Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số

LỜI CẢM ƠN Luận văn "Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số" được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Vuông. Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các anh chị và các bạn. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới: Ban Giám hiệu, các GS, TS dạy chuyên nghành Toán Giải tích, Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Tiến sĩ Trần Văn Vuông, người thầy kính mến đã tận tình hướng dẫn, dạy bảo, động viên, khích lệ để tôi vươn lên trong học tập và hoàn thành luận văn. Xin gửi lời cám ơn tới bạn bè, các anh chị trong lớp Toán Giải tích K13 Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã động viên và giúp đỡ tôi trong những lúc tôi gặp khó khăn. Xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân đã luôn ở bên cạnh động viên, giúp đỡ tôi học tập và hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2011 Tác giả Phạm Thị Ngân Hà i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Vuông. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2011 Tác giả Phạm Thị Ngân Hà ii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Định lý ánh xạ co Banach và định lí hàm ẩn . . . . . . . 22 2 Phương pháp Lyapunov-Schmidt 27 2.1. Điểm rẽ nhánh và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. Phương pháp Lyapunov - Schmidt . . . . . . . . . . . . . 31 2.3. Bổ đề Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân 42 3.1. Phương pháp nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2. Định lí Krasnoselskij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3. Định lí Rabinowitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4. Phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 iii Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 62 iv BẢNG KÍ HIỆU N Tập số tự nhiên N ∗ Tập số tự nhiên khác không R Tập số thực Z Tập số nguyên C Tập số phức C p Không gian các hàm khả vi liên tục cấp p R n Không gian thực n chiều C [a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b] x Chuẩn của véc tơ x ∅ Tập hợp rỗng  kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm và Giải tích hàm có vai trò quan trọng đặc biệt đối với toán học cơ bản và ứng dụng. Môn học và lĩnh vực này đã được giảng dạy khá nhiều năm cho sinh viên các năm cuối ở khoa Toán ở các trường Đại học Sư phạm và Đại học Khoa học Tự nhiên. Không gian Banach là một phần rất quan trọng của Giải tích hàm nói riêng và chuyên ngành toán Giải tích nói chung. Cho X và Y là các không gian Banach, giả sử f ∈ C(X; Y ), chúng ta thường quan tâm đến các tập nghiệm của phương trình f(x) = 0. Tuy nhiên, để có những phương pháp tối ưu tìm ra nghiệm của phương trình này, chúng ta nghiên cứu các phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số có dạng: f(x, λ) = 0, trong đó f : X × Y → Z , với X, Y , Z là các không gian Banach. Thông thường ta xét Y = R. Cho các giá trị đã biết λ , các nghiệm mới có thể xuất hiện. "Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số" đã nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến. Đó chính là lí do tôi đã chọn đề tài này với mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về các phương pháp giải của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu và trình bày một cách có hệ thống, chi tiết về một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số trong không gian Banach như: Phương pháp Lyapunov- Schmidt, phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân. 5. Phương pháp nghiên cứu - Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Giả thiết khoa học Trình bày hệ thống những vấn đề cơ bản về một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số trong không gian Banach. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Không gian định chuẩn, không gian Banach và không gian Hilbert là các không gian quan trọng trong Giải tích hàm. Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản về không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, một số tính chất quan trọng và các ví dụ minh họa về các không gian này. Cuối cùng chúng tôi trình bày Định lý ánh xạ co Banach và Định lý hàm ẩn. 1.1. Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.1. [4] Ta gọi không gian tuyến tính định chuẩn (hay không gian định chuẩn) là một không gian tuyến tính X trên trường K (thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, ký hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau: 1. x ≥ 0, với ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = θ (θ là phần tử không trong X); 2. αx = |α|x, với ∀x ∈ X, ∀α ∈ K; 3. x + y ≤ x + y, với ∀x, y ∈ X. Số x gọi là chuẩn của phần tử x. 4 Ví dụ 1.1.1. Kí hiệu R k là không gian thực k chiều. Trên R k ta xác định chuẩn: x =     k  i=1 |x i | 2 , x = (x 1 , x 2 , , x k ) ∈ R k . (1.1) Khi đó, R k là một không gian định chuẩn. Thật vậy ta có x = 0. Tương đương     k  i=1 |x i | 2 = 0. Suy ra |x i | = 0, ∀i = 1, 2, , k. Hay x i = 0, ∀i = 1, 2, , k. Do đó x = 0. Với mọi x = (x 1 , x 2 , , x k ), y = (y 1 , y 2 , , y k ) thuộc R k ta có: x + y =     k  i=1 |x i + y i | 2 ≤     k  i=1 (|x i | + |y i |) 2 =     k  i=1 |x i | 2 + 2 k  i=1 |x i ||y i | + k  i=1 |y i | 2 . Theo bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopski ta có: k  i=1 |x i ||y i | ≤     k  i=1 |x i | 2 k  i=1 |y i | 2 . 5 Từ đó suy ra     k  i=1 |x i | 2 + 2 k  i=1 |x i ||y i | + k  i=1 |y i | 2 ≤      k  i=1 |x i | 2 + 2     k  i=1 |x i | 2 k  i=1 |y i | 2 + k  i=1 |y i | 2 =           k  i=1 |x i | 2 +     k  i=1 |x i | 2  2 =     k  i=1 |x i | 2 +     k  i=1 |y i | 2 = x + y. Với mọi x ∈ R k , và với mọi λ ∈ K, ta có: λx =     k  i=1 |λx i | 2 = |λ|     k  i=1 |x i | 2 = |λ|x. Vậy R k với chuẩn (1.1) là một không gian định chuẩn. Định lý 1.1.1. [3] Cho không gian định chuẩn X. Với hai điểm bất kì x, y ∈ X, ta đặt: d(x, y) = x − y. Khi đó d là một metric trên X. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh d : X ×X −→ R d(x, y) = x − y, là metric trên X. [...]... về một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số Chương 2 Phương pháp Lyapunov-Schmidt Cho X, Y là các không gian Banach Giả sử f ∈ C(X; Y ), chúng ta quan tâm đến các tập nghiệm của phương trình f (x) = 0 Tuy nhiên, câu hỏi này quá tổng quát để đưa ra câu trả lời chính xác, thậm chí khi các không gian X, Y là hữu hạn chiều Do đó dẫn chúng ta đến việc nghiên cứu các phương trình phi. .. λx thì ∂x f (0, λ) = (1 − λ)I Vì vậy, λ = 1 là một giá trị riêng kép Nếu (x, λ) là một nghiệm của phương trình f (u, µ) = 0 thì ta có: x1 + 2x1 x2 − λx1 = 0 (1) x2 + x2 + 2x2 − λx2 = 0 (2) 1 2 Rõ ràng x2 = 0 kéo theo x1 = 0 Vì vậy, phương trình có một nghiệm không tầm thường x2 = 0 Nếu x1 = 0 thì theo phương trình (1) ta có x2 = λ−1 2 Thay vào phương trình (2) ta được: x1 = 0, điều này vô lý Vậy λ−1... x2 = x1 = 0, x2 = λ−1 2 31 2.2 Phương pháp Lyapunov - Schmidt Ở đây ta xét các phương trình có dạng f (u, µ) = 0, với f : X × R → Y là một hàm liên tục, X, Y là các không gian Banach Định nghĩa 2.2.1 [8] Một toán tử tuyến tính T : X → Y giữa các không gian Banach X và Y được gọi là một toán tử Fredholm (Fredholm operator) nếu Ker(T ) là hữu hạn chiều và hạng (T ) có số đối chiều hữu hạn (nghĩa là:... tính A thường gọi là phi m hàm tuyến tính Định nghĩa 1.3.2 [3] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn Một toán tử A : X → Y gọi là bị chặn, nếu có một hằng số C > 0 để cho Ax ≤ C x , ∀x ∈ X Giá trị nhỏ nhất của số C thỏa mãn hệ thức trên được gọi là chuẩn của toán tử A và được ký hiệu là ||A|| Định nghĩa 1.3.3 [3] Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, {At ∈ T } là một họ các toán tử tuyến tính At : X... chí khi các không gian X, Y là hữu hạn chiều Do đó dẫn chúng ta đến việc nghiên cứu các phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số có dạng: f (x, λ) = 0, trong đó f : X × Y → Z, với X, Y , Z là các không gian Banach Thông thường ta xét Y = R Đây là việc làm khá thông dụng cho phương trình trên với một họ nghiệm "đẹp" thường được gọi là các nghiệm tầm thường Tuy vậy, với các giá trị đã biết λ, các nghiệm... gian Hilbert Định nghĩa 1.5.1 [3] Cặp (H, < , >) trong đó H là một không gian tuyến tính (thực hoặc phức) và < , >: H × H −→ K (x, y) −→< x, y > là một hàm số (thực hoặc phức), được gọi là một tích vô hướng trong H nếu các điều kiện sau được thoả mãn: 1 < y, x >=< x, y >, với mọi x, y ∈ H (Kí hiệu < x, y > là số phức liên hợp của số phức < x, y >) 2 < x + y, z >=< x, z > + < y, z >, với mọi x, y,... tồn tại một dãy {(xn ,λn )} các nghiệm không tầm thường, sao cho xn → 0 và λn → λ 0 khi n → ∞ Nhưng không đảm bảo sự tồn tại các nhánh nghiệm liên tục (x(λ), λ) với x(λ) → 0 khi λ → λ0 Định lý 2.1.1 [8] Cho f : X × Y → Z là hàm khả vi Nếu (0, λ0 ) ∈ X × Y là một điểm rẽ nhánh, thì ∂x f (0, λ0 ) : X → Z không phải là một phép đẳng cấu Chứng minh Cho {(xn ,λn )} là một dãy các nghiệm của phương trình. .. xn Nếu ∂x f (0, λ0 ) là một phép đẳng cấu, thì ∂x f (0, λn ) bị chặn với n đủ lớn và nghịch đảo của nó cũng bị chặn, độc lập với n Khi f (0, λn ) = 0, ta có: xn = −(∂x f (0, λn ))−1 R(xn , λn ) Với hằng số C > 0, độc lập với n, ta có: xn ≤ C R(xn , λn ) Vậy ∂x f (0, λ0 ) không là một phép đẳng cấu Ví dụ 2.1.1 Cho X = Y = Z = R Đặt f (x, λ) = x − x2 λ Với một số thực λ bất kì thuộc R, điểm (0, λ) không... cần không phải là điều kiện đủ Ví dụ 2.1.3 Cho X = Y = Z = R, f (x, λ) = x + x3 − λx Vì (0, λ) luôn là một nghiệm của phương trình f (u, µ) = 0 Hơn nữa, x = 0 và (x, λ) là một nghiệm thì: x2 = λ − 1 Thật vậy, phương trình không có các nghiệm không tầm thường với λ ≤ 1, trong khi có một nhánh các nghiệm không tầm thường cho bởi parabol được rẽ nhánh bởi nhánh tầm thường tại (0, 1) Ta lại có: ∂x f (0,... 0 Do ∂x f (0, λ) = (β − λ)I và rẽ nhánh chỉ có thể xảy ra tại (0, β) Nên nếu (x, λ) với x = 0, λ = β là một nghiệm của phương trình f (u, µ) = 0, thì với i = 1, 2, ta có γxi (x2 + x2 ) = (λ − β)xi 1 2 30 Do đó x2 + x2 = 1 2 λ−β γ là một parabol xoay quanh trục λ Trong trường hợp này, ta có một số không đếm được các nhánh bắt nguồn từ điểm (0, β) Mặt khác, không có các nghiệm không tầm thường với λ . pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số. 4. Đối tượng và phạm. các nghiệm mới có thể xuất hiện. " ;Một số phương pháp giải phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số& quot; đã nghiên cứu các phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến. Đó chính là lí do tôi. cứu Các phương pháp tìm nghiệm của phương trình phi tuyến phụ thuộc tham số trong không gian Banach như: Phương pháp Lyapunov- Schmidt, phương pháp nhiễu và phương pháp biến phân. 5. Phương pháp