Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng

PHẠM THÚY HÀPHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS... Thực chấ

PHẠM THÚY HÀ

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

PHẠM THÚY HÀ

PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠO HÀM RIÊNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN VĂN NGỌC

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Văn Ngọc Em xin được gửi lời cảm ơnchân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Ngọc Nhândịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành của mình tới toàn bộ cácthầy, cô giáo trong khoa đã tham gia giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốtquá trình học tập cao học chuyên ngành Toán giải tích tại trường.

Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi trong quá trình em học tập

và nghiên cứu

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Phạm Thúy Hà

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sựhướng dẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc.

Tôi xin cam đoan rằng kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực

và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp

đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Phạm Thúy Hà

Mở đầu 1

1.1 Một số kiến thức bổ trợ 3

1.1.1 Không gian Lp 3

1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân 4

1.1.3 Biến phân bị chặn 4

1.2 Chuỗi Fourier trong L1 5

1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier 5

1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier 6

1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin 6

1.3 Chuỗi Fourier trong L2 7

1.3.1 Dãy trực giao 7

1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval 9

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm - Liouville 12

1.4.1 Khái niệm 12

1.4.2 Tính chất 13

1.4.3 Các ví dụ đơn giản 14

1.4.4 Các ví dụ phức tạp hơn 18

1.5 Khai triển vào chuỗi các hàm Bessel 21

1.5.1 Khái niệm về hàm Bessel 21

1.5.2 Khai triển hàm số vào chuỗi các hàm Bessel 22

2 Các phương trình đạo hàm riêng một chiều 24 2.1 Phương trình truyền nhiệt thuần nhất trong thanh hữu hạn 24

2.1.1 Nghiệm của bài toán truyền nhiệt 24

2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt 27

2.3 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất trong thanh hữu hạn 32

2.3.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất 32

2.3.2 Trường hợp điều kiện biên không thuần nhất 34

2.4 Phương trình sóng thuần nhất trên khoảng hữu hạn 35

2.4.1 Nghiệm hình thức của bài toán dao động của một dây có hai đầu cố định - Bài toán biên Dirichlet 35

2.4.2 Tính đúng đắn của nghiệm bài toán dao động của một dây 38 2.5 Phương trình sóng không thuần nhất trên khoảng hữu hạn 43

2.5.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất 43

2.5.2 Trường hợp điều kiện biên không thuần nhất 47

3 Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều 51 3.1 Phương trình Laplace trong hình chữ nhật 51

3.2 Phương trình truyền nhiệt trong hình chữ nhật 53

3.2.1 Trường hợp cùng hệ số khuếch tán 53

3.2.2 Trường hợp hệ số khuếch tán khác nhau 58

3.3 Phương trình sóng thuần nhất trong một hình chữ nhật 60

3.3.1 Phát biểu bài toán 60

3.3.2 Phương pháp tách biến - Thỏa mãn điều kiện biên 61

3.3.3 Thỏa mãn điều kiện ban đầu 63

3.4 Phương trình sóng không thuần nhất trong hình chữ nhật 64

3.4.1 Trường hợp điều kiện biên thuần nhất 64

3.4.2 Trường hợp điều kiện biên không thuần nhất 66

3.5 Phương trình sóng trong hình tròn 69

3.5.1 Phát biểu bài toán 69

3.5.2 Phương pháp tách biến 70

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp tách biến, hay còn gọi là phương pháp Fourier, là một trongnhững phương pháp hữu hiệu giải các phương trình đạo hàm riêng Thực chấtcủa phương pháp tách biến là đưa các phương trình đạo hàm riêng nhiều biến

số về giải các phương trình vi phân thường đối với một biến số Liên quan vớicác điều kiện biên của bài toán, xuất hiện bài toán Sturm-Liouville tương ứngđối với các toán tử vi phân có phổ rời rạc, hoặc liên tục Từ đó, nghiệm củaphương trình đạo hàm riêng hoặc được tìm ở dạng chuỗi, hoặc dạng tích phâncủa các hàm riêng

Với mong muốn được tiếp cận tới lý thuyết về phương trình đạo hàm riêng

và phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng, được sự hướngdẫn của TS Nguyễn Văn Ngọc, tôi đã chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình

là “Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu sâu hơn về phương pháp tách biến

và trình bày các kết quả về việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giảimột số phương trình đạo hàm riêng một chiều, hai chiều, trong đó các bài toánSturm-Liouville tương ứng có phổ rời rạc

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trong luận văn của mình ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảoluận văn đã trình bày 3 chương sau:

Chương 1 Các kiến thức bổ trợ: trình bày kiến thức cơ bản về không gian

Lp,các định lí về tích phân, biến phân bị chặn, kiến thức cơ bản về chuỗi Fourier,

dãy trực giao, khái niệm về bài toán Sturm-Liouville, hàm Bessel, các định líduy nhất nghiệm, giới thiệu về phương pháp tách biến để phục vụ cho việc giảicác bài toán ở chương 2, chương 3 và một số ví dụ đơn giản.

Chương 2 Các phương trình đạo hàm riêng một chiều: sử dụng phươngpháp tách biến và hàm riêng để tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt, sựtồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình truyền nhiệt Truyền nhiệt tronghình trụ tròn xoay-Bài toán đối xứng trục Phương trình truyền sóng thuần nhấttrên khoảng hữu hạn Bài toán biên Dirichlet cùng một số ví dụ về tìm nghiệmcủa phương trình sóng và phương trình truyền nhiệt

Chương 3 Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều: giải một số bài toánbằng phương pháp tách biến của phương trình Laplace trong hình chữ nhật,phương trình truyền nhiệt trong hình chữ nhật Bài toán truyền nhiệt tronghình quạt Phương trình sóng hai chiều không thuần nhất trên hình chữ nhật.Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm-Liouville tương ứng,giải quyết triệt để việc tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sóng 2 chiềutrong các trường hợp và điều kiện biên khác nhau Các nghiệm tìm được đềubiểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác của các hàm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp tách biến giải các phương trình đạo hàm riêng

5 Phương pháp nghiên cứu

Đưa các phương trình đạo hàm riêng về các bài toán Sturm - Liouville tươngứng

6 Những đóng góp mới của đề tài

Giải một số bài toán biên khó xuất hiện trong cơ học và vật lý

Số kf kp được gọi là chuẩn của hàm f (x).

Lp(Ω) là một không gian Banach Đặc biệt, L2(Ω) là một không gian Hilbertvới tích vô hướng

(f, g) =

Z

Ω

f (x)g(x)dx, (1.2)

trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x)

Hàm f (x) xác định trên Ω được gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tạihằng số dương C, sao cho |f (x)| 6 C hầu khắp nơi trên Ω Cận dưới lớn nhấtcủa các hằng số C được ký hiệu là ess supx∈Ω|f (x)|.

Ta ký hiệu L∞(Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω.Chuẩn trong L∞(Ω) được xác định theo công thức

kf k∞= esssupx∈Ω|f (x)|

trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b]

Dưới đây là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong Lp

T −lớp các đa thức lượng giác trù mật khắp nơi trong Lp(−π, π).

ii) Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong Lp(−∞, ∞),

kf + gkp 6kf kp+ kgkp. (1.4)

Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử trên Ω cho dãy các hàm khả tổng

{fk(x)}∞1 hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f (x) Nếu tồn tại hàm thực

Định nghĩa 1.1 Cho f là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn

[a, b] Giả sử p = {x0, x1, , xn} là một phân hoạch của đoạn [a, b], nghĩa là

a = x0 < x1 < < xn = b Hàm số f (x) được gọi là có biến phân bị chặn trênđoạn [a, b], nếu

g(t)dt, g ∈ L1(a, b), thì Vab 6kgkL1

(a,b)

∗ Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn

1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f (x) có biến phân bị chặn trên [a, b], khi

và chỉ khi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [a, b]

2) Nếu f (x) có biến phân bị chặn thì f (x) bị chặn: |f (x)| ≤ |f (a)| + V b

a (f ).3) Giả sử f (x) là hàm số thực Hàm f (x) có biến phân bị chặn trên [a, b] khi

và chỉ khi nó là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [a, b]:

f (x) = g(x) − h(x).

1.2 Chuỗi Fourier trong L1

Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1]

1.2.1 Khái niệm về chuỗi Fourier

Với hàm f ∈ L1[−π, π], nghĩa là f khả tích Lesbesgue trên [−π, π], ta địnhnghĩa chuỗi Fourier của f là chuỗi hàm lượng giác như sau

π

Z

−π

f x0
cos nx0dx0, n = 0, 1, 2, (1.8)

bn = 1π

l , ta đưa về trườnghợp tuần hoàn với chu kỳ 2π

Để ý rằng vì f ∈ L1[−π, π] nên các tích phân trong (1.9) tồn tại

1.2.2 Hội tụ của chuỗi Fourier

Định nghĩa 1.2 ( Điều kiện Dirichlet) Cho f là hàm số (thực hoặc phức) xácđịnh trên (a, b). Các điều kiện sau đây được gọi là điều kiện Dirichlet

(i) Tồn tại f (a+), f (b−) và f có biến phân bị chặn trên [a, b].

(ii) Có nhiều nhất là hữu hạn các điểm thuộc đoạn [a, b] sao cho khi bỏ đicác lân cận bé tùy ý của những điểm này thì f có biến phân bị chặn trên cácphần còn lại của đoạn [a, b], hơn nữaf ∈ L1(a, b).

Định lý 1.6 Cho f ∈ L1[−π, π] Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong

(−π, π) thì chuỗi Fourier của f sẽ hội tụ về f (x) tại các điểm x ∈ (−π, π) mà tại

đó hàm f liên tục, hội tụ về 12f x+
+ f x−
 nếu x là điểm gián đoạn thôngthường, hội tụ về 12f −π+
+ f π−
 tại x = ±π nếu f π−
và f −π+
tồntại

1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin và chuỗi Fourier - Sin

Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Ta định nghĩa f

trên (−π, 0)bằng công thức f (x) = f (−x) , x ∈ (−π, 0). Khi đó, f ∈ L1[−π, π]vàthỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (−π, π) vì vậy có thể áp dụng kết quả phần

trên Ngoài ra, do f là hàm chẵn

Tương tự, nếu chúng ta thác triển f (x) từ (0, π) sang (−π, 0) theo công thức

f (x) = −f (−x), x ∈ (−π, 0), thì ta có chuỗi sin sau đây

f π−
tồn tại

Định lý 1.8 Cho f ∈ L1[0, π] và thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên (0, π) Khi

đó, ta có chuỗi sin

2 π

1.3 Chuỗi Fourier trong L2

Các kiến thức của mục này chủ yếu được trích ra từ tài liệu [1]

1.3.1 Dãy trực giao

Xét không gian L2 các hàm thực bình phương khả tích trên [−π, π] Trong

L2, dãy hàm {ϕ n |n∈N} được gọi là một hệ trực giao nếu

π

Z

−π

ϕm(x) ϕn(x) dx = 0, ∀m 6= n (1.12)

Vậy với hệ {ϕn} trực chuẩn thì mọi hàm f ∈ L2 đều thỏa mãn bất đẳng thứcBessel Vấn đề được xét tiếp là khi nào bất đẳng thức Bessel xảy ra dấu bằng.

Định nghĩa 1.3 Hệ trực chuẩn {ϕn} được gọi là đầy đủ trong L2 nghĩa là

Sau đây, ta xét một tiêu chuẩn đơn giản cho biết một hệ trực chuẩn là đầy đủ

Định lý 1.10 Cho hệ trực chuẩn{ϕn}trong L2 Hệ này là đầy đủ nếu và chỉ nếu

∀F ∈ C [−π, π] , ∀ε > 0, ∃σn = a0ϕ0+ · · · + anϕn, kF − σnk2< ε (1.20)

Chứng minh Giả sử (1.20) thỏa mãn Xét f ∈ L2 và cho trước ε > 0 tùy ý Như

đã biết, không gianC [−π, π]trù mật trongL2 nên có một hàm F ∈ C [−π, π]saocho

Kết hợp tiêu chuẩn trên và định lý Frjér, ta có

Định lý 1.11 (Parseval) Hệ trực chuẩn



1

√ 2π,

Đẳng thức trên được gọi là đẳng thức Parseval

Chứng minh Cho f là hàm số bất kỳ liên tục trên đoạn [−π, π] và cho trước

ε > 0, khi đó f bị chặn bởi M > 0 Đặt δ = min



ε232M 2 , π



> 0.

Đặtg là hàm số liên tục trên đoạn[−π, π]sao chogbằngftrên đoạn[−π + δ, π − δ],

g (−π) = g (π) = 12[f (−π) + f (π)] và g tuyến tính trên hai đoạn [−π, −π + δ] và

[π − δ, π] Suy ra, g bị chặn bởi M và |f − g| < 2M.

Ngoài ra, ta xem như g tuần hoàn với chu kì 2π và liên tục trên R nghĩa là g

thỏa mãn giả thiết của định lý Fejér, nên ta có một đa thức lượng giác tổngquát (tổng Fejér-Césaro của g) σn thỏa mãn

Định lý 1.12 Chuỗi Fourier của hàm f ∈ L2[−π, π] sẽ hội tụ trung bình về f

dẫn đến điều phải chứng minh

1.4 Khái niệm về bài toán Sturm - Liouville

Các kiến thức trong mục này có thể tìm thấy trong [3] và [4]

Những điều kiện giá trị biên quan trọng nhất cho toán tử là

1 y (a) cosα + y0(a) sin α = 0, y (b) cosβ + y0(b) sin β = 0, ở đó α và β là hai sốthực tùy ý

được biết đến như là bài toán Sturm - Liouville Bài toán Sturm - Liouville đượcgọi là chính quy nếu đoạn [a, b] là hữu hạn và hàm q (x) là khả tổng trên đoạn

đó Ngược lại, nếu đoạn [a, b] là vô hạn, hoặc nếu q (x) là không khả tổng trênđoạn đó, hoặc cả hai thì bài toán Sturm-Liouville được gọi là kì dị

Chú ý rằng phương trình cấp hai tổng quát hơn

y00+ p (x) y0+ [l (x) + λr (x)] y = 0, (1.27)

ở đó hàm r (x) dương trên đoạn [a, b], có thể rút gọn được về dạng (1.25) Nếuchúng ta giả sử rằng đạo hàm cấp một của p (x) và đạo hàm cấp hai của r (x) làliên tục, khi đó (1.27) có thể được rút gọn về dạng chính tắc

Chúng ta xét bài toán giá trị biên (1.25), (1.26) Không mất tính tổng quát,

ta có thể giả sử rằng a = 0 và b = π Thực tế đoạn [a, b] được ánh xạ vào đoạn

Chứng minh Lấy f (x) và g (x) là các hàm liên tục và khả vi hai lần.

f (x) g (x)

f0(x) g0(x)

Vì λ1 6= λ2 nên ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 1.2 Các giá trị riêng của bài toán giá trị biên (1.25), (1.26) là thực

Chứng minh Lấy λ1 = u + iv là một giá trị riêng phức Vì q (x) có giá trị thực

và α, β là thực nênλ2 = λ1 = u − iv cũng là một giá trị riêng, tương ứng với hàmriêng y (x, λ1) Khi đó, từ bổ đề trước ta có

Định lý 1.13 Nếu q (x) là một hàm liên tục trên đoạn [a, b], khi đó với bất kì

α, tồn tại duy nhất một nghiệm ϕ (x, λ) , a ≤ x ≤ b, của phương trình (1.24), saocho ϕ (a, λ) = sin α và ϕ0(a, λ) = −cosα

Với x bất kì, x cố định thuộc đoạn [a, b], ϕ (x, λ) là một hàm nguyên của λ

Lời giải Nghiệm tổng quát là

y (x) = a cos λx + b sin λx.

Khi đó, từ điều kiện y (0) = 0, ta có a = 0 Từ điều kiện y (L) = 0 và cùng với

a = 0, ta có 0 = b sin λL Chúng ta giả sử rằng b 6= 0, khi đó 0 = sin λL Từ đó,chúng ta có

Chúng ta không xét n = 0 vì khi n = 0, ta có λ0= 0 và khi đó một hàm riêng sẽ

là y0 = sin (0) = 0 Tuy nhiên, theo định nghĩa thì hàm riêng không đồng nhấtbằng 0, vì vậy đây không phải là hàm riêng

Ví dụ 1.2 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y00+ λ2y = 0

với các giá trị biên y0(0) = 0 và y0(L) = 0

Lời giải Nghiệm tổng quát là

với các giá trị biên y (0) = 0 và y0(L) = 0.

Lời giải Nghiệm tổng quát là

Chúng ta viết λ n thay cho λ, tức là

Ví dụ 1.4 Tìm các giá trị riêng và hàm riêng của phương trình

y00+ λ2y = 0

với các giá trị biên y (0) = y (L), y0(0) = y0(L)

Lời giải Nghiệm tổng quát là

Vì a và b không đồng thời bằng 0 nên ta có

cos λL − 1 sin λL sin λL 1 − cos λL

... nghiệm phương trình

Theo phương pháp Fourier (tách biến) , tìm nghiệm riêng phươngtrình (2.12) dạng

u(x, t) = T (t)w(r). (2.15)Đưa (2.15) vào (2.12) ta hai phương trình. ..

Lời giải Nghiệm tổng quát phương trình

Lời giải Lấy y = xu (x) Các đạo hàm. .. 0 hàm riêng

là y0 = sin (0) = 0 Tuy nhiên, theo định nghĩa hàm riêng khơng đồng nhấtbằng 0, khơng phải hàm riêng

Ví dụ 1.2 Tìm giá trị riêng