Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

Hình 2.1: 2.2. Công thức biến phân cho phương trình Poisson Xét V không gian hàm cho bởi: ∂v V :={ v : v liên tục Ω, ∂x ∂v ∂x2 liên tục mảnh Ω V = Γ }. Trên không gian V , ta xây dựng tích vô hướng sau (v, w) := v(x)w(x)dx, v, w ∈ V. Ω Ta xét phiếm hàm tuyến tính F : V → R xác định F (v) := a(v, v) − (f, v), a(u, v) := u. vdx = Ω Ω ∂u ∂v ∂x1 ∂x1 với v ∈ V, + ∂u ∂v ∂x2 ∂x2 dx. Ta xét hai toán (M) (V) cho sau: Bài toán (M): Tìm u ∈ V cho F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ V Bài toán (V): Tìm u ∈ V cho a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ V Ta có định lý sau: Định lí 2.2.1. Ba toán (D), (M) (V) tương đương nhau, tức nghiệm toán nghiệm hai toán ngược lại Chứng minh. • (D) ⇒ (V). Để nghiệm u toán (D) nghiệm toán (V), ta nhắc lại công thức Green sau: ∂v ∂w ∂x1 ∂x1 Ω Γ ∂v ∂w ∂x2 ∂x2 + v ∂w ∂n ds − ∂w v ∂x n1 dx = Γ + v Ω + ∂2w ∂x22 dx = Ω wdx = Ω ∂w ∂x1 n1 ds − Ω ∂2w ∂x21 wdx = v∆wdx, tức là, v. + ∂w v ∂x n2 v. v ∂w ds − ∂n Γ v∆wdx, Ω v biểu thị gradient v , tức là, ∂w ∂x2 n2 (2.2) v = ∂v ∂v ∂x1 , ∂x2 , ∂w ∂n = đạo hàm theo hướng thông thường biên Γ. Ta nhắc lại định lí phân kì cho mối quan hệ tích phân miền tích phân biên sau: divAdx = Ω Ands, Γ A = (A1 , A2 ) hàm véc tơ xác định Ω, divA := ∂A1 ∂x1 + ∂A2 ∂x2 . Gọi u = (u1 , u2 ) véc tơ pháp tuyến hướng Γ, dx vi phân R2 ds vi phân dọc theo Γ. Áp dụng định lí phân kì A = (vw, 0) A = (0, vw), ta thu được: ∂v .dx + ∂xi Ω v Ω ∂w .dx = ∂xi vwni .ds, i = 1, 2. (2.3) Γ Ta nhân (2.1) với hàm thử tùy ý v ∈ V lấy tích phân Ω. Theo công thức Green (2.2) ta có: ∂u (f, v) = − ∆uvdx = − vdx = − ∂n Ω Ω ∆u∆vdx = a(u, v). (2.4) Ω Từ suy u nghiệm toán (V). • (M) ⇔ (V). Ta toán (V) (M) có nghiệm. Giả sử u nghiệm toán (V), cho v ∈ V lấy w = v − u để v = u + w w ∈ V . Chúng ta có F (v) = F (u + w) = a(u + w, u + w) − (f, u + w) 1 = a(u, u) − (f, u) + a(u, w) − (f, w) + a(w, w) ≥ F (u) 2 từ (2.4), a(u, w) − (f, w) = a(w, w) ≥ 0, nên u nghiệm toán (M). Mặt khác, u nghiệm toán (M) với v ∈ V số thực ta có F (u) ≤ F (u + v). Với u + v ∈ V . Do hàm g( ) = F (u + v) = a(u, u) + a(u, v) + a(v, v) − (f, u) − (f, v), 2 có cực tiểu = nên g (0) = 0. Vì g (0) = a(u, v) − (f, v), suy u nghiệm toán (V). Tiếp theo, ta chứng minh nghiệm toán (V) xác định nhất. Giả sử u1 u2 hai nghiệm toán (V), tức với u1 , u2 ∈ V ta có a(u1 , v) = (f, v) ∀v ∈ V a(u2 , v) = (f, v) ∀v ∈ V Trừ vế với vế phương trình chọn v = a(u1 − u2 ) ∈ V , a2 (u1 − u2 )2 dx = 0, Γ nên a(u1 (x) − u2 (x)) = a(u1 − u2 )(x) = 0, ∀x ∈ Γ. Từ suy a(u1 − u2 )(x) không đổi Γ, suy u1 (x) = u2 (x), ∀x ∈ Γ. Tóm lại, u nghiệm toán D, u nghiệm hai toán tương đương (M) (V). Ta có sơ đồ sau (D) ⇒ (V) ⇔ (M). • (V) ⇒ (M). Ta u nghiệm toán (V) u nghiệm toán (D). Thật vậy, giả sử u ∈ V thỏa mãn auvdx = Ω f vdx, ∀v ∈ V. Ω Nếu giả thiết ∆u tồn liên tục sử dụng tích phân phần điều kiện biên u = Γ ta có − (∆u + f )vdx = 0, ∀v ∈ V . Nhưng Γ giả thiết (∆u + f ) liên tục nên (∆u + f )(x) = 0, x ∈ Γ suy u nghiệm toán (D). Như thấy u nghiệm toán (V) thỏa mãn thêm giả thiết quy (∆u liên tục) u nghiệm toán (D). Ta lại thấy u nghiệm toán (V) u thỏa mãn giả thiết quy có (V) ⇒ (D) nên ba toán (D), (V) (M) tương đương. 2.3. Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 2.3.1. Không gian hàm tuyến tính khúc Do không gian V xây dựng phần trước không gian vô hạn chiều, việc tìm nghiệm toán biên (D) trở nên khó khăn. Thay tìm nghiệm không gian V , ta tìm nghiệm không gian V . Ta xây dựng không gian Vh , hữu hạn chiều, không gian hàm tuyến tính liên tục khúc sau. Trước tiên, ta coi Γ đường cong đa cạnh, trường hợp nói Ω miền đa giác. Bây làm phép tam giác phân cho Ω , chia nhỏ Ω thành tập hợp Th = {K1 , ., Km } tam giác Ki rời cho: K = K1 ∪ K2 . ∪ Km . Ω= K∈Tk Như đỉnh tam giác nằm cạnh tam giác khác Hình 2.2: Phép tam giác phân phần tử hữu hạn. Độ mịn tam giác phân phụ thuộc vào mắt lưới h = maxK∈Th diam(K), diam(K) đường kính (K) = cạnh dài K . Không gian Vh định nghĩa sau: Vh := {v : v liên tục Ω, v |K tuyến tính với K ∈ Th v = Γ} Ta nhận thấy Vh ⊂ V có số chiều hữu hạn. Để xây dựng sở Vh , ta chọn hàm sở ϕi ∈ Vh , i = 1, . . . , M xác định sau:  1, i = j ϕj (Ni ) = δij = 0, i = j i, j = 1, ., M. Hình 2.3: Hàm sở ϕj Chúng ta thấy giá ϕj (tập hợp điểm x mà ϕj (x) = 0) bao gồm tam giác với giao điểm chung đỉnh Nj ( vùng tô bóng Hình 2.3). Hàm v ∈ Vh biểu diễn sau: M ηj ϕj (x), ηj = v(Nj ), với x ∈ Ω ∪ Γ. v(x) = j=1 2.3.2. Tìm nghiệm không gian hàm tuyến tính khúc Trên không gian Vh , toán (Dh ), (Mh ) (Vh ) phát biểu sau: Tìm u ∈ Vh cho  −∆u = f Ω u = Γ Bài toán (Dh ): Tìm uh ∈ Vh cho F (uh ) ≤ F (v), ∀v ∈ Vh Tìm uh ∈ Vh cho a(uh , v) = (f, v), ∀v ∈ Vh Bài toán (Mh ): Bài toán (Vh ): Ta có định lí sau đây: Định lí 2.3.1. Ba toán (Dh ), (Mh ) (Vh ) tương đương nhau. Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 2.2.1. Nhờ Định lý trên, thay việc giải toán (Dh ), ta giải toán (Vh ) sau: (Vh ): Tìm uh ∈ Vh cho a(uh , v) = (f, v) ∀v ∈ Vh . (2.5) Để giải toán (Vh ), ta nhận thấy v ∈ Vh tổ hợp tuyến tính hàm sở ϕi ∈ Vh , i = 1, . . . , M . Do đó, uh ∈ Vh thỏa mãn (2.5), hàm sở ϕi ∈ Vh , i = 1, . . . , M , thỏa mãn (2.5), tức là: a(uh , ϕi ) = (f, ϕi ), i = 1, . . . , M. (2.6) Ngược lại, tất hàm sở ϕi ∈ Vh thỏa mãn (2.5), với i = 1, . . . , M , cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy uh thỏa mãn (2.5). Do uh (x) = M i=0 ηi ϕi (x), nên ta viết (2.6) dạng : M ηi (ϕi , ϕj ) = (f, ϕj ) j = 1, . . . , M. (2.7) i=0 Hệ phương trình (2.6) hệ phương trình tuyến tính với M phương trình, M ẩn η1 , . . . , ηM . Dạng ma trận hệ (2.12) cho dạng Aη = b, (2.8) A = (aij ) ma trận cứng, ma trận cỡ M × M với phần tử aij = a(ϕi , ϕj ) η = (ηi ), b = (bi ) M véc tơ với phần tử ηi = uh (Ni ), bi = (f, ϕi ). Rõ ràng A đối xứng mục 1.2 thấy A xác định dương nên không suy biến, (2.13) có nghiệm η . Tóm lại, mục này, thấy phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến hệ tuyến tính phương trình với ma trận thưa, đối xứng xác định dương. Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta thu nghiệm toán cho không gian hàm tuyến tính khúc. Ví dụ 2.3.1. Cho Ω hình vuông với cạnh có độ dài Th phép tam giác phân cho Ω theo Hình 2.4 đánh số đỉnh Th . Hình 2.4: Trong trường   −1   0  −1   0    ·   ·  hợp hệ tuyến tính (2.6) viết sau:     −1 −1 · · ξ1 b1         −1 −1 · ·   ·   ·      −1 −1 −1 · ·  ·   ·          −1 −1   ·   ·    =  .     · · · · · −1  ·   ·      · · · · −1   ·   ·          · · −1 −1 −1  ·   ·  · · −1 −1 ξM bM (2.9) Các phần tử aij = a(ϕi , ϕj ) ma trận A thực tiễn thường tính toán tính tổng từ tam giác khác nhau: a(ϕi , ϕj ) = aK (ϕi , ϕj ), (2.10) K∈Th aK (ϕi , ϕj ) = ϕi ϕj dx. Chúng ta nhận thấy aK (ϕi , ϕj ) = Ω trừ hai đỉnh Ni Nj đỉnh K . Cho Ni , Nj Nk đỉnh tam giác K . Chúng ta gọi ma trận đối xứng × sau   aK (ϕi , ϕi ) aK (ϕi , ϕj ) aK (ϕi , ϕk )     ∗ a (ϕ , ϕ ) a (ϕ , ϕ ) K j j K j k   ∗ ∗ aK (ϕk , ϕk ) (2.11) ma trận cứng phần tử K . Ma trận A tính toán cách trước tiên tính ma trận cứng thành phần K ∈ Th sau tính tổng (2.10) tam giác. Theo cách tương tự tính vế phải b. 2.4. Ước lượng sai số Tương tự Chương 1, uh nghiệm xấp xỉ tìm theo phương pháp phần tử hữu hạn, ta có đánh giá sau u− với u− uh ∀v ∈ Vh , (2.12) | v| dx v = a(v, v) = v . Cụ thể, ta chọn v = uh đa Ω thức nội suy u, tức uh ∈ Vh uh (Ni ) = u(Ni ), i = 1, ., M. Khi có u− uh ≤ u− uh . (2.13) Chương Các vấn đề tính toán, giải số phương pháp phần tử hữu hạn 3.1. Bài toán biên chiều Trong mục trình bày ví dụ việc giải số toán biên chiều phương pháp phần tử hữu hạn. Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 3.1.1. Tìm u ∈ V cho  −u”(x) = f (x) = sinx, < x < 1, u(0) = u(1) = 0, (3.1) Trước tiên, để tiện cho việc so sánh kiểm tra nghiệm số (được giải phương pháp phần tử hữu hạn), ta tìm nghiệm giải tích cho toán trên. Đây trường hợp đơn giản vế phải f (x) có dạng hàm sin, ta tìm nghiệm giải tích . Nghiệm giải tích: Từ −u”(x) = sin x ta có u (x) = − sin xdx = cos x + c1 , u (x) = (cos x + c1 ) dx = sin x + c1 x + c2 . Mặt khác, theo điều kiện biên u(0) = u(1) = , ta có c1 = − sin c2 = . Do nghiệm giải tích toán u(x) = sin x − x(sin 1) Nghiệm số theo phương pháp phần tử hữu hạn: Ta tiến hành theo bước sau: • Bước 1: Chia đoạn [0; 1] thành m phần tính x [i] = f [i] = f (x[i]), h = m. Bước thể câu lệnh Matlab sau: m=100; x=zeros(m,1); f=zeros(m,1); for i=1:m x(i)=i/m; f(i)=sin(x(i)); end h=1/m; • Bước 2: Tính hệ số ma trận A = aij ma trận cỡ m × m ajj = i m, 1 + ; aj,j−1 = aj−1,j = − ; a =0 h h h khác Bước thể câu lệnh Matlab sau: A=zeros(m,m); for j=1:m-1 A(j,j)=2/h; A(j+1,j)=-1/h; A(j,j+1)=-1/h; end A(m,m)=2/h; • Bước 3: Tính hệ số véc tơ b véc tơ m chiều. Trước hết, tính toán tích phân sau ta có f (x).ϕ(x)dx bi = (f ; ϕi ) = i m (mx − i + 1)fi − (mx − i)2 + (mx − i) (fi−1 − fi ) dx = i−1 m i+1 m + i m (1 + i − mx)fi + (mx − i) − (mx − i)2 (fi − fi+1 ) dx fi fi−1 − fi fi fi − fi+1 + + + 2m 6m 2m 6m fi fi−1 − fi+1 + = m 6m = Bước thể câu lệnh Matlab sau: b=zeros(m,1); for i=2:m-1 b(i)=f(i)/m+(f(i-1)-f(i+1))/(6*m); end b(1)=0; b(100)=0; • Bước 4: Giải hệ Aη = b; Bước thể câu lệnh Matlab sau: eta=A\b; ketqua=eta; • Bước 5: Tính nghiệm xấp xỉ xi = i m : m uh (xi ) = ηj ϕj (xi ) = ηi ϕi (xi ) = ηi j=1 Ta thu đồ thị nghiệm xác; đồ thị nghiệm xấp xỉ; đồ thị nghiệm sai số (xem Hình 3.1) Hình 3.1: 3.2. Bài toán biên chiều Ta xét toán biên chiều Chương 2. Cho Th ∈ K pháp tam giác phân miền Ω ⊂ R2 với biên Γ cho Vh không gian tương ứng hàm tuyến tính liên tục mảnh. Cho Ni , i = 1, ., M, biểu thị nút Th ϕ1 , ., ϕM sở tự nhiên cho Vh , tức ϕi (Nj ) = δij . Chúng ta cần tìm nghiệm ξ ∈ RM hệ phương trình tuyến tính Aξ = b, (3.2) A = (aij ), b = (b1 , ., bm ), aij = aK ij = ( ϕi . K∈Th ϕj + ϕi ϕj )dx, bK i = Ω aK ij , bi = f ϕi dx + Ω K K∈Th bi , gϕi ds. (3.3) Ω∩Γ Chương trình máy tính chia thành chương trình thực công việc sau: (a) Đầu vào liệu f, Γ, Ω hệ số phương trình. (b) Xây dựng biểu diễn phép tam giác phân Th . (c) Tính toán phần tử ma trận cứng aK phần tử tải bK (d) Tập hợp toàn ma trận A véc tơ b. (e) Giải nghiệm hệ phương trình Aξ = b. (f) Trình bày kết luận. Lưu ý giải hệ tuyến tính Aξ = b ta sử dụng phương pháp Gauss phương pháp lặp để giải hệ tuyến tính. Tuy nhiên, ma trận A trường hợp ma trận thưa, nên thay dùng mảng A(M, M ) để lưu trữ ma trận A, ta cần lưu trữ phần tử khác A. Kết luận Với việc nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn việc giải phương trình đạo hàm riêng, luận văn trình bày có hệ thống vấn đề liên quan đến phương pháp phần tử hữu hạn. Luận văn trình bày phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biên chiều cho phương trình Poisson, sử dụng Matlab chạy vài ví dụ số. Tuy nhiên, luận văn có số hạn chế như: Hệ thống ví dụ đưa chưa đa dạng đơn giản . . . Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Hà Bình Minh tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em xin bày tỏ cảm ơn đóng góp thầy cô giúp luận văn hoàn chỉnh hơn. Tài liệu tham khảo [1] laes Johnson, Numerical solution of partial differential equations by the finite element method, Cambridge University Press, 1987. [2] tanley J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover Publications, 1982. [...]... toán, giải số của phương pháp phần tử hữu hạn 3.1 Bài toán biên 1 chiều Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một ví dụ về việc giải số bài toán biên một chiều bằng phương pháp phần tử hữu hạn Ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 3.1.1 Tìm u ∈ V sao cho  −u”(x) = f (x) = sinx, 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0, (3.1) Trước tiên, để tiện cho việc so sánh và kiểm tra nghiệm số (được giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn) ,... rằng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến một hệ tuyến tính các phương trình với ma trận thưa, đối xứng và xác định dương Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta sẽ thu được nghiệm của bài toán được cho trong không gian các hàm tuyến tính từng khúc 1.5 Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn Gọi uh là nghiệm của bài toán biên (D) được tìm theo phương pháp phần tử hữu hạn trong mục trước, tức... (1.14), trong đó đặc biệt cho thấy các lỗi dần tiến tới 0 khi độ dài tối đa hoặc dần tiến tới 0 nếu u bị chặn trên [0,1] Chương 2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 2.1 Bài toán biên cho phương trình Poisson Chúng ta xét bài toán biên (D) cho phương trình Poisson được cho như sau: Tìm u ∈ V sao cho  −∆u = f trong Ω u = 0 trên Γ Bài toán (D): (2.1) trong đó Ω là miền mở bị chặn trong. .. chéo) Điều này là quan trọng, vì nó sẽ làm đơn giản việc giải hệ phương trình tuyến tính Độ thưa của ma trận A phụ thuộc vào cách ta chọn các hàm cơ sở ϕj ∈ Vh Trong trường hợp trên, ta chọn ϕj = 0 trên một khoảng và chỉ giao với một hai hàm cơ sở lân cận Việc lựa chọn các hàm cơ sở này là một đặc trưng của phương pháp phần tử hữu hạn Ví dụ 1.4.1 Trong trường hợp đặc biệt ta phân hoạch (0, 1) thành... tương đương 2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 2.3.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều, việc tìm nghiệm của bài toán biên (D) trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệm trên không gian V , ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xây dựng không gian con Vh , hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính... ma trận cỡ M × M với các phần tử aij = a(ϕi , ϕj ) và η = (ηi ), b = (bi ) là M véc tơ với các phần tử ηi = uh (Ni ), bi = (f, ϕi ) Rõ ràng A là đối xứng và như trong mục 1.2 chúng ta thấy A là xác định dương nên không suy biến, do đó (2.13) có nghiệm duy nhất là η Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến một hệ tuyến tính các phương trình với ma trận thưa,... (M) là tương đương 1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 1.4.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều, việc tìm nghiệm của bài toán biên (D) trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệm trên không gian V , ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xây dựng không gian con Vh , hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính liên tục... ∗ ∗ aK (ϕk , ϕk ) (2.11) là ma trận cứng các phần tử của K Ma trận A vì vậy có thể được tính toán bằng cách trước tiên tính ma trận cứng của từng thành phần K ∈ Th và sau đó tính tổng (2.10) của các tam giác Theo cách tương tự chúng ta tính vế phải b 2.4 Ước lượng sai số Tương tự như Chương 1, nếu uh là nghiệm xấp xỉ được tìm theo phương pháp phần tử hữu hạn, ta có đánh giá sau u− với u− uh 1 2 2 ∀v... hơn nó có thể cho thấy rằng trên thực tế cũng là phương pháp phần tử hữu hạn cho một yếu tố h2 cho các lỗi u − uh Chúng ta hãy lưu ý rằng định lượng u, đại diện cho một biến dạng hoặc một ước lượng trong ví dụ A và B ở trên, thường là lớn hơn (hoặc ít nhất là không nhỏ hơn) quan tâm thực tiễn có lợi hơn so với đại lượng u trong chính nó, đại diện cho một trong các trường hợp phép dời hình Do đó, ước... biên Γ, f là một hàm cho trước và ∆u = ∂2u ∂x2 1 + ∂2u , ∂x2 2 V là một không gian hàm nào đó Một số bài toán trong vật lí và cơ học được mô hình hóa dưới dạng (2.1), chẳng hạn u thể hiện cho nhiệt độ, hoặc điện thế, từ tính, hoặc là độ dịch chuyển của một màng co dãn, như trong hình minh họa dưới đây: Hình 2.1: 2.2 Công thức biến phân cho phương trình Poisson Xét V là không gian hàm được cho bởi: . tài Phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng làm luận văn Thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình. phương trình đạo hàm riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp giải số cho phương. tử hữu hạn để giải một số bài toán trong thực tế. Chương 1 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán biên một chiều 1.1. Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân Phương