bậc topo của ánh xạ đơn điệu suy rộng

Bậc topo ban đầu được định nghĩa cho các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều, rồi được mở rộng cho các ánh xạ hoàn toàn liên tục từ một không gian định chuẩn vào chính nó được

Võ Đăng Khoa

ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG

L ỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy

vì sự tận tình hướng dẫn, giúp đỡ của thầy về mặt nghiên cứu cũng như niềm tin để hoàn thành luận văn

Bên cạnh đó, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn đối với các thầy cô trong tổ bộ môn

Giải tích đã có những nhận xét và góp ý để tôi có cơ hội hoàn chỉnh và bảo vệ luận văn tốt nghiệp này

Tôi cũng xin cảm ơn toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, những người đã tận tình giảng dạy, truyền thụ tri

thức quý báu trong suốt thời gian tôi học Cao học

Học viên

Võ Đăng Khoa

Chương 2 BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG0 8

M Ở ĐẦU

Lý thuyết bậc topo được hình thành và phát triển từ những năm 1910 và có

mục đích ban đầu là để nghiên cứu các đường và mặt trong topo Chỉ sau khi bậc topo tìm được ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại điểm bất động thì nó mới được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu một cách tập trung và có hệ thống Ngày nay, bậc topo là công cụ quan trọng bậc nhất trong chứng minh sự tồn tại nghiệm, xem xét cấu trúc tập nghiệm cho nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân phát sinh từ Khoa học tự nhiên cũng như trong nghiên cứu các mô hình Kinh tế-Xã hội

Bậc topo ban đầu được định nghĩa cho các ánh xạ liên tục trong không gian

hữu hạn chiều, rồi được mở rộng cho các ánh xạ hoàn toàn liên tục từ một không gian định chuẩn vào chính nó được khởi xướng bởi J.Leray và J.Schauder Tiếp theo, bậc topo được xây dựng cho một số lớp ánh xạ rộng hơn

Các ánh xạ đơn điệu suy rộng tác động từ không gian Banach X vào không

gian liên hợp của nó *X là sự tổng quát hóa của nhiều ánh xạ vi phân thường

gặp Đặc biệt, việc xây dựng bậc topo cho lớp ánh xạ này đã mở rộng đáng kể

khả năng ứng dụng chúng vào các lớp phương trình đạo hàm riêng Phương pháp

bậc topo cho các ánh xạ loại đơn điệu được bắt đầu từ công trình của F.E.Browder và W.V.Petryshyn về bậc của ánh xạ xấp xỉ riêng (A-proper), công

trình của I.V.Skrypnik về bậc của các ánh xạ lớp ( )+

S và đang được các nhà toán học quan tâm nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày một cách hệ thống và tương đối đầy đủ lý thuyết bậc topo cho các ánh xạ đơn điệu và một số ứng dụng Các

kết quả được tham khảo trong [4]

Luận văn có năm chương

Chương I trình bày định nghĩa và các kết quả cơ bản về bậc topo trong không gian hữu hạn chiều được sử dụng ở các chương sau cũng như cho thấy sự tương đồng về tính chất khi mở rộng khái niệm bậc topo

Chương II nêu định nghĩa bậc topo của ánh xạ lớp α trong không gian khả ly

và không khả ly và giới thiệu bậc topo của các ánh xạ giả đơn điệu

Chương III trình bày các tính chất quan trọng của bậc topo của các ánh xạ đơn điệu suy rộng, nhiều tính chất giống với ánh xạ trong không gian hữu hạn chiều được trình bày ở chương I

Chương IV xem xét các cách tính bậc topo cho trường hợp tại các điểm tới

hạn (đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu sự có nghiệm, ước lượng số nghiệm và các nhánh nghiệm của bài toán phi tuyến) và của ánh xạ thế năng Chương V nghiên cứu các ứng dụng của bậc vào sự tồn tại nghiệm của phương trình và bài toán các điểm phân nhánh

Chương 1 BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG

1.1 Định nghĩa bậc topo của ánh xạ liên tục trong không gian

Giả sử f x( )≠ ∀ ∈ ∂Ω = Ω Ω thì ánh x0, x \ ạ f có một số đặc trưng lấy giá trị

nguyên được gọi là bậc topo của ánh xạ f trên Ω tại điểm 0, kí hiệu deg( f, , 0Ω )

hoặc deg( )f,Ω được xác định duy nhất bởi ba tính chất sau :

(i) Nếu f x( )= − với x x0 x0∈Ω thì deg( )f,Ω = 1

(ii) Nếu Ω Ω là các t1, 2 ập con mở rời nhau của Ω và f x( )≠ ∀ ∈Ω Ω ∪ Ω 0, x \( 1 2)

thì deg( )f,Ω =deg( f,Ω +1) deg( f,Ω 2)

(iii) Nếu ánh xạ h: 0,1[ ]× Ω →  liên tục sao cho n h t x( ), ≠ ∀ ∈0, t [ ]0,1 ,∀ ∈∂Ω x

và f x( )=h( ) ( )0,x ,g x =h( )1,x ,x∈ Ω thì deg( )f,Ω =deg( )g,Ω

Các ánh xạ ,f g được gọi là đồng luân trên Ω và ánh xạ h biểu diễn một đồng luân giữa f và g

Bậc topo của ánh xạ, trong một thuật ngữ khác là sự quay của trường vector,

có thể được định nghĩa bằng những cách khác dựa trên các khái niệm của topo đại

số hoặc bằng các phương pháp giải tích

Ghi chú : Một phương pháp xây dựng bậc topo là dựa trên xấp xỉ ánh xạ f

một xấp xỉ như thế suy ra từ định lý Sard

Với {x x1, 2, ,x k}={x∈ Ω:g x( )=0} ta định nghĩa bậc topo của f như sau

và tập Ω =' {x∈Ω:x n =0} Khi đó deg( )f,Ω =deg(f ',Ω v') ới 1

' : ' n

f Ω →  −xác định bởi f '(x x1, 2, ,x n−1)=( f x x1( 1, 2, ,x n−1, 0 , ,) f n−1(x x1, 2, ,x n−1, 0) )

Định nghĩa 1.4

Một miền liên thông, bị chặn Ω trong n

 được gọi là miền Jordan nếu

xạ f và g đồng luân với nhau trên Ω

B ổ đề 1.6

Cho 0∈Ω và : n

f Ω →  liên tục thỏa mãn ∀ ∈ ∂Ωx ,f x( )≠0, f x( )⋅ ≥ x 0(tích vô hướng) Khi đó deg( )f,Ω = 1

B ổ đề 1.7

Với B(0,R)={x∈n: x ≤R} cho ánh xạ liên tục f B: (0,R)→  thỏa nmãn f x( )≠0, f ( )− = −x f x( ),∀ ∈x S(0,R)={x∈n: x =R}thì deg( f B, (0,R) )

là một số lẻ

Ghi chú : Kết luận của bổ đề 1.7 vẫn còn đúng nếu ta thay điều kiện lẻ trên

mặt cầu f ( )− = −x f x x( ), ∈S(0,R) bằng điều kiện ( )

Định lý 1.8

Cho Ω là tập mở bị chặn trong  và ánh xạ liên tục :n n

f Ω →  thỏa mãn điều kiện f x( )≠ ∀ ∈∂Ω và 0, x deg( )f,Ω ≠0 Khi đó phương trình f x( )= có 0nghiệm trong Ω

Định lý trên được suy trực tiếp từ bổ đề sau đây

B ổ đề 1.9

Cho Ω là tập mở bị chặn trong  và ánh xạ liên tục :n n

f Ω →  thỏa mãn điều kiện f x( )≠ ∀ ∈ Ω0, x Khi đó deg( )f,Ω = 0

Ch ứng minh

Với 'Ω là miền có bán kính đủ nhỏ sao cho với x x, ∈Ω '

( )1 ( )2 1 2 ( )

1min

Chương 2 BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN

ĐIỆU SUY RỘNG

2.1 Bậc topo của ánh xạ trong không gian khả ly

Trong phần này, X là không gian Banach thực phản xạ khả ly và * X là

không gian liên hợp của nó Kí hiệu sự hội tụ mạnh bởi dấu → và sự hội tụ yếu bởi

dấu  Với x∈X f, ∈X* bất kì, sự tác động của hàm f lên phần tử x được ký

hiệu là ,f x

2.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1

Cho X là không gian Banach, Ω ⊂ X và toán tử :A Ω → X*

A được gọi là ánh xạ đơn điệu trên Ω nếu Au−Av u, − ≥ ∀v 0, u v, ∈Ω

A được gọi là ánh xạ thuộc lớp ( )S+ trên Ω nếu với dãy

Ghi chú: Dưới điều kiện liên tục yếu, các ánh xạ đơn điệu, ánh xạ thuộc lớp

( )S+ đều là giả đơn điệu

Định nghĩa 2.2

Cho F ⊂ X và toán tử :A F → X * Ta nói A thỏa mãn điều kiện α0( )F

nếu với bất kỳ dãy { }u n ⊂F u, nu Au0, n  và 0 lim n, n 0 0

Cho X là không gian Banach, Ω ⊂ X và toán tử :A Ω → X*

A được gọi là hemi-liên tục trên Ω nếu với mọi u∈ Ω, ,v w ∈ và t ∈ X  sao cho u+ ∈Ω ta có tv ( )

Cho D t ập con mở bị chặn của X Với F D⊂ , ta kí hiệu A D F 0( , ) (tương ứng A D F ) là t( , ) ập tất cả các ánh xạ demi-liên tục bị chặn :A D→ X * thỏa mãn điều kiện α0( )F (tương ứng α( )F )

Nếu F D= thì viết A D0( ) ( ),A D thay cho A D D , 0( ), A D D ( ),

2.1.2 B ậc topo của ánh xạ lớp α

D là t ập con mở bị chặn của X Cho { }v i ,i =1, 2, là một hệ toàn vẹn bất kì

của không gian X (nghĩa là không gian con sinh bởi các v là trù m i ật) và giả sử

rằng với mọi n thì hệ {v v1, 2, ,v n} độc lập tuyến tính Ký hiệu F là không gian n

con sinh bởi {v v1, 2, ,v n} Với mỗi n, kí hiệu D n = ∩ , và gD F n ọi xấp xỉ hữu hạn

chiều của ánh xạ A là ánh xạ A n:D n →F n xác định như sau

Cho A D: → X* thỏa mãn A∈A D D0( ,∂ ) và Au≠ ∀ ∈ ∂0, u D Khi đó tồn

tại số N sao cho với mọi n N≥ ta có :

Vì { }u k ⊂ ∂ bD ị chặn trong không gian X Banach phản xạ nên nó có dãy con

hội tụ yếu Có thể coi u k  u0

Với v X∈ bất kì thì có n k đủ lớn để v∈F n k nên lim k, 0

k Au v

→∞ = Suy ra 0

Vậy có u0∈∂ D để Au0 = (mâu thu0 ẫn với giả thiết Au≠ ∀ ∈ ∂ ) 0, u D

ii) Điều vừa chứng minh ở i) bảo đảm rằng deg(A D n, ) xác định với n đủ lớn

Ta chứng minh deg(A D không ph n, ) ụ thuộc n với n đủ lớn bằng cách dùng

Theo định lý Leray-Schauder thì deg(A D n, n)=deg(A n−1,D n−1) khi n đủ lớn

Ta chỉ còn phải chứng minh deg(A D n, n)=deg(A D n, n) với n đủ lớn

Vậy có u0∈∂ D để Au0 = (mâu thu0 ẫn với giả thiết Au≠ ∀ ∈ ∂ ) 0, u D

Do đó deg(A D n, n)=deg(A D n, n)=deg(A n−1,D n−1)

Vậy deg(A D không ph n, n) ụ thuộc n khi n đủ lớn ■

Ta có thể giả sử với mỗi n thì hệ {v1, ,v v n, ' , , '1 v n}độc lập tuyến tính Nếu không thì có hệ { }v sao cho i {v1, ,v v n, , ,1 v n}và {v' , , ' , , ,1 v n v1 v n} đều độc lập tuyến tính Và từ D v{ }i =D v{ }i =D v{ }'i ta có điều phải chứng minh

Gọi L là không gian sinh b 2n ởi hệ {v1, ,v v n, ' , , '1 v n} và với mỗi n và với

(do A u v n , i không đồng thời bằng 0 vì A u n ≠ ) 0

{ }u k ⊂ ∂ bD ị chặn, X phản xạ nên nó có dãy con hội tụ yếu { }t k ⊂[ ]0,1 bị

chặn nên có dãy con hội tụ Có thể coi u u t, →t

Lấy w k∈F n k sao cho w k → u0

Vậy có u0∈∂ D để Au0 = (mâu thu0 ẫn với giả thiết Au≠ ∀ ∈ ∂ ) 0, u D

Từ tính chất bất biến đồng luân của bậc topo của ánh xạ hữu hạn chiều nên ta

có deg(A2 ,0n ,E n)=deg(A2 ,1n ,E n)

* Khi n đủ lớn thì deg(A2 ,0n ,E n)=deg(A D n, n)

Do đó deg(A D n, n)=deg(A' ,n D'n) khi n đủ lớn

Mà { }i lim deg( n, n), { }'i lim deg( ' ,n 'n)

Cho A D: → X* thỏa mãn A∈A D D0( ,∂ ) và Au≠ ∀ ∈ ∂ B0, u D ậc topo của

A trên t ập D tương ứng với điểm 0∈X*, kí hiệu là deg( )A D , , được định nghĩa là

2.2 B ậc topo của ánh xạ trong không gian không khả ly

Trong phần trước để xây dựng bậc topo của ánh xạ lớp α ta đã sử dụng sự tồn

tại của một dãy toàn vẹn đếm được trong không gian X Tuy nhiên với toán tử A

thỏa mãn các điều kiện của của phần trên ta có thể xây dựng định nghĩa bậc topo

của nó mà không cần tính khả ly của X

Trong phần này, X là không gian Banach thực phản xạ, D là tập con mở bị

chặn của X Ta ký hiệu F X là t( ) ập tất cả các không gian con hữu hạn chiều của

X Với F∈F X( ) và {v v1, 2, ,v r} là cơ sở của F ta xác định ánh xạ hữu hạn

Z ≠ ∅ (vô lý) Vậy F th0 ỏa kết luận (i) của định lý

ii)Với F 0 ở (i), lấy F∈F X( ),F ⊃ F0

Gọi {v1, , ,v w r 1, ,w s} là cơ sở của F trong đó {v1, ,v r} là cơ sở của F 0

Do đó chỉ cần chứng minh deg(A D F, F)=deg(A D F, F) bằng đồng luân Ta

∀ ∈∂ Với F 0 xác định như ở định lý 2.8 thì bậc topo của ánh xạ A trên tập hợp

D tương ứng với điểm 0∈X *, kí hiệu deg(A D, , 0) hoặc deg( )A D , được xác định là deg( )A D, =deg(A F0,D F0)

2.2.2 B ậc topo của ánh xạ giả đơn điệu

Bậc topo cũng được định nghĩa dưới điều kiện yếu hơn của ánh xạ A như điều

kiện giả đơn điệu

< < ta chứng minh deg(εA0+A D, ) tồn tại +A demi-liên tục : { }u n ⊂D u, n →u0∈ thì D

< < ta chứng minh deg(εA0+A D, ) không phụ thuộc vào ε Do

→ + không phụ thuộc vào việc chọn A 0 ban đầu

Giả sử có A có tính ch'0 ất giống A G0 ọi sup '0 *

< < , A=εA0+A A, '=εA'0+ và A A F0, 'A F0 là các xấp xỉ

hữu hạn chiều của , 'A A trên F 0 Khi đó để chứng minh deg( )A D, =deg(A D', ) ta

chỉ cần chứng minh deg(A F0,D F0)=deg(A D', F0)

Cho D là tập con bị chặn của X Ánh xạ : A D→ X* giả đơn điệu demi-liên

tục và 0∉A( )∂ Bậc topo của ánh xạ A trên tập hợp D tương ứng với điểm D

0∈X*, kí hiệu deg(A D, , 0) hoặc deg( )A D, , được xác định là

Bây giờ ta xét đến vấn đề khi nào thì ánh xạ A t0 ồn tại

Nếu , *X X là các không gian l ồi đều thì tồn tại ánh xạ J liên tục thỏa mãn

điều kiện α( )D (thuộc lớp ( )S+ ) với D X⊂ bất kì

Ch ứng minh

Xét ánh xạ :J X → X * thỏa mãn điều kiện 2

Ju = u Ju u = u Ánh xạ này liên tục

Ta kiểm tra J thỏa mãn điều kiện α( )D

Giả sử Ju nh u, n → p Khi đó

2 2

Chương 3 TÍNH CHẤT CỦA BẬC TOPO CỦA

Trong chương này, X là không gian Banach phản xạ khả ly và D là tập mở

∀ ∈∂ Các ánh xạ ', ''A A được gọi là đồng luân với nhau trên D nếu tồn tại họ

các ánh xạ A D t : → X*,t∈[ ]0,1 thỏa mãn điều kiện 0( )( )

t

D

α ∂ sao cho (i) A u t ≠ ∀ ∈∂ ∀ ∈0, u D, t [ ]0,1 ,A0 =A A', 1= A''

∀ ∈∂ Các ánh xạ ', ''A A đồng luân với nhau trên D

Khi đó deg(A D', )=deg(A D'', )

Ch ứng minh

Gọi {v v1, 2, } là hệ trù mật đếm được của không gian X sao cho với mỗi n

thì hệ {v v1, 2, ,v n}độc lập tuyến tính và A D t : → X*,t∈[ ]0,1 là họ đồng luân giữa '

A và A ''

Với mỗi n, gọi F là không gian con sinh b n ởi {v v1, 2, ,v n}, D n = ∩ xét D F n

xấp xỉ hữu hạn chiều của A là ánh x t ạ A t n, :D n →F n, ,

{ }u k ⊂ ∂ bị chặn trong không gian X phản xạ nên có dãy con hội tụ yếu D

{ }t k ⊂[ ]0,1 bị chặn nên có dãy con hội tụ

Khi n đủ lớn thì A t n, là đồng luân giữa A và 0,n A Nên theo tính ch 1,n ất bất

biến qua đồng luân của bậc topo của ánh xạ hữu hạn chiều thì

( 0, ) ( 1, )

deg A n,D n =deg A n,D n

Cho n→ ∞ theo định nghĩa bậc topo của ánh xạ trong không gian phản xạ

khả ly ta được deg(A D', )=deg(A D'', ) ■

Định lý 3.4 (Hopf)

Giả sử , *X X là các không gian l ồi đều, D là một tập mở lồi bị chặn trong

X A A', '' :D→ X* là các ánh xạ thuộc lớp A D D( ,∂ ) sao cho A u A u' , '' ≠0,

u D

∀ ∈∂ và deg(A D', )=deg(A D'', ) Khi đó 'A và A '' đồng luân trên D

Chú ý 3.5

Giả thiết về tính lồi đều của X và * X trong định lý 3.4 có thể được thay thế

bằng sự tồn tại của một ánh xạ demi-liên tục :A D→ X* thỏa mãn điều kiện

α ∂ và Au u, > ∀ ≠ Khi đó chứng minh vẫn được giữ nguyên nhưng 0, u 0thay ánh xạ J bởi ánh xạ A

Cho { }v i ,i =1, 2, là một hệ trù mật đếm được của không gian X và giả sử

rằng với mọi n thì hệ {v v1, 2, ,v n} độc lập tuyến tính Ký hiệu F là không gian n

con sinh bởi {v v1, 2, ,v n} Với mỗi n, kí hiệu D n = ∩ , và gD F n ọi xấp xỉ hữu hạn

chiều của ánh xạ A là ánh xạ A n:D n →F n xác định như sau

Vì { }u k ⊂ D n k bị chặn trong không gian X Banach phản xạ nên nó có dãy

con hội tụ yếu Có thể coi u k  u0

Với v X∈ bất kì thì có n k đủ lớn để v∈F n k nên lim k, 0

k Au v

→∞ = Suy ra 0

Theo bổ đề 1.9 thì deg(A D n, )= khi 0 n đủ lớn

Do đó deg( ), lim deg( n, ) 0

deg A D, ≠ 0 thì phương trình Au = có nghiệm trong D 0

Nhiều ứng dụng của bậc topo trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình phi tuyến và các bài toán giá trị biên phi tuyến đều dựa vào hệ quả 3.7, định lý 3.3 và việc kiểm tra xem bậc topo có khác không hay không Sau đây ta sẽ nêu ra hai tiêu chuẩn thường được sử dụng

Định lý 3.8

Cho A D: → X* là ánh xạ thuộc lớp A D D0( ,∂ Giả sử 0) ∈D\∂ và D

0, , 0,

Au≠ Au u ≥ ∀ ∈∂ Khi đó u D deg( )A D, = 1

*Họ này thỏa điều kiện (i) A u t ≠ ∀ ∈0, t [ ]0,1 ,∀ ∈∂ u B

Giả sử trái lại, có t0∈[ ]0,1 ,u0∈∂Bđể A u t0 0 = hay 0 Au0 =t A0 ( )−u0

Au t A u A u

− − (trái giả thiết)

*Họ này thỏa điều kiện (ii)

Lấy { }u n ⊂ B t,{ }n ⊂[ ]0,1 ,u n →u t0, n → vì A demi-liên t t0 ục nên v X∀ ∈

Xấp xỉ hữu hạn chiều của A là ' A' :n B n → F n với B n = ∩ và B F n

A u ≠ ∀ ∈∂ khi n u B đủ lớn nên theo bổ đề 1.7 thì deg(A' ,n B là s) ố lẻ

Do định nghĩa bậc topo ta có deg( ), deg( )', lim deg( ' ,n )

Chương 4 CÁCH TÍNH BẬC TOPO CHO MỘT

4.1 Chỉ số tại các điểm tới hạn

Cho D là m ột tập mở, bị chặn trong không gian Banach phản xạ khả ly X và

A D→ X là ánh xạ thuộc lớp A D 0( )

Định nghĩa 4.1

Điểm u0∈ D được gọi là điểm tới hạn của ánh xạ A nếu Au0 = 0

Điểm tới hạn u c0 ủa ánh xạ A được gọi là cô lập nếu tồn tại quả cầu đóng

B u r = u∈X u−u ≤r ⊂ không chD ứa bất cứ một điềm tới hạn nào khác

của A ngoài u 0

Ghi chú

Nếu 0< ≤ thì r r0 deg(A B u r, ( 0, 0) )=deg(A B u r, ( 0, ) )

Thật vậy với A là x n ấp xỉ hữu hạn chiều của A và đặt