Nghiệm của một lớp phương trình ellipptic phi tuyến cấp hai với số mũ âm trong r3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Ngơ Phương Thảo NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN CẤP HAI VỚI SỐ MŨ ÂM TRONG R3 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Ngơ Phương Thảo NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN CẤP HAI VỚI SỐ MŨ ÂM TRONG R3 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số:60460102 Cán hướng dẫn: TS Ngơ Quốc Anh Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Sau hai năm học tập trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, bảo, dạy dỗ tận tình thầy tơi hồn thành mơn học chương trình đào tạo thạc sĩ- chun ngành tốn giải tích Tơi nhận luận văn thầy TS Ngô Quốc Anh hướng dẫn, đến tơi hồn thành luận văn Trước trình bày nội dung luận văn, xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Ngô Quốc Anh, người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt tới Ban chủ nhiệm Khoa sau đại học tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại Học Quốc gia Hà Nội, người người thầy, người cô, thời gian qua dạy bảo tơi tận tình kiến thức chun mơn mà truyền cho tơi niềm đam mê, nhiệt thành, tâm huyết với mơn tốn học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn cao học Hà Nội, Ngày 19 tháng năm 2017 Học viên Ngô Phương Thảo i Mục lục Lời cảm ơn i Lời mở đầu iv Giới thiệu vấn đề 1 Một vài kết chuẩn bị 1.1 Các ước lượng 1.2 Nguyên lý so sánh cho nghiệm phương trình bậc cao 1.3 Một số kết nghiệm phương trình ∆2 u + u−q = R3 10 1.3.1 Các bổ đề 10 1.3.2 Điều kiện cần q để phương trình ∆2 u + u−q = R3 có nghiệm 13 1.3.3 Tốc độ tăng nghiệm phương trình ∆2 u + u−q = R3 16 1.4 Bài toán giá trị ban đầu 18 Nghiệm phương trình ∆2 u + u−q = R3 tăng với tốc độ tuyến tính 26 2.1 Dáng điệu tiệm cận 27 2.2 Chứng minh Định lý 2.1 39 2.2.1 Trường hợp q > 39 2.2.2 Trường hợp q = 40 ii 2.3 Chứng minh Định lý 2.2 41 2.3.1 Trường hợp q = 42 2.3.2 Trường hợp < q < 43 Nghiệm phương trình ∆2 u + u−q = R3 tăng với tốc độ bình phương 44 3.1 Dáng điệu tiệm cận 45 3.2 Tốc độ tăng bậc hai phương trình ∆2 u + u−q = tùy ý 50 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 51 3.4 Chứng minh Định lý 3.2 52 3.4.1 Trường hợp q > 3/2 52 3.4.2 Trường hợp q = 3/2 3.4.3 Trường hợp < q < 3/2 54 53 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 iii LỜI MỞ ĐẦU Tốn học mơn khoa học ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật đời sống Trong tốn học có nhiều chun ngành khác Phương trình đạo hàm riêng chuyên ngành toán học Tuy nhiên, số tốn phương trình đạo hàm riêng cấp cao việc tìm nghiệm gặp nhiều khó khăn Trong Luận văn này, R3 tơi xét tốn tìm nghiệm phương trình cấp hai cho véc tơ (u, v)      u u   ∆  =  v −u−q−1 v cách viết lại phương trình theo u ta thu phương trình cấp bốn ∆2 u + u−q = R3 ẩn hàm u Ở ta xét trường hợp q > phương trình xét có số mũ âm −q Nói chung phương trình đạo hàm riêng xét ta gặp hai khó khăn sau: (1) miền xác định u tồn khơng gian R3 (2) phương trình có chứa số mũ âm Để bước đầu cung cấp thơng tin định tính cho nghiệm phương trình trên, ta giải tốn trường hợp hàm u phụ thuộc vào khoảng cách đến gốc toạ độ gọi nghiệm nghiệm cầu Với lý trên, tập trung nghiên cứu dáng điệu nghiệm cầu phương trình ∆2 u + u−q = vô Nội dung Luận văn lấy bốn tài liệu sau [KR03, CX09, Gue12, DN16] Các kết Luận văn bao gồm: (1) Chỉ nghiệm cầu phương trình ∆2 u + u−q = tăng với tốc độ tuyến tính nhiều với tốc độ bình phương (2) tồn nghiệm cầu với tốc độ tăng tương ứng Về bố cục, Luận văn chia làm chương đánh số từ đến Trong Chương tập trung giới thiệu vấn đề nghiên cứu iv Chương dành để trình bày số kết chuẩn bị dùng chương Một kết quan trọng chương việc điều kiện q > cần thiết để phương trình có nghiệm; xem Định lý 1.10 Trong Chương 2, tồn nghiệm cầu phương trình ∆2 u + u−q = R3 tăng với tốc độ tuyến tính q ≥ 3; xem Định lý 2.1 Bằng cách tiếp cận tương tự Chương 2, Chương 3, chúng tơi nghiên cứu nghiệm cầu phương trình ∆2 u + u−q = R3 tăng với tốc độ bình phương; xem Định lý 3.1 Do thời gian thực luận văn không nhiều kiến thức hạn chế nên làm luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! v Chương Giới thiệu vấn đề Trong lý thuyết định tính phương trình đạo hàm riêng, (hệ) phương trình elliptic cấp hai dạng ∆U = F (x, U ) (1) đề tài nghiên cứu thu hút nhiều nhà khoa học Một lý giải thích cho điều nằm chỗ (hệ) phương trình elliptic mơ hình để mơ tả tượng vật lý tự nhiên Chẳng hạn trường hợp vơ hướng ta xem phương trình Laplace ∆u = dạng định luật bảo tồn trường vị Một ví dụ khác (1) mà ta xét trường hợp      u λ δ u   ∆  =  v θ γ v Đây mơ hình cho hệ phản ứng–khuếch tán lý sinh học Trong Luận văn này, tập trung nghiên cứu nghiệm dương phương trình ∆2 u + u−q = (2) R3 với q > Rõ ràng cách ký hiệu   u U =  ∆u phương trình (2) viết dạng phương trình véc tơ    U ∆U =  −u−q−1 (3) Để hình dung lý ta lại nghiên cứu phương trình (2) phương trình (3), đề cập đến ý nghĩa nghiên cứu tốn Q-độ cong hình học giải tích Trước đề cập đến tốn Q-độ cong hình học giải tích, xét trường hợp tốn độ cong vơ hướng hình học giải tích Cho trước đa tạp Riemann compact n chiều (M, g) với n ≥ Ta xét toán tử Lg xác định Lg = − 4(n − 1) ∆g + Rg n−2 ký hiệu Rg để độ cong vô hướng metric g ∆g để tốn tử Laplace tính theo metric g Giả sử v hàm dương trơn M Xét metric xác định công thức g = v 4/(n−2) g Rn trường hợp hai metric g g gọi bảo giác với Khi độ cong vơ hướng g tính cơng thức n+2 Rg = Lg (v)v − n−2 Bài tốn độ cong vơ hướng (M, g) phát biểu sau: Cho trước hàm f M , hỏi có tồn metric g bảo giác với g cho Rg = f ? Rõ ràng câu hỏi tương đương với việc giải phương trình Lg (v) = f v (n+2)/(n−2) để tìm v Bây ta xét trường hợp đặc biệt (M, g) mặt cầu n chiều (Sn , gstd ) gstd metric chuẩn mặt cầu Sn Trong trường hợp này, toán tử Lgstd trở thành Lgstd = −∆gstd + (n − 1)! Trong trường hợp ta viết lại phương trình xét n+2 Lgstd (v) = f v n−2 (4) Ký hiệu π : Sn → Rn để phép chiếu từ mặt cầu Sn lên mặt phẳng Rn Đặt u(x) = v(π −1 (x)) + |x|2 − n−2 (5) với x ∈ Rn Từ [Gra07, Mệnh đề 1] ta biết − n+2 2 + |x|2 (−∆)u(x) = Lgstd v(π −1 (x)) (6) Do cách sử dụng phép chiếu π, ta chiếu phương trình (4) cho v Sn lên Rn để phương trình n+2 − ∆u = (f ◦ π −1 )u n−2 (7) cho u Rõ ràng Lg toán tử vi phân cấp hai Một mở rộng tương tự trường hợp toán tử Lg dẫn ta đến toán tử vi phân cấp bốn Pg mà ta đề cập Cho trước đa tạp Riemann compact n chiều (M, g) với n ≥ Ta xét toán tử Paneitz Pg định nghĩa sau Pg = ∆2g − δ [(an Rg g + bn Ricg ) d] + n−4 Qg Qg = − n3 − 4n2 + 16n − 16 2 ∆Rg + R − |Ric|2 g 2(n − 1) 8(n − 1)2 (n − 2)2 (n − 2)2 với an = (n − 2)2 + , 2(n − 1)(n − 2) bn = − n−2 Ở Qg gọi Q-độ cong metric g ứng với toán tử Pg Các nghiên cứu gần Q-độ cong cho thấy đối tượng hình học chứa đựng nhiều thông tin thú vị mà ta chưa biết, chẳng hạn Q-độ cong tham gia công thức Gauss–Bonnet–Chern tiếng sau Qg dµg + M |Wg |2g dµg = 8π χ(M ), M χ(M ) đặc trưng Euler tơ-pơ M Wg ten-xơ Weyl (M, g) Tương tự toán tử Lg , toán tử Pg có tính chất bảo giác: g = u4/(n−4) g với n = metric bảo giác g, với ϕ ∈ C ∞ (M ), ta có n+4 Pg (ϕu) = u n−4 Pg (ϕ) Đặc biệt, chọn ϕ ≡ Pg (u) = n+4 n−4 Qg u n−4 (8) 2.3.2 Trường hợp < q < Vẫn sử dụng phương trình (2.14) ta có r r u(r) − αr 1 −q t u dt − 4−q t3 u−q dt = 3−q 4−q r 2r 2r 0 r ∞ 1 + 5−q t4 u−q dt + 2−q tu−q dt 6r 6r r 4−q + u(0)r − αrq−3 (2.19) Áp dụng quy tắc L’Hơpital giới hạn tích phân đầu cơng thức (2.19) ta có lim r→∞ 2r 3−q r r2 u−q u−q t u dt = lim = lim r→∞ 2(3 − q)r 2−q r→∞ 2(3 − q)r −q −q Tương tự với tích phân lại ta có r→∞ 2r 4−q r r→∞ 6r 5−q r r4 u−q u−q = lim , r→∞ 6(5 − q)r 4−q r→∞ 6(5 − q)r −q t4 u−q dt = lim lim r→∞ 6r 2−q r3 u−q u−q = lim , r→∞ 2(4 − q)r 3−q r→+∞ 2(4 − q)r −q t3 u−q dt = lim lim +∞ −ru−q −u−q = lim r→∞ 6(2 − q)r 1−q r→∞ 6(2 − q)r −q tu−q dt = lim lim r Lấy giới hạn hai vế hai vế phương trình (2.19) thay tất tính tốn vào ta có u−q 1 1 − + − −q r→+∞ 2r − q − q 3(5 − q) 3(2 − q) 1 1 = − + − q 2α − q − q 3(5 − q) 3(2 − q) lim rq−4 (u − αr) = r→∞ lim Định lý chứng minh xong 43 Chương Nghiệm phương trình ∆2u + u−q = R3 tăng với tốc độ bình phương Trong chương ta tồn nghiệm phương trình (1.1) tăng với tốc độ bình phương vơ Kết chương hai định lý sau đây: Định lý 3.1 Với κ > q > cho trước bất kỳ, tồn vô số nghiệm cầu u tăng với tốc độ bình phương vơ theo nghĩa u(x) = κ |x|→∞ x2 lim Hơn nữa, nghiệm cầu u giới hạn κ liên hệ với theo công thức ∞ tu−q (t)dt 6κ = (∆u)(0) − Định lý vô thành phần tăng nhanh nghiệm u x2 Định lý sau nghiên cứu thành phần có cấp tăng thấp u vô Định lý 3.2 Giả sử u nghiệm cầu tăng với tốc độ bình phương vơ tìm Định lý 3.1 Ký hiệu κ > để cấp độ tăng bình phương Khi ta có dáng điệu tiệm cận u(x) − κ|x|2 vô sau (a) Với q > 3/2 u(x) − κ|x|2 = |x|→∞ |x| ∞ |x|2 u−q (x)dx lim (b) Với q = 3/2 u(x) − κ|x|2 = 3/2 |x|→∞ |x| log(|x|) 2κ lim 44 (c) Với < q < 3/2 u(x) − κ|x|2 = χ, |x|→∞ |x|4−2q lim với χ= 2κq 1 1 − + − − 2q − 2q 3(5 − 2q) 3(2 − 2q) Các định lý nội dung Định lý [DN16] 3.1 Dáng điệu tiệm cận Cũng giống chương trước, để tồn nghiệm cầu tăng với tốc độ bình phương vơ cùng, ta xét tốn (1.14) Thay chọn u = Uβ ∗ chương trước, chương ta chọn u = Uβ với β > β ∗ Rõ ràng ∆u = v ∆v = −u−q R3 , (3.1) R3 Để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận (3.1), ta tiếp tục sử dụng phép biến đổi Emden–Fowler ru x(t) = , u rv y(t) = , v r2 v z(t) = , u để chuyển hệ (3.1) hệ tương đương  x =    y = z =    w = với = d/dt Các    p0 =    p1 =     p2 =      p3 = p4 =    p5 =     p6 =      p7 =   p = r2 u−q w(t) = , v t = log r (3.2) sau x(−1 − x) + z, y(−1 − y) − w, z(2 − x + y), w(2 − qx − y), (3.3) điểm tới hạn (3.3) (0, 0, 0, 0), (0, −1, 0, 0), (0, 2, 0, −6), (−1, 0, 0, 0), (−1, −1, 0, 0), (−1, + q, 0, −(q + 2)(q + 3)), (2, 0, 6, 0), (1, −1, 2, 0), (a, a − 2, a(1 + a), (2 − a)(a − 1)) 45 với a = 4/(q + 1) Theo Mệnh đề 1.16(b), nghiệm u toán giá trị ban đầu (1.14) tồn với t, giới hạn sau tồn γ = lim v(r), r→∞ với v = ∆u Theo Mệnh đề 1.16(c,d) γ > Do −∆v = u−q v (0) = nên chứng minh chương ta có r r r tu−q dt + v(r) = v(0) − t2 u−q dt (3.4) Do γ > nên tồn hai số dương a b cho u(r) ≥ ar2 + b với r > Khi với q > r2 (ar2 + b)q ≤ r2 u−q (r) ≤ Từ ta thu kết sau Hệ 3.3 Với q > ta có r2 u−q (r) → r → ∞ Từ Hệ 3.3 phương trình (3.4), cho r → ∞ ta có ∞ tu−q dt < ∞ v(0) = γ + (3.5) Từ ta có ∞ r tu−q dt − v(r) = γ + ∞ = γ+ r tu−q dt + tu−q dt + r Vậy ta ∞ r r t2 u−q dt r t2 u−q dt tu dt + r r −q v(r) = γ + r t2 u−q dt Đạo hàm hai vế ta r −1 r −q t u dt + t2 u−q dt r2 r r 1 = −ru−q − t2 u−q dt + r2 u−q r r r = − t2 u−q dt r v (r) = −ru−q + 46 (3.6) Vậy ta r v (r) = − r t2 u−q dt (3.7) Từ ta có ∞ r γ+ v(r) = rv (r) = − = − tu−q dt + − r ∞ r r −q t u dt r −q t u dt ∞ r γr + r r tu−q dt + r −q t u dt r −q t u dt tu−q dt + γr − r −q t u dt r Từ tính tốn v(r)/(rv (r)) ta có khẳng định sau Khẳng định 3.4 Ta có v(r) → −∞ rv (r) r → ∞ Điều tương đương với y(r) → r → ∞ Chứng minh Tùy thuộc vào giá trị q ta có hai trường hợp sau: Giả sử q > 3/2, ∞ −q t u dt hội tụ Vì vậy, γ > nên ta có − r ∞ r tu−q dt + γr − → −∞ r −q t u dt Trong trường hợp lại < q ≤ 3/2, áp dụng quy tắc L’Hơpital ta có ∞ r tu−q dt + γr −1 r −q t u dt r v(r) lim = − lim r→∞ rv (r) r→∞ = − lim ∞ r ∞ tu−q dt r r −q t u dt −q tu−q dt + r r→∞ ∞ r +γ −1 tu−q dt − r u + γ = − lim −1 r→∞ r2 u−q ∞ tu−q dt + γ = −∞ = − lim r r→∞ r2 u−q Khẳng định chứng minh xong Do ∆u = v, u(0) = 1, u (0) = nên u (r) = r2 r t2 v(t)dt (3.8) Tích phân hai vế theo r ta thu r tvdt − u(r) = + 47 r r t2 vdt (3.9) Từ suy 1+ u(r) = r v(r) r tvdt − 1r r2 v(r) r t vdt Điều tương đương với u(r) 1 = + 2 r v(r) r v(r) r v(r) r tvdt − r v(r) r t2 vdt Từ tính tốn u(r)/(r2 v(r)) ta có hai khẳng định sau Khẳng định 3.5 Ta có u(r) → r v(r) r → ∞ Điều tương đương với z(r) → r → ∞ Chứng minh Áp dụng quy tắc L’Hơpital ta có r→∞ r v(r) r lim tvdt = rv(r) r→∞ 2rv(r) + r v (r) lim Chia tử mẫu cho rv(r) từ Khẳng định 3.4 ta có r→∞ r v(r) r tvdt = lim lim r→∞ 2+ rv (r) v(r) = Tương tự, dùng quy tắc L’Hơpital từ Khẳng định 3.4 ta có r→∞ r v(r) r tvdt = lim lim r→∞ 3+ rv (r) v(r) = Từ công thức (3.10), lấy giới hạn hai vế r → ∞ ta lim r→∞ u(r) = r v(r) Khẳng định chứng minh Khẳng định 3.6 Ta có r2 u−q (r) →0 v(r) r → ∞ Điều tương đương với w(r) → r → ∞ Chứng minh Từ Khẳng định 3.4 cơng thức (3.7) ta có r2 u−q r) = r→∞ v(r) lim r2 u−q (r) rv (r) lim r→∞ rv (r) r→∞ v(r) r2 u−q (r) rv (r) = lim lim r −q r→∞ r(1/r ) t u (r)(t)dt r→∞ v(r) lim 48 (3.10) = lim r→∞ rv (r) r3 u−q (r) lim = r −q t u (t)dt r→∞ v(r) Vậy ta có điều phải chứng minh Khẳng định 3.7 Ta có u(r) → ru (r) r → ∞ Điều tương đương với x(r) → r → ∞ Chứng minh Từ phương trình (3.9)và (3.8) ta có 1+ u(r) = ru (r) r r tvdt − 1r t2 vdt r t vdt r Từ đó, ta r r tvdt r + r0 − r t vdt t vdt 0 u(r) = ru (r) (3.11) Theo quy tắc L’Hơpital ta có lim r→∞ r r t v(t)dt = lim r→∞ r v(t) = 0, theo chứng minh Khẳng định 3.5 ta có lim r→∞ r r tv(t)dt = lim r r→∞ t v(t)dt r2 v r3 v r r tv(t)dt = tv(t)dt Từ công thức (3.11) cách lấy giới hạn hai vế r → ∞ ta có điều phải chứng minh Từ Khẳng định 3.3, 3.4, 3.5 ta thấy nghiệm (x, y, z, t) hệ (3.3) ứng với nghiệm cầu u = Uβ với β > β ∗ bị hút điểm p6 = (2, 0, 6, 0) Do ta chứng minh Định lý 3.1 Tuy nhiên để chứng minh Định lý 3.2 ta cần thêm thông tin dáng điệu tiệm cận u vô cùng, ta phải phân tích dáng điệu tiệm cận hệ (3.3) xung quanh điểm (2, 0, 6, 0) Với q > tuyến tính hóa hệ (3.3) (x, y, z, t) cho ma trận   −2x − 1   −2y − −1    −z  z −x + −qw −w −qx − y + 49 Tại điểm p6 = (2, 0, 6, 0) ma trận trở  −5  −1 A= −6 0 thành  0 −1   0  −2q + Ma trận có giá trị riêng λ1 = −1, λ2 = −2, λ3 = −3, λ4 = − 2q Do giá trị riêng khác với q > nên tồn cq = cho xảy trường hợp: Với q > 3/2 ru (r) = + cq e−t + o(e−t ), u(r) (3.12) ru (r) = + cq te−t + o(te−t ), u(r) (3.13) t → ∞ Với q = 3/2 t → ∞ Với < q < 3/2 ru (r) = + cq e−(2q−2)t + o(e−(2q−2)t ) u(r) (3.14) t → ∞ 3.2 Tốc độ tăng bậc hai phương trình ∆2 u + u−q = tùy ý Trong mục ta chứng minh tốc độ tăng bình phương nghiệm cầu tùy ý Thật vậy, giả sử u nghiệm cầu phương trình ∆2 u + u−q = (1.1) cho u(r) = κ, r2 > tùy ý, tồn nghiệm cầu v lim r→∞ với κ > Khi với phương trình (1.1) cho v(r) = r→∞ r lim Thật vậy, ta đặt δ v(r) = κ α u κ r Dễ thấy v nghiệm phương trình (1.1) (1 + q)δ + 4α = Để có giới hạn limr→∞ u(r)/r2 = ta cần δ + 2α = Từ hai điều kiện giải ta δ = −2/(q + 1) α = (q + 1)/(2(q − 1)) Rõ ràng với q > giá trị δ α tồn 50 3.3 Chứng minh Định lý 3.1 Từ đẳng thức (3.9) (3.6) ta thấy ∞ r r tγdt + u(r) = + r t su−q dsdt + t s2 u−q dsdt t 0 r r ∞ −q r − t γdt − t su dsdt − t r r r t r ∞ r t γr2 =1+ + t su−q dsdt + s2 u−q dsdt t 0 r ∞ r t 1 −q − t su dsdt − t s2 u−q dsdt r r t t s2 u−q dsdt Áp dụng tích phân phần, làm tương tự chương trước, ta thu r r −q r r −q t u dt − t u dt + t4 u−q dt u(r) = 2 6r (3.15) ∞ r γr2 −q + + tu dt + r Chú ý (3.15) có nghĩa với q > tích phân suy rộng ∞ r theo Hệ 3.3 Trường hợp tổng quát, số hạng ∞ r tu−q dt hội tụ tu−q dt không xác định với q < u nghiệm phương trình (1.1) Từ phương trình (3.15) chia hai vế cho r2 ta có u(r) = r 2r r r r 1 −q t u dt + t4 u−q dt 2r2 6r3 ∞ −q γ + tu dt + + r r t2 u−q dt − Cho r → ∞ hai vế ta κ = γ/6 Từ phương trình (3.5) ∆u = v nên ta có ∞ ∞ tu−q dt = ∆u(0) − γ = v(0) − 0 Từ ta κ= tu−q dt γ = 6 ∞ tu−q dt ∆u(0) − (3.16) Cuối cùng, chọn β > β ∗ tùy ý, ta kết luận tồn vô số nghiệm cầu phương trình (1.1) với tốc độ tăng bình phương vơ hạn với q > Để thấy điều này, ta chọn β1 = β2 > β ∗ theo phương pháp để chọn uβ với tốc độ tăng bình phương κi vô hạn, nghĩa limr→∞ uβi /r2 = κi với i = 1, ta định nghĩa   u β2 ωβ2 = κ1  κ2 κ1 = κ2 , − q−1 uβ2 κ1 κ2 51 q+1 2(q−1) r κ1 = κ2 Chú ý uβi khác β1 = β2 Hơn trường hợp κ1 = κ2 ta có ωβ2 (0) = (κ1 /κ2 )−2/(q−1) = 1, uβ1 = ωβ2 Hơn nữa, dễ dàng thấy limr→∞ ωβ2 (r)/r2 = κ1 Do đó, với > cho trước, ta đặt − q−1 v1 (r) = q+1 uβ1 ( κ1 κ1 ) 2(q−1) r , − q−1 v2 (r) = q+1 ωβ2 ( κ1 κ1 ) 2(q−1) r , ta suy v1 = v2 v1 (r) v2 (r) = lim = r→∞ r r→∞ r lim Định lý chứng minh xong 3.4 Chứng minh Định lý 3.2 Giả sử u nghiệm cầu phương trình (1.1) tăng với tốc độ bình phương vơ hạn tìm Định lý 3.1 Ký hiệu cấp tăng bình phương u vô κ Từ (3.16) ta có κr2 = γr2 /6 Kết hợp điều với phương trình (3.15) ta thu r r u(r) − κr2 = r2 + r t2 u−q dt − t3 u−q dt + r 6r t4 u−q dt ∞ (3.17) −q tu dt + u(0), r biểu diễn có nghĩa với q > 3.4.1 Trường hợp q > 3/2 Xét trường hợp q > 3/2 Chia hai vế phương trình (3.17) cho r ta có u(r) − κr2 = r r 2r r + t2 u−q dt − r r 6r2 ∞ u(0) tu−q dt + r r t3 u−q dt + t4 u−q dt (3.18) Áp dụng quy tắc L’Hơpital tích phân thứ hai công thức (3.18) r3 u−q (r) → r → ∞ nên ta có r→∞ 2r r r3 u−q (r) = r→∞ t3 u−q dt = lim lim 52 Tương tự tích phân thứ ba thứ tư ta có r r→∞ 6r r4 u−q =0 r→∞ 12r t4 u−q dt = lim lim ∞ −ru−q = tu dt = lim −1 r→∞ r r Lấy giới hạn hai vế (3.18) r → ∞ ta r lim r→∞ −q u(r) − κr2 = r→∞ r ∞ t2 u−q dt lim 3.4.2 Trường hợp q = 3/2 Trong trường hợp q = 3/2 chia hai vế phương trình (3.17) cho r log r ta thu r u(r) − κr2 = r log r log r t2 u−q dt − r + 6r log r 2r log r r t3 u−q dt r t4 u−q dt + log r ∞ u(0) tu dt + r log r (3.19) −q r Áp dụng quy tắc L’Hôpital cho giới hạn tích phân đầu phương trình (3.19) ta lim r→∞ log r r r2 u−q r3 u−q = lim r→∞ r→∞ r t2 u−q dt = lim Tương tự với tích phân thứ hai r r→∞ 2r log r r3 u−q r3 u−q = lim r→∞ log r + r→∞ 2(log r + 1) t3 u−q dt = lim lim Với tích phân thứ ba thứ tư ta có r r→∞ 6r log r r4 u−q r3 u−q = lim , r→∞ 12r log r + 6r r→∞ 12 log r + t4 u−q dt = lim lim ∞ r r→∞ log r −ru−q tu−q dt = lim lim r3 u−q r→∞ log r + = lim −1 1 log r + r2 r r Lấy giới hạn hai vế phương trình (3.19) r → ∞ thay kết tính tốn r→∞ r vào ta r3 u−q r3 u−q r3 u−q r3 u−q − + + r→∞ 2(log r + 1) 12 log r + 6 log r + −q r u 1 = lim 1− + + r→∞ 2(log r + 1) 12 log r + log r + u(r) − κr2 = r→∞ r log r lim lim 53 Với q = 3/2 limr→∞ u(r)/r2 = κ nên ta có r3 u−q r3 1 = lim = = lim u 3/2 r→∞ r→∞ 2u3/2 r→∞ 2( )3/2 2κ r lim Do u(r) − κr2 = 3/2 r→∞ r log r 2κ lim 3.4.3 Trường hợp < q < 3/2 Khi q < 3/2, ta chia hai vế phương trình (3.17) cho r4−2q ta có r r u(r) − κr2 1 −q t u dt − 4−2q t3 u−q dt = 3−2q 4−2q r 2r 2r 0 r ∞ 1 u(0) −q + 5−2q t u dt + 2−2q tu−q dt + 4−2q 6r 6r r r (3.20) Áp dụng quy tắc L’Hơpital cho giới hạn tích phân đầu cơng thức (3.20) ta có lim r→∞ r 2r3−2q r2 u−q u−q = lim r→∞ 2(3 − 2q)r 2−2q r→∞ 2(3 − 2q)r −2q t2 u−q dt = lim Tương tự với tích phân lại ta có lim r→∞ lim r→∞ lim r→∞ r 2r4−2q r 6r5−2q r4 u−q u−q = lim , r→∞ 6(5 − 2q)r 4−2q r→∞ 6(5 − 2q)r −2q t4 u−q dt = lim ∞ 6r2−2q r3 u−q u−q = lim , r→∞ 2(4 − 2q)r 3−2q r→∞ 2(4 − 2q)r −2q t3 u−q dt = lim ru−q u−q = lim r→∞ 6(2 − 2q)r 1−2q r→∞ 6(2 − 2q)r −2q tu−q dt = lim r Khi q < 3/2 − 2q > nên u(0)/r4−2q → r → ∞ Lấy giới hạn hai vế phương trình (3.20) r → ∞ thay tính tốn vào ta có u(r) − κr2 u−q 1 1 = lim − + − 4−2q −2q r→∞ r→∞ 2r r − 2q − 2q 3(5 − 2q) 3(2 − 2q) 1 1 = q − + − 2κ − 2q − 2q 3(5 − 2q) 3(2 − 2q) lim Định lý chứng minh xong 54 KẾT LUẬN Đóng góp luận văn bao gồm: Nêu chứng minh lại số kiến thức nghiệm phương trình ∆2 u + u−q = Chứng minh lại cách chi tiết Định lý 1.4 1.6 [Gue12] tốc độ tăng tuyến tính tuyến tính nghiệm phương trình ∆2 u + u−q = (Định lý 2.1, 2.2) 3.Chứng minh lại cách chi tiết Định lý [DN16]về tốc độ tăng bình phương (Định lý 3.1, 3.2) Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong góp ý q thầy bạn đọc 55 Tài liệu tham khảo [CX09] Y.S Choi, X Xu, Nonlinear biharmonic equations with negative exponents, preprint 1999, J Differential Equations 246 (2009), pp 216–234 [DN16] T.V Duoc, Q.A Ngô, A note on positive radial solutions of ∆2 u + u−q = in R3 with exactly quadratic growth at infinity, Differential and Integral Equations, arXiv:1511.09171 [Gra07] C.R Graham, Conformal powers of the Laplacian via stereographic projection, SIGMA (2007), Art 121 [Gue12] I Guerra, A note on nonlinear biharmonic equations with negative exponents, J Differential Equations 253 (2012), pp 3147–3157 [GW08] Z.M Guo, J.C Wei, Entire solutions and global bifurcations for a biharmonic equation with singular non-linearity in R3 , Adv Differential Equations 13 (2008), pp 753–780 [HV96] J Hulshof, R.C.A.M van der Vorst, Asymptotic behaviour of ground states, Proc Amer Math Soc 124 (1996), pp 2423–2431 [KR03] P.J McKenna, W Reichel, Radial solutions of singular nonlinear biharmonic equations and applications to conformal geometry, Electron J Differential Equations 37 (2003), pp 1–13 [Lai14] B Lai, A new proof of I Guerra’s results concerning nonlinear biharmonic equations with negative exponents, J Math Anal Appl 418 (2014), pp 469–475 56 [Li04] Y Li, Remark on some conformally invariant integral equations: the method of moving spheres, J Eur Math Soc (JEMS) (2004), pp 153–180 [Ngo16] Q.A Ngô, Why the equation ∆u + 1/uα = in Rn has no positive solution? https://goo.gl/AFr2A5 [Wig03] S Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Texts in applied mathematics 2, Springer, 2003 [Xu05] X Xu, Exact solutions of nonlinear conformally invariant integral equations in R3 , Adv Math 194 (2005), pp 485–503 57 ... TOÁN - CƠ - TIN HỌC Ngơ Phương Thảo NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC PHI TUYẾN CẤP HAI VỚI SỐ MŨ ÂM TRONG R3 LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60460102 Cán hướng... > phương trình xét có số mũ âm −q Nói chung phương trình đạo hàm riêng xét ta gặp hai khó khăn sau: (1) miền xác định u tồn khơng gian R3 (2) phương trình có chứa số mũ âm Để bước đầu cung cấp. .. Bằng cách thay số mũ −7 −q với q > 0, phương trình thứ phương trình ta xét (2) Sở dĩ ta khơng nghiên cứu nghiệm phương trình (−∆)2 u = u−q nhiều trường hợp phương trình khơng có nghiệm Kết tương