Ánh xạ đơn điệu suy rộng và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐỨC MINH THIÊM ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội – 2016 Mục lục Một số kí hiệu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclide 1.2 Tập lồi 1.3 Hàm lồi 1.4 Hàm lồi suy rộng 11 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 2.1 17 17 2.1.1 Ánh xạ đơn điệu đơn điệu chặt 17 2.1.2 Ánh xạ giả đơn điệu 18 2.1.3 Ánh xạ giả đơn điệu chặt 19 2.1.4 Ánh xạ tựa đơn điệu 21 2.1.5 Ánh xạ đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh 23 Các đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng 26 2.2.1 Ánh xạ đơn điệu suy rộng 1−chiều 26 2.2.2 2.2 Các định nghĩa Mối liên hệ ánh xạ tựa đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu 28 2.2.3 Ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi 30 2.2.4 Ánh xạ đơn điệu suy rộng affin 34 Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu 40 3.1 Bất đẳng thức biến phân 40 3.2 Sự tồn nghiệm 43 Tài liệu tham khảo 52 Bảng kí hiệu R đường thẳng thực Rn không gian Euclide n - chiều R = R ∪ {−∞, +∞} tập số thực suy rộng f :X→R ánh xạ từ X vào R int A phần A A bao đóng A dom(f ) miền hữu hiệu f epi(f ) đồ thị f ϕ (x) đạo hàm ϕ x f (x) gradient f x ϕ (x) đạo hàm bậc hai ϕ x ma trận Hessian f x f (x) tích vô hướng Rn , ||.|| chuẩn không gian Rn |x| trị tuyệt đối số x af f (A) bao lồi affin A coA bao lồi A (x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ (0, 1)} đoạn thẳng mở nối x y [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]} đoạn thẳng đóng nối x y L(f, α) = {x ∈ X | f (x) tập mức α} Mở đầu Ánh xạ đơn điệu khái niệm suy rộng tự nhiên hàm số đơn điệu Khái niệm sau đời quan tâm nghiên cứu tính phổ dụng loại toán tử nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt Giải tích phi tuyến Tính đơn điệu sau mở rộng tính đơn điệu suy rộng giả đơn điệu, tựa đơn điệu, v.v Luận văn trình bày cách có hệ thống nội dung ánh xạ đơn điệu suy rộng vài ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Luận văn trình bày gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Tác giả trình bày kiến thức tập lồi, hàm lồi hàm lồi suy rộng Các kiến thức sử dụng để nghiên cứu vấn đề chương Chương 2: Ánh xạ đơn điệu suy rộng Nội dung chương tập trung trình bày định nghĩa ánh xạ đơn điệu đơn điệu chặt, ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ giả đơn điệu chặt, ánh xạ tựa đơn điệu, ánh xạ đơn điệu mạnh giả đơn điệu mạnh Đồng thời nêu đặc trưng ánh xạ đơn điệu suy rộng ánh xạ đơn điệu suy rộng 1− chiều, mối liên hệ ánh xạ tựa đơn điệu ánh xạ giả đơn điệu, ánh xạ đơn điệu suy rộng khả vi, ánh xạ đơn điệu suy rộng affin Chương 3: Sự tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu Ở luận văn trình bày vài ứng dụng vào nghiên cứu tồn nghiệm bất đẳng thức biến phân Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy phản biện dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt thời gian tác giả học tập trường Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Tác giả luận văn Đức Minh Thiêm Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số nội dung tập lồi, hàm lồi hàm lồi suy rộng, bao hàm hàm tựa lồi hàm giả lồi Những nội dung trình bày chương chủ yếu chọn tài liệu [2] 1.1 Không gian Euclide Tập hợp Rn := {x = (x1 , , xn )T : x1 , , xn ∈ R} với hai phép toán (x1 , , xn )T + (y1 , , yn )T := (x1 + y1 , , xn + yn )T λ(x1 , , xn )T := (λx1 , , λxn )T , λ∈R lập thành không gian véc tơ Euclide n−chiều Nếu x = (x1 , , xn )T ∈ Rn xi gọi thành phần tọa độ thứ i x Véc tơ không không gian gọi gốc Rn kí hiệu đơn giản 0, = (0, , 0)T Trong Rn ta định nghĩa tích vô hướng tắc , sau: với x = (x1 , , xn )T , y = (y1 , , yn )T ∈ Rn , n x, y = xi yi i=1 Đôi ta ký hiệu xT y Khi với x = (x1 , , xn )T ∈ Rn ta định nghĩa n x := (xi )2 x, x = i=1 gọi chuẩn Euclide véc tơ x 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.1 Tập X ⊂ Rn gọi lồi, ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R : ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ X Mệnh đề 1.2 Cho Xα ⊂ Rn (α ∈ I) tập lồi, với I tập số Khi X = Xα lồi α∈I Mệnh đề 1.3 Cho tập Xi ⊂ Rn lồi, λi ∈ R (i = 1, 2, , m) Khi λ1 X1 + + λm Xm tập lồi Mệnh đề 1.4 Cho tập Xi ⊂ Rni lồi, (i = 1, 2, , m) Khi tích Đề X1 × × Xm tập lồi Rn1 × × Rnm Định nghĩa 1.5 Cho X ⊂ Rn Giao tất tập lồi chứa X gọi bao lồi (convex hull) tập X, kí hiệu coX Định nghĩa 1.6 Giả sử X ⊂ Rn Giao tất tập lồi đóng chứa X gọi bao lồi đóng tập X kí hiệu coX Mệnh đề 1.7 Cho X ⊂ Rn lồi Khi đó, i) Phần intX bao đóng X X tập lồi; ii) Nếu x1 ∈ intX, x2 ∈ X, {λx1 + (1 − λ)x2 : < x1 ≤ 1} ⊂ intX 1.3 Hàm lồi Định nghĩa 1.8 Cho hàm f : X → R, X ⊂ Rn , R = R ∪ {−∞, +∞}, tập epi(f ) = {(x, α) ∈ X × R| f (x) ≤ α} , dom(f ) = {x ∈ X| f (x) < +∞} gọi đồ thị miền hữu hiệu f Định nghĩa 1.9 Cho X ⊂ Rn tập lồi, f : X → R Hàm f gọi lồi X đồ thị epi(f ) tập lồi Rn × R Nếu dom f = ∅ −∞ < f (x) với x ∈ X ta nói hàm f thường Hàm f gọi lõm X −f hàm lồi X Định lý 1.10 Giả sử f1 , , fm hàm lồi thường X Khi đó, tổng f1 + + fm hàm lồi Ta nhắc lại số đặc trưng tính chất hàm lồi biến khả vi Định lý 1.11 Cho ϕ : (a, b) → R i) Nếu ϕ khả vi (a, b) ϕ lồi (a, b) ϕ không giảm (a, b) ii) Nếu ϕ có đạo hàm bậc hai (a, b) ϕ lồi (a, b) ϕ (t) với t ∈ (a, b) iii) Nếu ϕ lồi [a, b] ϕ liên tục (a, b) Định lý 1.12 Cho X tập lồi không gian Rn f : X → R Khi đó, điều kiện sau tương đương: a) f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ∀λ ∈ [0, 1] , ∀x, y ∈ X b) f (λx + (1 − λ) y) λf (x)+(1 − λ) f (y) ∀λ > 1, ∀x, y ∈ X cho λx + (1 − λ) y ∈ X Tài liệu tham khảo [1] J P Crouzeix (1993), "Pseudomonotone Variational Inequalitiy Problems: Existence of Solutions", Mathematical Programming78, pp 305-314 [2] G Giorgi, A Guerraggio and J Thierfelder (2004), Mathematics of Optimization: Smooth and Nonsmooth Case ,Elsevier B.V Amsterdam The Netherlands [3] P T Harker, J S Pang (1990), "Finite Dimensional Inequality and Nonlinear Complementarity Problems: A Survey of Theory Algorithms and Applications", Mathematical Programming48, pp 161220 [4] S Karamadian and S Schaible (1990), "Seven Kinds of Monotone Maps", J Optim Theory and Applications66, pp 37-46 [5] S Karamadian (1976), "Complementarity problems over cones with monotone and pseudomonotone maps ", J Optim Theory and Applications18, pp 445-454 [6] S Karamadian, S Schaible and J P Crouzeix (1993), "Characterizations of Generalized Monotone Maps", J Optim Theory and Applications76, pp 399-413 [7] B T Kien, J.-C Yao and N D Yen (2008), "On the Solution Existence of Pseudomonotone Variational Inequalities", J Global Optim.41, pp 135-145 52