (Ux, r ( F ) ) ) ⊂ ( F ∩ B (Ux, r ( F ) ) ) Mà tính tối tiểu F nên ta có F ⊂ B (Ux, r ( F ) ) Do x ∈ FC nên x ∈ F , suy Ux ∈ F Nếu Ux ∉ FC tồn Footer Page 77 of 16 Header Page 78 of 16 73 z ∈ F cho Ux − z > r ( F ) Mà F ⊂ B (Ux, r ( F ) ) nên r ( F ) < Ux − z ≤ r ( F ) Mâu thuẫn chứng tỏ Ux ∈ FC Như vậy, U ( FC ) ⊂ FC , lại tính tối tiểu F ta suy F ⊂ FC Nếu diamF > theo mệnh đề 4.2.1 ta có FC ⊂ F , F ≠ FC Mâu thuẫn chứng tỏ diamF = Nghĩa F = { x0 } Khi đó, U ( F ) ⊂ F suy Ux0 = x0 Nghĩa U có điểm bất động K Tính compact yếu, cấu trúc chuẩn tắc thay tính lồi đóng bị chặn không gian không gian lồi Ta có mở rộng định lý Brouwer mở rộng cho không gian Banach lồi đều: Định lý 4.2.2: Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi X Khi đó, ánh xạ không giãn U : C → C có điểm bất động C Chứng minh: Do C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi nên C compact yếu theo định lý 4.1.2, C có cấu trúc chuẩn tắc Áp dụng định lý 4.2.1 ta có điều phải chứng minh Dưới điều kiện compact yếu, cấu trúc chuẩn tắc, ánh xạ không giãn có điểm bất động Tính chất tập điểm bất động trình bày qua định lý sau: Định lý 4.2.3: Cho C tập lồi đóng bị khác rỗng không gian Banach lồi chặt X , U : C → X ánh xạ không giãn Khi đó, FixU tập lồi đóng X Chứng minh: Nếu FixU = ∅ FixU tập lồi đóng Nếu FixU ≠ ∅ Ta chứng minh FixU tập lồi đóng Lấy { xn }n∈N * ⊂ FixU , xn → x, xn = Uxn Do U ánh xạ không giãn nên U liên tục Cho n → ∞ ta có x = Ux Nghĩa x ∈ FixU hay FixU tập đóng Lấy x1 , x2 ∈ FixU , t ∈ ( 0,1) , x = tx1 + (1 − t ) x2 Footer Page 78 of 16 Header Page 79 of 16 74 x1 − x2 ≤ x1 − Ux + Ux − x2 = Ux1 − Ux + Ux − Ux2 ≤ x1 − x + x − x2 = x1 − ( tx1 + (1 − t ) x2 ) + x − ( tx1 + (1 − t ) x2 ) =(1 − t ) x1 − x2 + t x1 − x2 = x1 − x2 Suy x1 − x2 = x1 − Ux + Ux − x2 , x1 − Ux = x1 − x , Ux − x2 = x − x2 , X lồi chặt nên tồn λ > cho: x1 − Ux= λ (Ux − x2 ) x1 + λ x2 ⇒ Ux = 1+ λ x + λ x2 ⇒ x1 − = x1 − x 1+ λ ⇒ λ x1 − x2 =(1 − t ) x1 − x2 1− t ⇒λ = t ⇒ Ux = tx1 + (1 − t ) x2 = x ⇒ x ∈ FixU Vậy FixU lồi Định lý 4.2.4: Cho C tập lồi compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc không gian Banach lồi chặt X , U λ : C → C (λ ∈ Λ ) họ ánh xạ không giãn giao hoán Khi đó, họ U λ : C → C (λ ∈ Λ ) có chung điểm bất động Chứng minh: Với λ ∈ Λ , theo định lý 4.2.1, định lý 4.2.3 ta có FixU λ tập lồi đóng khác rỗng tập compact yếu C Ta chứng minh họ { FixU λ }λ∈Λ có tính giao hữu hạn Chú ý λ ∈ Λ , tập FixU λ compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc ( ) Lấy λ1 , λ2 ∈ Λ , ta chứng minh U λ2 FixU λ1 ⊂ FixU λ1 Thật vậy: Với Footer Page 79 of 16 Header Page 80 of 16 75 x ∈ FixU λ1 ( ) ( ) ⇒ U λ1 U λ2 x = U λ1U λ2 ( x ) = U λ2U λ1 ( x ) = U λ2 U λ1 x = U λ2 ( x ) ⇒ U λ2 x ∈ FixU λ1 ( ) ⇒ U λ2 FixU λ1 ⊂ FixU λ1 Khi đó, xét U λ2 : FixU λ1 → FixU λ1 theo định lý 4.2.1, FixU λ1 ∩ FixU λ2 tập lồi đóng khác rỗng bị chặn nên compact yếu Do đó, với k ∈ N * , k  FixU λ i =1 i ≠ ∅ Vậy {FixU λ }λ∈Λ họ tập đóng yếu, có tính giao hữu hạn tập compact yếu C , suy  FixU λ λ∈Λ điểm bất động chung Footer Page 80 of 16 i ≠ ∅ hay họ U λ : C → C (λ ∈ Λ ) có Header Page 81 of 16 76 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết quả: Làm rõ liên quan khái niệm khả vi Gateaux với khả vi Frechet, khái niệm không gian lồi chặt với không gian lồi Cho thấy tách biệt rõ ràng không gian Banach phản xạ, không gian Banach lồi chặt, không gian Banach lồi đều, không gian Hilbert Chỉ rõ cấu trúc chuẩn tắc, compact yếu khác lớp không gian Từ làm rõ ý nghĩa mở rộng định lý điểm bất động mở rộng từ không gian Hilbert lên lớp không gian Banach Footer Page 81 of 16 Header Page 82 of 16 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO Joseph Diestel (1975), Geometry of Banach Spaces- Selected Topics, SpringerVerlag Ravi P.Agarwal –Donal ORegan -D.R.Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian type Mappings with Application, Springer A Wayne Roberts, Dale E Varberg (1973), Convex Functions, ACADEMIC PRESS, INC Haim Brezis (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations , Springer Bernard Beauzamy (1982), Introduction to Banach Spaces and Their Geometry, North-Holland Mathematics Studies Kazimierz Goebel, W A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics), Cambridge University Press Footer Page 82 of 16 ... Frechet ánh xạ chuẩn Chương trình bày khái niệm, tính chất phân biệt tính lồi chặt lồi không gian Bên cạnh nghiên cứu tính trơn không gian, tính khả vi Frechet ánh xạ chuẩn tính compact yếu không gian. .. VÀ TÍNH LỒI CHẶT CỦA KHÔNG GIAN Chương trình bày khả vi Gateaux xét với ánh xạ chuẩn, tính lồi chặt không gian, mối tương quan ánh xạ tựa, khả vi Gateaux, tính lồi chặt tính trơn không gian Chương... of 16 trưng cấu trúc dựa vào khái niệm lồi đều, lồi chặt không gian Tính lồi đều, lồi chặt không gian lại đặc trưng tính khả vi Frechet, khả vi Gateaux ánh xạ chuẩn Vì vậy, luận văn nghiên cứu