Phương pháp biến đổi tích phân giải các phương trình đạo hàm riêng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG * LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC XN HỊA, 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI HOÀNG THỊ THU HUYỀN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC XUÂN HÒA, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lịng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy giáo dạy cao học chun ngành Tốn giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Hoàng Thị Thu Huyền LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi xin cam đoan nội dung luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục Hoàng Thị Thu Huyền 1.1 Bài tốn Dirichlet phương trình Poisson lớp vô hạn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp biến đối tích phân phương pháp giải tích hữu hiệu giải phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân dạng chập tuyến tính Các biến đổi quan trọng biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin v.v từ lâu sử dụng việc giải phương trình vi phân phương trình tích phân tuyến tính hệ số số Nhờ tính chất đặc thù phép biến đổi tích phân kể trên, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân có dạng miền khảo sát thích hợp chuyển phương trình đại số tương ứng Từ đó, sử dụng cơng thức nghịch đảo, ta tìm ẩn hàm mong muốn Hệ thống hóa phân loại tốn giải phương trình đạo hàm riêng phương pháp biến đổi tích phân việc làm thiết thực cho công việc học tập, giảng dạy hay nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Vì vậy, đề tài luận văn lựa chọn “Phương pháp biến đổi tích phân giải phương trình đạo hàm riêng” Luận văn gồm có: mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Nội dung chủ yếu luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi tích phân sau đây: biến đổi tích phân Fourier, biến đổi Hankel biến đổi Mellin Đối với phép biến đổi tích phân nói trên, luận văn xét số ứng dụng giải toán biên hay toán Cauchy cho phương trình đạọ hàm riêng bản, đặc biệt phương trình truyền sóng truyền nhiệt Bản luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [2] Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng tốn giải phương trình đạo hàm riêng phương pháp biến đổi tích phân Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu sở lý thuyết biến đổi tích phân: biến đổi Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin Trong chương 1, luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier số ứng dụng giải tốn biên phương trình điều hịa song điều hịa miền vơ hạn nửa mặt phẳng miền hình dải, giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không dài vô hạn Trong chương 2, luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi Hankel xét số ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng hệ tọa độ cực tọa độ trụ Trong chương 3, luận văn trình bày biến đổi Mellin số ứng dụng giải phương trình đạo hàm riêng miền hình nêm Đối tượng phạm vi nghiền cứu Bản luận văn trình bày sở lý thuyết biến đổi tích phân sau đây: biến đối Fourier, biến đổi Hankel, biến đổi Mellin số ứng dụng chúng giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận phương pháp tổng kết kinh nghiệm Những đóng góp đề tài Giải số toán biên học vật lý khác mà chưa có tài liệu tham khảo Chương / ọ Biên đơi Fourier Chương trình bày sở lý thuyết biến đổi Fourier số ứng dụng giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng miền vô hạn Nội dung chương hình thành từ tài liệu [1, 2, 3] 1.1 1.1.1 Biến đổi Fourier LX(R) Khái niệm Định nghĩa 1.1 Cho / e L (R), A e R, hàm / định 00 ^J Ỉ ( T ) E /(A) = F [ F } ( A) = I XT (1.1) DT 00 gọi biến đổi Fourier / Biến đổi Fourier ngược hàm / xác định công thức 00 Định lý 1.1.(Định lý Riemann - Lebegues) G I Ả Co làkhông giancác vô hàm số / SỬ liên e L (R) tục cực Hơn tiến THÌ/ € CO, dần VỚI nữa, — k h i đ ó , g ( x ) = / (à) h ầ u h ế t t r ê n R 1.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier T í n h c h ấ t 1.1 fr(x) = f (rx) Ta có /(A) = -/(-) r \ r J Chứng minh 00 -±= J f ( r x ) e i X * d x /(A) = 00 = 00 —!= í ỉ { t ) e i U ! r d t ry 2TĨ J — 00 □ Tính chất 1.2 Với Y e R, đặt FY (X) = F (X + Y) Ta có / y (A) = e- iA V(A) Chứng minh 00 /y (A) = ~!= Ị ỉ{x + y)e~ 00 = e-^fy(X) 00 iXx dx = -j= J f(t)eiX^dt —00 □ Tính chất 1.3 Cho / ễ í (R) thỏa mãn supp / c [— a , a] Khi đó, f ( z ) , z — X + Ì T hàm giải tích c CHỨNG MINH Với M nguyên dương, ta có a m D f ( A) = - j = J ( i x ) m f ( x ) e ị X x d x — a Do / € i (— A , A ) nên tích phân bên phải hội tụ với 771 nguyên dương Suy ra, / hàm giải tích c □ Tính chất 1.4 Cho / E L (R) thỏa mãn tính chất /' € L L (R) / liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn Khi đó, (/') A = -iA/ CHỨNG MINH Vì / liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn nên 00 /(*) = / (0)+ Ị Ỉ ' ( T ) dt í 11 ■? Tính chất 1.5 Với /, G e L (R), tích chập / G thức 00 (/ * ổ) (z) = J Khi đó, ta có / * G € L (R) (/ * G)A Ỉ ( X - T ) G (í) = 2TĨFG DT xác định theo công CHỨNG MINH Sử dụng định lý Fubini dễ dàng chứng minh / * G € i (R) Theo định lý Fubini, ta có J ( f * g ) ( x ) e i X x d x = J ị j f (í) g ( x - t ) d t Ị e i X x d x — = TT /(A)5(A) □ Tính chất 1.6 Gọi C 00 s tập hợp hàm khả vi vô hạn giảm nhanh, nghĩa / e x p f ^ (x) V P , Q e N, 3M > 0, Vx, Khi đó, / e CHỨNG s MINH Cho P , Q e N bất kỳ, ta có x suy với < M X ^ P+2f(q) -00 thỏa mãn phương trình < X < oo, < Y D2U (1.8) < 00 điều kiện ĩ i ( a : , ) = g(x), — o o •u(±oo, y ) = 0, (1-10) Lời giải hìnhthức Để giải tốn (1.8) < X < 00, ^(± 00, y ) = (1-9) 0, u ( x , +oo) = - (1.10), ta sử dụng phương biến đổi Fourier Với y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận) pháp theo X hai vế (1.8), ta có 00 00 00 — — — Sử dụng điều kiện (1.10), cách tích phân phần, ta có — — 00 Ị eiíx Ỵ~2dx= — Thay vào (1.11), ta có phương trình — d2ù{i,y) dy2 -ựủiề,v) = 0- — Nghiệm tổng quát phương trình (1.12) — ủ ( £ , y ) = A(£)e - ^ y + B ( £ ) e ^ \ y , (1.12) — j4(£), B ( Ç ) hàm số theo £ Từ điều kiện thứ ba (1.10), suy — Û(Ç, + 00) = Điều xảy B ( Ç ) = Như vậy, ta có — 00 ù { t , y ) = m ) e - ị x i ị v , u ( x , y ) = Ị - Ị А ( е - м * е - х * d Ç (1.13) — 00 — — — Để tìm hàm A ( Ệ ) , ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.9) Ta có — — — Thiết lập tính đắn lời giải Giả sử chặn Khi dễ dàng thấy, với У G(T) hàm liên tục bị > 0, tích phân (1.16) tích phân nhận t c ô n g t h ứ c n y b ằ n g c c h l ấ y đ o h m d i d ấ u t í c h p h â n t h e o X v t h e o у số lần tùy ý hội tụ miền (|æ| < 00, о < Y < 00) Ngoài ra, ta — dễ dàng chứng minh biểu thức dấu tích phân (1.16) hàm — đó, hàm U(X,Y) điều hịa, xác định cơng thức (1.16) thỏa mãn phương trình (1.8) — Rõ ràng điều kiện (1.10) thỏa mãn Ta cần phải kiểm tra thỏa mãn điều kiện biên (1.9) Từ (1.15), theo công thức biến đổi Fourier ngược, ta có: — — -y\í\ — — e — 00 = I [ eit* 7T J y d X , y > y z + Xz — Nhân hai vế (1.17) với trừ theo vế với (1.16), ta G(X), — — — Bằng cách đổi biến A = YR, ta biến đổi công thức dạng — 00 = _1 /" + 7T J — 00 — — y(z,ỉ/) - s(z) = _ jT (1-18) Do g(í) hàm bị chặn nên tồn M > 0, cho — — ±^1 IG ( Y R + X) - 5(x)| < I G ( Y R + x)| + |í/(:r)| < M Giả sử £ số dương nhỏ tùy ý Ta tìm số dương N = N ( E ) , cho Do G ( X ) hàm liên tục nên với Y gần không |r| < iV, ta có I g { y r + x ) - g ( x )I < £ Từ đó, suy N oo : í dr K »7T x J , y T + 13 2e ) + 7T T + £ í d,T 1= Ổ ( e Z ) | - —00 Do tính nhỏ tùy ý E , ta suy lim u ( x , y ) = g ( x ) y->+0 10 Có thể chứng minh toán (1.8) - (1.10) lớp hàm bị chặn khơng thể có nhiều nghiệm Như vậy, chứng minh định lý: 11 Định lý 1.5 G i ả s g ( x ) l h m l i ê n t ụ c t h u ộ c L (-oo,oo) v b ị c h ặ n Khi đó, nghiệm tốn (1.8)-(1.10) lớp hàm bị chặn cho công thức (1.16) 1 1.4 Một số tốn biên cho phương trình song điều hịa miền hình dải 1.4.1 Bài tốn biên thứ 12 Chúng ta nghiên cứu nghiệm $1 ( x , y ) toán giá trị biên cho phương 13 trình song điều hịa Ỡ $1 Ỡ $1 Ỡ $1 14 15 miền 16 17 n = {( x, Ị / ) : — oo < X < 0, < y < h } Xét toán giá trị biên hỗn tạp sau 18 Tìm nghiệm $1 ( X , Y ) phương trình (1.19) miền n thỏa mãn điều kiện 19 biên 20 21 I $1 L=fc = r 22 23 y— _ = 010*0, y=h Qy \y=h 24 27 ỚỈ>1 Ả x ) i 1TV (!- 20 ) Ô$1 25 26 ’ DY = y =0 Ui(x), iẽI (1.2Í) 28 Bài tốn mô tả độ võng mặt dải với cạnh - Y = Y = H có điều kiện kẹp 29 Chúng ta giải toán phương pháp biến đổi Fourier rút gọn hệ phương trình kép giải biến đổi Fourier ngược Cho trực tiếp hàm phù hợp F ( X ) , X e R( ví dụ , F ( X ) e L (R)) biến đối Fourier ngược xác định công thức 30 № = — 31 00 f°° = í f(x)eix*dx, (1.22) ỉ(0 = F-Hmo = f- / We-^dx (1.23) 32 33 F[f№ 2?r J -oo Lấy biến đổi Fourier theo biến X cho phương trình song điều hòa (1.19), ta thu 34 35 D^I(Ị,Y) _ + = 0i (124) 36 (£,y) = F X [ < & I ( X , y)](£) biến đổi Fourier theo X hàm $1 $1 ( X , Y ) Nghiệm tổng quát phương trình vi phân (1.24) đưa dạng 37 39 ĩi(f,ỉ/) = ^i(0 cosh(|£|ỉ/) + B Ị ( £ ) Y cosh(|£|y) 38 +ơi(0 sinh(l^ly) + D Í I O Y sinh(|£|ĩ/), (1.25) Ai(£), 5i(£)> Ci(^), -Di(£) hàm tùy ý biến £ Giá trị $ 1( 0, Y ) hàm hiểu theo nghĩa $ 1( 0, 2/ ) = l im ĩ i (£ , 3/ ) 40 42 41 í->0 Cho thỏa mãn điều kiện biên (1.20) (1.21), ta hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định hàm số Ai(£), B i(£), ơi(£), Đi(€) sau 43 r A í ( Ệ ) cosh(|£|/i) + Bi(£)/icosh(|£|/i) + ơi(£) sinh(|£|/i) + z>i(£)/isinh(|£|/i) = ? i(£), A i ( í ) | í | s i n h ( | £ | / i ) + £ i ( £ ) [ c o s h ( | £ | / i ) + \ z \ h s i n h ( | £ | / i ) ] + C i ( É ) | É | c o s h ( | £|/i) 44 45 A i ( = ĩ i ( Z ) , ( + £ , i( [ s i n h ( l£ l / ỉ ) + | ^ | / ỉ c o s h( | ^ | / i) ] = I ( £) , 46 ^B1(0 + c1(№\ = MO47 (1.26) 48 49 50 MO = MO, B , - = - Ị£Ị [sinh (1^1 H) + |g| focosh(|g| /Q]fi(£) + |£Ị sinh(|£Ị sinh (|£| 51 g| fo)]fli(Q + Ị£| [Ị£| (|£| HF C ,- = H [sinh (|£Ị + cosh (Ị£Ị H) + Ị£Ị Giải hệ (1-26) ta H H) H) - (|£| HF | [sinh (| sinh (|g|)ft]/i(Q sinh (|£| cosh (|£Ị H ) ] R 1(0 - H H) - sinh(Ị£Ị ft)Âi(g) 52 £Ị £| 53 H H) + cosh (Ị£| - |£| H H) sinh (Ị£Ị sinh (|£| H) H ) ] F 1(0 sinh cosh (|£| fo)]gi(£) + \ T \ H - (|£| (|£| HF H) sinh(Ị£Ị (l£Ị fe )^i(Q + [| - (|f| D = [sinh (| H)FI(Z) sinh (|£| h ) - (|£| h ý | [|£Ị h - cosh (Ị£| h ) sinh (Ị£Ị h ) ] ù 1(0 - [|£Ị sinh (|g| h ) ] f i(£) sinh (|£| h ) - (lÉl h f 1.4.2 HÝ Bài toán biên thứ hai 54 Xét phương trình song điều hịa H)G i(g) Ơ $9 Ớ Ỉ >9 55 56 Ớ $9 a2 ^'») = ^ + £w+ lề -° (1 27) ' 57 miền 58 n = {( X , Y ) : —00 < X < 00, < y < H} 1 59 I Xét tốn giá trị biên sau Tìm nghiệm $ 2( X , Y ) phương trình (1.27) miền n thỏa mãn điều kiện biên ớ$2 60 = r (z), ^ =92(X), X£ 61 ydy y=h 62 * 2| j , = = / 2( 3) , M [ ^ ] ị y = = u ( x ) , 520*01 X € K, (1-28) h 63 (1.29) xe M[$ 2] xác định theo công thức 64 65 M[$2](x,y) = ^ + v^, 00 Ta có 75 2|£|£> (£), « 2(0 = M[* ](£,0) = 76 _z/|£| (£,0) = (1 - ^)|^| A (0 + dyz 77 (1.33) 78 ^ 2(0 hàm ẩn 79 Cho thỏa mãn điều kiện biên (1.28) (1.29) ta hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định hàm số ^ 2( 0; B Ì O ’ C Ĩ I Q , -^ 2(0 sau 80 r A ( cosh(|£|/ỉ + B { T , ) H ) cosh | £ | H + c2(0 sinh(|£|/ỉ) + D { I ) H sinh(|£|/ỉ) = ? (£)> A (OI£|sinh(|£|/i) + B (0[cosh(|^|/i) + \ Ệ \ H sinh(|£|/i)] + C (OI£l cosh(|£|/i) + £>2(0[ (L£L/ ) + LÉ|J»COSH(|£|JI)] = g ( , 81 ^ 2(0 = /2(0: 82 l (1 - I/)|Í| A ( + 2|Í|D (Í) $,({) 83 (1.34) SINH Ỉ 84 Giải hệ (1.34), ta 85 M O 86 h ) g ( Ie|[2|í|ft-sinh2(|í|ft)] [sinh (|g| H ) Ủ ( - [2|£| + Ị Ị - V ) |£l sinh (|£l fe)]/ (0 |É| [2 lÉl H - sinh 1.5.1 2 2(|í| H ) ] _ _ |£| H cosh(|£Ị /i)g (0 - Ị£l [cosh (l£ Ị ft) + |£Ị H sinh(|£Ị /Q]r (0 í|ft-Binh2(|í|ft)] 2 (|£| H ) Ủ ( Q - |g| [(1 - V ) ( \ Z \ H Ý - 2cosh |g| H ] F ( líl [2 |£| H - sinh £| /ỉ,)] ủ ( - ( l - v m Ỉ ( I€l 87 ( Ií|[2| 88 (| 89 Dĩ(0 2ỊC|2[co8h(|^|/t)]f2(0 + |£| /i3Ình(|g| = B2 1.5 = / ( 0, Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt dài vơ hạn Cơng thức Poisson 90 Bài tốn truyền nhiệt dài vô hạn đồng chất, bề mặt cách nhiệt với mơi trường bên ngồi mặt tốn học phát biểu sau T ì m h m b ị c h ặ n u ( x , t ) , ( t > , -00 < X < 00) t h ỏ a m ã n p h n g t r ì n h 91 92 93 du 0d2u , s ( T > 0, -00 < X < oo) ^ = (1.35) điều kiện ban đầu 94 •u| t _ = < P ( X ) , (—00 < X < oo), (1.36) 95 đó, 96 Vận dụng ngun lý cực trị chứng minh tính nghiệm Ự>(X) hàm liên tục bị chặn toán (1.35)-(1.36) 97 Định lý 1.6 B i t o n C a u c h y ( ) - ( ) k h ô n g t h ể c ó n h i ề u h n nghiêm bị chặn 98 CHỨNG MINH Tác động biến đổi Fourier theo biến số X hai vế phương trình (1.35) , ta phương trình vi phân thường theo biến 99 T U t { \ , t ) = — a X U (A, t ) , u (A, t ) = F x [ u ( x , t ) ] ( A) 2 100 Từ đây, ta tìm 101 U(X,t) = A(X)e~a2x2t, (1.37) 102 đó, Ẩ(A) hàm 103 Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế (1.37), ta 104 00 u(x,t) = — J A{\)e~a2xĩịéxx d\ 105 (1.38) — 00 106 Trong (1.38) cho T = 0, sử dụng (1.36), ta có 00 107 (p ( x ) = = ^ĩ 0) = — I A ( £ ) e i x ^ d X 2tt J 108 Từ đây, suy — 00 00 )e" = J Ẩ(A)íểA ưe T P ( Z ) T 109 — 110 00 Thay (1.39) — 00 (1.39) vào (1.38), ta 111 112 00 00 = / ( / v(0e-iHd^e- a2x ixX \ dX — 00 —00 113 Để thuận tiện, biến đổi biểu thức dạng: 114 00 00 115 J u ( x , t ) = d X Ị (p(£)e~ a A * cos A(£ — x ) d £ K —00 —00 00 —— ' 2tt 00 116 = ( p ( £ ) e ~ a x t cos A(£ — x ) 118 Ị = —00 Đổi thứ tự lấy tích phân vế phải biểu thức trên, ta có 119 00 00 120 — Ị 0) — — (1-46) < N , \ ự > ( x + 2a a V t ) — ( p ( x ) I < (1-48) — ỊQÍI I [ụ>{x + Từ (1-46) - (1.48), suy — 2e e — | u ( x , í ) - v »( ® ) l < — với T / _ + 2e ye < e + e > đủ nhỏ Từ suy điều phải chứng minh — Vì tốn (1.35) - (1.36) theo định lý (1.6) khơng thể có q nghiệm bị chặn nên tích phân (1.41) cho cơng thức nghiệm toán Như vậy, chứng minh định lý sau: — Định lý 1.7 N ế u i p ( x ) l h m l i ê n t ụ c b ị c h ặ n t r ê n (—00,00) t h ì b i tốn (1.35) - (1.36) ỉớp hàm bị chặn có nghiệm nghiệm cho cơng thức — ỵ y (g - *) — U(X,T) = - Ị = / y>(£)e -(1-49) — 2av t i r J — 00 4A T D£ — Công thức (1-49) gọi cơng thức Poison phương trình truyền nhiệt 2 1.5.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt — Ta ký hiệu e — — l2 /4a2i; í > 0, E{x, t) = < (47ra *) / ’ — 0, t < — Hàm E ( X , T ) có tính chất sau E Ị — E ( X , A2EXX T) = 0, X Ễ R, T > 0, với i e l , > T > E { x , t ) e X (0,+oo)) J E ( X , T ) D X = 1, với T > — R — Hàm E ( X , T ) gọi hàm phương trình tuyền nhiệt (1.35) Ngồi nghiệm U(X,T) tốn Cauchy (1.35) - (1.36) xác định theo công thức (xem công thức (1.49)) — Ị E(x - y,t)ip(y)dy — R 1.6 u(x,t) = (1-51) Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng — Xét tốn khơng — — — u(x, — cho 0) = { ậ(x) cơng thức (1.51) Nghĩa là, có tốn tử giải — S(t)ệ(x)= / E(x - y,t)ệ(y)dy 2 — Do đó, theo nguyên lý Duhamel, nghiệm tốn khơng (1.52) cho cơng thức — u(x, t) = S(T)$(x) + í S(t — s)f(x, s)ds, — "'0 — E(x — — = / E(x — y,t)ậ(y)dy + / — y , t — s ) f ( y , s ) d y d s , (1-54) ■'R ■'o ^R E ( X , T ) nghiệm phương trình truyền nhiệt xác định cơng thức (1.50) — Ký hiệu U = U H + U P , đó, — Uh(x,t) = / E(x — y, t)ệ(y)dy, (1.55) — Up(x,t) = / E(x — y,t — s)f (y, s)dyds ( 56 ) J0 — — / Nhận xét rằng, U F L ( X , T ) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt với điều k i ệ n b a n đ ầ u k h ô n g t h u ầ n n h ấ t , c ò n h m U p ( x , t ) t h ì t h ỏ a m ã n p h n g t r ì n h truyền nhiệt không với điều kiện ban đầu — Định lý 1.8 Giả sử / e C^(K X (0, oo)) (nghĩa f hàm hai l ầ n k h ả v i l i ê n tụ c t h eo bi ến kh ôn g gi an X m ột l ần kh ả vi li ên tụ c th eo bi ến th i gi an t ) có giá compcat Ký hiệu V = Up (1.56) Khi V € C Ỉ ( R X (0,oo)) (1.57) V ị { x , t ) — a v x x ( x , t ) — f ( x , t ) , v i m ọ i ĩEl, t > 0, lim V ( X A , T ) = 0, V Ớ I — T —^ “HO — (1.58) (1.59) CHỨNG MINH MỌI X0 € R Vì nghiệm E CÓ kỳ dị (0,0), chuyển qua giới hạn dấu tích phân suy rộng Thực đổi biến ỹ = X — y, s = t — s, ta có — — — có n E(ỹ,s)f(x ì -'0 E(x - y,t - s)f(y,s)dyds = / ỹ,t -s)dỹds Để đơn giản công thức Ỹ S , viết X , Y tương ứng Ta — dị í í E(y,s)f(x - y,t- s)dyds = í í E(y,s)dịf(x - y,t - s)dyds "'o "'o —+ / E ( y , s ) f ( x - y , ) d y J R — — dxx / - — /E ( y , s ) f ( x y , t - s)dyds ■'O ■'R -y,t - s)dyds = / /E ( y , s ) d x x f ( x ■'0 ■'R — Do đó, V ( X , T ) € C^(R X (0,oo)) Chúng ta cần tính Vi - a v x x Sử dụng cách đổi biến trên, ta có [dị - a2dxx\ í í E(x - y,t s ) f ( y , s ) d y d s -'0 ■'R — — y,t = Ị í E(y,s)[d s)dyds + í J0 - t E{y,s)[dị - azdxx]f(x s)dyds + I E(y, s)f(x y,0)dy - a2dxx]f(x - y,t - nE ( y , s ) [ - d s — - a dyy]ỉ(x - y,t - s)dyds + í E(y, s)f(x - y, 0)dy — — _L ■'R Bây lấy tích phân phần để sử dụng tính chất E ( Y , s ) l phương Tuy nhiên, E ( Y , nghiệm S) lại có kỳ dị S = Để khắc phục điều này, ta phân tích phân [0,í] thành tổng tích phân [0,e] [e, T ] Ta có // — [dị - a2dxx]v = s)dyds — + I J E(y,s)[-d s - a E(t f s)[ J ’ E I I E(y,s)[-ds - a2dyy]f(x - y,t - R dyy]f(x - Ũ J o JM y,t - s)dyds ■'0 — + / E(y,s)f(x - y,0)dy = IE + JE + K — Trước hết, xét J £ Ta có — \Je\ = s)dyds J ■'R / /E ( y , s ) [ - d „ - a2 dyy]f(x - y,t - Ị < < — (||/ì||l” + a ||/xx||i“) [ E(y,s)dyds eC JRE(y,t)dy = Ce Đối với / £ , sử dụng giả thiết / có giá compact, tích phân phần sau — nE(y, s)[-ỡs - a2dyy]f(x - — -ỉ ỉ n[ d s - a d y y ] E ( y , s ) f ( x - y , t - s ) d y d s — — — — _í — E F ls=í / (y,s)f(x — y),t — s)dy\ J R / — -í y,t- s)dyds =0+ / E(y,s)f(x — y ) , t — e ) dL — / E ( y , t ) f ( x - y , ) d y y — E(y,e)f(x - y),t- s)dy - K — — — — Do đó, h + K= E(y,e)f(x-y),t-e)dy — — Suy ra, — — — — í e — — = lim £^■+0 (47T A E ) — /OM), V Ị ^ V X X — llĩĩl \ Ỉ £ "i“ J E ^] eT+0 — = lim / E(y,e)f(x — y , t — e ) d y s — > +0 J y /4a E /(z - y , t - e ) d y ' ■'R sử dụng kỹ thuật kiểm tra thỏa mãn điều kiện biên chứng minh Định lý 1.6 Để chứng minh lim V ( X O , T ) — T —^ -KO = 0, sử dụng đánh giá — ■H/7 •'0 ■'R < II/IIl»(Rx[0,í] / E ( Y , S ) D Y D S J ■'R — ^ E ( y , s)f(x - y,t - s)dyds ct 3 —Do đó, T ->• +0 V ( X , T ) - > 0, nghĩa hàm U P ( X , T ) = V(X,T) nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không với điều kiện đầu Định lý chứng minh □ 3 Chương Biến đổi tích phân Hankel — — Chương trình bày biến đổi tích phân Hankel số tốn phương trình đạo hàm riêng giải phương pháp biến đổi tích phân Hankel Nội dung chương hình thành từ tài liệu [1], [2] [5] 2.1 Khái niệm hàm Gamma, hàm Beta hàm Bessel 2.1.1 Hàm Gamma hàm Beta — Hàm Gammma r(z) có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực tốn học xác định theo công thức — — 0(z) = I t z e r t — — — (2.1) — dt, Rez > r(z + 1) = Z T ( Z ) , r(n + 1) = N \ , — — — Hàm B E T A B ( X , Y ) xác định theo công thức — — R e x > 0, R e y > 0 (2.2) — Giữa hàm Gamma hàm Beta có hệ thức — — y)= Ỵ' ^ r(*)r(y) — /N B(x, (2.3) r(x + Y ) 2.1.2 Hàm Bessel loại một, loại hai loại ba — Với e R, ký hiệu J Ụ , hàm Bessel loại 1, xác định theo công thức — — = s — k]T 00 ^^_^ụ,+2k J ÁZ) ( ) 2-4 ( + jfc + 1)’ — jfc=0 đó, r(z) hàm Gamma xác định theo công thức — r(z) = Ị t z ~ e ~ t d t , R e z > —0 — Khi \ Z \ đủ lớn, ta có cơng thức tiệm cận sau — — — ( -^)V ^(z ) = (-1 r ^-™J, + m (z ), (2 10 ) — .J - n ( z ) = ( ~ l ) n J n ( z ) , n = 1,2, (2.11) — Biểu diễn tích phân hàm J F Í ( Z ) — (-Y ì — J V 2' Á Z ) = p / i N p / ~ Ị ' / c o s ( z c o s ) s i n / i dớ ( 2) 2' — — Hàm Bessel loại hai ký hiệu Y Ự ( Z ) liên hệ với hàm Besel loại J F T ( Z ) theo công thức — — V /.Л J ß ( z ) c o s ( z ) - J _ ß ( z ) Y Ự { Z ) = - - -7-^— Y N ( Z ) = lim Y Ụ ( Z ) (2.13) — , sin ụ , z ụ,—¥71 — Hàm Bessel loại ba hay gọi hàm Hankel xác định theo công thức — HỊ!\Z) = J^ + iY^z), Hi*)(z) = Jlt(z)-iYtt(z) (2.14) 2.1.3 Hàm Bessel đối số ảo — Các hàm Bessel loại ba ký hiệu I S S ( Z ) K S S ( Z ) (hàm Macdonal) xác định theo cơng thức — mụ, ÌT Ĩ — I ụ ( z ) = e J ị l ( z e 2), (2.15) — —ỈTĩịi Ktl{z) = -i^e — iiĩ H^(ze~2) (2.16) — Các hàm Bessel loại ba thỏa mãn phương trình vi phân —u " 4—u ' + (1 + (2-17) — z \ Zz / — = có biểu diễn vào chuỗi — ^ z ^ /í“b 2/c I — — fc=o — 2.1.4 — s i n /i7Г Á Z ) = s r(fc + I)r(fcTTTÃÕ’ ^ ’ 18 ^ = (2.19) K N { Z ) = lim K {ZY ụ,—ĩn Biến đỗi tích phân Hankel Định nghĩa 2.1 Giả sử F(X) £ b (0, 00), J F I hàm Bessel loại Khi đó, biểu — thức sau gọi biến đổi Hankel hàm số /: — — 00 ũ(y) = B ß[f](y) = j f(x)y/xyjß(xy)dx, y > — о (2.20) — Định lý 2.1 (Watson) G i ả s / € L ( , o o ) , f ( x ) c ó b i ế n p h â n b ị c h ặ n t r o n g l â n — cận điểm X > 0, Ị X >—- v hàm f ( y ) xác định theo công thức (2.20) — Khi đó, — 00 [/(* + 0) + F ( X - 0)] = [/„](*) = J F{Y)VXỸJN{XY) dy (2.21) —0 — biến Nhận xét với biến đổi Hankel ngược xác định — đổi Hankel thuận, vậy, ta viết B P = B Ự — — Định lý 2.2 (Đẳng thức Parseval) G i ả s ụ , > — f ( x ) , g ụ , ( y ) t h u ộ c L (0,oo), = B f i [ f ] ( y ) v g ( x ) = B ~ l [ ( y ) \ ( x ) K h i đ ó , t a c ó đ ẳ n g t h ứ c Parsevaỉ sau — — 00 00 — Jũ(x)g(x) dx = jf{y)g^{y) dy (2.22) — 00 —Định lý dễ dàng chứng minh cách đặt G(X) { X ) vào bên trái (2.22) áp dụng định thay đổi thứ = B~1[G{Y)\ phân — tự tích Cùngvới lý Fubini để biến đổi Hankel đượcxác định công thức (2.20),trong — nhiều trường hợp lý thuyết ứng dụng, biến đổi Hankel hàm f(x), X > — định nghĩa theo công thức sau Định nghĩa 2.2 Giả sử Ì / X F ( X ) e L (0,oo) Ký hiệu F(Y), Y > biến đổi Hankel hàm số F ( X ) xác định theo công thức — — ũ(y) = 00 H (2.23) — Af](y) = j xf{x)J^{xy)dx — Biến đổi Hankel ngược xác định theo công thức — 00 — f(x) = H~1[fụ,(y)](x)= yfp(y)Jp(xy)dy (2.24) — • — Một số tính chất biến đổi Hankel H Ự : (Scaling): H — u[f(ar)}(y) = — az a J — C h ứ n g m i n h Ta có — 00 00 H H Ư ( a r ) ] ( y ) = Ị yjfi{yr)f(ar)dr = [ sjfi(sy/a)f(s)ds = \fni~) — J a — 0 • ( azJ az □ Hệ thức P a r s e v a l ) : Giả sử Ặ = H ự ự ] 5^ = H Ụ \ G \ Khi đó, — — J rf(r)g(r)dr = Ị yfịi{y)gụ,{y)dy — — oo 00 CHỨNG MINH Áp dụng định lý Fubini, ta có 00 — /Ợ o o p oo — y f ( y ) 9( y ) d y = / y f ( y ) d y / r J ị l ( y r ) g { r ) d r •'o •'o — — 00 — p 00 /» 00 rg(r)dr / yjụ,{yr)ĩ{y)dy = / rg(r)f(r)dr — Jũ Jù — / — □ • (Biến đổi Hankel đạo hàm): Nếu H f j , [ f ( r )] = ĩ f i ( y ) — ế/(r)](!') = - y Ĩ M ’ — với giả thiết — 2.2 Bài tốn Dirichlet cho nửa khơng gian đối xứng trục RF'(R) — - RF(R) tiến đến khơng R ->• Tìm hàm thơng thường V ( R , +0 \ v ( r , z ) \ < M , V z > Г — > оо оо V(R, Z) -> о, Vz > — Lời giải hình thức: Chúng ta đưa vào ký hiệu sau — u(r,z) = Vrv(r,z), g(r) = Vrf{r) — Phương trình (2.25) viết lại dạng — — — — (2.26) đó, — =í д d =Ị , — M O N Ị Ị U = r —r^r u(r, z) or or Tác động biến đổi Hankel cấp khơng B vào hai vế phương trình (2.26), giả — ỡ2 thiết B Ữ đổi chỗ đươc với đăt U ( P , Z ) = B [ U ( R , Z ) ] { P ) , ta đươc — dzz -p2U(p, z) + — — U(p,z) = A(p)e-Pz + B(p)e^ Do điều kiện (2), ta suy B P = Tiếp theo, sử dụng điều kiện (1), ta có — — — ( p , z ) = Suy ra, — — = 0, MỊỊNỊỊU + Vì giả thiết G(R) U ( p , 0) = A ( p ) = H [ g ( r ) ] ( p ) có giá compact nên — Theo định lý với Z MP) =< 9(t), Vtpj 0(tp) > > 0, hàm A ( P ) E ~ Z P khả vi vô hạn theo (2.27) P thuộc i (0, oo) Vì vậy, có — u(r,z) = B~1[U(p,z)](r) = Bữ[< g(t),ựtpj0(tp) > e~zp](r) — — = J < g(t), y/tpj0(tp) > e~zpựrpj0(rp) dp — — 00 — v(r, z) = r - u ( r , z ) , < r < 00, < z < 00 2.3— Phương trình truyền nhiệt mặt phẳng đối xứng trục — — Tìm — nghiệm phương trình truyền nhiệt — du a2 d ( du\ (2.28) „ I r~^~ ; < r < 00, < t , — DT R DR — \ DR) với điều kiện biên tương ứng — lim |it(r, í)| < oo, lim — r— U(R,T) r — ¥ 00 —» 0, < (2.29) T điều kiện ban đầu — It(r,0) = F ( R ) , < — Lời — Ta bắt đầu giải: với việc nhân tích — phân từ đến 00, R vàophương < oo (2.30) trình (2.28) với RJỮ{KR)DR lấy ta được: — J —rJo(kr) dr = — J u(r, t)rJữ{kr)dr — dt — LO a2 00 Jír{ T fr) Mk r ) d T - — — — (2.31) Tính tích phân bên phải (2.31) hai lần, ta — 00 — — / irí1 Ot) — 00 ] J o(kr) dr du J kr r Q o( ) = r —0 /Q J Or \ or J r^-j'ữ{kr)dr d r uu + k■ J u ( r , — = —k r u ( r , t ) j ' ữ ( k r ) — = — k2 J u(r,t)Jo(kr)r — — r—0 d — r dJo(kr) -J0(kr) dr dr — Nếu ta kí hiệu U ( K , T ) biến đổi Hankel hàm — — U(R,T) 00 u(k,t) = B(j[u](k) = J ru(r,t)Jo(kr) dr dr (2.32) dr, — dJo(kr) dr — Do đó, phương trình (2.31) trở thành dU k ^ ^ — + a k U ( k , t ) = 0, d t (2.33) — CÓ nghiệm Từ điều kiện ban đầu, ta có — u (k , t ) = A ( k ) e — a k t 00 — u ( k , 0) = A ( k ) = F ( k ) = B [ f ] ( k ) = J f ( r ) J ( k r ) r d r — — Nên nghiệm toán ứng với điều kiện biên ban đầu là: — (2.34) 00 — u(k,t) = — Ị f(r)Jo(kr)rdr.e~akt Do — lấy biến đổi ngược Hankel ta đó, — — — u(r, t) = BQ [ U ( k , í)] 00 (r) = I k U ( k , t ) J o ( k r ) dk — — — Thế u(k,t ) vào phương trình (2.35) đảo thứ tự tích phân, ta — 00 r 00 — u(r,t) = Ị F(0 J J0(kr)J0(kOe-a2k2tdk ỆdỆ — (2.35) / Lo — — = Òi I m iềĩ) — 00 — Ị e~x = exp — exp (“ )h — T 00 SdỆ , J0{\s)Jũ{\r)\d\ ^ s ^ 10 — 2.4 Bài toán Robin phương trình Laplace nửa khơng gian đối xứng trục — Tìm nghiệm tốn nửa không gian d {du\ d2u — X] + °’ ° < r < 00, < z < o o (2.36) — r ơr \ Ớr ) tương ứng Ởz í với điều kiện biên — lim \ u ( r , z ) \ < oo, lim u ( r , z ) — > 0, < z < 00, r- » r- (2.37) — lim u ( r , z ) — > 0, < r < 00 z—y 00 — — ỡu(r,0) ị —, < r < a, — •—^— + H U ( R , 0) = < Ị K — 1.0, A < R < 00 (2.38) >00 — (2.39) Phương trình (2.39) phát biểu bề mặt — truyền nhiệt Z với tốc độ Q , nhiệt độ giữ không A < R < 00 Nửa khơng gian làm nóng thơng qua xạ làm mát bề mặt Lời giải Ta lấy biến đổi — Hankel phương trình vi phân cách nhân r J ũ ( k r ) d r lấy tích phân từ đến oo, ta được: — — 00 00 I — ( Ẽĩ M k r ) r d ’' J ề{ r t) — — — R AZ ) MKR) DR = (2.40) + 00 Tương tự trên, tính tích phân vế phải phương trình (2.40) phần hai lần, ta — — 00 00 — I d ~ ( r ô~) J °(kr^ dr = (2.41) ~k2 Ị u mặt khác, — hàm (r’z)rJo(kr)dr’ 00 — — Với U ( K , Z ) biến đổi Hankel U(R,Z) xác định công thức — 00 — u(k, z) = Bo[u(r, z)](k) = Ị u(r, z)Jũ(kr)r dr — — Do đó, phương trình (2.40) trở thành toán biên — d2U(k, z) , , N — - ^ k u ( k , z ) = 0, < z < 00, — dz2 — với — lim u (k , Z ) — > (2.42) (2.43) — — a — U'(k,0) + hU(k,0) = — I Jo(kr)r dr = ^— Ji(ka) (2.44) — K J K K — — — — Nghiệm phương trình (2.42) U(k,z) = A(k)e~kz + B(h)ekz Theo phương trình (2.43), ta suy B ( K ) = Từ phương trình (2.44), ta có KA(K) + HA(K) = A ( K ) = — 7^— - J I ( K A ) — KK(k h) — Do đó, nghiệm phương trình (2.42) trở thành = —u i k ' * ) -^§TV)Jlika)e~t z - — Cuối cùng, lấy biến đổi Hankel ngược, ta — 00 — u(r, z) = B^ịuịk, z)](r) = / ku(k, z)Jũ{kr) dk — 00 —O a í e ~ k z — = —— / - — Ji(ka)Jo(kr) dk — K J k + h — 2.5 Bài toán Dirichlet phương trình Poisson lớp vơ hạn đối xứng trục — Tìm nghiệm phương trình Poisson d ( du\ d2u , R—~ ) +—= — ỂTĨỖ(R)S(Z), < T < oo, — A < Z < A (2-45) — r d r z\ d r J dz — với điều kiện biên — lim |u(r,z)| < oo, lim u ( r , z ) — > 0, — a < z < a (2AQ) — — r—>ồ r—ìoo — —A) A) U(R, U(R, — = < 00 0, < R (2.47) — Hay nói cách khác, hàm Green cho phương trình ta tìm Poisson cho — miền xác định Một cách vật lý, ta tính tốn tiềm tĩnh điện khơng gian tự hai nhóm mặt phẳng — Z — ± A mà điện tích điểm đặt gốc Lời— Một lần ta bắt đầu biến đổi Hankel phương trình (2.45) ta giải: 00 00 — 00 J - ^ - ^ J o ( k r ) r d r + J — Jo(kr) dr = —AtĩƠ(z) ị ( r ) J ũ ( k r ) r d r (2.48) —0 00 — Tính tích phân bên phải (2.48) hai lần, ta — — — — 00 / f Í ¥) — — ir ( —T ] J o(kr) dr = = —kru(r, t)j'ữ(kr) — — r =0 J u(r, N D dJo(kr) dr dr dr — jệL M t r ) r d r = ị dz2 dz2 Ị u(r, z)Jo(kr)r d r Lo —Ký hiệu U ( K , Z ) biến đổi Hankel hàm — — + k■ = — k2 Ị u(r,t)Jo(kr)r — — r - ^rj ' ũ { k r ) d r d 00 — — Q r= J ơr \ ơr J — / d uJ Q ữikr) r U(R,Z) xác định công thức 00 u(k, z) = Bo[u(r, z)](k) = Ị u(r, z)Jo(kr)r dr — — — Phương trình (2.48) trở thành — — D2U(K,Z) dz2 „ — k u ( k , z ) = —2ỗ { z ) , — a < z < a , — — — 00 — J Với điều kiện biên — R DR —— = 2tt S(r)J0(kr) u(k, a) = u(k, —a) = 0 (2.49) Để — giải trình (2.49), ta chia miền — — — A —< và0 < — A < Z < thành hai miền A Z Z < A Với miền, ta ký hiệu: — d u ± ( k , z ) _ k 2u ± ( k ĩ Z j ( 50 ) = — Từ — điều kiện biên,ta tìm U+(K,A) = U - ( K , — A ) = Nghiệm tương ứng — U+(K, Z) — — = A sinh[fc(z — a)], < < Z A, (2-51) U-(k, z) = B siĩih[k(z + a)], — a < z < — (2.52) — Giờ — ta đánh giá A B Hiển nhiên Ư(K, Z) phải liên tục U+(K, 0)= U - ( K , 0) Với — điều kiện thứ hai, ta tích hợp phương trình (2.49) khoảng cực nhỏ [o - , + ] ta — — — J u " ( k , z ) d z — k J U ( k , z ) d z = -2 J — hay 0+ 0+ 0+ 0- 0- 0- ỏ(z)dz, — u ' ( k , + ) — u ( k , 0~ ) = —2 — (2.54) Thế— phương trình (2.51) (2.52) vào (2.54), ta — u+{k, z) — (2.53) — E~KZ K EKZ — cosh(Ẵ;z) E ~ K A \,tu \ u cosh(KaJ K cosh(Ẵ;z) K — Do đó, — E~KA cosh(fca) K , e~kW cosh( k z ) e ~ k a U ( k , z ) = -7 - K cosh(Ẵ;a) K — — Cuối cùng, lấy biến đổi ngược Hankel, ta J e~kìz]Jo(kr)dk - J — — — — — U(R,Z) 0 00 = Bõ [í7(fc,z)](r-) 00 00 -=L=-ị _ ịz = [ e2 k_|_J 02 kJ )cosh(Ẵ;a) ( r dk - [ 'ịe-kaJ0(kr)dk ^/ r Z cosh ( k z )cosh(Ẵ;a) k aa e Jũ(kr) dk 2.6 Bài toán rung tự màng lớn — Xét toán rung màng đủ lớn xem toán dao động mặt phẳng đối xứng trục cho phương trình điều kiện sau (d2u d2u ldu\ c + J — — tương đương, — — — ỉ (r) đó, Ỏ(R) k h i R —> o o , (2.73) — đó, tốn tử song điều hòa đối xứng qua đường chéo là: — — — — ô2 dr2 r dr dz2 J \dr2 r dr dz2 Sử dụng biến đổi Hankel Ho{ D D2 lô V = V (V ) = \ ( U(R,Z)} D2 = Ũ(K,Z) )1 (2.74) vào toán, ta (2.75) — — — — ^ - K2 J D2 (2.76) \2 Ũ(K,Z) = 0, z > 0, ũ ( k , 0) = f ( k ) , — = z = a z (2.74) Các nghiệm bị chặn (2.75) — ủ(k, z) = (A + zB)e~kz, = /(*) — đó, Ả B tích phân khơng đổi xác định (2.76) với Ả (2.78) B = K F ( K ) Vậy, nghiệm (2.77) trở thành — — ũ ( k , z ) = (1 + k z ) f ( k ) e ~ k z Lấy biến đổi Hankel ngược, ta công thực nghiệm cần tìm — 00 (2.79) — u(r,z) = J k{l + kz)f(k) Jữ{kr)e~kzdk 57 Chương Biến đổi tích phân Mellin — 3.1 Biến đổi Mellin thuận ngược 3.1.1 Định nghĩa — Định nghĩa 3.1 Cho F ( T ) hàm thực dương với T e (0; +oo) Biến đổi Mellin M / phép toán ánh xạ hàm / vào hàm F xác định tập số phức cho công thức — — + oo M [ f ] s ] = F ( s ) = Ị /(í)í s_1 đí, s = a + i b (3-1) — — Hàm F ( S ) gọi biến đổi Mellin hàm / — Công thức biến đổi Mellin ngược xác định theo công thức — ra+ioo — / F ( s ) t ~ p d p , t > — Ja-ioo f(t) = (3.2) 2lĩi — Nhìn chung, tích phân tồn I đơn vị số ảo I = - 1, AI S — A + IB với ữi < A < 0, 2, đó, Ũ phụ thuộc vào /(í) Đây miền xác định biến đổi Mellin, kí hiệu S ( A I , Ũ 2) Trong vài trường hợp, miền mở rộng tới nửa mặt phẳng (ữi = -oo ữ2 = +oo) mặt phẳng (ai = -oo A2 = +oo) — Định lý 3.1 N ế u F ( s ) ỉ g i ả i t í c h t r o n g m i ề n (ai; a 2) v t h ỏ a m ã n điều kiện — — |F(s)| < K\S\ , K — consí t h ì h m f ( t ) c h o b i (3.2) l m ộ t h m l i ê n t ụ c v i t £ (0; + 00) v F ( s ) ỉ b i ế n đổi Mellin hàm f(t) 3.1.2 Ví dụ — 0, Ví dụ 3.1 Xét Z F(T) = H ( T — T A ) T Z với H hàm bậc thang Heaviside, e c Biến đổi Mellin /(í) — + 00 +s — M[/,«]= [ t * ~ d t = - t ^ — J z+ s — to TA > 58 CHỨNG MINH Theo định nghĩa ta có — Nếu Re(s) < — Re(z) hàm F ( S ) hàm chỉnh hình nửa phẳng — Ví dụ 3.2 Biến đổi Mellin hàm F ( T ) = E ~ P T , P > — M[f,s]=p-sT(s) — Hàm Gamma giải tích miền Re(s) > 0, ta kết luận dải chỉnh hình nửa phẳng ví dụ — Ví dụ 3.3 Xét hàm — — — — — với < Re(s) < Tích phân hàm Beta B ( S ) Do đó, ta có kết quả: — 3.2 M [ f , s ] = B ( s ) = r(s)r(l - s ) = — sin 7Ĩ S Một số tính chất phép biến đổi Mellin — Đặt F ( S ) = M [ F , S ] biến đổi Mellin hàm F ( X ) , X e R+, — hình S Ị = { S : Ơ có dải chỉnh < Re(s) < Ơ 2} — Sau số tính chất biến đổi Mellin 1) (Scaling): — M[f(rt)\s] = r~sF(s), s Ễ Sf, r > (3-6) M — — [f(rt);s] = J ts~lf{rt)dt Đổi biến — 00 — F{s) — RT 00 00 Ị t ~ f ( r t ) d t = —Ị x ~ f ( x ) d x = s s 00 — — □ — 2) Lũy thừa biến số: — — — — — □ — 4) Biến đổi Melin đạo hàm = X , ta có 59 5) M ẳĩ