Nghiệm nhớt của phương trình Đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F (D2u(x),x) = 0 (LV00496)

LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới: T.S Trần Văn Bằng người thầy hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô công tác tham gia giảng dạy phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Các thầy, nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học trường Đồng thời tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập viết luận văn Mặc dù dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý vị độc giả để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà nội, ngày 10 tháng 12 năm 2011 Học viên Thân Văn Tài -1- LỜI CAM ĐOAN Qua trình nghiên cứu luận văn với đề tài "Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = 0" hiểu sâu môn Giải tích đại, đặc biệt mơn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu thân hướng dẫn, bảo nhiệt tình thầy giáo: T.S Trần Văn Bằng thầy, cô tổ Tốn giải tích trường ĐHSP Hà Nội Tôi xin cam đoan kết qủa luận văn không trùng lặp với đề tài khác thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà nội, ngày 10 tháng 12 năm 2011 Học viên Thân Văn Tài -2- Mục lục Mục lục Mở đầu Các kiến thức sở 1.1 Thuật ngữ kí hiệu 1.2 Paraboloid tiếp xúc tính khả vi cấp hai 9 10 Nghiệm nhớt phương trình Elliptic, đánh giá Alexandroff nguyên lý cực đại 16 2.1 Nghiệm nhớt phương trình elliptic 17 2.2 Đánh giá Alexandroff nguyên lý cực đại 27 Bất đẳng thức Harnack 3.1 Bất đẳng thức Harnack 3.2 Tính nghiệm Kết luận Tài liệu tham khảo tính -3- nghiệm 38 38 53 63 64 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Như biết, phương trình đạo hàm riêng nói chung phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = nói riêng có ứng dụng rộng rãi thực tế Có nhiều lĩnh vực nghiên cứu đại mà phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị quan trọng như: lý thuyết biểu diễn nhóm nhiều chiều, lý thuyết trường lượng tử, lý thuyết không gian vật lý toán Mặc dù đề cập từ lâu vào khoảng cuối kỉ 18 đầu kỉ 19, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến chưa hoàn thiện Từ đầu kỉ 20 nay, nhu cầu nghiên cứu cách chặt chẽ phương trình đạo hàm riêng kích thích phát triển phương pháp nghiên cứu của: Giải tích thực, Giải tích hàm Tơpơ Một tốn phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn phải có nghiệm Vấn đề nghiệm hiểu theo nghĩa mà thơi Có nhiều phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến thường khơng có nghiệm cổ điển Vì ta phải cố gắng xây dựng lý thuyết nghiệm suy rộng để toán có nghiệmn nghiệm cần phải Năm 1979, Krylov Safonov chứng minh bất đẳng thức Harnack cho nghiệm phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai có dạng khơng divergence với hệ số đo Điều mở cách -4- để phát triển lý thuyết quy cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hồn tồn Cùng thời gian Crandall-Lions [5] Evans [6, 7] giới thiệu khái niệm nghiệm yếu (nghiệm nhớt) cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tuyến tính có dạng khơng divergence, thống với ngun lý Dirichlet nghiệm biến phân lý thuyết phương trình dạng divergence Vì tơi lựa chọn đề tài "Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = 0" Trong luận văn này, tơi trình bày số kết lý thuyết quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hồn tồn: F D2 u, x = f (x), (0.0.1) D2 u Hessian u Trong [3, 4] tác giả nghiên cứu cho phương trình có dạng: F D2 u, x = (0.0.2) (tương ứng với "phương trình với hệ số số" trường hợp tuyến tính) Từ kết ta thu C α , C 1,α , C 2,α v` a 2,p W - đánh giá tiên nghiệm miền cho nghiệm (0.0.1) Khi F elliptic (xem Định nghĩa 2.1.1) Một trường hợp đơn giản trường hợp phương trình tuyến tính, ta giả thiết (0.0.2) ∆u = Lúc ta đánh giá đạo hàm hàm điều hòa (nghiệm ∆u = 0) miền dao độ hàm Ý tưởng tính chất nhiễu tuyến tính nhỏ Laplace Cụ thể hơn, giả sử u nghiệm phương trình elliptic có dạng khơng divergence sau: n ai,j (x)∂ij u = f (x) (0.0.3) i,j=1 Khi ta có, với nghiệm bị chặn u (0.0.3) hình cầu đơn vị B1 Rn : (a) (Đánh giá kiểu Cordes - Nirenberg) -5- Giả sử < α < aij − δij L∞ (B1 ) ≤ δ = δ(α), với δ nhỏ Khi u ∈ C 1,α (B 1/2 ) u C 1,α (B 1/2 ) ≤ C( u L∞ (B1 ) + f L∞ (B1 ) ) (b) (Schauder) ¯ Nếu aij f thuộc C α (B ) u ∈ C 2,α (B1/2 ) u C 2,α (B1/2 ) ≤ ¯ C( u L∞ (B1 ) + f C ∞ (B1 ) ) ¯ (c) (Calderón-Zygmund) Nếu aij liên tục B1 f ∈ L1 (B1 ) với < p < ∞ u ∈ W2,p (B1/2 ) v` u W2,p (B1/2 ) ≤ C( u L∞ (B1 ) + f Lp (B1 ) ) a Luận văn đề cập tới mở rộng kết cho họ nghiệm (0.0.1) Thậm chí trường hợp tuyến tính, kỹ thuật cho ta kết mức độ gần aij δij xác định Ln - chuẩn L∞ - chuẩn (n số chiều Rn ) Công cụ cách tiếp cận đánh giá Alexandroff - Bakelman - Pucci nguyên lý cực đại Chúng dùng để: (1) Điều khiển hàm phân bố nghiệm; điều khiển dẫn tới bất đẳng thức Harnack dẫn tới C α - quy (2) Xấp xỉ L∞ nghiệm hàm affine (hay paraboloid); điều dẫn tới đánh giá C 1,α (tương ứng C 2,α ) Vấn đề cốt lõi hiểu đạo hàm riêng hàm thông qua xấp xỉ đa thức Nói cách nơm na, phương pháp nêu "phi tuyến" theo nghĩa khơng dựa q nhiều vào cấu trúc phương trình (0.0.1) Do vậy, áp dụng phương trình hồn tồn tổng qt (khơng thiết trơn) phương trình Pucci, Bakelman Isaasc Trong tính quy nhận cách lấy vi phân phương trình (0.0.1) Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng phi tuyến elliptic F D2 u(x), x = số tính chất định tính nghiệm nhớt -6- Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu cách xây dựng khái niệm nghiệm nhớt cho phương trình • Đưa ví dụ cụ thể minh họa cho khái niệm • Chứng minh tính chất định tính nghiệm nhớt Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến • Phạm vi nghiên cứu: Lớp phương trình phi tuyến dạng F D2 u(x), x = Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyến cách thu thập thơng tin, đọc, phân tích tổng hợp tài liệu để có nghiên cứu tổng quan nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến elliptic F D2 u(x), x = Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm ba chương: • Chương Các kiến thức sở Nhằm giới thiệu số thuật ngữ mơ tả mối quan hệ tính chất khả vi hàm u paraboloid tiếp xúc với đồ thị hàm u • Chương Nghiệm nhớt phương trình elliptic, đánh giá Alexandroff nguyên lý cực đại Trong chương đề cập: + Nghiệm nhớt phương trình (0.0.1), định nghĩa tính chất nghiệm nhớt Khái niệm nghiệm "rất yếu" cho -7- xác định lớp hàm chứa tất nghiệm cổ điển phương trình elliptic tuyến tính phi tuyến với số elliptic cố định hệ số đo (xem mục 2.1.2) Trong mục 2.1.3 đưa số ví dụ quan trọng phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoàn toàn + Đánh giá Alexandroff-Bakelman-Pucci nguyên lý cực đại cho nghiệm nhớt Vì kết có vai trị chìa khóa ngun lý quy sau • Chương Bất đẳng thức Harnack tính nghiệm Trong chương trình bày: + Chứng minh bất đẳng thức Harnack nhờ vào đánh giá Alexandroff kỹ thuật Crandall-Zygmund Về chứng minh giống với chứng minh lần đầu phát Krylov Safonov Một hệ bất đẳng thức Harnack ta có kết C α - quy miền nghiệm phương trình (0.0.1) Trong mục 3.1.3 trình bày kết tính C α - quy tồn cục + Nghiệm xấp xỉ Jensen phương trình (0.0.2) giới thiệu lần [8] sử dụng chúng để chứng minh tính cho toán Dirichlet (0.0.2) Các mục 3.2.3 3.2.4 dành cho ứng dụng khác nghiệm xấp xỉ Jensen Đó tính chất đạo hàm riêng cấp cấp nghiệm phương trình (0.0.2) Chẳng hạn ta chứng minh tính C 1,α - quy miền cho nghiệm phương trình (0.0.2) -8- Chương Các kiến thức sở 1.1 Thuật ngữ kí hiệu Kí hiệu Rn khơng gian Euclidear n - chiều với chuẩn |x| = |x1 |2 + |x2 |2 + · · · + |xn |2 , |x|∞ = max {|x1 | , |x2 | , , |xn |} Nếu Br = Br (x0 ) = {x ∈ Rn : |x − x0 | < r} hình cầu (mở) Bσr (x0 ) kí hiệu Bσr Xét hình lập phương mở r Qr (x0 ) = x ∈ Rn : |x − x0 |∞ < với tâm x0 độ dài cạnh r Ω miền bị chặn (tập mở, liên thông, bị chặn) Rn λ v` Λ hai số cố định cho < λ ≤ Λ, gọi a số elliptic Một số gọi phổ dụng phụ thuộc vào n, λ v` Λ (n số chiều) a C số dương, thay đổi bất đẳng thức công thức diam(Ω) v` |Ω| tương ứng kí hiệu đường kính độ đo Lebesgue a n - chiều Ω Với hàm u, ta kí hiệu u+ v` u− tương ứng phần dương phần a -9- âm u, ta có u = u+ − u− Giá u kí hiệu suppu Ta kí hiệu: ∂u = ∂i u = ui , ∂xi ∂ 2u = ∂ij u = uij ∂xi ∂xj D2 u Hessian u (là ma trận đối xứng với phần tử uij ) Hàm L Rn gọi affine L(x) = l0 + l(x), l0 ∈ R l hàm tuyến tính Một paraboloid P đa thức bậc (x1 , x2 , , xn ) viết dạng: P (x) = L(x) + xt Ax, L hàm affine A = D2 P ma trận đối xứng Trong luận văn này, thuật ngữ "trơn" có nghĩa thuộc lớp C ∞ Wk,p (Ω) khơng gian Sobolev hàm có tính chất: hàm đạo hàm đến cấp k thuộc Lp (Ω) C k,α (Ω) C k,α (Ω) không gian H older ( < < 1) v l ă khụng gian Lipschitz (nu α = 1); với k ∈ N+ Chuẩn chúng u C k,α (Ω) = u C k (Ω) + Dk u α,Ω , [v]α,Ω = sup x,y∈Ω x=y 1.2 |v(x) − v(y)| |x − y|α (1.1.1) Paraboloid tiếp xúc tính khả vi cấp hai Trong phần tơi dẫn số tính chất tính khả vi hai lần hàm u từ kiến thức paraboloid tiếp xúc với đồ thị hàm u Các kết sử dụng lý thuyết tính quy - 10 - M1 − m1/2 ≤ C(M1 − M1/2 + f Ln (Q1 ) ) Cộng hai bất đẳng thức ta có o1/2 + o1 ≤ C(o1 − o1/2 + f kéo theo o1/2 ≤ C −1 2C o1 + f C +1 C +1 Ln (Q1 ) ), Ln (Q1 ) , ta có (1) Khẳng định (2) suy từ (1) Chú ý 3.1.4 Sử dụng bất đẳng thức Harnack ta chứng minh Định lý kiểu Liouville sau: hàm số bị chặn (bị chặn trên) thuộc S(λ, Λ, 0) Rn hàm Chú ý 3.1.5 Sử dụng phương pháp phủ thích hợp ta có khẳng định Mệnh đề 3.1.2 hình cầu B1 , B1/2 Tính liên tục H older nghiệm tính đóng họ nghim ă (theo Mnh 2.1.4) cho ta kt qu tính compact sau Mệnh đề 3.1.3 Cho {Fk }k≥1 dãy toán tử elliptic với số elliptic λ, Λ Gọi {uk }k≥1 ⊂ C(Ω) nghiệm nhớt Ω Fk (D2 uk , x) = f (x) Giả sử {Fk } hội tụ tập compact S × Ω tới F {uk } bị chặn tập compact Ω Khi tồn u ∈ C(Ω) dãy {uk } hội tụ tới u Hơn nữa, F (D2 u, x) = f (x) theo nghĩa nhớt Ω Kết đánh giá thơ tính liên tục H older ti cỏc ă im biờn i vi cỏc nghiệm thuộc S(0) Mệnh đề 3.1.4 Cho u ∈ S(λ, Λ, 0) B1 Giả sử < β < 1, u ∈ C(B ) u|∂B1 = ϕ, với ϕ ∈ C β (∂B1 ) Khi đó, với x0 ∈ ∂B1 , u C β/2 - liờn tc H older ti x0 v ă sup x∈B |u(x) − u(x0 )| |x − x0 |β/2 ≤ 2β/2 sup x∈∂B1 - 50 - |ϕ(x) − ϕ(x0 )| |x − x0 |β (3.1.24) Chứng minh Ta giả sử B1 = B1 ((0, 0, , 0, 1)), x0 = ϕ(x0 ) = ϕ(0) = Đặt K = supx∈∂B1 |ϕ(x)| /|x|β Nếu x ∈ ∂B1 x2 + x2 + + (xn − 1)2 = nên |x|2 = 2xn Do đó, x ∈ ∂B1 ⇒ u(x) = ϕ(x) ≤ K|x|β = 2β/2 K xβ/2 n β/2 Đặt h(x) = xn B1 Ta có M+ (D2 h(x)) = λ β β (3.1.25) β − xn −2 Ta cần chứng minh |u(x) − u(y)| ≤ ε, ∀x, y ∈ B thỏa mãn |x − y| ≤ δ với δ > phụ thuộc vào ε, n, λ, Λ, K, ρ Theo tính C α - quy miền (Mệnh đề 3.1.2), ta cần đánh giá |u(x) − u(x0 )| với x ∈ B1 , x0 ∈ ∂B1 (xem chứng minh Mệnh đề 3.1.5) Do vậy, cố định x0 ∈ ∂B1 , chứng minh Mệnh đề 3.1.4, ta giả sử B1 = B1 ((0, 0, , 0, 1)) x0 = ∈ ∂B1 Xét hàm h(x) = xn , ta có M+ (h) = 0, h > B1 , h(0) = - 52 - Lấy δ1 > phụ thuộc vào ε ρ cho |ϕ(x) − ϕ(0)| = |u(x) − u(0)| ≤ ε (3.1.26) với x ∈ ∂B1 cho |x| ≤ δ1 Chú ý rằng, theo đánh giá ABP (xem Định lý 2.2.2), ta có |u(x) − u(0) ± ε| ≤ 2sup |u| + ε ≤ C1 ∀x ∈ B1 (3.1.27) B1 với C1 phụ thuộc vào ε, n, λ, Λ, K Xét hàm ϕ± (x) = u(x) − u(0) ± ε ± C1 inf yn : y ∈ B ∩ ∂Bδ2 (0) −1 xn A = B1 ∩ Bδ2 (0) với δ2 ≤ δ1 Khi ta có ϕ− ≤ ∂A, ϕ+ ≥ ∂A (theo (3.1.26) (3.1.27)), ϕ− ∈ S(λ, Λ, f ) ϕ+ ∈ S(λ, Λ, f ) (theo Bổ đề 2.1.4) Áp dụng đánh giá ABP A, ta có ϕ− ≤ C diam(A) f ϕ+ ≥ −C diam(A) f Ln Ln ≤ C2 δ2 A, ≥ −C2 δ2 A Nếu ta lấy δ2 cho C2 δ2 ≤ ε ¯ |u(x) − u(0)| ≤ 2ε + C1 inf yn : y ∈ B1 ∩ ∂Bδ2 (0) −1 xn ∀x ∈ A 2 Chú ý: inf yn : y ∈ B ∩ ∂Bδ2 (0) ≥ inf {yn : y ∈ ∂B1 , |y| = δ2 } = (δ2) Nó kéo theo 2C1 |u(x) − u(0)| ≤ 2ε + xn = 2ε + Cxn , ∀x ∈ A = B1 ∩ Bδ2 (0), (δ2 )2 với số C phụ thuộc vào ε, n, λ, Λ, K, ρ Do |u(x) − u(0)| ≤ 3ε, ∀x ∈ B1 ∩ Bδ (0), với δ ≤ δ2 phụ thuộc vào đại lượng tương ứng 3.2 Tính nghiệm Trong mục này, ta xét toán Dirichlet   F (D2 u) = Ω u = ϕ trˆn ∂Ω e - 53 - với F elliptic đều, ϕ ∈ C(∂Ω) cho Do F không phụ thuộc vào x nên phương trình tương tự phương trình tuyến tính với hệ số số Trước hết ta xét nghiệm xấp xỉ Jensen mục 3.2.1 Trong mục 3.2.2 ta sử dụng chúng để chứng minh tính nghiệm tốn Dirichlet Trong mục 3.2.3 ta trình bày vài ứng dụng nghiệm xấp xỉ để nhận tính C 1, α - quy nghiệm phương trình F (D2 u) = Khi F lõm theo D2 u 3.2.1 Nghiệm xấp xỉ Jensen Cho u ∈ C(Ω) H tập mở cho H ⊂ Ω Với ε > 0, ta định nghĩa bao ε u (đối với H) là: uε (x0 ) = sup x∈H u(x) + ε − |x − x0 |2 , ε x0 ∈ H ε Về phương diện hình học, đồ thị uε hình bao đồ thị họ {Px }x∈H gồm paraboloid lõm với độ mở 2/ε đỉnh (x, u(x) + ε) Ta chứng minh uε phép chỉnh hóa tốt u Thật vậy, ta có Định lý 3.2.1 Ta có khẳng định sau (a) uε ∈ C(H) uε ↓ u H ε → (b) Với x0 ∈ H, tồn paraboloid lõm với độ mở 2/ε tiếp xúc với uε x0 H Do uε C 1,1 H Nói riêng uε khả vi cấp hai điểm hầu khắp nơi H (c) Giả sử u nghiệm nhớt F (D2 u) = Ω H1 tập mở thỏa mãn H ⊂ H Khi ta có với ε ≤ ε0 (trong ε0 phụ thuộc vào u, H, H1 ), uε nghiệm nhớt F (D2 u) = H1 Nói riêng F (D2 uε (x)) ≥ hầu khắp nơi H1 Tương tự, cách sử dụng paraboloid lồi ta có định nghĩa hàm liên tục uε (bao ε u) hàm tăng H tới u C 1,1 - Ta có uε nghiệm u nghiệm F (D2 u) = - 54 - Để chứng minh Định lý 3.2.1, ta chứng minh số tính chất sau uε Bổ đề (1) (2) (3) (4) (5) 3.2.1 Cho x0 , x1 ∈ H Khi ∃x∗ ∈ H cho uε (x0 ) = u(x∗ ) + ε − |x∗ − x0 |2 /ε 0 ε u (x0 ) ≥ u(x0 ) + ε |uε (x0 ) − uε (x1 )| ≤ (3/ε) diam(H) |x − x0 | < ε < ε ⇒ uε (x0 ) ≤ uε (x0 ) |x∗ − x0 |2 ≤ ε osc u H (6) < u (x0 ) − u(x0 ) ≤ uε (x∗ ) − u(x0 ) + ε ε Chứng minh Các khẳng định (1), (2), (4) (6) hiển nhiên Để chứng minh (3), ta lấy x ∈ H lưu ý uε (x0 ) ≥ u(x) + ε − |x − x0 |2 ε ≥ u(x) + ε − |x − x1 |2 − ε ≥ u(x) + ε − |x − x1 |2 − ε |x1 − x0 |2 − |x − x1 | |x1 − x0 | ε ε diam(H) |x1 − x0 | ε Lấy supremum theo x H, ta có (3) Để chứng minh (5), ta ý theo (1) (2) ∗ |x0 − x0 |2 = u(x∗ ) + ε − uε (x0 ) ≤ u(x∗ ) − u(x0 ) 0 ε Chứng minh Định lí 3.2.1 Theo tính chất (3) bổ đề ta có uε liên tục Từ (4), (5) (6) bổ đề ta có khẳng định cịn lại (a) Để chứng minh (b) ta ý rằng: P0 (x) = u(x∗ ) + ε − |x − x∗ |2 ≤ uε (x), 0 ε ∀x ∈ H dấu xẩy x = x0 Tức P0 tiếp xúc với uε x0 H Vậy ta có khẳng định thứ (b) Sử dụng Mệnh đề 1.2.3 (với Ω hình cầu chứa H) ta có khẳng định cịn lại (b) - 55 - Cuối ta chứng minh (c) Lấy x0 ∈ H1 gọi P (x) paraboloid tiếp xúc vơi uε x0 Xét paraboloid Q(x) = P (x + x0 − x∗ ) + |x0 − x∗ |2 − ε 0 ε Theo tính chất (5) bổ đề trên, ta lấy ε0 cho ε ≤ ε0 , x0 ∈ H1 ⇒ x∗ ∈ H Lấy x ∈ H đủ gần x∗ , cho x + x0 − x∗ ∈ H Khi đó, theo định 0 ε nghĩa u , ta có u(x) ≤ uε (x + x0 − x∗ ) + |x0 − x∗ |2 − ε 0 ε Vì với x đủ gần x∗ , ta có u(x) ≤ P (x + x0 − x∗ ) + |x0 − x∗ |2 − ε = Q(x) 0 ε u(x∗ ) = Q(x∗ ), P (x0 ) = uε (x0 ) Chứng tỏ Q tiếp xúc với u 0 ∗ x0 Do F (D u) ≥ nên theo định nghĩa nghiệm nhớt Ω, ta có ≤ F (D2 Q) = F (D2 P ) Chứng tỏ uε nghiệm nhớt H1 Khẳng định cuối (c) hệ (b) Bổ đề 2.1.2 Chú ý 3.2.1 Phương trình F (D2 u) = bất biến phép biến đổi dạng u(x) → u(x + x0 ) + y0 3.2.2 Tính nghiệm phương trình F (D2 u) = Sau kết chương Định lý 3.2.2 Cho u nghiệm nhớt F (D2 u) = Ω v nghiệm nhớt F (D2 u) = Ω Khi λ u − v ∈ S( , Λ) Ω n - 56 - Chú ý rằng: Định lí tầm thường hai hàm u v thuộc lớp C Vì hệ trực tiếp Mệnh đề 2.1.5 Chứng minh định lí 3.2.2 Ta cố định H H1 cho H ⊂ H ⊂ H ⊂ Ω, ta chứng minh với ε đủ nhỏ uε − vε ∈ S(λ/n, Λ) H1 Khi ta có u − v ∈ S(λ/n, Λ) Ω Vì H1 ⊂ Ω tùy ý uε − vε hội tụ H1 tới u − v tính đóng lớp S Để chứng minh uε − vε ∈ S(λ/n, Λ) H1 , ta gọi P paraboloid cho uε − vε ≤ P B r (x0 ) ⊂ H1 v` uε (x0 ) − vε (x0 ) = a p(x0 ) Ta cần chứng tỏ M+ (D2 P, λ/n, Λ) ≥ Thật vậy, ta giả sử B 2r (x0 ) ⊂ H Lấy δ > đặt w(x) = vε (x) − uε (x) + P (x) + δ|x − x0 |2 − δr2 Ta có w ≥ trˆn ∂Br (x) v` w(x0 ) < Sử dụng tính chất (b) e a Định lí 3.2.1, ta có với x ∈ B r (x0 ) tồn paraboloid lồi P x với độ mở K tiếp xúc với w x Br (x), K số khơng phụ thuộc vào x Ta áp dụng Bổ đề 2.2.3 với w Bd := Br (x0 ) Với kí hiệu bổ đề ta có, x ∈ B r (x0 ) ∩ {w = Γw } P x tiếp xúc với Γw x Br (x) Theo Bổ đề 2.2.3 w(x0 ) < 0, ta có det D2 Γw 0< (3.2.1) Br (x0 )∩{w=Γw } Theo tính chất (b) Định lí 3.2.1, tồn A ⊂ Br (x0 ) cho |Br (x0 )\A| = 0, vε , uε (và w) khả vi cấp hai điểm A Theo tính chất (c) Định lí 3.2.1, ta có F (D2 vε (x)) ≤ v` a F (D2 uε (x)) ≥ 0, ∀x ∈ A (3.2.2) ∀x ∈ A ∩ {w = Γw } (3.2.3) Vì Γw lồi Γw ≤ w, nên D2 w(x) l` khˆng am, a o ˆ Từ (3.2.1) |Br (x0 )\A| = 0, ta suy |{w = Γw } ∩ A| > , - 57 - nên tồn điểm x1 ∈ {w = Γw } ∩ A Tại đó, theo (3.2.2) (3.2.3) ta có ≤ F (D2 uε (x1 )) = F (D2 vε (x1 ) − D2 w(x1 ) + D2 P + 2δI) ≤ F (D2 vε (x1 ) + D2 P + 2δI) ≤ F (D2 vε (x1 ) + D2 P ) + 2Λδ − + − λ (D2 P ) − + 2Λδ ≤ M+ (D2 P, λ/n, Λ) + 2Λδ ≤ F (D2 vε (x1 )) + Λ (D2 P ) + ≤ Λ (D2 P ) − λ (D2 P ) + 2Λδ Cho δ → ta nhận M+ (D2 P, λ/n, Λ) ≥ Hệ 3.2.1 Bài toán Dirichlet   F (D2 u) = u = ϕ Ω ∂Ω có không nghiệm nhớt u ∈ C(Ω) Hệ dễ thấy từ Định lí 3.2.2 nguyên lí cực đại với nghiệm nhớt (Hệ 2.2.1) Hơn nữa, tốn có nghiệm thuộc C (Ω) tính suy từ định nghĩa nghiệm nhớt 3.2.3 Tính C 1,α - quy phương trình F (D2 u) = Hệ sau Định lí 3.2.2 cho ta C 1,α - đánh giá nghiệm F (D2 u) = Ta kí hiệu, với h > 0, Ωh = {x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) > h} Mệnh đề 3.2.1 Cho u nghiệm nhớt F (D2 u) = Ω Lấy h > e ∈ Rn có |e| = Khi u(x + he) − u(x) ∈ S(λ/n, Λ) Ωh Mệnh đề hệ trực tiếp Định lí 3.2.2 tính chất v(x) = u(x + he) nghiệm nhớt F (D2 u) = Ωh Mệnh đề 3.2.1 bổ đề sau (sử dụng liên tiếp) cho tính C 1,α quy nghiệm nhớt F (D2 u) = - 58 - Bổ đề 3.2.2 Cho < α < 1, < β ≤ K > số Giả sử u ∈ L∞ ([−1, 1]) thỏa mãn u L∞ ([−1, 1]) ≤ K Với h ∈ R có < |h| ≤ 1, đặt vβ, h (x) = u(x + h) − u(x) |h|β , x ∈ Ih , với Ih = [−1, − h] h > Ih = [−1 − h, 1] h < Giả thiết vβ, h ∈ C α (Ih ) vβ, h C α (Ih ) ≤ K với < |h| ≤ Khi ta có (1) Nếu α + β < u ∈ C α+β ([−1, 1]) v` u C α+β ([−1, 1]) ≤ CK a 0, (2) Nếu α + β > u ∈ C ([−1, 1]) v` u C 0, ([−1, 1]) ≤ CK, a số C (1) (2) phụ thuộc vào α + β Chứng minh Do tính đối xứng toán phép đổi biến x → −x, nên ta cần đánh giá |u(x + ε) − u(x)| với −1 ≤ x ≤ 0, ε > v` x + ε ≤ a Gọi i ≥ số nguyên cho x + 2i ε ≤ < x + 2i+1 ε đặt τ0 = 2i ε Khi −1 ≤ x < x + τ0 ≤ 1/2 ≤ τ0 ≤ Đặt: w(τ ) = u(x + τ ) − u(x), (3.2.4) < τ ≤ τ0 Ta có |w(τ ) − 2w(τ /2)| = |u(x + τ ) − 2u(x + τ /2) + u(x)| τ β τ = vβ, τ /2 (x + τ /2) − vβ, τ /2 (x) ≤ K 2 vβ, τ /2 C α ([−1, 1−τ /2]) α+β , ≤ K theo giả thiết Do α+β |w(τ0 ) − 2w(τ0 /2)| ≤ CKτ0 , 2w(τ0 /2) − 22 w(τ0 /22 ) 2i−1 w(τ0 /2i−1 ) − 2i w(τ0 /2i ) α+β ≤ CK21−(α+β) τ0 , , α+β ≤ CK2(i−1)(1−(α+β)) τ0 , với số C phụ thuộc vào α + β Cộng bất đẳng thức trên, ta i−1 i i i w(τ0 ) − w(ε) = w(τ0 ) − w(τ0 /2 ) ≤ α+β CKτ0 2j(1−(α+β)) j=0 - 59 - −i Do 2−i = τ0 ε ≤ 2ε (theo (3.2.4)) u L∞ ([−1, 1]) ≤ K, ta có i−1 −i |w(ε)| ≤ |w(τ0 )| + α+β CK2−i τ0 2j(1−(α+β)) j=0 i−1 ≤ 4Kε + α+β−1 CKετ0 2j(1−(α+β)) j=0 Nếu α + β < α+β−1 i(1−(α+β)) |w(ε)| ≤ 4Kε + CKετ0 = 4Kε + CKεα+β ≤ CKεα+β Nếu α + β > α+β−1 |w(ε)| ≤ 4Kε + CKετ0 ≤ CKε Bây ta thiết lập kết tính C 1, α - quy miền Hệ 3.2.2 Cho u nghiệm nhớt F (D2 u) = B1 Khi u ∈ C 1, α (B 1/2 ) u C 1, α (B 1/2 ) ≤C u L∞ (B1 ) + |F (0)| , < α < C số phổ dụng Chú ý 3.2.2 Ta chứng minh rằng, F lõm lồi nghiệm nhớt F (D2 u) = B1 thuộc C 1, (B 1/2 ) Chứng minh hệ 3.2.2 Cố định e ∈ Rn với |e| = < h < 1/8 Theo Mệnh đề 3.2.1 với < β ≤ ta có vβ (x) = (u(x + he) − u(x)) ∈ S(λ/n, Λ) B7/8 hβ Do đó, theo C α đánh giá miền (theo mệnh đề 3.1.2 với tỉ lệ phù hợp), ta có (ở C 0, β l` C β β < 1) a vβ C α (B r ) ≤ C(r, s) vβ L∞ (B(r+s)/2 ) - 60 - ≤ C(r, s) u C 0, β (B s ) , (3.2.5) < r < s ≤ 7/8, < h < (s − r)/2, α số phổ dụng C(r, s) phụ thuộc vào n, λ, Λ, r, s Lấy α đủ nhỏ, ta giả thiết có số nguyên phổ dụng i cho iα < v` (i + 1)α > Theo Mệnh đề 2.1.5, ta có u ∈ a S(λ/n, Λ, −F (0)) B1 Do theo Mệnh đề 3.1.2 ta có u với K = u C α (B 7/8 ) L∞ (B1 ) ≤C u L∞ (B1 ) + |F (0)| =: CK, + |F (0)| Áp dụng (3.2.5) với β = α v` r = r1 < s = 7/8 ta có a vα C α (B r1 ) ≤ C(r1 ) u C α (B 7/8 ) ≤ C(r1 )K, < h < (7/8 − r1 )/2 C(r1 ) phụ thuộc vào n, λ, Λ, r1 Áp dụng (với e tùy ý trên) Bổ đề 3.2.2 (với β = α) đoạn song song với e, ta có u C 2α (B r2 ) ≤ C(r1 , r2 )K r2 < r1 Sử dụng (3.2.5) Bổ đề 3.2.2 với β = 2α, ta có u ∈ C 3α (B r4 ) Ta lập lại q trình iα < 1, (i + 1)α > Theo (2) Bổ đề 3.2.2, ta có u C 0, (B 3/4 ) ≤ CK Cuối ta áp dụng (3.2.5) với β = 1, ta nhận v1 C α (B 1/2 ) ≤C u C 0, (B 3/4 ) ≤ CK, ∀ |e| = 1, ∀ < h < 1/8 Do v1 tỉ sai phân u h e, nên ta có kết luận u ∈ C 1, α (B 1/2 ) u C 1, α (B 1/2 ) ≤ CK 3.2.4 Áp dụng phương trình lõm Bây ta trình bày vài áp dụng phương trình lõm Nhớ lại phương trình F (D2 u) = lõm F lõm không gian ma trận đối xứng Định lý 3.2.3 Cho F lõm u, v nghiệm nhớt F (D2 w) = Ω Khi (u + v) nghiệm nhớt F (D2 w) = Ω - 61 - Chú ý Định lí 3.2.3 hiển nhiên u v C - nghiệm Trước chứng minh định lý, ta đưa số hệ Hệ 3.2.3 Cho F lõm giả sử F (D2 u) = Ω theo nghĩa nhớt Lấy e ∈ Rn với |e| = h > Khi u(x + he) + u(x − he) − 2u(x) ∈S h2 λ , Λ n Ωh Bằng cách viết 1 [u(x + he) + u(x − he) − 2u(x)] = [u(x + he) + u(x − he)] − u(x) 2 hiệu nghiệm nhớt nghiệm nhớt Theo Định lí 3.2.2 ta có Hệ 3.2.3 Từ Hệ 3.2.3 tính đóng S ta có Hệ 3.2.4 sau: Hệ 3.2.4 Cho F lõm u ∈ C (Ω) nghiệm F (D2 u) = Ω Khi đó, với e ∈ Rn với |e| = 1, ∂ 2u ∈S uee = ∂e∂e λ , Λ n Ω Chứng minh định lí 3.2.3 Ta chứng minh Định lí 3.2.2 Ta có (uε + v ε ) nghiệm nhớt F (D2 w) = Gọi P paraboloid tiếp xúc với ε ε 2 (u + v ) x0 Ta cần chứng minh F (D P ) ≥ Đặt w(x) = P (x) + δ|x − x0 |2 − δr2 − (uε + v ε ) Cũng chứng minh Định lí 3.2.2, ta áp dụng Bổ đề 2.2.3 với w, tồn x1 ∈ Ω cho uε , v ε w khả vi cấp hai x1 D2 P + δ|x − x0 |2 − (uε + v ε ) (x1 ) ≥ (3.2.6) Hơn nữa, F (D2 uε (x1 )) ≥ F (D2 v ε (x1 )) ≥ Vì F lõm, nên ta có F (D2 (uε + v ε )(x1 )) ≥ 0, theo (3.2.6) suy F (D2 P + 2δI) ≥ Cho δ → 0, ta F (D2 P ) ≥ - 62 - KẾT LUẬN Trên tồn nội dung luận văn tơi với đề tài "Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = 0" Luận văn trình bày với cố gắng bước đầu nhằm đạt mục đích yêu cầu sau: (1) Trình bày có hệ thống kiến thức giải tích đại (2) Cung cấp cho bạn đọc khái niệm nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = số tính chất định tính nghiệm nhớt Đồng thời khẳng định tồn tại, tính phụ thuộc liên tục nghiệm tốn liên quan tới phương trình (3) Đưa ví dụ cụ thể minh họa cho khái niệm nhắc tới Mặc dù dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu song luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý vị độc giả để luận văn hồn thiện Một lần tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn: T.S Trần Văn Bằng tồn thể thầy, cơng tác tham gia giảng dạy phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Các thầy, cô nhiệt tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! - 63 - Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Trần Đức Vân (2004), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Caffarelli (1989), "Interior a priori estimate for solutions of fully nonlinear equations", Annals of Mathematics, (130), 189-213 [4] Caffarelli (1988), "Elliptic second order equations", Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano, 253-284 [5] Grandall, Lions (1983), "Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations", Trans Amer Math Soc, (277), 1-42 [6] Evans (1978), "A convergence theorem for solutions of nonlinear second order elliptic equations", Indiana Univ Math, (27), 875-887 [7] Evans (1980), "On solving certain nonlinear partial diferential equations by accretive operator methods", Israel J Math, (36), 225-247 [8] Jensen (1988), "The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second order partial diferential equations", Arch Rational Mech Anal, (101), 1-27 - 64 - ... tài "Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = 0" Trong luận văn này, tơi trình bày số kết lý thuyết quy nghiệm phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hoàn toàn: F D2... địa phương x0 a F (D2 ϕ(x0 ), x0 ) ≥ f (x0 ) (2.1.2) [Nếu u − ϕ có cực tiểu địa phương x0 F (D2 ϕ(x0 ), x0 ) ≤ f (x0 )] Ta nói u nghiệm nhớt (2.1.1) vừa nghiệm nhớt vừa nghiệm nhớt phương trình. .. trình nghiên cứu luận văn với đề tài "Nghiệm nhớt phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Elliptic F D2 u(x), x = 0" tơi hiểu sâu mơn Giải tích đại, đặc biệt mơn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến