Hợp thành của ánh xạ hàm hợp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* NGUYỄN THỊ LAN ANH HỢP THÀNH CỦA ÁNH XẠ - HÀM HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ BÌNH HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài, em xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, thầy khoa Tốn đặc biệt hướng dẫn bảo nhiệt tình ThS Nguyễn Thị Bình - giảng viên khoa Tốn, Trường ĐHSP Hà Nội giúp em hồn thành khố luận Do trình độ kiến thức chun mơn có hạn , nội dung đề tài có sai sót mong nhận góp ý, chỉnh sửa thầy bạn đề tài “Hợp thành ánh xạ - Hàm hợp” hoàn thành cách toàn diện Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Lan Anh LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khoá luận em thực với hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Bình Nếu có sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Lan Anh MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 3 Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Ý nghĩa thực tiễn đề tài Bố cục khoá luận Chương 1: ÁNH XẠ 1.1.Định nghĩa ánh xạ 1.2 Ảnh tạo ảnh 1.3 Điều kiện xác định ánh xạ 1.4 Các cách xác định ánh xạ 1.5 Hai ánh xạ 10 1.6 Đồ thị ánh xạ 10 1.7 Thu hẹp mở rộng ánh xạ 11 1.8 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 11 Chương 2: HỢP THÀNH CỦA ÁNH XẠ - HÀM HỢP 13 2.1 Định nghĩa hợp thành ánh xạ 13 2.2 Tính chất hàm hợp 18 2.3 Ánh xạ ngược 21 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, tư tưởng, phương pháp kết Đại số thâm nhập vào hầu hết lĩnh vực toán học, từ tơpơ hình học tới giải tích xác suất lượng tử, số lĩnh vực học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử…hàm hợp tính chất liên quan đến hàm hợp từ lâu trở thành phần xuyên suốt đại số.Trên sở với niềm đam mê thân hướng dẫn nhiệt tình ThS.Nguyễn Thị Bình, em xin mạnh dạn làm khóa luận nghiên cứu đề tài: “Hợp thành ánh xạ - Hàm hợp” Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 1.1 Mục đích Nghiên cứu hiểu rõ khái niệm hàm hợp với tính chất liên quan đến hàm hợp, làm tập liên quan đến hàm hợp 1.2 Nhiệm vụ nghiên cứu vấn đề Trình bày phân tích hàm hợp, tính chất tập liên quan đến hàm hợp Phương pháp nghiên cứu Phương pháp phân tích, phương pháp tổng hợp, phương pháp logic Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu hàm hợp khía cạnh: định nghĩa, tính chất, định lý tập liên quan Ý nghĩa thực tiễn đề tài Đề tài làm sáng tỏ khái niệm hàm hợp, tính chất hàm hợp tập liên quan Bố cục khoá luận Ngồi phần mở đầu, tài liệu tham khảo, khố luận gồm chương Chương 1: Ánh xạ Chương 2:Hợp thành ánh xạ - Hàm hợp Chương 1: ÁNH XẠ 1.1.Định nghĩa ánh xạ 1.1.1 Định nghĩa: Giả sử X Y tập hợp cho Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho tương ứng với phần tử x X phần tử xác định, kí hiệu f (x) Y Ta viết: f : X Y x  f (x) f hay X  Y x  f (x) Tập hợp X gọi tập nguồn hay miền xác định, kí hiệu D f tập hợp Y gọi đích hay miền giá trị ánh xạ f , kí hiệu R f 1.1.2 Các ví dụ Ví dụ Xét tập hợp N số tự nhiên tập hợp Z m số nguyên không âm nhỏ số nguyên dương cho m Với x  N ta chia x cho m số dư kí hiệu f (x) Số f (x) thuộc Z m Tương ứng x  f x  Xác định ánh xạ Ví dụ Xét tập hợp số thực R Tương ứng x  x Xác định ánh xạ từ R đến R Ví dụ Giả sử X  1,2, Y  a, b, c Tương ứng: 1 c 2a Xác định ánh xạ từ X đến Y Ví dụ Giả sử X  Y  1,2,3 1 Tương ứng:  31 Xác định ánh xạ từ X đến X Qua định nghĩa ánh xạ, thấy khái niệm ánh xạ khái niệm mở rộng khái niệm hàm số mà ta gặp trường phổ thông Các hàm số mà ta gặp trường phổ thông ánh xạ mà nguồn đích tập hợp số thực R phận R , số f (x) tương ứng với số x biểu thức đại số hay biểu thức lượng giác, chẳng hạn f x   x  x  hay f x   sin x Trong định nghĩa ánh xạ ta thấy tâp hợp nguồn đích khơng thiết tập hợp số phần tử f (x) tương ứng với x lại biểu thức đại số hay lượng giác 1.2 Ảnh tạo ảnh 1.2.1 Định nghĩa Giả sử f : X Y x  y  f (x) ánh xạ cho, x phần tử tuỳ ý X , A phận tuỳ ý X , B phận tuỳ ý Y Thế người ta gọi: + f (x) ảnh x f hay giá trị ánh xạ f điểm x + f  A  Y  Y | tồn x  A cho f x   Y  ảnh A f + f 1 B  x  X f x   B  ảnh toàn phần B f Đặc biệt với b  Y , f 1 b  x  X f x  b Để đơn giản kí hiệu ta viết f 1 b thay cho f 1 b gọi tạo ảnh toàn phần b f Mỗi phần tử x  f 1 b gọi tạo ảnh b f Tập hợp f x   Y gọi ảnh ánh xạ f , kí hiệu Im f Dễ dàng ta thấy rằng: A  B  X f  A  F B C  D Y f 1 C   f 1 D Ví dụ: Cho ánh xạ f : RR x  f ( x)  [ x] (phần nguyên x ) Ta có: Im f  f ( R)  Z f ([0,))  f ( N )  N , f ([0,1))  f 1 ( N )  f 1 ([0,))  [0,) , f 1({0,1})  (0,2] , f 1 ([0,1])  [0,2) 1.2.2 Định lý Cho ánh xạ f : X  Y ; A, B tập hợp X ; C, D tập hợp Y Khi i) f  A  B  f  A  f B ii) f  A  B  f  A  f B iii) f  A \ B  f  A \ f B iv) f 1 C  D  f 1 C   f 1 D v) f 1 C  D  f 1 C   f 1 D vi) f 1 C \ D  f 1 C  \ f 1 D Ta chứng minh chẳng hạn (iii) (vi) iii) lấy tuỳ ý y  f  A \ f B  y  f  A, y  f B  x  A, f x  y, x  B  x  A \ B, f x  y  y  f  A \ B Vậy ta có f  A \ B   f  A \ f  A 1 vii) x  f C \ D  f x   C \ D  f x   C 1 1 Và f x   D  x  f C  x  f D  x  f 1 C \ D  f 1 C  \ f 1 D Vậy f 1 C \ D  f 1 C  \ f 1 D Ví dụ sau (ii) (iii) bao thức thật Ví dụ: Xét ánh xạ f : RR x  x2 Với tập hợp A   ,0 B  0, ta có: a) A  B  0  f  A  B  0 f  A  f B  0,  f  A  f B  0, Vậy có f  A  B  f  A  f B b) A \ B   ,0  f  A \ B  0, f  A  f B  f  A \ f B   Vậy có f  A \ B  f  A \ f B Kí hiệu f (A) điều lạm dụng f (A) có nghĩa A X Rõ ràng ta có f     với f Ta chứng minh dễ dàng quan hệ: + A  f 1  f  A với phận A X + B  f  f 1 B  với phận B Y Nhưng ta khơng có quyền quan hệ ấy, thay dấu bao hàm dấu đẳng thức Chẳng hạn Ví dụ 3của phần trước, lấy A  1 thì ta có:   f 1  f  A  1,1, B  1,1 Thì ta có f f 1 B    1.3 Điều kiện xác định ánh xạ Để quy tắc f : X Y x  y  f (x) ánh xạ phải đạt hai yêu cầu sau: + Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi x  X ta phải có ảnh y tương ứng thuộc Y Mặt khác: x  X , ( gf )( x)  g ( f ( x))  g ( y)  x  I X ( x)  gf  I X y  Y , ( gf )( y)  f ( g ( y))  f ( x)  y  I Y ( y)  fg  I Y Vậy f có ánh xạ ngược 2.3.4 Quy tắc tìm ánh xạ ngược Bước 1: Kiểm tra ánh xạ f : X  Y có phải song ánh hay khơng Bước 2: Xét phương trình f ( x)  y ta tìm x  g ( y) Khi ánh xạ g : Y  X ánh xạ ngược cần tìm Ví dụ Xét hàm số bậc y  ax  b ; a, b  R, a  xem ánh xạ f : RR x  ax  b, a, b  R, a  Kiểm tra thấy f song ánh  f có ánh xạ ngược Xét phương trình f ( x)  y  ax  b  y  x  tức g ( y)  y b , a y b b  y a a a a Hay g ( x)  x  b lại hàm số bậc a Ví dụ Xét hàm số bậc hai: y  ax  bx  c , a, b, c  R, a  Giả sử a  , giả sử đồ thị có dạng xem ánh xạ f : RR x  ax  bx  c, a  0 ( 23 b  , ) 2a 4a f khơng đơn ánh vì: Chọn x1   b b   , x2    ,   Ta có x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) 2a 2a f khơng tồn ánh y   phương trình ax  bx  c  y0 vô 4a nghiệm Từ hàm số bậc hai ta xây dựng hàm số song ánh  Thật ta xét ánh xạ g :  ,    ,   2a   4a  b x  ax  bx  c Kiểm tra g song ánh Tìm ánh xạ ngược g  Xét phương trình g ( x)  y với y   ,   4a   ax  bx  c  y  ax  bx  (c  y)  Có 1  b  4a(c  y)  b  4ac  4ay    4ay Mà y    Mà a   4ay    1      4a Do phương trình bậc hai có nghiệm x1,   b  1 2a  1 b  2a 2a  Do x   ,   lấy giá trị x1    2a 2a  2a  b b b  4a (c  y ) b Và có hàm số ngược là: g ( y)    2a 2a 1 b  4a (c  y ) b Hay hàm số y    2a 2a 24 Ví dụ 3: Tìm ánh xạ ngược ánh xạ f : nN  mN nk  mk Trong m, n hai số tự nhiên khác cho trước Lời giải Bước 1: Xét tính song ánh +) x  nk , y  nl  nN Giả sử f ( x)  f ( y)  mk  ml  k  l (vì m  )  x  y  f đơn ánh (1) +) y  mk  nN , x  nk  nN thoả mãn f ( x)  mk  y  f toàn ánh (2) Từ (1) (2) suy f song ánh nên f có ánh xạ ngược Bước 2: Xét ánh xạ g : mN  nN mk  nk , m, n  N * Bước 3: Ta thấy x  nk  nN gf ( x)  gf (nk )  g (mk)  nk  x  gf  1nN (3) Hơn nữa: x  mk  mN fg ( x)  fg (mk)  f (nk )  mk  x  fg  1mN (4) Từ (3) (4) suy f 1  g Chú ý: Đồ thị hàm số f f 1 đối xứng qua đường thẳng yx Gọi H đồ thị ánh xạ f H 1 đồ thị ánh xạ f 1 Khi đó: (a, b)  H  (b, a)  H 1 Ví dụ 4: Cho ánh xạ f : x  x  3, x  R, x  Tìm f 1 Vẽ đồ thị ánh xạ f f 1 hệ trục toạ độ 25 Lời giải Xét ánh xạ f : x  x  3, x  R, x  Ta có D f  (0, ) R f  (3, ) +) Xét tính song ánh ánh xạ f x1 , x2  (0, ) , Giả sử f ( x1 )  f ( x2 )  x1   x2   x1  x2  x1  x2 Vậy f đơn ánh (1) y  x   (3, ), x  (0, ) thoả mãn f ( x)  x   y Vậy f toàn ánh (2) Từ (1) (2) ta có song ánh nên f có ánh xạ ngược Đặt f ( x)  y  x   y  x  y   x  f 1 ( y)  x  f 1 ( y)   f 1 ( x)  Vậy f 1 : x  y 3 y 3 x3 x x 3 , x  R, x  y f D f 1  (3, ) R f 1  (0, ) f 1 (0,3) (3,0) yx 26 x Ví dụ 5: Cho ánh xạ f : RR x   e x Tìm f 1 Vẽ đồ thị ánh xạ f f 1 hệ trục toạ độ Lời giải Ta có: f : RR x   ex , x  R Ta có y   e  x  y   e  x Từ đồ thị ánh xạ f ta thấy đường thẳng y  h khơng q điểm f song ánh Vậy f có ánh xạ ngược Ta có: y   e  x  e  x  y    x  ln( y  1)  x   ln( y  1) Vậy f 1 : x   ln( x  1), x  R, x  D f 1  (1, ) R f 1  R y f yh 1 x f 1 27 x x Ta có: y   e  e  y    x  ln( y  1)  x   ln( y  1) 1 Vậy f : x   ln( x  1), x  R, x  D f 1  (1, ) R f 1  R Ví dụ 6: Cho ánh xạ f : x  x  , x  R0 1 1 Tìm f (nếu có) Vẽ đồ thị f f hệ trục toạ độ Lời giải Dựa vào đồ thị ánh xạ f ta thấy đường thẳng y  h cắt đồ thị ánh xạ f không điểm, f song ánh Vậy f có ánh xạ ngược y yh 4 yx 4 Ta có: y  x   x  y   x   y  (vì x  R0 ) 28 x Vậy f 1 : x   x  , x  R, x  4 D f 1   4,  R f 1  R0 Ví dụ 7: Cho ánh xạ f : x   x , 3 x  (i) Tại f khơng có ánh xạ ngược (ii) Hạn chế miền xác định f bao gồm giá trị không âm lớn x ta tìm ánh xạ thu hẹp g f mà g 1 tồn Tìm g 1 (iii) Hạn chế miền xác định f bao gồm giá âm lớn x , ta tìm ánh xạ thu hẹp h f mà h 1 tồn Tìm h 1 Lời giải (i) Xét ánh xạ f : x   x2 , 3 x  y   x  x  y  9, y  y y 1 3 29 x Dựa vào đồ thị ánh xạ f ta thấy đường thẳng y  cắt đồ thị ánh xạ f điểm, f khơng phải song ánh Vậy f khơng có ánh xạ ngược (ii) Ta có: g : x   x2 , y 0 x3 Dựa vào đồ thị ta thấy ánh xạ g song ánh g có ánh xạ f ngược g 3 y  9 x  x  y 9 2  x   y  x   y , 0 x3 Vậy g 1 : x   x ,  x  (iii) Ta có h : x   x ,   x  song ánh Do h có ánh xạ ngược y h f 3 30 Ví dụ 8: Tìm ánh xạ ngược song ánh sau: (a) f : x  x  12 x  , x  R, x  (b) g : x  2x  , x  R, x  1 x 1 (c) h : x  x2 , x  R0 x 1 Lời giải (a) Xét ánh xạ f : x  x  12 x  , x  R, x  2 Ta có: x  12 x  13  y  2( x  x)  13  y  2( x  x  9)  18  13  y  2( x  3)   y  ( x  3)   x  3 Vậy f 1 :x x y5 y5 (do x  )  x3   2 x5 x5 , x  R, x  5 (b) Xét ánh xạ g : x  Ta có: 2x  , x  R, x  1 x 1 2x   y  x   y( x  1)  x   yx  y x 1  x  yx  y   x(2  y)  y   x  Vậy g 1 : x  x3 , x  R, x  2 x (c) Xét ánh xạ h : x  x2 , x  R0 x 1 x2  y  x  yx  y  x (1  y)  y Ta có: x 1  x2  y y x , (vì x  R0 ) 1 y 1 y 31 y 3 2 y Vậy h 1 : x  x , x R,  x 1 1 x Ví dụ 9: Cho ánh xạ f : x  8x  x , x  R  Tìm ánh xạ ngược (nếu có) f Nếu f khơng có ánh xạ ngược tìm ánh xạ thu hẹp g f miền xác định lớn cho g có ánh xạ ngược Tìm g 1 Lời giải Xét ánh xạ f : x  8x  x  x(8  x) , x  R  Dựa vào đồ thị ánh xạ f ta thấy đường thẳng y  cắt đồ thị ánh xạ f điểm phân biệt, f khơng phải song ánh Vậy f khơng có ánh xạ ngược Ta có g : x  8x  x , x  R, x  song ánh, g có ánh xạ ngược Ta có: 8x  x  y  x  8x   y  x  8x  16   y  16  ( x  4)  16  y  x   16  y (vì x  )  x   16  x Vậy g 1 : x   16  x , x  R, x  16 Ví dụ 10: Cho hai ánh xạ f : x  ( x  2) , x  R g : x  e  x , x  R (i) Xác định g 1 (ii) Chỉ tồn ánh xạ g 1 f (iii) Tìm ánh xạ thu hẹp f R f khoảng (k , ) Tìm giá trị nhỏ k để g 1 f R tồn Khi tìm ánh xạ g 1 f R 32 y (4,16) y3 g f Lời giải (i) Ta có: g : x  ex , x  R Dg  R Rg  R  e  x  y, x  ln y, x   ln y Do g 1 : x   ln x, x  R  (ii) f : x  ( x  1) , x  R D f  R R f  R0 g 1 : x   ln x, x  R  Dg 1  R  Rg 1  R Vì R f  R0  R   Dg nên g 1 f khơng tồn 1 (iii) Ta có: + f R : x  ( x  1) , x  (k , ) D fg  (k , ) R fg  ( x  1) : x  (k , ) 33 x + g 1 : x   ln x, x  R  Dg 1  R  Rg 1  R Để g 1 f R tồn thì: x 1  x  R fg  Dg 1  ( x  1)     x 1  x  Vậy giá trị nhỏ k k  f R : x  ( x  1) , x  (1, ) g 1 f R tồn Ta có: g 1 f R  g 1 ( f R ( x))  g 1 (( x  1) )   ln( x  1)  2 ln( x  1) Vậy g 1 f R : x  2 ln( x  1), x  R, x  34 KẾT LUẬN Đề tài “Hợp thành ánh xạ - hàm hợp” góp phần làm rõ được: Chương 1: Nêu định nghĩa tính chất liên quan đến ánh xạ, đưa ví dụ cụ thể Chương 2: làm rõ định nghĩa, tính chất hàm hợp,làm tập liên quan.biết ánh xạ ngược cách tìm ánh xạ ngược ánh xạ Tuy nhiên thời gian trình độ thân có han,khố luận có nhiều thiếu sót, mong nhận góp ý thầy bạn Em xin chân thành cảm ơn! 35 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đậu Thế Cấp (2004), “Lí thuyết tập hợp lơgic”, Nxb Giáo dục, T.p Hồ Chí Minh Hồng Xn Sính (1996), “Đại số đại cương”, Nxb Giáo dục Hà Nội Ngô Thúc Lanh (1986), “Đại số số học tập 1”, Nxb Giáo dục Nguyễn Văn Ngọc (1993), “Nhập mơn lí thuyết tập hợp lơgic tốn”, Nxb ĐHSP Hà Nội Phan Hữu Chân - Nguyễn Tiến Tài (1998) “Tập hợp lơgic tốn học”, Nxb Giáo dục Vương Thơng (2000), “Giáo trình tập hợp lơgic Tốn”, Nxb ĐHSP Hà Nội 37 ... Đồ thị ánh xạ 10 1.7 Thu hẹp mở rộng ánh xạ 11 1.8 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh 11 Chương 2: HỢP THÀNH CỦA ÁNH XẠ - HÀM HỢP 13 2.1 Định nghĩa hợp thành ánh xạ 13... N * song ánh e) Ánh xạ  mn : mN  nN mk  nk ; m, n  N  song ánh 12 N  mN k  mk Chương 2: HỢP THÀNH CỦA ÁNH XẠ - HÀM HỢP 2.1 Định nghĩa hợp thành ánh xạ Định nghĩa: Cho hai ánh xạ f : X... rộng ánh xạ Định nghĩa : Cho ánh xạ f : A  Y , A  X , ta gọi ánh xạ AY ánh xạ thu hẹp ánh xạ f x  f (x) f ': Trên tập A kí hiệu f '  f A : A  Y Khi ánh xạ f : X  Y gọi ánh xạ mở rộng ánh xạ