Phương pháp phần tử hữu hạn cho phương trình Poisson
2.3.2.Tìm nghiệm trênkhông gian các hàm tuyến tính từng khức
Trên không gian 14 5 các bài toán ([ T > h )ì ( Mh ) và (Vfc) được phát biển như sau:
Bài toán (23*): Tìm u € V ỵ sao cho
ị f
— A u = / trong 0
u = 0 trên r
Bàĩ toán (M h)ỉ Tìm U h € Vh sao cho F ( u h ) < F ( v )ĩ Vv € V f ị
Bàỉ toán ( V h ) ĩ Tìm U h € Vh sao cho a ( u h , v ) = (/, v ) , Vv € Vk
Ta có định lí sau đây:
Chứng minh. Chứng minh hoàn toàn tương tự như Định lý |2.2.1
Nhờ Định lý trên, thay vì việc giải bài toán ựDh)ĩ bây giờ ta sẽ đi giải bài toán (V/i) như sau:
(V/j): Tìm Uh ê Vh sao cho
a(uh,v) = ( f , v ) Vv € vh. (2.5) Để giải bài toán (Vfc), ta nhận thấy mỗi V G V/i đều là tổ hợp tuyến tính của các hàm cơ sở ípị G V/j, i = 1 , . . . , M . Do đó, nếu Uh G Vh thỏa mãn (2.5), thì các hàm cơ sở (fii e 14, ỉ = 1, . . . , M, cũng sẽ thỏa mãn (2.5), tức là:
a(uh,<Pi) = ư,<Pi), i = (2.6) Ngược lại, nếu tất cả các hàm cơ sở I f ị G 14 cũng sẽ thỏa mãn (2.5), với mọi
i = 1, . . . , M, thì bằng cách lấy tổ hợp tuyến tính, ta thấy Uh cũng thỏa mãn
(2.5).
Do U h ( x) = J2ịío rìiiPi{x)ì nên ta có thể viết (2.6) dưới dạng :
M i=0
Hệ phương trình (2.6) chính là một hệ phương trình tuyến tính với M phương trình, M ẩn TỊi,... ,7]M. Dạng ma trận của hệ (2.12) được cho dưới dạng
Arj = 6, (2.8)
ở đây A = (ũịj) ma trận cứng, là một ma trận cỡ M X M với các phần tử d ị j = a ( ( p i , ( p j ) và T Ị
= (rji),b = (bị) là M véc tơ với các phần tử r ] i = Uh{Ni)ìbị = (f,ụ>i). Rõ ràng
Ả là đối xứng và như trong mục 1.2 chúng ta thấy A là xác định dương nên không suy biến, do đó (2.13) có nghiệm duy nhất là 77.
Tóm lại, trong mục này, chúng ta đã thấy rằng phương pháp phần tử hữu hạndẫn đến một hệ tuyến tính, các phương trình với ma trận thưa, đối xứng và xác định dương. Giải hệ phương trình tuyến tính này, ta sẽ thu được nghiệm của bài toán được cho trong không gian các hàm tuyến tính từng khúc.
Ví dụ 2.3.1. Cho Q là một hình vuông với cạnh có độ dài bằng 1 và là phép tam giác phân đều cho Q theo Hình 2.4 đã đánh số các đỉnh của
Hình 2.4:
Trong trường hợp này hệ tuyến tính (2.6) được viết như sau
1 - 1 0 -1 0 • • o 1 1 < / » ( - » 1 H - 1 4 - 1 0 -1 0 • • 0 - 1 4 - 1 0 -1 • • - 1 0 -1 4 - 1 0 1 0 0 • • • • • 0 - 1 • 0 • • • • - 1 0 • • • - 1 0 -1 4 - 1 1 o • • 0 - 1 0 -1 1 A M. pM (2.9)
tính toán bằng tính tổng từ các tam giác khác nhau:
iỉPũVi) = aKÌV>i,V>j),
K£Th
trong đó a,K(ipi,<Pj) = f VPi V íPjdx. Chúng ta nhận thấy aK{<Pi,ipj) = 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n
trừ khi cả hai đỉnh Nị và Nj là đỉnh của K. Cho Nị,Nj và
Nk là các đỉnh của tam giác K. Chúng ta gọi ma trận đối xứng 3x3 sau đây
Q-KÌtPiiVi) aK{ifiìiPk)
* aK{ i P j , < P j ) aK{ i p j , i pk)
* *ữ K ( ụ > k ,íP k ) _
là ma trận cứng các phần tử của K. Ma trận A vì vậy có thể được tính toán bằng cách trước tiên tính ma trận cứng của từng thành phần K £ Th và sau
đó tính tổng (2.10) của các tam giác. Theo cách tương tự chúng ta tính vế phải b.