Ánh xạ giả aphin và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CÔNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————————— VŨ ĐÌNH CÔNG ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2014 Lời cám ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình thầy PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tôi xin chân thành cám ơn giúp đỡ thầy giáo, cô giáo tổ Toán giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, người giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu trường Nhân dịp này, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập thực luận văn Do làm quen với công tác nghiên cứu khoa học hạn chế thời gian thực nên luận văn tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, năm 2014 Mục lục Mở đầu Một số kí hiệu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Tích vô hướng chuẩn 1.1.2 Tập đóng, tập mở 10 1.1.3 Tập lồi 10 1.1.4 Tập aphin 10 1.1.5 Gradient 10 1.1.6 Ánh xạ tuyến tính đối xứng lệch 11 ÁNH XẠ GIẢ APHIN VÀ ỨNG DỤNG 2.1 2.2 12 Định nghĩa ánh xạ giả aphin 12 2.1.1 Hàm giả lồi 12 2.1.2 Hàm giả tuyến tính 14 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu 14 2.1.4 Ánh xạ giả aphin 15 Tính chất ánh xạ giả aphin 16 2.2.1 2.2.2 Tính chất sơ cấp ánh xạ giả aphin xác định toàn không gian 23 Tính chất ánh xạ giả aphin không gian 3-chiều 27 2.3 Ứng dụng ánh xạ giả aphin 36 2.3.1 Bất đẳng thức biến phân 36 2.3.2 Nghiệm toán quy 38 2.3.3 Tính giả đơn điệu không gian chiều 44 2.3.4 Tính giả đơn điệu không gian có số chiều lớn Kết luận 46 52 Tài liệu tham khảo 53 Mở đầu Trong Giải tích phi tuyến tính đơn điệu khái niệm bản, có vai trò quan trọng nghiên cứu nhiều lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết tối ưu (xem [5] tài liệu dẫn đó) Nhiều tác giả nước nghiên cứu thu kết quan trọng ánh xạ đơn điệu suy rộng ứng dụng giải tích phi tuyến môn toán ứng dụng (xem [6], [7], [8], tài liệu dẫn đó) Với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học, mối quan hệ với ứng dụng toán giải tích, chọn đề tài "Ánh xạ giả aphin ứng dụng" để làm luận văn tốt nghiệp Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung lớp ánh xạ giả aphin (một lớp ánh xạ đơn điệu đặc biệt) số ứng dụng vào lý thuyết bất đẳng thức biến phân Luận văn gồm chương Chương trình bày kiến thức quen biết dùng chương sau Chương trình bày ánh xạ giả aphin ứng dụng ánh xạ giả aphin vào việc nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân Bảng số kí hiệu R Rn Rn+ T : X → Rm dom(f ) ∇f (x) A∗ x, y xT y ||.|| |x| [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} sp (x1 ; x2 ; ; xk ) sp(S) l(x; y) x + S = {x + y | y ∈ S} R++ = (0; +∞) R++ S = tx | t ∈ R++ ; x ∈ S đường thẳng thực không gian Euclid n - chiều Nón không âm Rn ánh xạ từ X vào Rm miền hữu hiệu f gradient f x liên hợp toán tử A tích vô hướng x y chuẩn không gian Rn trị tuyệt đối số x đoạn thẳng đóng nối x y không gian sinh (x1 ; x2 ; ; xk ) không gian sinh S đường thẳng nối x y tổng véc tơ x với tập S tập số dương tích tập số dương với tập S Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại khái niệm bản, giúp tiếp cận định nghĩa ánh xạ giả aphin Đây sở để nghiên cứu tính chất ánh xạ giả aphin ứng dụng chương sau 1.1 Các khái niệm Tập hợp Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn ∈ R},  x1  x2  x = (x1 , , xn )T :=   xn  với hai phép toán (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T λ(x1 , , xn )T := (λx1 , , λxn )T , λ∈R lập thành không gian véc tơ thực n−chiều Nếu x = (x1 , , xn )T ∈ Rn xi gọi thành phần tọa độ thứ i x Véc tơ không không gian gọi gốc Rn kí hiệu đơn giản 0, = (0, , 0)T Ta gọi hệ e1 = (1, 0, , 0)T , e2 = (0, 1, 0, , 0)T , en = (0, , 0, 1)T sở tắc không gian Rn 1.1.1 Tích vô hướng chuẩn Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng tắc , sau: với x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T ∈ Rn , n x, y = xi yi i=1 Khi với x = (x1 , , xn )T ∈ Rn ta định nghĩa n x := (xi )2 x, x = i=1 gọi chuẩn Euclid véc tơ x Tích vô hướng tắc x y Rn kí hiệu xT y Với tích vô hướng tắc ta có: (i) x, y = y, x (ii ) x + x , y = x, y + x , y (iii) λ x, y = λx, y (iv) x, x ≥ x, x = x = Chuẩn Euclid có tính chất sau: (i) x ≥ ∀x ∈ Rn , x = ⇐⇒ x = (ii) λx = |λ| x (iii) | x, y | ∀λ ∈ R, ∀x, y ∈ Rn x y ∀x, y ∈ Rn , dấu ” = ” xảy x, y phụ thuộc tuyến tính (iv) | x − y | x+y x + y ∀x, y ∈ Rn 1.1.2 Tập đóng, tập mở Cho x0 ∈ Rn , ε > 0, ta gọi tập B(x0 , ε) := {x ∈ Rn : x − x0 < ε} hình cầu mở Rn có tâm x0 , bán kính ε Định nghĩa 1.1 Tập U ⊂ Rn gọi mở với x0 ∈ U , tồn ε > cho B(x0 , ε) ⊂ U Tập F ⊂ Rn gọi đóng U := Rn \ F mở 1.1.3 Tập lồi Định nghĩa 1.2 Cho A tập Rn , A tập lồi ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A Nghĩa x; y ∈ A đoạn thẳng [x; y] ⊂ A Ví dụ 1.1 +) Rn ; ∅; {x} tập lồi +) x : aT x ≤ b - nửa không gian ngăn cách đường thẳng aT x = b tập mở 1.1.4 Tập aphin Định nghĩa 1.3 Cho A tập Rn , A tập aphin ∀x; y ∈ A, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ A Nghĩa x; y ∈ A đường thẳng qua x, y nằm A 1.1.5 Gradient Định nghĩa 1.4 Cho A tập Rn Hàm f : A → R biến x = (x1 ; x2 ; ; xn ) ∈ A thành f (x1 ; x2 ; ; xn ) Khi Gradient 10 Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy,(2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Monica Bianchi, Nicolas Hadjisavvas, Siegfried Schaible (2003)On Pseudomonotone Maps T for which -T is also Pseudomonotone , J Conv Anal., Volume 10, No 1, pp 149-168 [3] J Dugundij, A Granas,(1982), Fixed point Theory, Vol 1, Polish Scientific Publishers, Warsaw [4] Monica Bianchi, Siegfried SchaibleAn Extension of Pseudolinear function and Variational Inequality Problems, J Optim Appl Vol 104, pp 59-71 [5] N Hadjisavvas, S Komlosi and S Schaible,(2005), Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer [6] M S Gowda, (1990), Affine Pseudomonotone Mapping and the Linear Complementarity Problem, SIAM J Matrix Anal Appl Vol 11, No 3, pp 373-380 [7] Pham Duy Khanh,(2012), Partial Solution for an Open Question on Pseudomonotone Variational Inequalities, Appl Anal.Vol 91, No 9, pp.1691–1698 53 [8] Pham Duy Khanh,(2013), On the Tikhonov Regularization of Pseudomonotone Mapping, Optim Lett DOI 10.1007/s 11590-0130659-9 54 [...]...Tài liệu tham khảo [1] Hoàng Tụy,(2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Monica Bianchi, Nicolas Hadjisavvas, Siegfried Schaible (2003)On Pseudomonotone Maps T for which -T is also Pseudomonotone , J Conv Anal., Volume 10, No