Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứng dụng

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Bùi Thảo Nhung i LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Quang Huy. Tác giả xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu và các thông tin trích dẫn trong luận văn là trung thực. Hà Nội, ngày tháng năm 2012 Tác giả Bùi Thảo Nhung ii BẢNG KÝ HIỆU R n không gian Euclid n-chiều F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y domF tập xác định của F gphF đồ thị của F Limsup giới hạn trên theo nghĩa Painlevé - Kuratowski N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Mordukhovich của Ω tại ¯x  N(¯x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x ∂f(x) dưới vi phân Mordukhovich của f tại x ∂ ∞ f(x) dưới vi phân suy biến của f tại x ˆ ∂f(x) dưới vi phân Fréchet của f tại x x Ω −→ ¯x x → ¯x, x ∈ Ω x f −→ ¯x x → ¯x, f(x) → f(¯x) iii Mục lục Mở đầu 1 1 Đối đạo hàm Fréchet của F 5 2 Đối đạo hàm Mordukhovich của F 14 3 Ứng dụng 21 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 32 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xét tập lồi đa diện có nhiễu bởi một ánh xạ tuyến tính có dạng Θ(w) := {x ∈ R n | Cx ≤ Dw} ở đó C = (c ij ) m×n ∈ R m×n , D = (d ij ) m×p ∈ R m×p là các ma trận đã cho và w = (w 1 , . . . , w p ) ∈ R p là vecto tham số. Với mỗi (x, w) ∈ R n × R p , nón pháp tuyến của Θ(w) tại x theo nghĩa của giải tích lồi được xác định bởi N(x; Θ(w)) =             x ∗ ∈ R n | x ∗ , u − x ≤ 0 ∀u ∈ Θ(w)  nếu x ∈ Θ(w), ∅ nếu x ∈ Θ(w). Ánh xạ đa trị F : R n × R p → R n có dạng F(x, w) := N(x; Θ(w)) (0.1) được gọi là ánh xạ nón pháp của tập lồi đa diện phụ thuộc tham số. Dưới vi phân bậc hai của một hàm thực suy rộng qua một đối đạo hàm của ánh xạ dưới gradient đề xuất bởi Mordukhovich được nhận biết như là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều vấn đề quan trọng trong tối ưu và giải tích biến phân. Để có thêm thông tin chi tiết những phát triển gần đây và các bình luận về dưới vi phân bậc hai, độc giả có thể tham khảo trong [11]. Quan tâm chính của chúng tôi trong luận văn này liên quan tới việc tính dưới vi phân bậc hai của hàm chỉ của các tập lồi đa diện mà khởi đầu nghiên cứu bởi Dontchev và Rockafellar [2], và áp dụng để khảo sát tính ổn định nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số. 2 Sự cần thiết của việc tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháp tuyến F vừa được trình bày và thảo luận trong [1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19]. Trong trường hợp ma trận D là một ma trận đơn vị, Yen và Yao [18, 19] lần đầu tiên thiết lập được một vài đánh giá trên hoặc đánh giá dưới đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của ánh xạ nón pháp tuyến F. Sau đó dưới một điều kiện độc lập tuyến tính liên quan đến các ràng buộc hoạt, Nam [12] đã cho các công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F. Gần đây các kết quả trong [12] vừa được phát triển hơn nữa bởi Qui [14, 15, 16] và Trang [17], ở đó điều kiện độc lập tuyến tính được thay bởi điều kiện độc lập tuyến tính dương. Hơn nữa, Qui [15] đã trình bày một công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet của F, và sau đó một công thức chính xác tính đối đạo hàm Mordukhovich của F đã được thiết lập trong [6] mà không đòi hỏi bất kì một giả thuyết chính quy nào. Chúng ta dễ dàng thấy rằng các kết quả trong [6, 15] không thể áp dụng để tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F nếu D không có ma trận nghịch đảo. việc thiết lập được công thức chính xác tính đối đạo hàm Mordukhovich của F là một khâu quan trọng giúp đạt được điều kiện cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số: Tìm x ∈ Θ(ω) sao cho f(x, ϑ), u − x ≥ 0 ∀u ∈ Θ(ω) (0.2) ở đó f : R n × R m → R n là hàm khả vi liên tục. Đề tài “Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứng dụng” nhằm thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm của ánh xạ F xác định trong (0.1) và đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số (0.2). 3 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài là nghiên cứu tìm công tức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F xác định trong (0.1) và điều kiện cần và đủ đặc trưng tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số (0.2). 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu về giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, cụ thể là lý thuyết đối đạo hàm của Mordukhovich. Thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F xác định trong (0.1). Đưa ra đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin cho ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số (0.2). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, đại số tuyến tính, quy hoạch toán học, lý thuyết tối ưu, tối ưu có tham số và tính ổn định nghiệm. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng, đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi và lý thuyết tối ưu. 4 6. Giả thiết khoa học (hay những đóng góp mới) Nếu đưa ra được công thức chính xác tính đối đạo hàm Mor- dukhovich của F xác định trong (0.1) sẽ là một đóng góp có ý nghĩa cho lý thuyết dưới vi phân bậc hai. Từ đó có thể giúp thiết lập được một đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số (0.2). Chương 1 Đối đạo hàm Fréchet của F Trong chương này chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản của giải tích biến phân và đạo hàm suy rộng. Đưa ra công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số. 1.1 Một số kiến thức cơ bản về đối đạo hàm Cho F : R m ⇒ R n là một ánh xạ đa trị. Ký hiệu Limsup x→¯x F (x) là giới hạn trên theo nghĩa Kuratowski-Painlevé của F khi x → ¯x. Lim sup x→¯x F (x) :=  x ∗ ∈ R n    ∃ x k → ¯x và x ∗ k → x ∗ với x ∗ k ∈ F (x k ) ∀ k = 1, 2, . . .  . Cho Ω ⊂ R n , nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại ¯x ∈ Ω được xác định bởi  N(¯x; Ω) :=  x ∗ ∈ R n    lim sup x Ω −→¯x x ∗ , x − ¯x x − ¯x ≤ 0  , trong đó x Ω −→ ¯x có nghĩa là x → ¯x với x ∈ Ω. Nón pháp tuyến Mordukhovich N(¯x; Ω) thu được từ  N(x; Ω) bằng cách lấy giới hạn trên theo nghĩa Kuratowski-Painlev khi x → ¯x như sau N(¯x; Ω) := Lim sup x→¯x  N(x; Ω). 6 Miền xác định và đồ thị của F được xác định bởi dom F := {x ∈ R m | F (x) = ∅}, gph F := {(x, y) ∈ R m ×R n | y ∈ F (x)}. Đối đạo hàm Mordukhovich D ∗ F (¯x, ¯y): R n ⇒ R m của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF được định nghĩa như sau D ∗ F (¯x, ¯y)(y ∗ ) :=  x ∗ ∈ R m   (x ∗ , −y ∗ ) ∈ N((¯x, ¯y); gph F )  , y ∗ ∈ R n . Tương tự, Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) ∈ gph F xác định bởi  D ∗ F (¯x, ¯y)(y ∗ ) := {x ∗ ∈ R m | (x ∗ , −y ∗ ) ∈  N((¯x, ¯y); gph F ))}, y ∗ ∈ R n . Chúng ta có một mối quan hệ giữa hai khái niệm trên D ∗ F (¯x, ¯y)(¯y ∗ ) = Lim sup (x,y)→(¯x,¯y) y∈F (x) y ∗ →¯y ∗  D ∗ F (x, y)(y ∗ ). Cho C = (c ij ) m×n ∈ R m×n , D = (d ij ) m×p ∈ R m×p là các ma trận. Xét tập lồi đa diện có nhiễu Θ(w) := {x ∈ R n | Cx ≤ Dw} phụ thuộc tham số w = (w 1 , . . . , w p ) ∈ R p . Đặt T := {1, 2, . . . , m}. Với mỗi ω ∈ R p và x ∈ Θ(ω), tập chỉ số tương ứng cặp phần tử (x, ω) ∈ R n × R p được định nghĩa bởi I(x, ω) := {i ∈ T | C i x = D i }. Lấy (¯x, ¯ω, ¯ ξ ∗ ) ∈ gph F với F đã được định nghĩa ở (0.1). Từ [12, Lemma 3.1], chúng ta có N(¯x; Θ(¯ω)) = pos {C T i | i ∈ I(¯x, ¯ω)}, trong đó pos {v j | j ∈ J} :=   i∈J λ j v j | λ j ≥ 0 ∀j ∈ J  và pos ∅ = {0}. Rõ ràng, ¯ ξ ∗ =  i∈I(¯x,¯ω) λ i C T i với mọi λ i ≥ 0, i ∈ I(¯x, ¯ω). [...]... trong [7-10] và các tài liệu tham khảo trong đó, bài toán tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của hàm ẩn đa trị (ϑ, b) → G(ϑ, b) dẫn tới việc tính đối đạo hàm của hàm đa trị (x, ϑ, b) → F (x, ϑ, b) Hơn thế nữa, vì f (x, ϑ, b) là tổng của hàm khả vi và ánh xạ nón pháp F(x, b) := N (x; Θ(b)) nên ta chỉ còn phải tính đối đạo hàm của F và áp dụng quy tắc tổng của đối đạo hàm cho các đẳng thức... phân và đạo hàm suy rộng, cụ thể là lý thuyết đối đạo hàm của Mordukhovich, và lý thuyết tối ưu Thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F xác định bởi (0.1) và ứng dụng nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các bài toán tối ưu có tham số Đưa ra được một đặc trưng cần và đủ cho tính Lipschitz kiểu Aubin của ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có. .. nghĩa đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯, ω , ξ ∗ ), ta x ¯ ¯ có D∗ F(¯, ω , ξ ∗ )(ξ) = (x∗ , ω ∗ ) x ¯ ¯ (x∗ , ω ∗ , −ξ) ∈ N ((¯, ω , ξ ∗ ); gph F) x ¯ ¯ Khi đó, kết luận của định lý ngay lập tức được suy ra từ Định lý 1.1 Chương 2 Đối đạo hàm Mordukhovich của F Trong chương này chúng ta trình bày công thức tính đối đạo Mordukhovich của ánh xạ nón pháp của các tập lồi đa diện có tham số 2.1 Bổ đề về tập. .. tuy nhiên, Định lý 3.3 and Định lý 4.3 in [12] không thể áp dụng để tính đối đạo hàm Fréchet và đối đạo hàm Mordukhovich của F Hơn nữa, ma trận D := {D1 , D2 } không có ma trận nghịch đảo Vì vậy, chúng ta không thể áp dụng Định lý 3.3 vào [15] để tính đối đạo hàm Fréchet của F và Định lý 3.4 vào [6] để tính đối đạo hàm Mordukhovich của F Ta có K = {1}, I1 = {2}, ¯ {ξ ∗ }⊥ = {(0, 2)}⊥ = R × {0}, ∗ T... −Di ) | i ∈ S} Chương 3 Ứng dụng Ta biết rằng tính chất khả vi suy rộng của F(·) cho ta thông tin hữu ích về tính ổn định của bất đẳng thức biến phân với các tập ràng buộc lồi đa diện Cụ thể là, nếu f : Rn × Rm → Rn là hàm khả vi liên tục, khi đó tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có tham số: Tìm x ∈ Θ(b) sao cho f (x, ϑ), u − x ≥ 0 ∀u ∈ Θ(b) (3.1) trùng với hàm ẩn đa trị G(ϑ, b) := {x |... tập các chỉ số Các khái niệm và kí hiệu trong chương này vẫn được sử dụng như ở chương trước Cho Ω ∈ Rn Ta định nghĩa ri (Ω) và cl Ω lần lượt là phần trong tương đối và bao đóng của Ω Cho P ∈ I(¯, ω , ξ ∗ ) Định nghĩa x ¯ ¯ ∆ := ri pos {CiT | i ∈ P } và M((¯, ω , ξ ∗ )|P ) = S ∈ I(¯, ω , ξ ∗ ) | ∆ ∩ ri pos {CiT | i ∈ S} = ∅ x ¯ ¯ x ¯ ¯ Chúng ta có thể phân hoạch ∆ thành các tập ∆i liên hệ với các tập. .. Nhận xét 3.1 Đặt ϑ = −q và f (x, ϑ) = M x − q, ta thấy S(q, b) trùng với ánh xạ nghiệm G(ϑ, b) ở (3.2) của bất đẳng thức biến phân có tham số (1.5) Lưu ý rằng q ∈ M x + F(x, b) ở (3.1) là một trường hợp đặc biệt của (3.3) Do đó f (x, ϑ) = M x − q là một toán tử afin Nhận xét 3.2 Ta có thể coi S(q, b) từ (3.4) là tập nghiệm của tiêu chuẩn bất đẳng thức biến phân afin có tham số như sau: S(q, b) = {x... ωk , vk ) = S với mọi k Áp dụng định lý 1.1, thu được ∗ (x∗ , ω ∗ , ξ) ∈ N ((xk , ωk , vk ); gph F) Vì vậy, (x∗ , ω ∗ , v) ∈ N ((¯, ω , ξ ∗ ); gph F) Định lý hoàn toàn được chứng x ¯ ¯ minh Bây giờ chúng ta xét một trường hợp đặc biệt ở đó tập lồi đa diện phụ thuộc tham số có dạng Θ(ω) := {x ∈ Rn | a∗ , x ≤ ωi , i ∈ T }, i trong đó {a∗ ∈ Rn | i ∈ T } là một họ các vectơ đã cho Lấy e∗ (i ∈ i i {1, 2,... 2, , rP } Xét ánh xạ Θ−1 được định nghĩa như trong (1.2) Ta nhắc lại rằng T N ((x, p); gphΘ−1 ) = pos {(CiT , −Di ) | i ∈ I(x, ω)} Tiếp theo chúng ta thiết lập một bổ đề cơ bản về tập chỉ số Bổ đề 2.1 Cho P ⊂ Q ⊂ I và P ∈ I(¯, ω , ξ ∗ ) Giả sử tồn tại x ∈ Θ(ω) x ¯ ¯ ¯ và một dãy {ξ ∗ } ⊂ F(x, ω) sao cho I(x, ω) = Q và lims→∞ ξ ∗ = ξ ∗ Khi s s đó, với mỗi k ∈ {1, 2, , rP }, ta có ∗ I1 (x, ω, ξs... Hơn nữa, rõ ràng KerD∗ F(¯) = {0} Áp dụng Định lí 3.1 trong [7] về hàm ẩn đa trị ˜ S(b, q) = {x ∈ Rn |0 ∈ F(x, b, q)}, ta có khẳng định của định lý Theo [10, Định nghĩa 1.47], ta nói S là chính quy metric địa phương xung quanh (¯, ¯ x) ∈ gphS nếu µ > 0, γ > 0 và lân cận U của x, V của q b, ¯ ¯ (¯, ¯ sao cho q b) dist((q, b); S −1 (x)) µdist(x; S(q, b)) với mọi x ∈ U và (q, b) ∈ V thỏa mãn dist(x; S(q, . R m → R n là hàm khả vi liên tục. Đề tài Đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số và ứng dụng nhằm thiết lập công thức chính xác tính đối đạo hàm của ánh xạ F xác định. biến phân và đạo hàm suy rộng. Đưa ra công thức chính xác tính đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ nón pháp cho các tập lồi đa diện có tham số. 1.1 Một số kiến thức cơ bản về đối đạo hàm Cho F : R m ⇒. 2 Đối đạo hàm Mordukhovich của F Trong chương này chúng ta trình bày công thức tính đối đạo Mor- dukhovich của ánh xạ nón pháp của các tập lồi đa diện có tham số. 2.1 Bổ đề về tập các chỉ số Các