Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson
2.3.1.Không gian các hàm tuyến tính từng khúc
việc tìm nghiệm của bài toán biên ỰD) trở nên khó khăn. Thay vì tìm nghiệm trên không gian V, ta sẽ đi tìm nghiệm trên không gian con của V. Ta sẽ xây
dựng không gian con ì4) hữu hạn chiều, là không gian các hàm tuyến tính liên tục từng khúc như sau. Trước tiên, ta hãy coi r là một đường cong đa cạnh, trong trường hợp này chúng ta nói rằng n là một miền đa giác. Bây giờ chúng ta làm một phép tam giác phân cho n , bởi chia nhỏ n thành một tập hợp = {Ki,Km} các tam giác Kị rời nhau sao cho:
ũ = u K = K1UK2. . . l ) Km.
K<zTk
Như vậy không có đỉnh của một tam giác nào nằm trên cạnh của một tam giác khác
Hình 2.2: Phép tam giác phân phần tề hữu hạn.
Độ mịn của tam giác phân phụ thuộc vào mắt lưới h = max.K'eT,/l diam(iír), trong đó diam(iír) là đường kính của (K) = cạnh dài nhất của K . Không gian con 14 được định nghĩa như sau:
Ta nhận thấy rằng V h c V và có số chiều hữu hạn. Để xây dựng một cơ sở của
145 ta chọn các hàm cơ sỏ < f ị € Vh , i = 1 , . . . , M được xác định như sau: í M = j
< pjw = ỏ ij = \
Hình 2.3: Hàm cơ sỗ (pị
Chúng ta thấy rằng giá của < f j (tập hợp các điểm X mà < P j ( x ) #0) bao gồm các tam giác với các giao điểm chung đỉnh Nj ( vùng được tô bóng trong Hình 2.3). Hàm V€ V h được biểu diễn như sau:
M
v(x) = 1ì j ' P Áx) ^rì j = v { N j ) , với X6 íì u r.
3=1