BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG

Header Page of 50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Đăng Khoa BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Footer Page of 50 Header Page of 50 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Võ Đăng Khoa BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh - 2013 Footer Page of 50 Header Page of 50 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ thầy mặt nghiên cứu niềm tin để hoàn thành luận văn Bên cạnh đó, xin bày tỏ lòng cảm ơn thầy cô tổ môn Giải tích có nhận xét góp ý để có hội hoàn chỉnh bảo vệ luận văn tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn toàn thể thầy cô khoa Toán-Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, người tận tình giảng dạy, truyền thụ tri thức quý báu suốt thời gian học Cao học Học viên Võ Đăng Khoa Footer Page of 50 Header Page of 50 MỤC LỤC MỞ ĐẦU T 0T Chương BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN T CHIỀU 0T 1.1 Định nghĩa bậc topo ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều .3 T T 1.2 Các tính chất .4 T 0T Chương BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG T T 2.1 Bậc topo ánh xạ không gian khả ly T T 2.2 Bậc topo ánh xạ không gian không khả ly 17 T T Chương TÍNH CHẤT CỦA BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY T RỘNG .27 0T Chương CÁCH TÍNH BẬC TOPO CHO MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP 35 T 4.1 Chỉ số điểm tới hạn .35 T T 4.2 Bậc topo ánh xạ 49 T T Chương ÁP DỤNG BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ VÀO SỰ CÓ NGHIỆM T CỦA PHƯƠNG TRÌNH 54 0T KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 68 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 T Footer Page of 50 0T Header Page of 50 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa n Không gian số gồm n số thực Ω Bao đóng mạnh Ω σ Ω Bao đóng yếu Ω ∂Ω Biên Ω B ( x, R ) Quả cầu mở tâm x bán kính R S ( x, R ) Mặt cầu mở tâm x bán kính R X* Không gian liên hợp X x Chuẩn x x⋅ y Tích vô hướng x y → Hội tụ mạnh  Hội tụ yếu lim, lim,lim Giới hạn, giới hạn trên, giới hạn f ( x ) , max f ( x ) ,inf f ( x ) ,sup f ( x ) Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, cận đúng, cận f Ω Hàm dấu x Bằng x > , x = , −1 x < x∈Ω x∈Ω x∈Ω x∈Ω sign ( x ) ( deg f , Ω Footer Page of 50 ) Bậc topo f Ω f ,x Tác động f lên x ind ( A, u ) Chỉ số ánh xạ A điểm tới hạn cô lập u Header Page of 50 MỞ ĐẦU Lý thuyết bậc topo hình thành phát triển từ năm 1910 có mục đích ban đầu để nghiên cứu đường mặt topo Chỉ sau bậc topo tìm ứng dụng chứng minh tồn điểm bất động nhà toán học quan tâm nghiên cứu cách tập trung có hệ thống Ngày nay, bậc topo công cụ quan trọng bậc chứng minh tồn nghiệm, xem xét cấu trúc tập nghiệm cho nhiều lớp phương trình vi phân, tích phân phát sinh từ Khoa học tự nhiên nghiên cứu mô hình Kinh tế-Xã hội Bậc topo ban đầu định nghĩa cho ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều, mở rộng cho ánh xạ hoàn toàn liên tục từ không gian định chuẩn vào khởi xướng J.Leray J.Schauder Tiếp theo, bậc topo xây dựng cho số lớp ánh xạ rộng Các ánh xạ đơn điệu suy rộng tác động từ không gian Banach X vào không gian liên hợp X * tổng quát hóa nhiều ánh xạ vi phân thường gặp Đặc biệt, việc xây dựng bậc topo cho lớp ánh xạ mở rộng đáng kể khả ứng dụng chúng vào lớp phương trình đạo hàm riêng Phương pháp bậc topo cho ánh xạ loại đơn điệu công trình F.E.Browder W.V.Petryshyn bậc ánh xạ xấp xỉ riêng (A-proper), công trình I.V.Skrypnik bậc ánh xạ lớp ( S + ) nhà toán học quan tâm nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày cách hệ thống tương đối đầy đủ lý thuyết bậc topo cho ánh xạ đơn điệu số ứng dụng Các kết tham khảo [4] Footer Page of 50 Header Page of 50 Luận văn có năm chương Chương I trình bày định nghĩa kết bậc topo không gian hữu hạn chiều sử dụng chương sau cho thấy tương đồng tính chất mở rộng khái niệm bậc topo Chương II nêu định nghĩa bậc topo ánh xạ lớp α không gian khả ly không khả ly giới thiệu bậc topo ánh xạ giả đơn điệu Chương III trình bày tính chất quan trọng bậc topo ánh xạ đơn điệu suy rộng, nhiều tính chất giống với ánh xạ không gian hữu hạn chiều trình bày chương I Chương IV xem xét cách tính bậc topo cho trường hợp điểm tới hạn (đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu có nghiệm, ước lượng số nghiệm nhánh nghiệm toán phi tuyến) ánh xạ Chương V nghiên cứu ứng dụng bậc vào tồn nghiệm phương trình toán điểm phân nhánh Footer Page of 50 Header Page of 50 Chương BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 1.1 Định nghĩa bậc topo ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều Định nghĩa 1.1 Cho  n không gian n − chiều Ω tập mở bị chặn  n Ánh xạ f : Ω →  n liên tục, f ( x ) = ( f1 ( x1 , x2 , , xn ) , , f n ( x1 , x2 , , xn ) ) Giả sử f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω = Ω \ Ω ánh xạ f có số đặc trưng lấy giá trị ( nguyên gọi bậc topo ánh xạ f Ω điểm 0, kí hiệu deg f , Ω,0 ( ) ) deg f , Ω xác định ba tính chất sau : ( ) (i) Nếu f ( x )= x − x0 với x0 ∈ Ω deg f , Ω =1 (ii) Nếu Ω1 , Ω tập mở rời Ω f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ Ω \ ( Ω1 ∪ Ω ) ( ) ( ) ( ) deg f= , Ω deg f , Ω1 + deg f , Ω (iii) Nếu ánh xạ h : [ 0,1] × Ω →  n liên tục cho h ( t , x ) ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀x ∈ ∂Ω ( ) ( ) và= f ( x ) h ( 0, x= , Ω deg g , Ω ) , g ( x ) h (1, x ) , x ∈ Ω deg f= Các ánh xạ f , g gọi đồng luân Ω ánh xạ h biểu diễn đồng luân f g Bậc topo ánh xạ, thuật ngữ khác quay trường vector, định nghĩa cách khác dựa khái niệm topo đại số phương pháp giải tích Footer Page of 50 Header Page of 50 Ghi : Một phương pháp xây dựng bậc topo dựa xấp xỉ ánh xạ f ánh xạ khả vi liên tục g : Ω →  n cho max f ( x ) − g ( x ) < f ( x ) x∈∂Ω x∈∂Ω điểm x ∈ Ω cho g ( x ) = Jacobian Dg ( x ) ≠ Sự tồn Dx xấp xỉ suy từ định lý Sard Với { x1 , x2 , , xk }= ( ) ( { x ∈ Ω : g ( x=) 0} ta định nghĩa bậc topo ) ∑ sign deg f= , Ω deg g= ,Ω k i =1 f sau Dg ( xi ) Vế phải đẳng thức Dx g ( x ) ≠ Ω Định nghĩa 1.2 Cho  n không gian n − chiều Ω tập mở bị chặn  n Ánh xạ f : Ω →  n liên tục, f ( x ) = ( f1 ( x1 , x2 , , xn ) , , f n ( x1 , x2 , , xn ) ) Giả sử f ( x ) ≠ y, ∀x ∈ ∂Ω = Ω \ Ω , ta định nghĩa bậc topo ánh xạ f Ω điểm ( ) ( ) y ∈  n , kí hiệu deg f , Ω, y , xác định đẳng thức ( ) deg f , Ω,= y deg f − y, Ω 1.2 Các tính chất Các kết sau thường sử dụng để nghiên cứu tính chất bậc topo ánh xạ không gian Banach Bổ đề 1.3 (Leray-Schauder) Cho Ω tập mở bị chặn  n Ánh xạ liên tục f : Ω →  n thỏa mãn = f n ( x ) f= xn với x n ( x1 , x2 , , xn )= Footer Page of 50 ( x1 , x2 , , xn ) ∈ Ω Giả sử f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω Header Page 10 of 50 tập Ω=' f , Ω) { x ∈ Ω : xn= 0} Khi deg ( = ( ) deg f ', Ω ' với f ' : Ω ' →  n −1 xác định f ' ( x1 , x2 , , xn −1 ) = ( f1 ( x1 , x2 , , xn −1 ,0 ) , , f n −1 ( x1 , x2 , , xn −1 ,0 ) ) Định nghĩa 1.4 Một miền liên thông, bị chặn Ω  n gọi miền Jordan  n \ Ω liên thông Định lý 1.5 (Hopf) Cho Ω miền Jordan  n f , g : Ω →  n ánh xạ liên tục thỏa ( ) ( ) mãn điều kiện f ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ∂Ω deg f= , Ω deg g , Ω Khi ánh xạ f g đồng luân với Ω Bổ đề 1.6 Cho ∈ Ω f : Ω →  n liên tục thỏa mãn ∀x ∈ ∂Ω, f ( x ) ≠ 0, f ( x ) ⋅ x ≥ ( ) (tích vô hướng) Khi deg f , Ω =1 Chứng minh Xét ánh xạ liên tục h : [ 0,1] × Ω →  n , h ( t , x )= tx + (1 − t ) f ( x ) x t x + (1 − t ) f ( x ) ⋅ x > Vì ∈ Ω , với x ∈ ∂Ω, t ∈ ( 0,1] ta có h ( t , x ) ⋅= Suy h ( t , x ) ≠ t 0, x ∈ ∂Ω h (= Với= 0, x ) f ( x ) ≠ Do ( tính ) bất ( biến ) deg f= , Ω deg Id, = Ω 1■ Footer Page 10 of 50 bậc topo qua phép đồng luân nên Header Page 60 of 50 55 tập bị chặn B ⊂ X At u liên tục theo t , liên tục theo u ∈ B Giả sử điều kiện (i) ba điều kiện (ii), (iii), (iv) thỏa mãn (i) u h, t ∈ [ 0,1] kéo theo Tồn hàm liên tục R : X →  cho At= u < R (h) A0u , u = +∞ u (ii) Toán tử A0 cưỡng bức, tức lim (iii) Toán tử A0 lẻ, tức A0 ( −u ) =− A0u , ∀u ∈ X (iv)  A u, u X , X * không gian lồi lim  A0u * + u →∞ u  u →∞   = +∞  Khi đó, phương trình A1u = h có nghiệm với h ∈ X * Chứng minh a) Trường hợp (i) (ii) Lấy h ∈ X * đặt R = R ( h ) Chọn R1 > R đủ lớn để A0u , u > h * với u u = R1 A0 − h đồng luân với A0 BR1 Thật có t0 ∈ [ 0,1] , u0 = R1 để t0 ( A0u0 − h ) + (1 − t0 ) A0u0= A0u0 − t0 h= t0 h * ≥ t0 ( h, u A u, u t = > h * (vô lý) Các điều kiện α 0( ) ∂BR1 u0 u ) (ii) đồng luân A0u − th kiểm tra dễ dàng ( ) (i ) ( ) ( ) Vì deg A0 − h, BR = deg A0 − h, BR1 = deg A0 , BR1 = (do định lý 3.8 với u = R1 A0u , u > h * u ≥ ) Kết hợp với định lý 5.1 ta có kết luận định lý 5.2 b) Trường hợp (i) (iii) Lấy h ∈ X * đặt R = R ( h ) Với u = R Footer Page 60 of 50 A ( −u ) A0u Au ≠ = − A0u * A0u * A0 ( −u ) * Header Page 61 of 50 56 ( ) Do theo định lý 3.9 deg A0 , BR số lẻ nên khác ( ) A0 − h đồng luân với A0 BR nên deg A0 − h, BR số lẻ nên khác Do kết hợp với định lý 5.1 ta có kết luận định lý 5.2 c) Trường hợp (i) (iv) ( ) Lấy h ∈ X * đặt R = R ( h ) Ta chứng minh deg A0 − h, BR ≠ Chọn R1 > R đủ lớn để A0u * + A0u , u > h * với u = R1 u = Ju * Ta có với ánh xạ J : X → X * thỏa mãn u= , Ju , u u A0 − h đồng luân với J BR1 Thật vậy, ta kiểm tra t ( A0u − h ) + (1 − t ) Ju ≠ 0, ∀u ∈ ∂BR1 , ∀t ∈ [ 0,1] Giả sử trái lại, tồn t0 ∈ [ 0,1] , u0 = R1 cho t0 ( A0u0 − h ) + (1 − t0 ) Ju0 = Khi t0 > u0 t0 = 0 = Ju0= * u= R1 (vô lý) Và h, u h, u − t0 Ju0 , u0 − t0 , A0u0 , u0 = − + = − u0 + t0 u0 u0 t0 u0 − t0 − t0 1− t − A0u0 * = Ju0 + h * ≤ Ju0 * + h * = u0 + h * t0 t0 t0 Từ A0u0 * + u0 A0u0 , u0 ≤ h * (mâu thuẫn với cách chọn R1 ) ( Các điều kiện α 0(t ) ∂BR1 ) (ii) đồng luân t ( A0u − h ) + (1 − t ) Ju kiểm tra dễ dàng ( ) (i ) ( ) ( ) Vì deg A0 − h, BR = deg A0 − h, BR1 = deg J , BR1 = (do định lý 3.8 u = R1 ≠ 0, Ju , u = u = R12 > ) ■ với u = R1 Ju * = Footer Page 61 of 50 Header Page 62 of 50 57 Các định lý tồn nghiệm với điều kiện dạng (iv) nghiên cứu tác Browder, Fitzpatrick, Petryshyn…và có kết tổng quát việc sử dụng kết Asplund Kadec, tương ứng với việc chọn chuẩn X để X , X * không gian lồi địa phương Ta nghiên cứu kết khác từ định lý 5.1 hữu dụng việc chứng minh tính giải toán biên Định nghĩa 5.3 Một toán tử A : X → X * gọi tiệm cận biểu diễn dạng = A A0 + A1 , A0 toán tử dương bậc k , tức A0 ( tu ) = t k A0u với t > , lim A1u * u →∞ u k = Định nghĩa 5.4 Toán tử tiệm cận A gọi vô cực k > phương trình A0u = có nghiệm Định lý 5.5 Cho A : X → X * toán tử tiệm cận nhất, vô cực Giả sử A, A0 thuộc lớp A ( X ) ind ( A0 ,0 ) ≠ Khi phương trình Au = h có nghiệm với h ∈ X * Chứng minh Trước tiên ta chứng minh d= inf { A0u *, u= 1} > un 1, A0un → X * Giả sử trái lại d = Khi có dãy {un } cho= Vì dãy {un } bị chặn không gian Banach phản xạ nên có dãy hội tụ, coi un  u0 Footer Page 62 of 50 Header Page 63 of 50 58 Có lim A0un , un − u0 ≤ (vì A0un → ) Mà A0 thỏa mãn điều kiện α ( X ) n →∞ u0 1,= A0u0 Điều mâu thuẫn với tính vô cực nên un → u0 Do đó= ánh xạ A Với h ∈ X * bất kì, tính tiệm cận A chọn R đủ lớn để  A u *  h * + sup { A1u *, u = R} dR k ≥ h *, d ≥ sup  k , u = R  Nên dR k ≥ u   ( ) Ta chứng minh định lý 5.1 áp dụng với họ ánh xạ At với At u =A0u + t ( A1u − h ) , u ∈ BR , t ∈ [ 0,1] Điều kiện At u ≠ 0, ∀u ∈ ∂BR , ∀t ∈ [ 0,1] suy từ bất đẳng thức At u * ≥ A0u * − A1u * − h * ≥ dR k − A1u * − h * ≥ ( k dR ) Điều kiện deg A0 , BR ≠ bảo đảm giả thiết ind ( A0 ,0 ) ≠ Bây ta kiểm tra điều kiện α 0(t ) ( ∂BR ) Lấy {un } ⊂ ∂BR , {tn } ⊂ [ 0,1] , un  u0 , tn → t0 , Atn un  lim Atn un , un − u0 = n →∞ Suy lim (1 − t0 ) A0un , un − u0 + t0 Aun , un − u0  = Mà A0 , A thuộc lớp n →∞ A ( X ) nên un → u0 Áp dụng định lý 5.1 ta phương trình Au = h có nghiệm ■ Định nghĩa 5.6 Cho D tập mở không gian Banach X Ta nói toán tử A xác định D thỏa mãn điều kiện α địa phương 1-1 địa phương với u0 ∈ D có Footer Page 63 of 50 Header Page 64 of 50 59 cầu mở Br0 ( u0 ) cho Br0 ( u0 ) ⊂ D A 1-1 Br0 ( u0 ) thỏa mãn ( ) điều kiện α Br0 ( u0 ) Định lý 5.7 Cho D tập mở không gian Banach phản xạ khả ly X toán tử A : D → X * liên tục, 1-1 địa phương, thỏa mãn điều kiện α địa phương Khi tập A ( D ) tập mở X * Chứng minh ( ) Ta chứng minh với u0 ∈ D tồn r0 > cho A Br0 ( u0 ) chứa lân cận Au0 Số r0 chọn cho Br0 ( u0 ) ⊂ D ánh xạ A 1-1 ( ) Br0 ( u0 ) , thỏa mãn điều kiện α Br0 ( u0 ) Ta xem = u0 0,= Au0 chứng minh tồn δ > cho Au * ≥ δ với r0 Dãy {un } bị chặn u ∈ ∂Br0 Giả sử trái lại, có dãy {un } mà Aun → 0, un = không gian Banach phản xạ nên có dãy hội tụ, coi un  u Mà Br0 đóng lồi nên đóng yếu Do u ∈ Br0 ( ) Mặt khác lim Aun , un − u0 ≤ nên theo điều kiện α Br0 n →∞ ta có un → u , = u r0= , Au (do A liên tục) Điều mâu thuẫn với ánh xạ A 1-1 Br0 Tiếp theo, ta chứng minh với h ∈ X * cho h * < δ họ ánh xạ At với At u =Au − th, t ∈ [ 0,1] xác định đồng luân Br0 A A − h Footer Page 64 of 50 Header Page 65 of 50 60 Thật vậy, với u ∈ ∂Br0 , t ∈ [ 0,1] At u * ≥ Au * −t h * > nên At u ≠ ( ) suy họ Từ A thỏa mãn điều kiện α Br0 ( At thỏa mãn điều kiện α 0(t ) ∂Br0 ) At thỏa điều kiện (ii) định nghĩa đồng luân  u   tu  Xét họ At : Br0 → X *, t ∈ [ 0,1] với = At u A   − A −  họ thỏa 1+ t   1+ t  ( ) mãn điều kiện (ii) α 0(t ) ∂Br0 định nghĩa đồng luân Thật vậy, với {un } ⊂ ∂Br ,{tn } ⊂ [0,1] , un  u0 , tn → t0 , At un  n  u   tu  lim A  n  − A  − n n  , un − u0 = n →∞  + tn   + tn  Dùng dãy cần ta hai bất đẳng thức sau (cả hai thỏa t0 = )  u  u u lim A  n  , n − ≤ n →∞  + t n  + t n + t0  tu  tu tu lim A  − n n  , − n n + 0 ≤ n →∞  + t n  + t n + t0 ( ) Vì A thỏa mãn điều kiện α Br0 nên un → u0 Ta có At u ≠ 0, ∀t ∈ [ 0,1] , ∀u ∈ ∂Br0 Thật vậy, giả sử trái lại có  u'   t 'u '  = t ' ∈ [ 0,1] , u ' ∈ ∂Br0 để At 'u ' = A   A −  mâu thuẫn với giả thiết 1+ t '   1+ t '  A 1-1 Br0 Footer Page 65 of 50 Header Page 66 of 50 61 ( ) ( ) Do đó, deg A, Br0 = deg A1 , Br0 số lẻ nên khác A1 lẻ Do phương ( ) trình Au = h với h * < δ có nghiệm Br0 Vì A Br0 chứa lân cận Au0 = Suy A ( D ) tập mở ■ Bậc topo ánh xạ có ích cho việc nghiên cứu giá trị riêng nhánh nghiệm phương trình phi tuyến Ta xem xét ứng dụng vào toán điểm phân nhánh Cho U lân cận không gian Banach phản xạ khả ly X Các ánh xạ phi tuyến A, T : U → X * thỏa mãn điều kiện: (i) A thuộc lớp A (U ) A ( ) = (ii) T hoàn toàn liên tục T ( ) = Xét toán điểm phân nhánh cho phương trình Au + λTu = Định nghĩa 5.8 với Số λ0 gọi điểm phân nhánh phương trình Au + λTu = ε > tồn uε ∈ U , λε ∈ , λε − λ0 < ε ,0 < uε < ε cho Auε + λε Tuε = Ghi Có thể chứng minh tồn δ > cho điểm tới hạn cô lập ánh xạ A + λT với λ − λ0 ≤ δ Do đó, ind ( A + λT ,0 ) xác định với λ − λ0 ≤ δ ± lim± ind ( A + λT ,0 ) , i ( λ0 ) = lim ind ( A + λT ,0 ) Đặt i ( λ0 ) = ± λ →λ0 Footer Page 66 of 50 λ →λ0± Header Page 67 of 50 62 Định lý 5.9 Cho ánh xạ A, T : U → X * thỏa mãn điều kiện (i), (ii) giả sử − + hai số số sau i ( λ0 ) , i ( λ0 ) , i ( λ0 ) , i ( λ0 ) ,ind ( A + λ0T ,0 ) phân − + biệt Khi λ0 điểm phân nhánh phương trình Au + λTu = Chứng minh − Giả sử i ( λ0 ) ≠ i ( λ0 ) Do với ε > có λε( ) , λε( − ( ) ( ) deg ( A + λ ( )T , B ) = ind ( A + λ ( )T ,0 ) , i = 1, 2) cho ind A + λε( )T ,0 ≠ ind A + λε( )T ,0 , λ0 − ε < λε( ) , λε( ) < λ0 Ta chọn δ ∈ ( 0, ε ) để i ε i δ ε ( ) ( ) Suy deg A + λε( )T , Bδ ≠ deg A + λε( )T , Bδ Vì ánh xạ A + λε( )T , A + λε( )T không đồng luân với Bδ đó, tồn uε ∈ ∂Bδ , tε ∈ [ 0,1] 2 cho Auε + tε λε( ) + (1 − tε ) λε( )  Tuε = hay có λ= tε λε( ) + (1 − tε ) λε( ) thỏa ε   λε − λ0 < ε để Auε + λε Tuε = Điều chứng tỏ λ0 điểm phân nhánh phương trình Au + λTu = Những cặp số khác khác chứng minh tương tự ■ Bây ta đưa điều kiện cần cho điểm phân nhánh Giả sử toán tử A, T có đạo hàm Fréchet 0, tương ứng kí hiệu A ', T ' Toán tử T ' hoàn toàn liên tục Định lý 5.10 Cho U lân cận không gian Banach phản xạ khả ly X Các toán tử A, T : U → X * có đạo hàm Fréchet 0, tương ứng kí hiệu A ', T ' , T ' hoàn toàn liên tục điều kiện sau thỏa mãn: Footer Page 67 of 50 Header Page 68 of 50 63 (i) A thuộc lớp A (U ) A ( ) = (ii) T hoàn toàn liên tục T ( ) = (iii) Bao đóng yếu tập hợp   u Dε , K = v = : t ( Au + λTu ) + (1 − t )( A ' u + λT ' u ) = 0,0 < u < ε ,0 ≤ t ≤ 1, λ ∈ K  u   không chứa với ε > đủ nhỏ khoảng bị chặn K ⊂  Khi đó, λ0 điểm phân nhánh phương trình Au + λTu = phương trình A ' u + λ0T ' u = có nghiệm khác Chứng minh Lấy {un } ⊂ U ,{λn } ⊂  dãy cho n λn − λ0 < , < un < n Aun + λnTun = Đặt = un bị chặn không gian Banach phản xạ nên có dãy hội tụ un 1 1  yếu, xem  v0 Kí hiệu ε n = , K n =λ0 − , λ0 +  tồn N > để bao n n n  đóng yếu Dε N K N σ không chứa Với n ≥ N ∈ Dε N K N có= t 1, λn ∈ K N để t ( Aun + λnTun ) + (1 − t ) ( A ' un + λnT ' un )= Aun + λnTun= Do v0 ≠ Mặt khác, lim n →∞ 0= lim n →∞ Aun + λnTun − A ' un − λnT ' un * nên = mà Aun + λnTun = un A ' un + λnT ' un * lim A ' ( ) + λnT ' ( ) * = = A ' ( v0 ) + λ0T ' ( v0 ) * Ta n →∞ un ■ v0 nghiệm khác phương trình A ' u + λ0T ' u = Footer Page 68 of 50 Header Page 69 of 50 64 Định lý 5.11 Cho A, T toán tử thỏa mãn tất giả thiết định lý 5.10 A ' u , u > 0, ∀u ≠ Giả sử toán tử F = − ( A ') T ' : X → X xác định hoàn toàn −1 liên tục Khi đó, giá trị riêng bội lẻ F điểm phân nhánh phương trình Au + λTu = Chứng minh Gọi λ0 giá trị riêng bội lẻ F Với λ đủ gần λ0 λ ≠ λ0 ánh xạ A + λT thỏa mãn tất giả thiết định lý 4.5 (với Γ = −λT ' ) Áp dụng định − + − + lý này, ta có i ( λ0 ) = −i ( λ0 ) = −i ( λ0 ) ≠ Do đó, i ( λ0 ) ≠ i ( λ0 ) nên i ( λ0 ) = − + theo định lý 5.9 ta có λ0 điểm phân nhánh phương trình Au + λTu = 0■ Trong trường hợp X không gian Hilbert điều kiện A, T giảm bớt, thay điều kiện tương tự định lý 4.10 Các điều kiện định lý 5.10 đảm bảo cho tập điểm phân nhánh rời rạc Trong trường hợp tổng quát, tập hợp chứa đoạn đường thẳng thực ví dụ sau Cho X =  p không gian tuyến tính dãy số u = {cn } với chuẩn  ∞ p u  ∑ cnp  , p > 2, p chẵn =  n =1  Footer Page 69 of 50 Header Page 70 of 50 Với = u 65 cn } , v {d n } {= ta định nghĩa toán tử A, T : X → X * sau ∞ ∞ f ( ncn )  p −1 cn  Au , v = c d , Tu , v xn d n xn → 1, xn < + = − ∑ ∑  n p −2  n n  n p −1  n 1= n  , t −1 > 0 2p   f :  →  với f = ( t ) 2 p ( t − 1) + ,1 − ≤ t ≤ 2p   −2 p ( t − 1) + ,1 ≤ t ≤ + 2p  Ta thấy A toán tử liên tục bị chặn thỏa mãn điều kiện α ( X ) , A ( ) = , T hoàn toàn liên tục, T ( ) = , A, T có đạo hàm Fréchet 0, T ' = phương trình A ' u = có nghiệm Vậy với λ0 = phương trình A 'u + T 'u = nghiệm khác Thế lại điểm phân nhánh phương trình Au + Tu = Thật xn → 1, xn < nên với ε > có λε = 1   uε = 0, ,0, ,0,  ( phần tử thứ n ) thỏa mãn λε − < ε , xn n   n < uε < ε Auε + λε Tuε = Nếu Au + Tu = − Au + Tu * ( A ' u + T ' u ) A 'u + T 'u * cnp −1 + f ( ncn ) cn c x − = − k pn− , k > n p −2 p −1 n n n Lấy d n = ncn , ta d np −1 + (1 + k ) d n − xn f ( d n ) = có phương trình có nghiệm Điều chứng tỏ điều kiện (iii) 5.10 thay điều kiện (iii) định lý 4.5 Hơn nữa, điểm phân nhánh lấp đầy khoảng, cụ thể λ0 ∈ [1, +∞ ) điểm phân nhánh Với= u Footer Page 70 of 50 d n } {ncn } phương trình {cn= } , v {= Header Page 71 of 50 66 suy d np −1 + d n = Au + λTu = 2λ xn f ( d n ) Với λ > n đủ lớn phương trình có nghiệm d n ( λ ) ∈ ( 0,1] Do với λ0 > với ε > , có λε = λ0  d (λ )  d (λ ) ,0,  ( n phần tử thứ n , n đủ lớn) thỏa mãn uε = 0, ,0, n n n   Suy λ0 ≥ điểm phân nhánh < uε < ε Auε + λε Tuε = Định lý 5.12 Cho X không gian Banach phản xạ khả ly, f : X →  hàm phi tuyến có đạo hàm Gateaux f ' ( u ) điểm u ∈ X Giả sử f hàm tăng f ' thuộc lớp A ( BR ) với R Khi tồn điểm tới hạn f ' Nếu f ' có hai điểm tới hạn u1 , u2 điểm cực tiểu địa phương hàm số f f ' có điểm tới hạn thứ ba Chứng minh Nếu f suy biến với R đủ lớn để u1 , u2 < R có u3 cho u3 ≥ R, f ' ( u3 ) = nên định lý Nếu f không suy biến có R để f ' ( u ) ≠ 0, ∀u ∈ ∂BR Vì f hàm tăng nên ( ) f ' ( u ) , u ≥ Do theo định lý 3.8 deg f ', BR = Từ hệ 3.7 phương trình f ' ( u ) = có nghiệm BR điểm tới hạn f ' Hơn nữa, f ' có hai điểm tới hạn u1 , u2 Giả sử f ' không điểm tới hạn khác BR ind ( f ', ui= ) 1,=i 1, định lý 4.11 nên từ định lý 4.3 ( ) ( ) có deg f ', BR = ind ( f ', u1 ) + ind ( f ', u2 ) = Mâu thuẫn với deg f ', BR = ■ Footer Page 71 of 50 Header Page 72 of 50 67 Định lý 5.13 Cho X không gian Banach phản xạ khả ly, f : X →  hàm nửa liên tục yếu tăng có đạo hàm Gateaux f ' ( u ) điểm u ∈ X Giả sử f ' thuộc lớp A ( BR ) với R f ' có điểm tới hạn u1 có số khác Nếu u2 ∈ X , u2 ≠ u1 , f ( u2 ) ≤ f ( u1 ) ánh xạ f ' có ba điểm tới hạn Chứng minh Giả sử tập hợp {u ∈ X : f ( u ) ≤ f ( ) + 1} bị chặn, tức chứa cầu ( ) BR đó, chứng minh định lý 5.12 ta chọn R để deg f ', BR = Ta chứng minh tồn điểm u0 ∈ BR cho f ( u0 )= c= inf { f ( u ) , u ∈ BR } = f ( u0 ) inf { f ( u ) , u ∈ X } Lấy dãy {un } ⊂ BR , f ( un ) → c Vì {un } bị chặn không gian Banach phản xạ nên có dãy hội tụ, coi un  u0 Mà f nửa liên tục yếu nên = c lim f ( un ) ≥ f ( u0 ) Suy f ( u0 ) = c n →∞ Từ giả thiết định lý f ( u0 ) ≤ f ( u2 ) ≤ f ( u1 ) Nếu f ( u0 ) = f ( u1 ) f= ( u1 ) f= ( u2 ) c mà u1 ≠ u2 nên u1 , u2 hai điểm cực tiểu địa phương f tồn điểm tới hạn thứ ba f ' suy từ định lý 5.12 Nếu f ( u0 ) < f ( u1 ) điểm tới hạn BR khác u0 , u1 ( ) mâu thuẫn từ = deg f ', BR = ind ( f ', u0 ) + ind ( f ', u1 ) ≠ ind ( f ', u0 ) = ind ( f ', u1 ) ≠ ■ Footer Page 72 of 50 Header Page 73 of 50 68 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn trình bày định nghĩa tính chất ứng dụng bậc topo ánh xạ đơn điệu suy rộng, sâu vào trường hợp ánh xạ demi-liên tục bị chặn thuộc lớp α lớp α không gian Banach phản xạ khả ly Sở dĩ thu hẹp đối tượng để tiện việc trình bày chứng minh định lý, không làm cho công việc trở nên nặng nề, phức tạp Một số kết mở rộng lên theo hướng Thứ nhất, kết trước có mà không cần tính bị chặn toán tử A Thứ hai, nhiều kết mở rộng cho lớp ánh xạ tổng quát ánh xạ giả đơn điệu Thứ ba, sử dụng định nghĩa bậc topo mục 2.2 kết có với không gian không khả ly Ngoài có cách xây dựng định nghĩa bậc topo ánh xạ thuộc lớp ( S + ) với X , X * không gian lồi tương tự trường hợp ánh xạ liên tục không gian hữu hạn chiều Mặc dù cố gắng luận văn tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn Footer Page 73 of 50 Header Page 74 of 50 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Deimling K (1984), Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag Gasinski L., Papageorgiou N.S (2005), Nonlinear Analysis, Chapman&Hall/CRC, Boca Raton, Florida Hadjisavvas N., Komlósi S., Schaible S (2005) , Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, Springer Skrypnik I.V (1994), Methods for Analysis of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems, American Mathematical Society Footer Page 74 of 50 ... BẬC TOPO CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐƠN ĐIỆU SUY RỘNG T T 2.1 Bậc topo ánh xạ không gian khả ly T T 2.2 Bậc topo ánh xạ không gian không khả ly 17 T T Chương TÍNH CHẤT CỦA BẬC TOPO CỦA ÁNH XẠ ĐƠN... ly không khả ly giới thiệu bậc topo ánh xạ giả đơn điệu Chương III trình bày tính chất quan trọng bậc topo ánh xạ đơn điệu suy rộng, nhiều tính chất giống với ánh xạ không gian hữu hạn chiều... lớp ánh xạ rộng Các ánh xạ đơn điệu suy rộng tác động từ không gian Banach X vào không gian liên hợp X * tổng quát hóa nhiều ánh xạ vi phân thường gặp Đặc biệt, việc xây dựng bậc topo cho lớp ánh