K, V )= (f, v)Vv eV k (1.3)
1.5.Ước lượng sai số cho phương pháp phần tử hữu hạn
Gọi Uh là nghiệm của bài toán biên ỰD) được tìm theo phương pháp phần tử hữu hạn trong mục trước, tức là Uh ẽ Vh, {Ỵh là không gian các hàm tuyến tính từng khúc, hữu hạn chiều). Gọi u là nghiệm của bài toán biên (D) trong không gian V, không gian vô hạn chiều. Ta đặt câu hỏi rằng, liệu nghiệm Uh có phải là xấp xỉ của nghiệm u hay không?
Muốn vậy, ta sẽ đánh giá sai số \u — Uh\. Nếu sai số này là nhỏ thì ta có thể kết luận như trên. Đồng thời, đánh giá sai số cũng giúp ta biết rằng: để thu được nghiệm xấp xỉ ngày càng tốt, ta cần phải gia tăng số chiều của không gian Vh, tức là phải xây dựng không gian Vh với các điểm chia ngày càng mịn, tức là h nhỏ.
Định lí 1.5.1. Sai số của nghiệm xấp xỉ Uh và nghiệm đúng u được đánh giá như sau:
|m(^) — Ufi{x)I ^ h max \u"(y)\ với 0 < X < 1 (1.8)
0<2/<l
BỔ đề 1.5.1. Với mọi vGVh ta có |Ị(w — Uh)'\\ ^ Ị|(w — f),| Ị- Chứng minh. Ta có các phương trình sau đây :
Nhắc lại (u V ' ) = (/, v)Vv e Vh nên từ Vh c V có (w',v') = {f,v)Vv G 14.
Trừ (1.3) cho (1.10), chúng ta có được (1.9). Ta sẽ sử dụng kí hiệu ||iư|| =
(w,w)2 = ( f g W2.dx) 2.
||.|| là chuẩn liên quan đến tích vô hướng (.,.). Chúng ta cũng nhắc lại Bất đẳng thức Cauchy :
|(i;, iu)| ^ \\v\\ 11«; II . (1-11) Ta sẽ chứng minh đánh giá cho u — Uh bằng cách chỉ ra rằng Uh là xấp xỉ tốt nhất có thể của nghiệm chính xác u. Với V G Vh tùy ý và đặt w = Uh — V. Khi đó w £ Vh và sử dụng (1.9) với V thay thế bằng w và sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
II(u - uhyII2 = ((u - uhy, (u - uh)') + ((u - uhy,wf) = ((u - uhy, (u - Uh + wỴ) = ((u — Uh)', (u — vỴ) < II(m — Uh)'\I I I ( u — v)'|| . Chia hai vế cho II(u — uhy\\ ta được bổ đề (1.5.1) (nếu II(u — UhỴII = 0, rõ ràng đúng). Từ bổ đề (1.5.1) ta có thể có được một đánh giá định lượng cho sai số II (u —
UhỴ\\ bằng cách ước tính II(u — ũh)'\\ với Uh G Vh là hàm được lựa chọn phù hợp. Chúng ta sẽ chọn £ Vh là đa thức nội suy của u tại các nút Xj, tức là: ũH(xj) = = 0,M + 1.
Dễ thấy, nếu ũh € Vh được chọn theo cách này thì với 0 ^ X ^ 1 ta có
\ú(x) — U h ' \ ^ h max Iu"{y) \,
1 v' 1 0<y<i
Iu'(x) - ũh I ^ y max \u"{y)\.