Phương pháp biến đổi tích phân giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRIỆU THỊ MẬN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRIỆU THỊ MẬN PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN GIẢI CÁC BÀI TỐN BIÊN CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu BIẾN ĐỔI FOURIER 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Không gian Lp 1.1.2 Các bất đẳng thức định lý tích phân 1.1.3 Biến phân bị chặn 1.1.4 Tích phân Riemann tích phân Dirichlet 1.2 Biến đổi Fourier L1 (R) 1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier L1 (R) 1.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier 1.2.3 Công thức ngược L1 (R) 1.3 Biến đổi Fourier hàm thuộc L1 (R) ∩ L∞ (R) 1.4 Biến đổi Fourier L2 (R) 1.5 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng 1.6 Sự truyền nhiệt dài vô hạn Công thức Poisson 1.7 Phương trình tích phân dạng chập 1.8 Các tốn biên hỗn hợp phương trình Laplace mặt phẳng 1.8.1 Bài toán biên hỗn hợp nửa mặt phẳng 1.8.2 Bài toán biên hỗn hợp nửa mặt phẳng 1.9 Biến đổi Fourier-cosin Fourier-sin 1.9.1 Định nghĩa tính chất 1.9.2 Phương trình Laplace miền nửa dải 1.9.3 Phương trình Laplace góc phần tư mặt phẳng 5 6 7 12 14 17 23 25 29 31 31 33 34 34 36 37 BIẾN ĐỔI HANKEL 2.1 Định nghĩa tính chất 2.1.1 Khái niệm hàm Bessel 2.1.2 Biến đổi tích phân Hankel 2.2 Các toán áp dụng 2.2.1 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục 39 39 39 40 40 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 Phương trình truyền nhiệt Phương trình Laplace Phương trình Poisson Bài tốn biên hỗn hợp BIẾN ĐỔI LAPLACE 3.1 Định nghĩa tính chất 3.1.1 Định nghĩa 3.1.2 Các tính chất biến đổi Laplace 3.2 Biến đổi Laplace ngược (Cơng thức Bromưich) 3.3 Một số tốn áp dụng biến đổi Laplace 3.3.1 Phương trình vi phân 3.3.2 Phương trình truyền nhiệt 41 43 44 47 50 50 50 51 54 55 55 57 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Nhiều trình vật lý tự nhiên phát triển theo thời gian miền mà ta giải ta coi chúng có kích thước vơ hạn hay nửa vơ hạn Vì lý này, việc sử dụng biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel coi công cụ giải tích mạnh để giải phương trình đạo hàm riêng nhà toán học kỹ sư nghiên cứu Mục đích luận văn để minh họa cách sử dụng biến đổi Fourier, biến đổi Laplace biến đổi Hankel vào toán cụ thể Sự hình thành luận văn dựa tham khảo, tổng hợp tài liệu tham khảo chủ yếu Biến đổi tích phân nhóm tác giả mà đứng đầu GS TSKH Đặng Đình Áng Điều đặc biệt quan trọng phương pháp biến đổi tích phân hữu hiệu việc giải tốn phương trình đạo hàm riêng, phương trình truyền nhiệt, phương trình truyền sóng, tốn biên phương trình Laplace Nội dung luận văn bao gồm ba chương mang lại cách nhìn khái quát phương pháp biển đổi giải phương trình đạo hàm riêng Luận văn khơng sâu vào nghiên cứu lý thuyết phép biến đổi Fourier, Laplace hay Hankel mà giới thiệu định nghĩa tính chất phép biến đổi Trên sở trình bày toán việc vận dụng phép biến đổi để giải nghiệm Trong chương một, dành cho việc trình bày số kiến thức bổ trợ không gian hàm, giới thiệu phương pháp biến đổi Fourier thuận nghịch để giải tốn biên phương trình đạo hàm riêng Chúng tơi giới thiệu số phương pháp giải tốn cách thơng thường giải tốn dựa vào phương pháp biến đổi Fourier để so sánh lựa chọn phương pháp giải tối ưu Với mục đích tiếp tục mở rộng phương pháp giải khác cho phương trình đạo hàm riêng, chương hai giới thiệu phương pháp biến đổi Hankel Nêu số toán áp dụng biến đổi Hankel vào việc tìm nghiệm phương trình phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương trình Poisson, toán biên hỗn hợp Chương ba luận văn giới thiệu biến đổi Laplace Vận dụng biến đổi Laplace vào tìm nghiệm phương trình vi phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình đạo hàm riêng Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên Qua xin chân thành cảm ơn thầy giáo Khoa Tốn - Tin, Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo nhà trường trang bị kiến thức tạo điều Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn kiện tốt cho tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới TS Nguyễn Văn Ngọc, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tơi có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tơi q trình học tập Do thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý thầy để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013 Người thực Triệu Thị Mận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương trình bày lý thuyết tóm tắt biến đổi Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin giải số phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân dạng chập phương pháp biến đổi tích phân Fourier Nội dung chương hình thành từ tài liệu [1], [2], [3], [4] [5] 1.1 1.1.1 Một số kiến thức bổ trợ Không gian Lp p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp (Ω) lớp hàm f (x) xác Với p số thực: định Ω, cho f p p p |f (x)| dx = < ∞, dx = dx1 dx2 dxn Ω Số f p gọi chuẩn hàm f (x) Lp (Ω) không gian Banach Đặc biệt, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng f (x)g(x)dx, (f, g) = Ω g(x) liên hợp phức g(x) Hàm xác định Ω gọi chủ yếu bị chặn Ω, tồn số dương C, cho |f (x)| C hầu khắp nơi Ω Cận lớn số C ký hiệu ess supx∈Ω |f (x)| Ta ký hiệu L∞ (Ω) không gian tất hàm chủ yếu bị chặn Ω Chuẩn L∞ (Ω) xác định theo công thức f ∞ = esssupx∈Ω |f (x)| sup lấy tất phân hoạch đơn vị [a, b] Dưới mệnh đề quan trọng trù mật Lp Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1 (về trù mật) (i) Nếu khoảng (a, b) hữu hạn lớp hàm sau trù mật khắp nơi Lp (a, b): M −lớp hàm bị chặn, C−lớp hàm liên tục, S−lớp hàm bậc thang, P −lớp đa thức đại số, T −lớp đa thức lượng giác trù mật khắp nơi Lp (−π, π) (ii)Lớp Sc tất hàm bậc thang trù mật Lp (−∞, ∞), (p 1.1.2 1) Các bất đẳng thức định lý tích phõn nh lý 1.2 (bt ng thc Hă older) Nu f ∈ Lp , g ∈ Lq , p, q fg f 1 + = p q g q, p Định lý 1.3 (bất đẳng thức Minkowski) Nếu p f +g f p 1, p 1, + g p Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử Ω cho dãy hàm khả tổng {fk (x)}∞ 1 hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f (x) Nếu tồn hàm thực F (x) 0, F (x) ∈ L (Ω), cho |fk (x)| F (x), x ∈ Ω, ∀k f (x) ∈ L (Ω) lim fk (x)dx = Ω f (x) dx k→∞ Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F (x, y) khả tích Ω1 × Ω2 Khi x → F (x, y)dy khả tích Ω1 , y → Ω1 F (x, y)dx khả tích Ω2 Ngồi Ω2 dx Ω1 1.1.3 dy F (x, y) dy = Ω2 Ω2 F (x, y dx = F (x, y) dxdy Ω1 ×Ω2 Ω1 Biến phân bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho f hàm số ( thực phức ) xác định đoạn [a, b] Giả sử p = {x0 , x1 , , xn } phân hoạch đoạn [a, b], nghĩa a = x0 < x1 < < xn = b Hàm số f (x) gọi có biến phân bị chặn đoạn [a, b], n V (f ) = Vab (f ) = sup p |f (xi ) − f (xi−1 )| < ∞ i=1 Ví dụ biến phân bị chặn 1) Nếu f (x) hàm thực đơn điệu [a, b], Vab (f ) = |f (b) − f (a)| 2) Nếu |f (x)| M, ∀x ∈ [a, b] Vab (f ) M (b − a) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3) Nếu f hàm liên tục tuyệt đối [a, b], nghĩa có dạng f (x) = c+ L1 (a, b), Vab g L1(a,b) x a g(t)dt, g ∈ ∗ Các tính chất hàm có biến phân bị chặn 1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f (x) có biến phân bị chặn [a, b], phần thực phần ảo có biến phân bị chặn [a, b] 2) Nếu f (x) có biến phân bị chặn f (x) bị chặn: |f (x)| ≤ |f (a)| + Vab (f ) 3) Giả sử f (x) hàm số thực Hàm f (x) có biến phân bị chặn [a, b] hiệu hàm đơn điệu tăng bị chặn [a, b]: f (x) = g(x) − h(x) 1.1.4 Tích phân Riemann tích phân Dirichlet Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann) Nếu g(t) khả tích tuyệt đối khoảng hữu hạn vơ hạn [a, b], b lim b g(t) sin pt dt = 0, lim p→∞ g(t) cos pt dt = p→∞ a a Định lý 1.6 (Bổ đề Dirichlet) Nếu hàm g(t) đơn điệu tăng bị chặn đoạn [o, h], h > 0, h g(t) lim p→∞ sin pt π dt = g(+0) t Định lý 1.7 (Tích phân Dirichlet) a sin λy π dy = sgnλ y lim a→∞ 1.2 1.2.1 Biến đổi Fourier L1 (R) Định nghĩa biến đổi Fourier L1 (R) Định nghĩa 1.2 Với f ∈ L1 (R) ta định nghĩa biến đổi Fourier hàm f là: ∞ fˆ(ξ) = F [f ](ξ) = f (x)e−ixξ dx, ξ ∈ R, (1.1) −∞ biến đổi Fourier ngược f là: ∞ f˘(ξ) = F −1 [f ](ξ) = 2π f (x)eixξ dx −∞ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) Nhận xét f ∈ L1 (R) |e±iξ | = 1, nên tích phân (1.1) (1.2) hội tụ ∀ξ ∈ R Ngoài ra, biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược có quan hệ sau: ˆ f˘(ξ) = f (−ξ), F −1 [f (x)](ξ) = F [f (−x)](ξ) 2π 2π (1.3) Ví dụ 1.1 (Hạch Dirichlet) Xét biến đổi Fourier hàm đặc trưng χ[−N,N ] (x) Ta có: N eixξ dx = χˆ[−N,N ] (ξ) = sin N ξ ξ −N Hàm số DN (x) = sin N ξ gọi hạch Dirichlet có liên quan đến tích phân sau ξ đây: ∞ sin λy π dy = signλ y Ví dụ 1.2 (Hạch Poisson) Xét biến đổi Fourier hàm số e−t|x| , t > Ta có: ∞ ∞ −t|x| −ixξ I= e e −∞ Thực tính tốn ta I= Hàm số Pt (x) = 1.2.2 e−tx cos xξ dx dx = t2 2t , t > + ξ2 t , t > gọi hạch Poisson π t + x2 Các tính chất biến đổi Fourier Sau số tính chất biến đổi Fourier 1) Biến đổi Fourier biến đổi Fourier ngược hàm bị chặn Rn Thật vậy, theo (1.1) ta có: ∞ |fˆ(ξ)| ≤ |f (x)| dx = f −∞ 2) fˆ(ξ) = F [f ](ξ) hàm liên tục R Thật vậy, với ξ, h ∈ R, ta có: ∞ |fˆ(ξ + h) − fˆ(ξ)| ≤ ∞ |f (x)||e−ixξ ||e−ixh − 1| dx −∞ |f (x)| dx = f −∞ Theo định lý Lebesque, ta có: ∞ lim |fˆ(ξ + h) − fˆ(ξ)| ≤ lim h→0 h→0 −∞ |f (x)||e−ixξ ||e−ixh − 1| dx Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ta viết lại phương trình (2.51) sau Bmn An Smn = 2(2m − 1) Bởi ∞ J0 (kr)J2m−1 (ka) dk = Pm−1 − a (2.53) 2r2 a2 , r < a, (2.54) Pm (.) đa thức Legendre bậc m, phương trình (2.41) viết lại dạng: ∞ ∞ 2r2 Bmn Pm−1 − = (2.55) a n=1 m=1 Phương trình (2.55) kéo theo từ phương trình (2.46) vào phương trình (2.41) sau sử dụng (2.54) Nhân phương trình (2.55) Pm−1 (ξ)dξ , lấy tích phân từ −1 đến 1, sử dụng tính chất trực giao đa thức Legendre, ta có Pm−1 (ξ) dξ [Pm−1 (ξ)] dξ = Bmn n=1 1 ∞ −1 −1 = P0 (ξ)Pm−1 (ξ) dξ, (2.56) −1 chứng minh m = biểu diễn tổng không tầm thường Suy ∞ ∞ An Smn = 0, ≤ m, (2.57) An S1n = 1, (2.58) Bmn = 2(2m − 1) n=1 n=1 ∞ ∞ B1n = n=1 hay n=1 ∞ Smn An = δm1 n=1 (2.59) Do vậy, giảm tốn tìm nghiệm số vơ hạn phương trình tuyến tính mà để biểu diễn An − thường xuất nghiệm phương trình tích phân cặp Chọn số lớn giá trị n m, gọi N , số hạng ma trận Smn , ≤ m, n ≤ N , đánh giá số trị số cho giá trị a σ Bằng cách lấy ngược phương trình (2.59), ta thu hệ số An với n = 1, , N Bởi ta giải phiên nhỏ phương trình (2.59) nên nhận nghiệm gần Để tìm giá trị xác hơn, ta tăng N lại lấy biến đổi ngược phương trình (2.59) Trên ta thêm AN +1 mới, hệ số trước trở nên xác Ta lặp lại trình tăng N đến hệ số hội tụ giá trị xác Sử dụng phương trình (2.46) để tìm A(k, a) sau ta thu u(r, z) từ số phương trình tích phân 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương BIẾN ĐỔI LAPLACE Chương trình bày định nghĩa, tính chất biến đổi Laplace số phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng giải phương pháp biến đổi tích phân Laplace Nội dung chương hình thành từ tài liêu [1] [5] 3.1 3.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa Định nghĩa 3.1 Cho hàm f (t) hàm đo xác định (0, ∞) thỏa mãn điều kiện: ∀α > 0, ∃M > 0, |f (t)| ≤ M eαt , ∀t > 0, (3.1) Số α0 = inf {α} để (3.1) thỏa mãn gọi số tăng f Khi (3.1) có dạng |f (t)| ≤ M e(α0 +ε)t , ∀ε > Hàm biến phức F xác định ∞ e−pt f (t) dt, Re p > α0 L[f ](p) = F (p) = gọi biến đổi Laplace hàm f Ví dụ 3.1 Xét hàm Heaviside θ(t) =  1, t ≥ 0, 0, t < Biến đổi Laplace θ ∞ e−pt dt = , Re p > p F (p) = 50 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.2) Ví dụ 3.2 Biến đổi Laplace hàm f (t) = eαt sau ∞ e−pt eαt dt = F (p) = , Re (p − α) > α−p 3.1.2 Các tính chất biến đổi Laplace 1) Cho f (t) hàm có số tăng α0 Khi biến đổi Laplace F (p) f (t) hàm giải tích miền Re p > α0 Để chứng minh, đặt Fn hàm xác định n e−pt f (t) dt, Fn (p) = với Re p > α0 , dãy {Fn } hội tụ f miền Re p ≥ α0 + 2ε, với ε > Thật vậy, với p thuộc miền Re p ≥ α0 + 2ε, ta có ∞ ∞ −Re pt |Fn (p) − F (p)| ≤ e e−Re pt eα0 +ε dt |f (t)| dt ≤ M n n ∞ e−εt dt = ≤M M −nε e ε n Từ suy Fn (p) → F (p) n → ∞ Ngoài ra, ta có n Fn (p + h) − Fn (p) = lim Fn (p) = lim h→0 h→0 h tf (t)e−pt e−ht − dt ht n = tf (t)e −pt n e−ht − lim dt = − h→0 ht tf (t)e−pt dt Theo định lý Weierstrass đây, hàm F giải tích miền Rep > α0 Định lý 3.1 (Weierstrass) Giả sử với n ∈ N, Fn hàm giải tích (phức) miền Ω, cho dãy {Fn } hội tụ điểm miền Ω hàm F hội tụ tập compact Ω Khi F hàm giải tích Ω 2) Giả sử θ(t − τ ), τ = const > hàm Heaviside Khi L[θ(t − τ )f (t − τ )](p) = e−p L[f ](p), Re p > α0 Thật vậy, ta có ∞ L[θ(t − τ )f (t − τ )](p) = ∞ e−pt f (t − τ ) dt θ(t − τ )f (t − τ ) dt = τ 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ∞ f (u)e−p(u+τ ) du = e−pu L[f ](p) = 3) Giả sử số tăng hàm f α0 , λ = const Khi L[eλt f (t)](p) = L[f ](p − λ) Thật ∞ L[eλt f (t)](p) = e(λ−p)t f (t) dt = L[f ](p − λ) 4) Cho L[f ] = F Giả sử tồn L[fk ] tồn fk (0+ ), k = 1, 2, · · · , n Khi L[f (n) ](p) = pn F (p) − f (0+ ) f (0+ ) f n−1 (0+ ) − − − p p2 pn Thật vậy, sử dụng công thức tích phân phần dễ dàng chứng tỏ đẳng thức với n = Giả sử đẳng thức với n = m, ta có L[f (m+1) ] = L[(f )m ] f m (0+ ) f (0+ ) f (0+ ) − − · · · − p p2 pm f m (0+ ) f (0+ ) f (0+ ) − − · · · − = pm pL[f ] − f (0+ ) − p p2 pm f (0+) f (0+) f (0+) f m (0+) − − − · · · − = pm+1 L[f ](p) − p p2 p3 pm+1 = pm L[f ](p) − Theo nguyên lý quy nạp suy điều phải chứng minh 5) Cho L[f ] = f, t có số tăng α0 Khi ta có L[(−t)n f (t)](p) = F (n) (p), n ∈ N, Re p > α0 Ta có ∞ e−pt (−t)f (t) dt = L[(−t)f ](p) F (p) = Bằng quy nạp suy điều phải chứng minh 6) Cho L[f ] = F , f liên tục Khi  t L  f (τ ) dτ  (p) = F (p) p 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn t f (τ ) dτ Gọi α0 > số tăng hàm f , Để chứng minh đặt g(t) = t |g(t)| ≤ t M eα0 τ dτ = |f (τ )| dτ ≤ M α0 t (e − 1) ≤ M1 eα0 t α0 Ta có f (t) = g (t) ⇒ L[f ](p) = L[g ](p) = pL[g](p) − g(0) = pL[g](p) Suy L[g](p) = L[f ](p) p ta có điều phải chứng minh 7) Biến đổi Laplace tích chập: Giả sử f (t) g(t) hàm số cho R triệt tiêu t < Khi tích chập chúng cho công thức t f (τ )g(t − τ ) dτ (f ∗ g)(t) = (3.3) Giả sử α0 , β0 tương ứng số tăng f g Đặt γ0 ≤ max {α0 , β0 } Khi với t > 0, ε > 0, ta có t |(f ∗ g)(t)| ≤ |f (τ )g(t − τ )| dτ t e(α0 +ε)t e(β0 +ε)(t−τ ) dτ ≤ M e(γ0 +ε)t ≤M Ta có L[f ∗ g](p) = L[f ](p)L[g](p) (3.4) Thật vậy, ta có ∞ −pt L[f ∗ g](p) = e   t f (τ )g(t − τ ) dτ     ∞ ∞ dt = ∞ e−pt g(t − τ ) dt f (τ ) dτ τ f (τ )e−pτ dτ = L[g](p)L[f ](p) = L[g](p) Từ suy (3.4) chứng minh 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8) Công thức Duhamel Giả sử F (p) G(p) tương ứng biến đổi Laplace hàm f (t) g(t) Khi ta có cơng thức t t f (τ )g(t − τ ) dτ ](p) = L[f (0)g(t) L[f (0)g(t) + f (t − τ )g(τ ) dτ ](p) = pF (p)G(p) Thật vậy, ta có L[f (0)g(t)] = f (0)L[g] = f (0)G(p), t f (τ )g(t − τ ) dτ ] = L[f ]L[g] = [pF (p) − f (0)]G(p) = pF (p)G(p) − f (0)G(p) L[ Từ suy điều phải chứng minh 3.2 Biến đổi Laplace ngược (Công thức Bromưich) Định lý 3.2 Cho f hàm xác đinh (0, ∞) với số tăng α0 , trơn khúc F (p) = L[f ](p) Khi x+i∞ f (t) = 2πi ept F (p) dp, x > α0 (3.5) x−i∞ Tích phân (3.5) hiểu theo nghĩa giá trị chính, cịn cơng thức có tên cơng thức Mellin biến đổi Laplace ngược Chứng minh Với x > α0 , đặt g(t) = e−xt f (t) Ta có ∞ ∞ e−xt |f (t)| dt ≤ M |g(t)| dt = ∞ e−xt e(α0 +ε)t dt 0 Có thể chọn ε > 0, cho x − α0 − ε > 0, ý g(u) = 0, u < suy g(t) ∈ L1 (R) trơn khúc Theo công thức biến đổi Fourier ngược ta có ∞ g(t) = √ 2π ∞ −itξ gˆ(ξ)e −∞ dξ = √ 2π ∞ e −itξ −∞ dξ{ √ 2π g(u)eiuξ du} Suy ∞ ∞ −xt e f (t) = 2π e −∞ ∞ = 2π −itξ e dξ ∞ ∞ −xu f (u)e iuξ du = 2π −itξ e −∞ e−u(x−iξ) f (u) du dξ e−itξ F (x − iξ) dξ −∞ 54 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Suy ∞ f (t) = 2π et(x−iξ) F (x − iξ) dξ −∞ Đổi biến p = x − iξ, ta nhận công thức (3.5) Định lý 3.3 Cho hàm F (p) có tính chất sau đây: (i) F (p) giải tích miền Re p > α0 , (ii) Khi |p| → ∞ miền Re p > α0 , hàm F (p) tiến khơng theo argp ∈ −π π [ , ], 2 (iii) Với x > α0 , x+iξ |F (x + iy)| dy ≤ M = const x−iξ Khi đó, hàm F (p) xác định miền Re p > α0 biến đổi Laplace hàm f xác định công thức x+iξ f (t) = 2πi ept F (p) dp, x > α0 x−iξ 3.3 3.3.1 Một số toán áp dụng biến đổi Laplace Phương trình vi phân Ví dụ 3.3 Tìm nghiệm phương trình vi phân sau  y − y = 6e2x , y(0) = y (0) = Lời giải 1: Ta giải phương pháp thơng thường Phương trình đặc trưng λ2 − = có nghiệm λ1,2 = ±1 Vậy nghiệm tổng quát phương trình y0 = C1 ex + C2 e−x , C1 , C2 số tùy ý Vì khơng phải số đặc trưng, nên nghiệm riêng có dạng yr = Ae2x Thay nghiệm vào phương trình, ta tìm A = 2, yr = 2e2x 55 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vậy nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−x + 2e2x Ta có y(0) = C1 + C2 + = 0; y (0) = C1 − C2 + = Từ suy C1 = −3, C2 = Vậy nghiệm cần tìm y = −3ex + e−x + 2e2x Lời giải 2: Chúng ta tìm nghiệm phương pháp biến đổi Laplace Ta xét phương trình miền x ≥ tác động biến đổi Laplace vào hai vế phương trình, ta L[y ](p) − L[y](p) = L[6e2x ](p) Sử dụng công thức biến đổi Laplace, đặt Y (p) = L[y], ta có p2 [Y (p) − y(0) y (0) − ] − Y (p) = (p2 − 1)Y (p) = , Re p > p p p−2 Suy Y (p) = = − + (p − 2)(p2 − 1) p−2 p−1 p+1 Lấy biến đổi Laplace ngược, ta y(x) = L−1 [Y (p)](x) = L−1 [ ] − L−1 [ ] + L−1 [ ] p−2 p−1 p+1 = 2e2x − 3ex + e−x Ví dụ 3.4 Giả sử y ∗ nghiệm phương trình với hệ số a0 y (n) + a1 y (n−1) + + an y = 1, y(0) = y (0) = = y (n−1) (0) = (*) Khi nghiệm phương trình a0 y (n) + a1 y (n−1) + + an y = f (x), y(0) = y (0) = = y (n−1) (0) = 0, (**) cho công thức t ∗ y ∗ (τ )f (t − τ ) dτ y(t) = y (0)f (t) + Thật vậy, lấy biến đổi Laplace phương trình (*) (**), ta Y ∗ (p)(a0 pn + a1 pn−1 + + an ) = , p Y (p)(a0 pn + a1 pn−1 + + an ) = F (p) 56 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (***) Suy Y (p) = pY ∗ (p)F (p) Theo công thức Duhamel ta có t Y (p) = L y ∗ (0)f (t) + y ∗ (τ )f (t − τ ) dτ (p) Từ suy cơng thức (***) 3.3.2 Phương trình truyền nhiệt Ví dụ 3.5 (truyền nhiệt nửa vơ hạn) Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình ut = uxx , < x < ∞, t > (3.6) thỏa mãn điều kiện đầu u(x, 0) = 0, < x < ∞, (3.7) u(0, t) = 1, lim |u(x, t)| < ∞, t > (3.8) điều kiện biên x→∞ Lời giải.Tác động biến đổi Laplace vào phương trình (3.6) điều kiện đầu (3.8) theo biến t ta d2 U (x, s) = sU (x, s) − u(x, 0) = sU (x, s) − dx2 (3.9) với điều kiện biên U (0, s) = , lim |U (x, s)| < ∞ s x→∞ Lời giải thỏa mãn điều kiện √ e−x s U (x, s) = − s s2 Lấy biến đổi Laplace ngược ta nghiệm toán cho u(x, t) = − t x2 x exp(− ) + x exp( √ ) π 4t t Ví dụ 3.6 (Truyền nhiệt hữu hạn) Tìm hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình ut = uxx , < x < 1, t > 0, (3.10) với điều kiện đầu u(x, 0) = 0, < x < 1, (3.11) 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điều kiện biên u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > (3.12) Lời giải: Bài tốn giải phương pháp tách biến (chuỗi Fourier) Tác động biến đổi Laplace vào phương trình (3.10) điều kiện biên (3.12), thay vào điều kiện đầu (3.11) ta phương trình d2 U (x, s) − sU (x, s) = 0, U (0, s) = 0, U (1, s) = dx s Nghiệm tổng quát phương trình (3.13) có dạng √ √ U (x, s) = A cosh(x s) + B sinh(x s) (3.13) (3.14) Thỏa mãn điều kiện biên (3.13), từ (3.14) ta có A = 0, B = Vậy ta có cơng thức √ s sinh( s) √ sinh(x s) √ U (x, s) = s sinh( s) (3.15) Dễ dàng thấy hàm vế phải (3.15) có cực điểm cô lập sn = −n2 π , (n = 0, 1, 2, ) Do tích phân Bromưich hàm U (x, s) ta u(x, t) = x + π ∞ n=1 (−1)n 2 sin(nπx)e−n π t n (3.16) Ví dụ 3.7 (Phương trình truyền nhiệt mơi trường bán vơ hạn) Giải phương trình: ut = κuxx , x > 0, t > (3.17) Với điều kiện biên ban đầu u (x 0) = với x > (3.18) u (0 t) = với t > (3.19) u (x t) → với x → ∞, t > (3.20) Lời giải: Áp dụng phép biến đổi Laplace t vào phương trình (3.17) ta thu d¯ u s − u¯ = (3.21) dx κ Nghiệm tổng quát phương trình s κ u¯ (x, s) = A exp −x + B exp x s κ 58 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.22) Trong A, B số tích phân Đối với điều kiện biên, B ≡ 0, sử dụng u¯ (0.s) = f¯ (s) ta thu nghiệm u¯ (0.s) = f¯ (s) exp −x s κ (3.23) Định lý đảo cho ta nghiệm t x u (x, t) = √ πκ f (t − τ ) τ −3/2 exp −x2 4κτ dτ (3.24) −x √ τ 3/2 dτ κ Trong đó, đặt λ = 2√xκτ hay dλ = Vậy nghiệm toán là: ∞ u (x, t) = √ π t− f x2 4κλ2 e−λ dλ (3.25) √x κτ Nói riêng, f (t) = T0 số nghiệm (3.25) trở thành: ∞ 2T0 u (x, t) = √ π e−λ dλ = T0 erf c √x Kτ x √ κt (3.26) Rõ ràng, phân bố nhiệt tiến gần đến giá trị T0 t → ∞ Ta xét tốn vật lý khác có liên quan đến việc xác định phân bố nhiệt vật rắn biên vô hạn mà tốc độ dòng chảy nhiệt x = Như toán đưa đến việc giải phương trình (3.17) với điều kiện (3.18) (3.20) −k ∂u ∂x = g (t) , atx = 0, t>0 (3.27) Trong k số hay số truyền nhiệt Áp dụng phép biến đổi Laplace cho nghiệm toán biến đổi u¯ (x, s) = κ g¯ (s) exp −x s k s κ (3.28) Dựa vào biến đổi Laplace ngược cho ta nghiệm: t u (x, t) = k κ π g (t − τ ) τ − exp − x2 1κt dτ (3.29) Trong có thay đổi λ = √x κτ ∞ x = √ k π g t− x2 4κλ2 λ−2 e−λ dλ √x 4κt 59 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.30) Nói riêng, g(t) = T0 số nghiệm trở thành ∞ u (x, t) = T0 x √ k π λ−2 e−λ dλ √π κt Thực phép lấy tích phân phần cho nghiệm: u (x, t) = kt x2 exp − π 4κt T0 κ − xerf c x √ κt (3.31) Bài tốn truyền nhiệt giải việc sử dụng đạo hàm phân thức Ta viết lại dạng ∂ u¯ s =− u¯ (3.32) ∂x κ Theo (3.29) phương trình biểu thị thành số hạng phân thức đạo hàm bậc 12 √ ∂u 1 = − √ L−1 (3.33) s¯ u (x, s) = − √ Dt2 u (x.t) ∂x κ κ Như thông nhiệt lượng biêu diễn thành số hạng phân thức đạo hàm Nói riêng mà u(0.t) = To số thơng nhiệt lượng bề mặt là: −k ∂u ∂x x=0 k kT0 = √ Dt2 T0 = √ κ πκt (3.34) Ví dụ 3.8 (Phương trình mơi trường hữu hạn khuyết tán) Giải phương trình khuyết tán ut = κuxx , < x < a, t > (3.35) Với điều kiện biên ban đầu u (x.0) = Trong U số t ta thu được: < x < a, (3.36) u (0.t) = U t > (3.37) ux (a.t) → t > (3.38) Lời giải: Áp dụng phép biến đổi Laplace u(x.t) với biến d2 u¯ s − u¯ = 0, dx2 κ U u¯ (0, s) = , s < x < a, d¯ u dx (3.39) =0 (3.40) x=a Nghiệm tổng quát phương trình 3.39 là: u¯ (x, s) = A cosh x s κ + B sinh x s κ 60 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.41) Với A B số tích phân Sử dụng (3.40) ta có A, B để nghiệm (3.41) trở thành U cosh (a − x) κs u¯ (x, s) = (3.42) s cosh a κs Sử dụng phép biến đổi Laplace ngược cho ta nghiệm: u (x, t) = U + π s κ cosh (a − x) u (x, t) = U L−1 s κ s cosh a ∞ n=1 (−1)n 2n−1 π 2a × exp −(2n − 1)2 cos (2n−1)(a−x)π 2a κt (3.43) (3.44) mở rộng số hạng u (x, t) = U − π × exp −(2n − ∞ 2n−1 (2n−1) πx 2a sin n=1 π κt 1)2 2a Kết thu phương pháp biến phân ly 61 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (3.45) Kết luận Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kiến thức phép biến đổi Fourier, biến đổi Laplace biến đổi Hankel Luận văn không tập trung nghiên cứu sâu lý thuyết phép biến đổi mà chủ yếu vào vân dụng phương pháp cách linh hoạt để giải tốn biên thơng thường hỗn hợp phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương trình Poisson Do thời gian kiến thức cịn nhiều hạn chế nên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý q thầy để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013 Người thực Triệu Thị Mận 62 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Trần Hữu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân, Phạm Hoàng Quân (2009) Biến đổi tích phân , NXB giáo dục, Tp Hồ Chí Minh [2] Dean G Duffy(2004) Transform Methods for Solving Partial Differential Equations, Chapman and Hall/CRC, Baca Raton London New York Washington, D.C [3] Djrbashian M.M Intergral Transforms and Representation of Function in the Complex Domain , Moscow, Nauka, 1996 (in Russian) [4] Fredricks, R W (1958) Solution of a pair of integral equation from elastostatics, Proc Natl Acad Sci [5] Lokenatb Debnatb and Dambara Batta (2007) Integral Transforms and their applications, Taylor and Francis Group [6] Tranter, C.J(1959) Dual trigonometric series , Proc Glasgow Math, Sneddon 63 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... trình bày số kiến thức bổ trợ không gian hàm, giới thiệu phương pháp biến đổi Fourier thuận nghịch để giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Chúng tơi giới thiệu số phương pháp giải toán cách... Chương BIẾN ĐỔI FOURIER Trong chương trình bày lý thuyết tóm tắt biến đổi Fourier, Fourier-sin, Fourier-cosin giải số phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân dạng chập phương pháp biến đổi. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.107) Chương BIẾN ĐỔI HANKEL Chương trình bày biến đổi tích phân Hankel số tốn phương trình đạo hàm riêng giải phương pháp biến đổi tích phân Hankel Nội dung chương hình thành