Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN QUANG TUYẾN PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng Hà Nội - 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới các thầy cô giáo, đặc biệt là TS. Trần Văn Bằng, những người đã tận tình hướng dẫn đầy hiệu quả, thường xuyên dành cho tôi sự chỉ bảo, giúp đỡ và động viên giúp tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, phòng Sau Đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, cũng như toàn thể các thầy cô giáo trong trường đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Tôi trân trọng cảm ơn Sở giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc, Trường THCS và THPT Hai Bà Trưng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thời gian tôi theo học lớp sau đại học. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới anh em, bạn bè và người thân trong gia đình đã động viên, tạo mọi điều kiện để luận văn này có thể được hoàn thành. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Trần Quang Tuyến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những nghiên cứu, thành tựu của các nhà khoa học, đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Trần Quang Tuyến Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Không gian Sobolev W 1,p (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Biến phân cấp một. Phương trình Euler - Lagrange 14 1.2.2 Biến phân cấp hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Cực tiểu của phiếm hàm - Nghiệm của phương trình. . . 18 1.3.1 Điều kiện bức, tính nửa liên tục dưới. . . . . . . . 18 1.3.2 Tính lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.3 Nghiệm yếu của phương trình Euler - Lagrange. . 21 Chương 2. Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, Định lí biến dạng và ứng dụng 24 2.1 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu . . . . . . . . . . . . 24 2.1.1 Bài toán cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet phi tuyến . . 29 2.2 Định lí biến dạng và ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Định lí biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.2 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 3. Định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng 44 3.1 Định lí qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 3.1.1 Điểm tới hạn kiểu minimax . . . . . . . . . . . . 44 3.1.2 Định lí qua núi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.1.3 Ứng dụng đối với bài toán Dirichlet . . . . . . . . 48 3.2 Định lí điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.1 Bậc tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2.2 Định lí điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.3 Ứng dụng đối với bài toán cộng hưởng . . . . . . 56 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Tài liệu tham khảo 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7 BẢNG KÍ HIỆU N tập các số tự nhiên. Z tập các số nguyên. R tập các số phức. R N không gian Eculidean N chiều. A bao đóng của tập A. A  − lân cận của tập A. B(x 0 , r) hình cầu mở tâm x 0 bán kính r. C p (Ω) lớp hàm liên tục cùng với đạo hàm trên miền Ω đến cấp p. C ∞ (Ω) lớp các hàm khả vi vô hạn trên Ω. C ∞ 0 (R n ) lớp các hàm khả vi vô hạn trên R n và triệt tiêu ở bên ngoài biên. C p 0 (R n ) tập của các hàm trong C p (R n ) có giá compact. D k đạo hàm riêng thứ k. S(x 0 , r) mặt biên của hình cầu B(x 0 , r). dist(ω, B) khoảng cách từ ω tới B. h.k.n hầu khắp nơi. JacH ma trận Jacobi ∂H i ∂y j . supp u giá của u. C ∞ c (I) là C ∞ (I) ∩ C c (I). L 1 (I) không gian các hàm khả tích trên I lấy giá trị trên R. L p (Ω) không gian các hàm đo được khả tích trên Ω và |u| p ∈ L 1 (Ω). u X chuẩn của u trên tập X. ∗ tích chập. [·, ·] cặp phần tử của không gian tích. (·, ·) tích vô hướng. ·, · cặp đỗi ngẫu.  kết thúc chứng minh. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Chúng ta đã được biết về khái niệm phương trình vi phân đạo hàm riêng (viết tắt là phương trình đạo hàm riêng) từ chương trình đại học là những phương trình chứa hàm số cần tìm và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào thế kỉ XVIII trong các công trình của những nhà toán học như Euler, Dalambert, Lagrange và Laplace như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Chỉ đến thế kỉ XIX và đặc biệt là công trình nghiên cứu của Riemann, phương trình đạo hàm riêng mới trở thành công cụ mạnh dùng trong nhiều lĩnh vực toán học khác. Từ khi xuất hiện cho đến ngày nay, phương trình đạo hàm riêng đóng vai trò là chiếc cầu nối giữa toán học và ứng dụng, thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực toán học lý thuyết khác nhau. Các phương trình đạo hàm riêng nói chung là rất phức tạp. Mỗi một phương pháp tiếp cận chỉ phù hợp đối với một lớp phương trình cụ thể. Trong chương trình Thạc sĩ chuyên ngành giải tích mà chúng tôi đã được các thầy giới thiệu một số phương pháp giải các bài toán đối với phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp đặc trưng, Phương pháp tách biến, Phương pháp biến đổi tích phân, Phương pháp biến đổi phương trình phi tuyến thành tuyến tính, Phương pháp biến phân, Tuy nhiên do điều kiện thời gian của môn học có hạn nên chúng tôi chưa có điều kiện nghiên cứu kĩ tất các các phương pháp trên. Được sự giúp đỡ và sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài 9 "Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng" Với mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về phương pháp biến phân cũng như những khả năng ứng dụng của nó đối với giải phương trình đạo hàm riêng. Luận văn được chia làm ba chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo). Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị. Chương này được bắt đầu bằng việc giới thiệu một số các khái niệm và đưa ra một số kết quả quan trọng về không gian Sobolev, cần thiết cho quá trình sử dụng sau này. Tiếp theo bằng cách tiếp cận ngắn gọn chúng tôi sẽ giới thiệu về phương pháp biến phân và cực tiểu của phiếm hàm - nghiệm của phương trình. Chương 2 Điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, định lí biến dạng và ứng dụng. Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu vấn đề điểm tới hạn thông qua bài toán cực tiểu để giải bài toán Dirichlet phi tuyến, định lí biến dạng và ứng dụng vào bài toán Neumann phi tuyến. Chương 3 Định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng. Với mục tiêu trọng tâm là nghiên cứu định lí qua núi và ứng dụng vào bài toán Dirichlet phi tuyến, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng vào bài toán cộng hưởng. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu về phương pháp biến phân. Áp dụng phương pháp biến phân vào để giải một số phương trình đạo hàm riêng Dirichlet phi tuyến, Neumann phi tuyến và cộng hưởng. 10 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Việc nghiên cứu luận văn với nhiệm vụ hệ thống, làm rõ lý thuyết về ứng dụng của phương pháp biến phân vào trong việc giải phương trình đạo hàm riêng phi tuyến (Dirichlet, Neumann và cộng hưởng). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khả năng ứng dụng của phương pháp biến phân đối với một số phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cụ thể. 5. Phương pháp nghiên cứu - Đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo. - Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Đóng góp mới của luận văn - Trình bày những vấn đề cơ bản của phương pháp biến phân. - Trình bày điểm tới hạn qua bài toán cực tiểu, định lí biến dạng và ứng dụng. - Trình bày định lí qua núi, định lí điểm yên ngựa và ứng dụng. [...]... 14 1.2 Phương pháp biến phân Xét các phương trình đạo hàm riêng có dạng A [u] = 0, (1.1) trong đó A [·] là một toán tử đạo hàm riêng cho trước, u là nghiệm cần tìm Xét phương trình đạo hàm riêng A [u] = 0, với A [·] là "đạo hàm" của một phiếm hàm "năng lượng" I [·] tương ứng Kí hiệu A [u] = I [·] (1.2) Khi đó, bài toán (1.1) tương đương với I [·] = 0 (1.3) Xét phương trình (1.3) so với phương trình. .. thỏa mãn với mọi hàm thử v, suy ra u thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng phi tuyến n (Lpi (x, u, Du))xi + Lz (x, u, Du) = 0 trên U, (1.9) i=1 gọi là phương trình Euler - Lagrange tương ứng với phiếm hàm năng lượng I [·] được cho bởi (1.4), (1.9) là phương trình đạo hàm riêng bậc hai tựa tuyến tính trong dạng phân kì Vậy, một điểm cực tiểu trơn của I [·] là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Euler -... lại, phương pháp biến phân đặt ra hai hướng nghiên cứu quan trọng trong giải phương trình đạo hàm riêng: • Nghiên cứu điểm tới hạn (đặc biệt là điểm cực tiểu) của một phiếm hàm • Tìm những ứng dụng của các kết quả về tối ưu của phiếm hàm đối với phương trình đạo hàm riêng Mà hai chương sau chúng ta sẽ đề cập tới hai vấn đề đó một cách đầy đủ hơn Chương 2 ĐIỂM TỚI HẠN QUA BÀI TOÁN CỰC TIỂU, ĐỊNH LÍ BIẾN... điểm tới hạn của I [·] Nếu phiếm hàm I [·] đạt cực tiểu tại u thì u sẽ thỏa mãn (1.3) và do đó u là một nghiệm của (1.1) Nếu không thể giải trực tiếp được bài toán (1.1), ta có thể tìm nghiệm của (1.1) dễ dàng hơn bằng cách sử dụng các phương pháp của lí thuyết tối ưu để tìm điểm cực tiểu (điểm cực đại hoặc điểm tới hạn) của phiếm hàm I [·] 1.2.1 Biến phân cấp một Phương trình Euler - Lagrange Giả sử... hàm trơn ω : U → R thỏa mãn điều kiện biên ω = g trên ∂U (1.5) Giả sử, một hàm trơn u thỏa mãn điều kiện u = g trên ∂U là điểm cực tiểu của I [·] trong số tất cả các hàm ω thỏa mãn (1.5) Ta chứng minh u là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng Để chứng minh điều ∞ này, trước hết ta chọn một hàm trơn bất kì v ∈ Cc (U ) và xét hàm thực i(τ ) = I [u + τ v] (τ ∈ R) (1.6) Vì u là một điểm cực tiểu của... của phương trình Euler - Lagrange Ta chứng minh mọi điểm cực tiểu u ∈ A của I[·] thỏa mãn phương trình Euler -Lagrange ta cần các điều kiện tăng của L và các đạo hàm của nó Ta giả sử |L(x, z, p)| ≤ C (|p|q + |z|q + 1) và   |Dp L(x, z, p)| ≤ C |p|q−1 + |z|q−1 + 1  |Dz L(x, z, p)| ≤ C |p|q−1 + |z|q−1 + 1 , (1.27) (1.28) 22 với C là hằng số và ∀p ∈ Rn , z ∈ R, x ∈ U Xét bài toán biên đối với phương trình. .. vì 2 vậy, phương trình Euler - Lagrange tương ứng với phiếm hàm I [ω] = 1 2 U |Dω|2 dx là ∆u = 0 trong U Ví dụ 1.2 (Nguyên lí Dirichlet tổng quát) Với L(x, z, p) = 1 2 n aij (x)pi pj −zf (x), trong đó aij = aji (i, j = 1, , n) i,j=1 thì n aij (x)pj (i = 1, , n) , Lz = −f (x) Lpi = j=1 Phương trình Euler -Lagrange tương ứng với phiếm hàm n I [ω] = U 1 aij ωxi ωxj − ωf 2 i,j=1 dx 17 là phương trình tuyến... yếu.) Hàm u ∈ A được gọi là một nghiệm yếu của bài toán biên (1.29) đối với phương trình Euler-Lagrange nếu n 0 1 Lpi (x, u, Du)vxi + Lz (x, u, Du)vdx = 0 ∀v ∈ Wq (U ) U n=1 Định lý 1.4 (Nghiệm của phương trình Euler-Lagrange) Giả thiết L thỏa mãn điều kiện tăng (1.27),(1.28) và u ∈ A sao cho I [u] = min I [ω] Khi đó u là một nghiệm yếu của (1.29) ω∈A Chú ý 1.2 Trong trường hợp tổng quát, phương trình. .. phiếm hàm - Nghiệm của phương trình Điều kiện bức, tính nửa liên tục dưới Ta xét phiếm hàm I [ω] = L(x; ω(x); Dω(x))dx (1.14) U được xác định trên một lớp thích hợp các hàm ω : U → R thỏa mãn ω = g trên ∂U (1.15) và tìm điểm cực tiểu của nó a) Điều kiện bức Với hàm liên tục f : R → R bị chặn dưới chưa chắc đã đạt cực tiểu 19 (chẳng hạn như f = ex hoặc (1 + x2 )−1 ) Ta đặt giả thiết I [ω] với các hàm. .. |z|q−1 + 1 , (1.27) (1.28) 22 với C là hằng số và ∀p ∈ Rn , z ∈ R, x ∈ U Xét bài toán biên đối với phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange tương ứng với hàm L n i=1 (Lpi (x, u, Du))xi − + Lz (x, u, Du) = 0 trong U u=g trên ∂U (1.29) ∞ Nhân (1.29) với một hàm thử v ∈ Cc (U ) và lấy tích phân từng phần, ta có đẳng thức: n Lpi (x, u, Du)vxi + Lz (x, u, Du)vdx = 0 (1.30) U i=1 1 Giả sử u ∈ Wq (U ) Từ . niệm phương trình vi phân đạo hàm riêng (viết tắt là phương trình đạo hàm riêng) từ chương trình đại học là những phương trình chứa hàm số cần tìm và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình đạo hàm. một số phương pháp giải các bài toán đối với phương trình đạo hàm riêng như: Phương pháp đặc trưng, Phương pháp tách biến, Phương pháp biến đổi tích phân, Phương pháp biến đổi phương trình phi. tài 9 " ;Phương pháp biến phân giải phương trình đạo hàm riêng& quot; Với mong muốn được tìm hiểu kĩ hơn về phương pháp biến phân cũng như những khả năng ứng dụng của nó đối với giải phương trình đạo hàm riêng.