Luận văn phương pháp phần tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI • ••• TRẰN QUYẾT PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HAN TRONG VIÊC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐAO HÀM RIÊNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 • •• LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. HÀ BÌNH MINH HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS. Hà Bình Minh. Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình, nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Liễn Sơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 201ị Tác giả Lời cam đoan Trần Quyết Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Hà Bình Minh. Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi. Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn. Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 12 tháng 12 năm 20 14 Tác giả Trần Quyết Mục lục 20 2.1. 2.2. Bài toán biên cho phương trình Poisson 20 Công thức biến phân cho phương trình Poisson 21 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 2.3. 2.3.1. Không gian hàm tuyến tính khúc 24 24 2.3.2. Tìm nghiệm không gian hàm tuyến tính khúc 2.4. ước lượng sai số Chương 3. Các vấn đề tính toán, giải số phương pháp phần tử hữu hạn 30 3.1. Bài toán 30 3.2. 33 biên chiều Bài toán biên chiều 35 36 Tài liệu tham khảo Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Phương pháp phần tử hữu hạn có nhiều ứng dụng quan trọng việc giải phương trình đạo hàm riêng xuất phát từ toán học, vật lý, v.v . Phương pháp xuất từ năm 50, 60 kỷ trước, ứng dụng mạnh mẽ năm gần với phát triển máy tính công cụ tính toán. Với mong muốn tìm hiểu phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng nó, chọn đề tài “Phương pháp phần tử hữu hạn việc giải phương trình đạo hàm riêng” làm luận văn Thạc sĩ mình. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp giải số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích, giải tích số, ngôn ngữ lập trình MATLAB, . 6. Đóng góp đề tài Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải số toán thực tế. Chương Phương pháp phần tử hữu hạn cho toán biên chiều 1.1. Sự khác phương pháp phần tử hữu hạn phương pháp sai phân Phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH) phương pháp khác để giải số phương trình vi phân. Sự khác phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) PPSPHH là: • PPSPHH xấp xỉ toán phương trình vi phân; PPPTHH xấp xỉ lời giải toán này. • Điểm đặc trưng PPPTHH có khả áp dụng cho toán hình học toán biên phức tạp với mối quan hệ rời rạc. Trong PPSPHH áp dụng dạng hình chữ nhật với mối quan hệ đơn giản. • Điểm đặc trưng phương pháp sai phân hữu hạn dễ dàng thực được. • Trong vài trường hợp, PPSPHH xem tập PPPTHH. • Kết việc xấp xỉ PPPTHH thường xác PPSPHH. Tuy nhiên điều phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác. 1.2. Giới thiệu toán biên chiều Chúng ta xét toán biên ỰD) cho sau: Bài toán (V ): Tìm u e V cho \ — u " ( x ) = f i x ) , < X < 1, { (1.1) ww [u( 0) = u(l) = 0, /là hàmliên tục cho trước, V không gianhàm đó. Bằng cách lấy tích phân phương trình—u” = / hai lần, ta dễ dàng thấy toán có nghiệm u. Trong thực tế, toán biên ỰD) mô hình toán học nhiều toán thực tế, chẳng hạn số toán học đây: Ả. Thanh đàn hồi Ta xét đàn hồi cố định hai đầu chịu lực ngang theo phương tiếp tuyến với cường độ f(x) (Xem hình 1.1). Cho ơ(x) lực đàn hồi u(x) vị trí X theo phương ngang. Theo định lí vật lí có ơ(x) = Eu' (Định luật Hooke) —ơ'(x) = / (Phương trình cân w(0) = li(l) = bằng) (Điều kiện biên) E mô đun đàn hồi. Nếu ta cho E = khử biến ơ, ta thu toán (T>). Hình 1.1: T h a n h đ n h i B. Dây đàn hồi Xét dây căng đàn hồi có độ dài l, cố định hai đầu chịu tải trọng theo phương thẳng đứng với cường độ / (Xem hình 1.2). Gọi u(x) vị trí theo phương thẳng đứng. Theo định luật II Newton, ta thu toán T>. X việc tìm nghiệm toán biên ỰD) trở nên khó khăn. Thay tìm nghiệm không gian V, ta tìm nghiệm không gian V. Ta xây dựng không gian ì 4) hữu hạn chiều, không gian hàm tuyến tính liên tục khúc sau. Trước tiên, ta coi r đường cong đa cạnh, trường hợp nói n miền đa giác. Bây làm phép tam giác phân cho n , chia nhỏ n thành tập hợp = {Ki,K m} tam giác Kị rời cho: ũ= u K = K UK .l)K m . K h ) ì ( M h ) (Vfc) phát biển sau: Bài toán (23*): Tìm u € V ỵ cho ị f — A u = / u = r Bàĩ toán (M h )ỉ Tìm U h € V h cho F ( u h ) < F ( v ) ĩ Vv € V f ị Bàỉ toán ( V h ) ĩ Tìm U h € V h cho a ( u h , v ) = (/, v ) , Vv € V k Ta có định lí sau đây: Định lí 2.3.1. B ã toắn {'Dh)i và(Vfc) ỉầ tương đương nhau. Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý |2.2.1 Nhờ Định lý trên, thay việc giải toán ựDh)ĩ ta giải toán (V/i) sau: (V/j): Tìm Uh ê Vh cho a(u h ,v) = ( f , v ) Vv € Để giải toán (Vfc), ta nhận thấy V v h. (2.5) G V/i tổ hợp tuyến tính hàm sở ípị G V/j, i = , . . . , M . Do đó, Uh G Vh thỏa mãn (2.5), hàm sở (fii e 14, ỉ = 1, . . . , M, thỏa mãn (2.5), tức là: a(uh,j), K£Th (2.10) khác a,K(ipi, ( x ) d x Jo = [{mx - i + ĩ ) f i - [(mx - if + (mx - *)] ự i - ị - fi)] dx m + - / i+ i)] [(1 + ỉ - mx)fi + [(mx - i) - (mx - ỉ) ] (fi m m 6m 2m __ fi fi— fi+ m 6m 6m Bước thể câu lệnh Matlab sau: b=zeros(m,1); for i=2:m-l b(i)=f(i)/m+(f(i-l)-f(i+1))/(6*m); end b(l)=0; b( 100)= 0; • Bước ị: Giải hệ Ar) = 6; Bước thể câu lệnh Matlab sau: eta=A\b; ketqua=eta; dx xỉ \ x ị • B c : Tính, nghiệm xấp m ] =— : «*(*») = ỵ2 T ìi l PÁ x i) = VìViiXi) = Vi =1 Ta thu đồ thị nghiệm xác; đồ thị nghiệm xấp xỉ; đồ thị nghiệm sai số (xem Hình. 3.1) Hình 3.1: 3.2. Đàỉ toán bỉên chỉều Ta xét toán biên chiều Chương 2. Cho T h E K pháp tam giác phân miền Í2 c M với biên r cho V h không gian tương ứng hàm tuyến tính liền tục mảnh. Cho N ị , i = 1, nút T ỵ sở tự nhiên cho 14, tức = Chúng ta cần tìm nghiệm { £ R M hệ phương trình, tuyến tính. A = (ữjj ), b = (&1 , — Ỵ ^ K e T h bf , a ĩj = Ai = b, ữjj — /(Wi- V vù + [...]... ĨÌM 1 í* 1 trong đó h là độ dài của mỗi khoảng chia Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạn dẫn đến một hệ tuyến tính các phương trình với ma trận thưa, đối xứng và xác định dương Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta sẽ thu được nghiệm của bài toán được cho trong không gian các hàm tuyến tính từng khúc 1.5 Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn Gọi Uh... giản việc giải hệ phương trình tuyến tính Độ thưa của ma trận A phụ thuộc vào cách ta chọn các hàm cơ sở ipj € 14 Trong trường hợp trên, ta chọn (Pj Ỷ 0 trên một khoảng và chỉ giao với một hai hàm cơ sở lân cận Việc lựa chọn các hàm cơ sở này là một đặc trưng của phương pháp phần tử hữu hạn Ví dụ 1.4.1 Trong trường hợp đặc biệt ta phân hoạch (0,1) thành các khoảng đều nhau, ta sẽ thu được hệ phương trình. .. sai số (1.14), trong đó đặc biệt cho thấy các lỗi dần tiến tới 0 khi độ dài tối đa hoặc dần tiến tới 0 nếu и" bị chặn trên [ 0, 1] Chương 2 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 2.1 Bài toán biên cho phương trình Poisson Chúng ta xét bài toán biên ỰD) cho phương trình Poisson được cho như sau: Bài toán ( V ) : Tìm u e V sao cho í — Am = f trong { (2-1) [u = 0 trên r trong đó íỉ là miền... tương đương 2.3 Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson 2.3.1 Không gian các hàm tuyến tính từng khúc Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều, việc tìm nghiệm của bài toán biên ỰD) trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệm trên không gian V, ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xây dựng không gian con ì 4) hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính... cỡ M X M với các phần tử d ị j = a ( ( p i , ( p j ) (2.8) và T Ị = (rji),b = (bị) là M véc tơ với các phần tử r ] i = Uh{Ni)ìbị = (f,ụ>i) Rõ ràng Ả là đối xứng và như trong mục 1.2 chúng ta thấy A là xác định dương nên không suy biến, do đó (2.13) có nghiệm duy nhất là 77 Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạndẫn đến một hệ tuyến tính, các phương trình với ma trận... ỰD) được tìm theo phương pháp phần tử hữu hạn trong mục trước, tức là Uh ẽ Vh, {Ỵh là không gian các hàm tuyến tính từng khúc, hữu hạn chiều) Gọi u là nghiệm của bài toán biên (D) trong không gian V, không gian vô hạn chiều Ta đặt câu hỏi rằng, liệu nghiệm Uh có phải là xấp xỉ của nghiệm u hay không? Muốn vậy, ta sẽ đánh giá sai số \u — Uh\ Nếu sai số này là nhỏ thì ta có thể kết luận như trên Đồng... ) là tương đương 1.4 Phương pháp phần tử hữu hạn 1.4.1 Không gỉan các hàm tuyến tính từng khức Do không gian V được xây dựng ở phần trước là không gian vô hạn chiều, việc tìm nghiệm của bài toán biên ( T > ) trở nên khó khăn Thay vì tìm nghiệm trên không gian V , ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V Ta sẽ xây dựng không gian con Vh 5 hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính liên tục... nó có thể cho thấy rằng trền thực tế cũng là phương pháp phần tử hữu hạn cho một yếu tố h2 cho các lỗi u — U k- Chúng ta hãy lưu ý rằng định, lượng It, đại diện cho một biến dạng hoặc một ước lượng trong ví dụ A và B ở trên, thường là lớn hơn (hoặc ít nhất là không nhỏ hơn) quan tâm thực tiễn có lợi hơn so với đại lượng u trong chính nó, đại diện cho một trong các trường hợp phép dời hình Do đó, ước... mở bị chặn trong M 2 với biên r, / là một hàm cho trước và Am = + |-y, V là một không gian hàm nào đó Một số bài toán trong vật lí và cơ học được mô hình hóa dưới dạng (2.1), chẳng hạn u thể hiện cho nhiệt độ, hoặc điện thế, từ tính, hoặc là độ dịch chuyển của một màng co dãn, như trong hình minh họa dưới đây: Hình 2.1: 2.2 Công thức biến phân cho phương trình Poỉsson Xét V là không gian hàm được cho... cả các hàm cơ sở (Pi G Vh cũng sẽ thỏa mãn (1.3), với mọi i = 1 , , M, thì bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy Ufị cũng thỏa mãn (1.3) Do Uh(x) = Ỵ2iLo T ìi ( Pi{ x )ì nên ta có thể viết (1.4) dưới dạng : M i =0 (1.5 ) Hệ phương trình (1.5) chính là một hệ phương trình tuyến tính với M phương trình, M ẩn 771, ,7] M - Dạng ma trận của hệ (1.5) được cho dưới dạng ( 1 6) A T Ị = b, trong đó . tử hữu hạn trong việc giải phương trình đạo hàm riêng làm luận văn Thạc sĩ của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Khảo cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng. 3 cứu phương pháp phần tử hữu hạn để giải ghiệm số cho phương trình đạo hàm riêng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp giải số cho phương trình vi phân đạo hàm riêng. 5. Phương pháp. phần tử hữu hạn cho bài toán biên một chiều 1.1. Sự khác nhau giữa phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp sai phân Phương pháp sai phân hữu hạn (PPSPHH) là một phương pháp khác để giải số phương