Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn trong truyền nhiệt trịnh văn quang

Trên cơ sở một số bài giảng cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử dụng phương pháp số trong các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như tham khảo

LỜI NÓI ĐẦU

Q ua nhiều năm giảng dạy Lý thuyết Truyền nhiệt cho Chương trình Cao học Cơ khí cũng như tham gia và hướng dẫn các đề tài khoa học, chúng tôi nhận thấy

một tài liệu về phương pháp tính nhiệt mới là hết sức cần thiết để phục vụ cho

công tác giảng dạy và nghiên cứu Cuốn sách “Cơ sớ phương pháp Phần từ hữu

hạn trong Truyền n h iệ t" được biên soạn nhằm đáp ứng phần nào yêu cầu trên.

Môn học Cơ sở truyền nhiệt trong chương trình đại học cùa các nước tiên tiến hiện nay chỉ mới dừng ở phương pháp Sai phân hữu hạn, còn phương pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) chưa được đề cập đến Vì thế, trong tính nhiệt, phương pháp PTHH còn là mới Trên cơ sở một số bài giảng cho chương trình cao học ngành cơ khí, qua kinh nghiệm sử dụng phương pháp số trong các đề tài nghiên cứu giải các bài toán nhiệt thực tế, cũng như

tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước, chúng tôi biên soạn cuốn “Cơ sờphư ơĩìgpháp

PTHH trong Truyền nhiệt

Cuốn sách bao gồm 5 chương: Chương 1 trình bày khái quát về các phương thức truyền nhiệt và tóm tẳt các kết quà giải bài toán dẫn nhiệt bằng phương pháp giải tích; Chương 2 nêu các khái niệm cơ bản về các loại PTHH và các đại lượng đặc trưng của chúng; Chương 3 đề cập đến phương pháp thiết lập phương trình ma trận đặc trưng của PTHH trong dẫn nhiệt ổn định Đây là phần lý thuyết toán quan trọng nhất trong phương pháp PTHH để tính nhiệt; Chương 4 đi vào giải một số bài toán dẫn nhiệt ổn định bàng phương pháp PTHH; Chương 5 thiết lập phương trình đặc trưng trong dẫn nhiệt không ổn định, các cách rời rạc theo thời gian của bài toán, từ đó giải một số bài toán dẫn nhiệt không ổn định bằng phương pháp PTHH

Cuốn sách có thể được tham khảo làm tài liệu giảng dạy cho chương trinh cao học ngành cơ khí, động lực, chương trình đại học chuyên ngành nhiệt - lạủh, năng lượng và cũng có thể phục vụ cho công tác nghiên cứu về nhiệt trong các lĩnh vực xây dựng cồng trình, luyện kim

Với suy nghĩ viết sách sao cho bạn đọc sử dụng được thuận tiện nhất, chúng tôi cố gắng trình bầy các vấn đề một cách chi tiết để bạn đọc có thể dễ dàng theo dõi và từ đó vận dụng trong nghiên cứu các bài toán thực tế Hy vọng rằng cuốn sách sẽ hữu ích và thiết thực với bạn đọc

Mặc dù rất cẩn trọng trong quá trình biên soạn, nhung chắc rằng cuốn sách vẫn còn có những khiếm khuyết, chúng tôi rất mong nhận được góp ý của bạn đọc và đồng nghiệp Mọi đóng góp xin gửi về Bộ môn Kỹ thuật nhiệt, Khoa Cơ khí, Trường Đại học GTVT Hà Nội hoặc địa chỉ quangnhiet@ yahoo.com.vn

Chúng tôi xin chân thành cám ơn!

TÁC GIẢ

PGS.TS T rịn h V ăn Q uang

MỤC LỤC

LỜI N Ó I Đ Ầ U 3

CHƯƠNG 1 MỞ ĐÀƯ 1.1 Khái q u á t 7

1.2 Phương trình vi phân dẫn nhiệt và điều kiện đon trị 10

1.3 Điểm qua m ột số bài toán dẫn nhiệt cơ b ả n 13

1.4 Các khó khăn của phương pháp giải t í c h 25

1.5 Tóm tắt c h ư ơ n g 25

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN 2.1 Giới thiệu khái q u á t 26

2.2 Phân tử m ột chiều bậc n h ấ t 30

2.3 Phân tử m ột chiều bậc h a i 33

2.4 Phân tử hai chiều tam giác bậc n h ấ t 38

2.5 Tọa độ khu vực đối với phần tử tam giác bậc n h ấ t 44

2.6 Các phần tử tam giác bậc hai, bậc b a 46

2.7 Phần tử hai chiều chữ nhật bậc n h ất 50

2.8 Các phần từ ba chiều 54

2.9 Phần tử đẳng tham số, phần tử quy ch iếu 60

2.10 Tóm tắt c h ư ơ n g 74

BÀI TẬ P CHƯ ƠNG 2 75

CHƯƠNG 3 THIẾT LẶP PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CỦA PHÀN TỦ HỮU HẠN 3.1 Phương pháp thiết lập phương trình đặc trung của phần tủ' 77

3.2 Phương pháp biến phân, phương trình Euler - Lagrange .91

3.3 T hiết lập phương trình đặc trưng của phương trình vi phân dẫn nhiệt theo phương pháp biến p h â n 101

3.4 Thiết lập phương trình đặc trưng của phương trình vi phân dẫn nhiệt theo phương pháp G alerkin 109

3.5 Xác định phiếm hàm bài toán dẫn nhiệt qua c á n h 112

3.6 Tóm tắt c h ư ơ n g 114

4 ] Dan nhiệt qua vách phẳng một lóp 115

4.2 Dần nhiệt qua vách phang nhiều lớ p 118

4.3 Dần nhiệt qua vách phẳng có nguồn nhiệt bên tro n g 120

4.4 Dan nhiệt qua vách t r ụ 130

4.5 Dần nhiệt qua vách trụ có nguồn bên tro n g 137

4.6 Dần nhiệt qua thanh có tiết diện không đ ổ i 143

4.7 Dan nhiệt qua cánh có tiết diện thay đồi 149

4.8 Dan nhiệt hai chiều qua phần tử tam giác đ ơ n 154

4.9 Dan nhiệt qua phần từ tam giác lắp ghép 158

4.10 Dần nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật đ ơ n 173

4.11 Dan nhiệt hai chiều qua phần tử chữ nhật lắp g h é p 179

4.12 Bài toán dẫn nhiệt ba ch iều 190

4.13 Các bài toán hình khối có trục đối x ứ n g 191

4.14 Tóm tắt c h ư ơ n g 194

BÀI TẬP CH Ư Ơ N G 4 195

CHƯƠNG 5 DẢN NHIỆT KHÔNG ỐN ĐỊNH 5.1 Khái n iệ m 199

5.2 Phương pháp G a le rk in 200

5.3 Phương pháp biến p h â n 202

5.4 Rời rạc theo thời g ia n 204

5.5 Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp sai phân hữu h ạ n 207

5.6 Rời rạc theo thời gian bằng phương pháp phần tử hữu h ạ n 210

5.7 Tổng kết m ột số công thức rời rạc theo thời g i a n 214

5.8 Dan nhiệt không ồn định qua vách p h a n g 215

5.9 Dần nhiệt không ổn định qua th a n h 218

5.10 Dần nhiệt không ổn định qua vách t r ự 222

5.11 Dẩn nhiệt không ổn định qua phần tử tam g iá c 226

5.12 Dan nhiệt không ổn định qua phần tử chữ n h ậ t 241

5.13 Tóm tắt c h ư ơ n g 259

BÀI TẬP CH Ư Ơ N G 5 260

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP 263

TÀI LIÊU THAM KHẢOề 337

CHƯƠNG 4 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DẢN NHIỆT ÒN ĐỊNH BÀNG PHƯƠNG

PHÁP PHÀN TỦ HỮU HẠN

Chương 1

MỞ ĐẦU

1.1.1 Vai trò của truyền nhiệt trong kỹ thuật và tự nhiên

Truyền nhiệt là quá trình truyền năng lượng dưới dạng nhiệt giữa các vật thể hoặc giữa các khu vực khác nhau trong vật thể Có thể gặp hiện tượng nhiệt ở khắp nơi, từ các việc trong đời sống hàng ngày như đun nấu, làm mát hay sưởi ấm không khí trong phòng đến các hiện tượng trong tự nhiên như nắng, mưa, giông bão đều gắn với các quá trình nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riêng Trong hầu hết các quá trình công nghệ, từ hoạt động của các loại động cơ nhiệt như động cơ đốt trong, động cơ tua bin, động cơ phản lực đến làm mát động cơ điện, làm mát các bộ phận của các thiết bị điện tử, luôn có mặt quá trình truyền nhiệt Bời vậy, có thể nói hiện tượng nhiệt nói chung và truyền nhiệt nói riêng có vai trò rất quan trọng trong đời sống, kỹ thuật và trong tự nhiên

Trong kỹ thuật thường nảy sinh vấn đề là làm sao khống chế được nhiệt độ làm việc cực đại của thiết bị để bảo đàm hoạt động bình thường của thiết bị, hoặc khống chế được độ chênh nhiệt độ cục bộ trong các khu vực của vật thể đề bảo đảm biến dạng nhiệt cục bộ trong giới hạn cho phép không gây nên rạn nứt phá hùy vật thể Điều đó chỉ có thể thực hiện được khi kiểm soát được quá trình truyền nhiệt của thiết bị và vật thể

1.1.2 Các phương thức truyền nhiệt, các định luật truyền nhiệt

cơ bản

Nhiệt CÓ thể truyền từ nơi này tới nơi khác theo các phương thức khác nhau Mỗi phương thức truyền nhiệt có những đặc điềm và cơ cấu riêng Có ba phương thức truyền nhiệt cơ bản là dẫn nhiệt, toả nhiệt đối lưu, bức xạ nhiệt

Dan nhiệt xảy ra bên trong vật thề hoặc giữa các vật thể tiếp xúc nhau khi giữa chúng

có sự chênh lệch nhiệt độ Dần nhiệt được thực hiện thông qua quá trình truyền dao động của các phần tử vi mô cấu tạo nên vật thể Quá trình dẫn nhiệt có thể xảy ra trong chất rắn, chất lỏng và cà trong chất khí Trong kim loại, dẫn nhiệt được thực hiện chủ yếu nhờ quá trình truyền dao động của các điện tử tự do Trong chất điện môi, dẫn nhiệt xảy ra nhờ sóng đàn hồi truyền dao động nhiệt Trong chất lỏng và chất khí, dẫn nhiệt được thực hiện nhờ quá trình khuếch tán các phân tử

Lượng nhiệt truyền qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian được gọi là mật độ dòng nhiệt, ký hiệu là q (W/m2) Mật độ dòng nhiệt truyền đi do dẫn nhiệt tuân theo Định luật Fourier:

Trong đó: q là véc tơ mật độ dòng nhiệt; k là hệ số dẫn nhiệt (W/mK); ỔT/Ổn là

gradient nhiệt độ với n là pháp tuyến mặt đẳng nhiệt

Hệ số dẫn nhiệt là đại lượng đặc trưng khả năng dẫn nhiệt của vật liệu Trị số hệ số dẫn nhiệt của một số vật liệu điển hình như sau:

b Toả nhiệt đốỉ lưu

Toả nhiệt đối lưu là phương thức truyền nhiệt xảy ra giữa bề mặt vật rắn và chất lỏng hoặc khí, khi giữa chúng có chênh lệch nhiệt độ và tiếp xúc với nhau Do các phần tử chất lòng tiếp xúc với bề mặt vật rắn trao đồi nhiệt với bề mặt vật bằng dẫn nhiệt, lớp chất lỏng sát bề mặt vật thay đổi nhiệt độ và mật độ làm xuất hiện chuyển động tạo thành dòng đối lưu, đồng thời mang nhiệt đi Chuyển động đó được gọi là đối lưu tự nhiên Chuyền động của chất lỏng do tác động của các lực cơ học từ bên ngoài như bơm, quạt, khuấy được gọi là đối lưu cưỡng bức Toả nhiệt đối lưu cũng xảy ra rất mạnh trong các quá trình chất lỏng sôi hay ngưng tụ

Mật độ dòng nhiệt truyền đi bằng toả nhiệt đối lưu tuân theo định luật Newton - Richman:

Ở đây, q (W /m 2), là m ật độ d ò n g nhiệt, h là hệ số to ả nhiệt đối lưu (W /m 2K ); T w v à Ta

tư ơ ng ứng là n h iệt độ bề m ặt v à n hiệt độ m ôi trư ờ n g chất lỏng

Trị số hệ số to á n h iệt điển hình tro n g các chất lỏng như sau:

Các chất khí (lừng lờ) Các chất khí (chảy)

15

1 5 - 2 5 0

100

Các chât lỏng (lững lờ)Các chât lỏng (chảy) Các chất lỏng khi sồi

Năng lượng truyền đi bằng bức xạ từ bề mặt vật đen tuân theo định luật Stefan Boltzomann:

Ờ đây, Eo là năng suất bức xạ của vật đen, (W/m2); ơo là hằng số Stefan Boltzomann

ơo = 5,669.10'8 (W/m2K4); T là nhiệt độ tuyệt đối (K)

Năng lượng bức xạ từ bề mặt các vật xám nhỏ hơn năng lượng bức xạ từ bề mặt vật đen, xác định bởi:

Ở đây, E là năng suất bức xạ cùa vật xám, (W/m2); e là hằng số phát xạ của vật xám,còn gọi là độ đen

»

Lượng nhiệt trao đổi bằng bức xạ giữa hai bề mặt 1 và 2 được xác định bởi:

Fg là yếu tố kể đến bản chất của hai bề mặt, Fg là yếu tố kể đến định hướng hình học của hai bề mặt bức xạ

(1.3)

(1.4)

1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DÃN NHIỆT VÀ ĐIÊU

KIỆN ĐƠN TRỊ

1.2.1 Phương trình vi phân dẫn nhiệt

Đe xác định nhiệt độ trong vật thể cần phải thiết lập mối quan hệ của nhiệt độ với các toạ

độ và thời gian, đó chính là phương trình vi phân dẫn nhiệt

Tách một phân tố hình hộp ra khỏi vật thể đặt trong toạ độ xyz Phân tố có kích thước dxdydz, Hình 1.1

Khảo sát dẫn nhiệt qua phân tố theo các hướng X, y, z sau thời gian dx:

T ư ơng tự n hư vậy th eo hướ ng y và theo hướng z, phân tô nhận được:

Hệ số dẫn nhiệt trong phưcmg trình trên là một véc tơ Trong trường hợp tổng quát hệ

số dẫn nhiệt có thể là một ten sơ:

Nếu bên trong vật thể có nguồn sinh nhiệt qv (W/m3), lượng nhiệt do nguồn trong sinh

ra trong phân tố khảo sát sau thời gian áx là:

Phương trình (1.17) được gọi là phương trình vi phân dẫn nhiệt

Neu vật liệu là đẳng hướng, nghĩa là hệ số dẫn nhiệt k là không đổi theo các hướng, phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết thành:

với ô 2T ô 2T ô 2T

dx2 dy2 ôz2 = v 2r và a = c p

P r

gọi là hệ số khuếch tán nhiệt

Phương trình vi phân dẫn nhiệt được viết gọn thành:

1.2.2 Điều kiên đơn tri• •

Để phương trinh vi phân có nghiệm xác định cần phải có các điều kiện riêng của mỗi

bài toán cụ thể, gọi đó là điều kiện đơn trị Điều kiện đơn trị bao gồm điều kiện ban đầu và

điều kiện biên giới.

• Điều kiện ban đầu cho biết quy luật phân bố nhiệt độ trong vật thể ờ thời điểm ban

đầu Điều kiện ban đầu chỉ có mặt trong quá trình không ổn định, quá trình ổn định thì không cần điều kiện ban đầu

• Điều kiện biên giới cho biết đặc điểm của quá trình nhiệt xảy ra tại biên giới của vật

Đe tìm phân bố nhiệt độ trong vật, cần phải giải phương trình vi phân dẫn nhiệt cùng với các điều kiện đơn trị Trong giáo trình truyền nhiệt chương trình đại học đã trình bày chi tiết cách giải một số bài toán cớ bản, ờ đây chỉ nêu tóm tắt kết quả của chúng

1.3.1 Dẩn nhiệt ổn định điều kiện biên loại 1 qua các vách mỏng

Khi các vách có bề dày nhỏ hơn rất nhiều so với các kích thước khác, dòng nhiệt truyền theo hướng bề dày là chính nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng bề dày và chỉ phụ thuộc vào một chiều Phương trình vi phân ổn định không có nguồn trong, khi k = const có dạng:

1 Dan nhiệt qua vách phẳng

Vách phẳng dày 5, hệ số dẫn nhiệt k không đồi, biết nhiệt độ hai mặt:

Phương trình vi phân:

f i2T

dx

điều kiện biên: T = TW1 tại X = 0 ; T = Tw2 tại X = ỏ ( 1 3 1 )

Sau khi tích phân ( 1 3 0 ) hai lần, thay điều kiện biên ( 1 3 1 ) , giải ra nghiệm:

Phân bố nhiệt độ trong vách trụ là đường cong logarít, Hình 1.3.

Với: ATW là hiệu nhiệt độ hai mặt vách trụ

R * ln— gọi là nhiêt trở dẫn nhiệt của vách trụ

3 Dấn nhiệt qua vách cầu

Phân bố nhiệt độ trong vách cầu là đường cong hyperbol

Dòng nhiệt qua vách cầu:

1.3.2 Dẩn nhiệt ổn định qua thanh và cánh

Thanh và cánh chỉ khác nhau ở tỷ lệ giữa kích thước mặt cắt ngang và chiều dài Nếu chi tiết có kích thước mặt cắt ngang nhỏ hơn nhiều so với chiều dài, ta gọi là thanh, trong trường hợp ngược lại gọi là cánh Tuy tên gọi có thể khác nhau nhưng nguyên tắc tính nhiệt

là như nhau

1 Thanh có tiết diện không đổi

Thanh thẳng có tiết diện A không đồi, gốc thanh có nhiệt độ Tb, tại mặt ngoài thanh có toà nhiệt ra môi trường với hệ số toả nhiệt h, nhiệt độ môi trường Ta, đỉnh thanh cách nhiệt.Xét vi phân thể tích có chiều dài dx, diện tích mặt cắt ngang A, chu vi tiết diện p, diện tích xung quanh Pdx, hệ số dẫn nhiệt là k, Hình 1.4

Sau khi cân bằng giữa lượng nhiệt dẫn vào phân tố tại X với lượng nhiệt dẫn ra khỏi phân tố tại (x+dx) và tỏa nhiệt ra môi trường qua diện tích mặt xung quanh, sẽ được phương trình sau:

dx2

Đặt (T - Ta) = 0 ; — = Ẹ ; — = m1 và m2L2 = ịi2 khi đó phưcmg trình trên trở thành:

Thanh có chiều dài L, tiết diện ngang A(x) và chu vi P(x) thay đổi theo X Gốc thanh X

= 0, nhiệt độ To, đặt trong môi trường nhiệt độ Ta , hệ số toả nhiệt tại mặt ngoài thanh là h, thể hiện trên Hình 1.5

Hình 1.5 Thanh có tiết diện thay đổi

Tại X, phần tử thanh dày dx, diện tích hai mặt là f(x) và f(x+dx), diện tích xung quanh P(x)dx Lượng nhiệt vào phần tử tại mặt f(x) là:

Cánh có tiết diện chữ nhật, bề dày thay đổi tuyến tính theo x:

(1.53) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là biến Nghiệm của (1.53) được biểu thị dưới dạng hàm Bessel loại 1:

Với lo là hàm Bessel loại 1, có thể tra theo bảng lập sẵn

1.3.3 Dẩn nhiêt ổn đinh môt chiều có nguồn nhiêt bên trong

Xét vách phẳng rất rộng, có bề dày 2L, nhiệt độ tại hai mặt ngoài là TW1 và Tw2 Trong vách có nguồn nhiệt phân bố đều theo thể tích qv = const (W/m3), Hình 1.8

Do dòng nhiệt chỉ truyền theo hướng bề dày nên nhiệt độ chỉ thay đổi theo hướng này,đật là X

Phương trình vi phân:

(1.54)

(1.55)Điều kiện biên loại 1:

Giải (1.55) và (] 56) được nghiệm cùa bài toán:

/ \ qv / 2 2\ r —r , T +T r,

t ( x ) = — ( l 2 - X 2 ) - uĩ H- ,Y+ Hl

Phân bố nhiệt độ trong vách phẳng là đường cong bậc hai

r0 là vị trí cỏ nhiệt độ cực đại trong vách.

1.3.4 Dân nhiêt ôn đinh hai chiêu• •

Trên hình phang chữ nhật ABCD, các cạnh có nhiệt độ không đồi Cạnh đỉnh AB cỏ nhiệt độ T2, ba cạnh còn lại có nhiệt độ Tị, Hình 1.9 Khi đó nhiệt độ trong hình chữ nhật thay đồi theo hai hướng bề rộng (x) và cao (y) của hình

Hình 1.9 Dan nhiệt hai chiều trong hình chữ nhật phẳngPhưong trình vi phân

Sau khi lấy đạo hàm hai lần (1.69) theo X và y, thay vào (1.67) sẽ tách được hai phương trình vi phân thường Sau đó kết hợp với các điều kiện biên (1.68), áp dụng tính chất của hàm trực giao đối với nghiệm ờ dạng chuỗi số sẽ giải ra được:

1.3.5 Dẩn nhiêt không ổn đinh môt chiều

Nếu một vật có hệ số tỏa nhiệt tại mặt ngoài rất nhỏ so với dẫn nhiệt ờ bên bên trong vật, thì nhiệt độ tại các điểm bên trong vật được coi là bằng nhau và cùng giảm tới nhiệt độ môi trường Khi đó nhiệt độ của vật chỉ là hàm của thời gian T = f(x), và toàn bộ vật thể được quy về một điểm để tính toán nhiệt độ Phương pháp tính đó được gọi là phương pháp quy tụ

- Lượng nhiệt vật mất đi do toả nhiệt vào môi trường sau thời gian dx là: hF(T - Ta)dx

- Nội năng vật giảm đi do mất nhiệt là: - cpVdT

Trong đó, dx là thời gian, h là hệ số toả nhiệt tại bề mặt ngoài vật, F là diện tích mặt ngoài vật, T và Ta tương ứng là nhiệt độ của vật và nhiệt độ môi trường, c nhiệt dung riêng của vật (J/kg°C), p khối lượng riêng của vật, V thể tích vật, dT độ giảm nhiệt độ của vật sau thời gian dx

Do lượng nhiệt vật mất đi bằng độ giảm nội năng nên rút ra:

nhiệt độ trong tâm là hàm của toạ độ X và thời gian x: T = f(x,x).

Điều kiện ban đầu: khi X = 0, 9 = To - Ta = 00

Điều kiện biên:

6 ( x , t ) = ỹ ,

/1=1

20,, sin 0 r n Li r X \

cos+ sin Ịj,ncos Ịj.n Gn exp ~ụ " l r (1.77)

Trong đó: Pn = kỗ ; k =1, 2, 3 ; Pn là nghiệm của phương trình đặc trưng:

ỊẦ _ h ô

cot gụ = — và Bi = —

Vật dày vô hạn một phía là những vật có một mặt xác định đủ rộng và bề dày là hếtsức lớn như nền đất Trong trường hợp này quá trình truyền nhiệt là không ổn định và

nhiệt chỉ dẫn theo một chiều bề dày của vật Nghiệm phải tìm của bài toán là: T = f(x,x)

Phương trình vi phân:

- Điều kiện ban đầu: X = 0, T(x,0) = To

- Điều kiện biên: tại X = 0, T(0, x) = Tw

Dùng phương pháp đổi biến kép rj = —f= = , chuyển phương trình vi phân đạo hàm

v 4 CIT

riêng (1.79) thành phương trình vi phân thường:

Trong đó, erfr) được gọi là hàm sai số Gauss được lập sẵn giá trị thành bảng

Mật độ dòng nhiệt tại bề mặt (x = 0) được xác định theo công thức Fourier:

Khi nhiệt độ bề mặt vật thay đồi theo hàm tuần hoàn, quá trình truyền nhiệt trong vật

là tựa ồn định được biểu thị bởi phương trình vi phân:

Với T là nhiệt độ trung bình tại bề mặt, ATW là biên độ dao động của nhiệt độ tại bề

mặt; co là tần số dao động; 0 ) = — , To là chu kỳ dao động.

r0

Để giải (1.83) với điều kiện (1.84), coi nghiệm nhiệt độ là hàm dao động quanh giá trị

trung bình T như sau:

Phương pháp giải tích là phương pháp hết sức quan trọng đã giải được nhiều bài toán

cơ bản trong truyền nhiệt và cho nghiệm chính xác Đó là các trường hợp vật thể có dạng các hình khối đơn giản như hình phẳng, khối chữ nhật, hình trụ hay hình cầu với trường hợp các bài toán có điều kiện biên giới và điều kiện thời gian là hằng số hoặc biến đồi theo quy luật đơn giàn

Trong thực tế có thể gặp các bài toán trên vật thề có hình dáng phức tạp, hoặc điều kiện thời gian và điều kiện biên giới thay đồi, khi đó giải bằng phương pháp giải tích sẽ rất khỏ khăn và nhiều trường hợp không thể giải được Bởi vậy đề đáp ứng yêu cầu tính nhiệt trong các trường hợp thực tế như trên cần có phương pháp gần đúng

Chương này đã trình bày khái quát về truyền nhiệt nói chung và tóm tát các kết quả chủ yếu giải bài toán dẫn nhiệt chủ yếu bằng phương pháp giải tích Có thể thấy đối với bài toán hai chiều, phương pháp giải tích chỉ đề cập đến bài toán ồn định trên vật thể có hình dáng đơn giản, với điều kiện biên khiên cưỡng Trong thực tể thường gặp các vật có hình thể và điều kiện biên phức tạp, phương pháp giải tích sẽ không giải quyết được, bởi thế nhu cầu phương pháp tính gần đúng là hết sức cần thiết Các phương pháp gần đúng trong tính nhiệt thường dùng là phương pháp Sai phân hữu hạn, phương pháp Thể tích hữu hạn và phương pháp Phần tử hữu hạn Phương pháp Sai phân hCru hạn đã được trình bày trong giáo trình đại học, nên ở đây không đề cập đến mà đi vào phương pháp Phần tử hữu hạn

Chương 2 PHƯƠNG PHÁP PHÀN TỬ HỮU HẠN

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một công cụ số để xác định nghiệm xấp xỉ đối với một lớp rất rộng các bài toán kỹ thuật Phương pháp PTHH có tính đa dạng và mềm dẻo cao, nên được áp dụng đề nhận được nghiệm xấp xỉ dạng số cho các bài toán phức tạp

mà những bài toán này rất khó giải hoặc không thề giải được bằng phương pháp giải tích

2.1.1 Khái quát về các phương pháp gần đúng giải bài toán

dẫn nhiêt

Do yêu cầu giải quyết các bài toán thực tế, nhiều năm qua đã có nhiều phương pháp số phát triển Phương pháp phổ biến nhất được sử dụng trong kỹ thuật tính nhiệt là các phương pháp Sai phân hữu hạn, Thể tích hữu hạn và Phần tử hữu hạn ngoài ra còn có phương pháp Phần tử biên giới

- Phương pháp Sai phân hữu hạn (SPHH) là phương pháp số tương đối đơn giản và ổn

định Nội dung của phương pháp này là biến đổi một cách gần đúng các vi phân riêng thành các số gia, khi đó đạo hàm riêng của phương trình vi phân chủ đạo thành thương của các số gia tương ứng Bằng cách dùng các họ đường song song với các trục toạ độ để tạo thành một mạng lưới chia miền nghiệm trong vật thể thành một số hữu hạn các điểm nút, rồi xác định nhiệt độ của phần tử tại các nút đó thay cho việc tính nhiệt độ trên toàn miền Như vậy phương pháp SPHH đã xấp xỉ các phương trình vi phân đạo hàm riêng thành các phương trình đại số Kết quả thiết lập được hệ phương trình đại số gồm n phương trình tương ứng với n nút cần tim giá trị nhiệt độ Mức độ chính xác cùa nghiệm trong phương pháp SPHH

có thể được cải thiện nhờ việc tăng số điểm nút Phương pháp SPHH rất hữu hiệu trong việc giải nhiều bài toán truyền nhiệt phức tạp mà phương pháp giải tích gặp khó khăn Bởi vậy trong các giáo trình truyền nhiệt hiện đại, phương pháp SPHH được trình bày khá kỹ cho chương trình đại học (Incropera 1996, Holman 1997 ) Tuy nhiên, khi gặp phải vật thề

cỏ hình dạng bất quy tắc hoặc điều kiện biên giới bất thường, phương pháp SPHH cũng có thể khó sử dụng

- Phương pháp thể tích hữu hạn (TTHH) có tinh tế hơn phương pháp SPHH và trở nên

phổ biến trong kỹ thuật tính nhiệt và động học dòng chảy (Patankar 1980) Trong tính nhiệt, phương pháp TTHH dựa trên cơ sở cân bằng năng lượng của phân tố thể tích Kỹ thuật thể tích hữu hạn tập trung vào điểm giữa phân tố thể tích rất tương tự với phương pháp SPHH (Malan et al 2002)

- Phương pháp phần íừ hữu hạn (PTHH) là phương pháp số để giải các bài toán được

mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng cùng với các điều kiện biên cụ thể Cơ sở của phương pháp này là rời rạc miền nghiệm liên tục và phức tạp của bài toán thành các miền con gọi là các phần tử hữu hạn Tuỳ theo yêu cầu của bài toán mà các miền con tức các phần tử hữu hạn này có cấu trúc khác nhau, tinh xảo và liên kết với nhau bởi các nút Việc tìm lời giải chính xác của bài toán được thay thế bằng việc tìm dạng gần đúng tại các nút thông qua hàm xấp xỉ trên từng phần tử Hàm xấp xỉ có thể được xác định bằng cách tích phân các biến phân tương ứng với phương trình chủ đạo và các điều kiện biên hoặc các hàm số dư trọng số

2.1.2 Sơ lược lịch sử phát triển của phương pháp PTHH

Phương pháp PTHH bát đầu được hình thành từ nhu cầu giải các bài toán phân tích kết cấu trong lý thuyết đàn hồi trong kỹ thuật công trình và kỹ thuật hàng không Những người đầu tiên đưa ra phương pháp này là Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942) H rennikoff sử dụng mạng lưới để rời rạc miền liên tục, còn Courant chia miền liên tục thành những miền nhò hình tam giác để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng elliptic cấp hai trong bài toán xoắn trên ống trụ Tuy hai cách tiếp cận khác nhau nhưng đều

có đặc tính chung là rời rạc miền liên tục thành các miền nhỏ sau này gọi là các phần tử hữu hạn Phương pháp của Courant sau đó được phát triển nhờ Reyleigh, Ritz và Galerkin

để giài phương trình vi phân toàn phần elliptic Sau Couranl có nhiều công trình toán học

sử dụng phương pháp rời rạc hoá: đó là công trình của Polya, Hersch, Weinberger họ đều tập trung vào nghiên cứu các bài toán giá trị riêng

Vào nửa cuối năm 1950, phương pháp PTHH đã dần phát triển hoàn chỉnh Các tác giả

đã sử dụng đề phân tích các kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, như phân tích mômen tập trung trong công trình của John Argyris tại trường đại học Stuttgart

Năm 1959, Greestadt đã đưa ra phương pháp rời rạc miền nghiệm thành tập hợp của các miền con gọi là các tế bào thay cho các điềm nút Kích thước và hình dáng các tế bào

có thể không đều nhau Mối quan hệ giữa các ẩn trong mỗi tế bào được biểu thị bằng hàm nội suy, tuỳ thuộc vào cấu trúc tế bào mà hàm nội suy được chọn có dạng khác nhau Tác giả sử dụng nguyên lý biến phân để xác định hàm xấp xỉ trong từng tế bào, rồi căn cứ vào điều kiện liên tục để tìm phương trình chung cho tất cả các tế bào trong toàn miền Nghiên cứu của Greestadt đã chứa đựng những nội dung hết sức cơ bản sau này trở thành lý thuyết toán học của phương pháp PTHH ngày nay

Năm 1960, tại trường đại học Berkekey, Ray W.Clough đã trình bày kết quà đạt được rất khả quan trong công trình nghiên cứu về phương pháp PTHH Từ đỏ nhiều tài liệu toán học về phương pháp PTHH đã ra đời, nhiều cuốn sách đã trình bày các công thửc toán học cho phương pháp, và nhiều công trình nghiên cứu về sự hội tụ của phương pháp, như các công trình của Oden, White và Friedrichs

Cùng với các nhà toán học, các nhà vật lý cũng đã phát triền phương pháp PTHH để áp dụng trong các bài toán vật lý, như Prager và Synge Đến năm 1963 phương pháp PTHH

đã bắt đầu ứng dụng trong các lĩnh vực kỹ thuật Besselinh, Melosh, Fraeijs de Veubeke và Jones đã coi phương pháp PTHH là một dạng của phương pháp Ritz và cho ràng đó là một phương pháp tổng quát nhất đề nghiên cứu các bài toán đàn hồi Các nhà khoa học đã nghiên cứu áp dụng phương pháp PTHH cho các bài toán biến phân của cơ học chất rắn và

đã nhận được các kết quả khá chính xác

Năm 1965, Zienkiewicz và Cheung đã chứng minh rằng Phương pháp PTHH có thể áp dụng cho tất cả các bài toán về lý thuyết trường, từ đó phương pháp PTHH được công nhận

là một phương pháp nội suy rộng

Năm 1973, trong công trình An Analysis o f The Finite Element Method, Fix và Strang

đã xây dựng những lý luận toán học chặt chẽ cho phương pháp PTHH, và từ đó nó trờ thành một lĩnh vực toán học ứng dụng và được phổ biến và ứng dụng rộng rãi trong kỹ thuật, để xây dựng mô hình dạng số cho các hiện tượng vật lý như trường điện từ và động học chất lông

2.1.3 Trình tự giải bài toán bằng phương pháp PTHH

Việc giải các bài toán liên tục bằng phương pháp PTHH luôn được thực hiện theo một trinh

tự gồm các bước nối tiếp nhau như sau:

Bước 1: Rời rạc hóa miền liên tục

Bước đầu tiên là chia miền nghiệm của bài toán, tức vật thể, thành các phần tử có kích thước nhỏ gọi là phần tử hữu hạn sao cho không có kẽ hở cũng như sự chồng lên nhau giữa các phần tử đề bảo đảm tính liên tue của bài toán Ket quả của việc rời rạc hóa là tạo nên một mạng lưới các phần tử hữu hạn

Các phần tử khi rời rạc có thể được chọn có hình dạng khác nhau Trong loại bài toán một chiều, các phần tử được chọn là các đoạn thẳng Trong loại bài toán hai chiều, các phần

tử được chọn là các hình phảng, có thể là tam giác, tứ giác, chữ nhật Trong loại bài toán

ba chiều, phần tử được chọn là các hình khối, như khối tứ diện, lập phương, hình hộp, lăng trụ Đặc biệt là trong một bài toán có thể dùng các loại phần tử có dạng khác nhau

Các phần tử ngăn cách với nhau bởi các điềm, các đường hay các mặt không gian tuỳ theo số chiều cùa bài toán, nhưng luôn tồn tại các nút tại các góc đỉnh của phần tử số nút được chọn để sử dụng hình thành mỗi phần tử tùy thuộc vào loại phần tử và loại hàm nội suy Nếu dùng nhiều phần tử tức nhiều nút để có độ chính xác cao thì khối lượng tính toán

sẽ tăng lên rất lớn

Bưó’c 2: Chọn hàm nội suy hay là hàm hình dạng

Mối quan hệ giữa biến số bên trong phần tử với giá trị biến số tại các nút được gọi là hàm nội suy hay hàm hình dạng Các biến số nói chung cỏ thể là đại lượng vô hướng, véc tơ hay một tenxơ bậc cao Trong bài toán nhiệt, biến số cần tìm là nhiệt độ Bàn chất và số lượng ẩn có trong mỗi phần tử quyết định đặc tính biến đồi của hàm nội suy

Đe có thề dễ dàng tính đạo hàm và tích phân trong mỗi phần tử, các hàm nội suy thư­

ờng hay được chọn là các đa thức đại số Bậc của da thức được chọn phụ thuộc vào số các điểm nút của phần tử, đặc điềm và số lượng các ẩn của một nút cũng như yêu cầu liên tục cần có trên biên của phần tử Như vậy sau bước này ta đã chọn được một mẫu các PTHH, tức là đã định rỗ loại phần tử, số nút và hàm nội suy.

Bước 3: Xây dựng phưong trình đặc trưng của phần tử

Bước này xác định phương trình đặc trưng biểu thị tính chất cá thể của các phần tử riêng lè, đó là các phương trình ma trận thề hiện quan hệ giữa các biến cần tìm với các đại lượng tác động là phụ tải Để làm việc này ta phải thực hiện xấp xỉ hàm cần tìm chỉ theo một số lượng hữu hạn các biến số bằng cách hình thành một phương trình ma trận của phần

tử, vế trái là tích số của ma trận hệ số với ẩn số phải tìm tại các nút, vế phải là véc tơ phụ tải đã biết

Thí dụ, khi khảo sát dẫn nhiệt ổn định qua vách phảng nhiều lớp, mỗi lớp là một phần

tử tuyến tính một chiều có 2 nút i, j Phương trình ma trận tại mỗi phần tử là:

Ở đây: chỉ số e biểu thị cho phần tử; [K]e là ma trận hệ số của nhiệt độ trong phần tử gọi

là ma trận độ cúng; ỊrỊ là véc tơ nhiệt độ hai nút trong phần tử; Ị/Ị là véc tơ phụ tải nhiệt tại

Bước 4: Lắp ghép các phương trình phần tử đề nhận được phương trình tương thích của hệ

Để tìm đặc tính của toàn cục của hệ thống, chúng ta bắt buộc phải kết hợp tất cả các phương trình ma trận của các phần tử riêng lẻ, thủ tục đó gọi là lắp ghép các phần tử Đó là việc tồ hợp các phương trình ma trận của mỗi một phần tử một cách thích hợp để tạo được

ma trận đặc trưng trạng thái của toàn bộ khu vực nghiệm của bài toán Nói cách khác là tập hợp các phương trình vi phân liên tục theo ẩn Te cần tìm ở tất cả các nút của tất cả các phần

tử IT } dạng ma trận (2.1) ở trên thành hệ (n phần tử) cũng dưới dạng:

Việc lắp ghép từ (2.1) thành (2.2) có một số phương pháp chúng ta sẽ xét sau Ở đây, ta chỉ nói rằng phương trình cho cả hệ cũng giống phương trình cho một phần tử chỉ khác là nó

có kích thước lớn hơn nhiều

Bước 5: Giải hệ phương trình (2.2)

Với các toán tử L, c đối xứng thì ma trận [K] thường đối xứng và phương trình (2.2) được giải bằng các phương pháp chuẩn như: lặp, khử, Gauss, ma trận nghịch đảo

Bước 6: Tính các đại lượng thứ cấp

Nói chung các bài toán thường yêu cầu tính các đại lượng thứ cấp khác từ nghiệm là giá trị tại các nút của trường biến số Trong bài toán nhiệt, từ nhiệt độ các nút đã tìm được,

có thể tính gradient nhiệt độ, dòng nhiệt không gian, hay biến dạng nhiệt

2.2.2 Hàm nôi suy nhiêt đô

Nhiệt độ tại các điểm bên trong phần tử được nội suy theo nhiệt độ hai nút như sau:

Từ các kết quả khảo sát trên cho thấy hàm nội suy có hai đặc điềm quan trọng sau:

- Hàm nội suy nhận giá trị 1 tại một nút xác định và nhận giá trị 0 tại nút khác

- Tổng của hai hàm nội suy trong phân tố bàng 1 ở mọi vị trí bên trong phần tử, kể

cả ở trên biên

2.2.3 Hàm nôi suy toa đô

Quan hệ giữa biến X bên trong phần tử với các toạ độ nút được gọi là hàm nội suy tọa

độ Hàm nội suy tọa độ được xác định như sau Từ /V trong số hạng đầu của (2.9) rút ra x:

2.2.4 Đạo hàm của hàm nội suy nhiệt độ

Lấy đạo hàm của [N] th eo X tro n g (2.10) với Xj = 0, Xj = / thì:

í E L - i r *

2.2.5 Gradient nhiêt đô• •

Tuy T.J là ẩn số chưa biết phải tìm, nhưng trong một phần tử thì T.J có giá trị

không đồi, nên nhiệt độ T trong phần tử chỉ phụ thuộc vào X vậy gradient nhiệt độ sẽ là:

hay

(2.14)

(2.15)

Vì T J là có giá trị không đổi nên gradient nhiệt độ là hằng số trong phần tử khi nhiệt

độ thay đồi tuyến tính Ký hiệu — = g thì (2.15) đươc viết gọn hơn:

dx

Với: - g là gradient của trường biến nhiệt độ;

- [B] là ma trận đạo hàm của hàm nội suy;

Giá trị hàm nội suy bên trong phần tử

Thay đồi nhiệt độ bên trong phần tử

Đạo hàm của hàm nội suy bên trong phần tử

Hình 2.1 Sự thay đổi của các hàm nội suy, nhiệt độ và các đạo hàm của

Có thể thấy thay đổi điền hình của nhiệt độ là tuyến tính, đạo hàm của các hàm nội suy

là hằng số bên trong mỗi phần từ Ma trận hàm nội suy [N] và ma trận đạo hàm hàm nội suy [B] là hai ma trận rất quan trọng được sử dụng để xác định các đặc tính của phần tử sau này

Thí dụ 2.1 • Một thanh dài 12 cm có nhiệt độ tại đầu thanh là 100°c và tại cuối thanh• • • • •

là 160°c Biết rằng nhiệt độ trong thanh thay đồi bậc nhất Tính nhiệt độ tại vị trí cách 8 cm

Trong mỗi phần tử có độ dài ỉ — x k — X

(2.17) viết nhiệt độ tại 3 nút:

(2.20)

2.3.2 Hàm nôi suy nhiêt đô

Nhiệt độ tại các điểm bên trong phần tử được nội suy theo nhiệt độ tại ba nút như sau:

Trong đó N., N và Nk là ba hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai Viết (2.21) ở

dạng ma trận:

= [ » " , " , ] M M (2.22)

Trong đó [/y] là ma trận hàm nội suy, là véc tơ nhiệt độ nút:

Từ (2.20) và (2.21) rút ra các hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai là:

B ả n g 2 2 G iá trị của hàm nội suy trong phần tử

Giá trị của hàm nội suy

Hình 2.2 Thay đổi nhiệt độ và hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai

Thí dụ 2.2 Xác định giá trị các hàm nội suy của phần tử một chiều bậc hai tại vị trí

1/3 ( l / 3 ỹ

- + 2 ^ — - = - l / 3 + 2 / 9 = -0,1111

Cũng thấy ngay ràng Nj + Nj + Nk = 0,2222 + 0,8889 - 0,1111 = 1

2.3.3 Đạo hàm của hàm nội suy

2.3.4 Hàm nôi suy toa đô

Từ hai phương trình đầu của (2.23) rút ra:

2.3.5 Gradient nhiêt đô• •

Đạo hàm bậc nhất của nhiệt độ được viết như sau:

dx

dN.i dx

dN _

T + — T, +

dx '

(IN k dx

thay (2.26) vào (2.28) sẽ có:

(2.28)

Các hàm số nội suy của phần tử dạng c° có thể được xác định một cách tổng quát bằng công thức đa thức nội suy Lagrange:

Đa thức nội suy Lagrange cấp (n -1 ) đối với phần tử một chiều là tích của các tý số:

Chú ý rằng trong phương trình trên k * i

Đối với phần tử một chiều có n nút, các hàm nội suy có thể được viết theo phương trình (2.32) như sau:

Trường hợp phần tử một chiều bậc nhất có hai nút n = 2:

NÉ,N'

- Đối với phần tử m ộ t chiều bậc hai, n =3, các hàm nội suy v iế t theo công thức nội suy

Khi nhiệt độ thay đổi theo hai chiều toạ độ, để xác định nhiệt độ của bài toán thì cần phải sử dụng các phần tử hai chiều Dạng hình học đơn giản nhất của các phần tử hai chiều phần từ là tam giác Các kích thước của các phần tử tam giác có thể chọn không đều nhau, nên rất thuận tiện cho việc chia miền nhò, và tam giác cũng là một trong những phần tử hai chiều phồ biến được dùng trong phép tính phần tử hữu hạn

2.4.1 Phân bố nhiệt độ

Phần tử hai chiều tam giác bậc nhất là phần tử tam giác có nhiệt độ bên trong phần tử phụ thuộc bậc nhất vào hai chiều tọa độ X và y , được biểu thị bởi:

T(x,y) = (Xi + a 2x + a 3y (2.36)Như vậy, nhiệt độ có chứa 3 hệ số (Xi, a2 và a 3 Đề xác định các hệ số này cần viết nhiệt đô tại 3 nút (Hình 2.3.)

Hình 2.3 Phần tử tam giác bậc nhất trong toạ độ x,y

Như vậy, chúng ta có thể thấy các hàm nội suy có giá trị bằng 1 ờ một nút nhất định và bàng 0 tại tất cả các nút còn lại Cũng có thể chứng minh được rằng, tại mọi vị trí bên trong phần tử kể cả trên biên giới luôn có:

2.4.3 Quan hệ giữa biến x,y vói các toạ độ nút

Cũng giống như trong phần tử một chiều bậc nhất, tọa độ của điểm X, y bất kỳ trong phần tử tam giác luôn được nội suy từ các toạ độ nút theo hàm nội suy tọa độ chính là hàm nội suy nhiệt độ:

X = N.x + N X + N x ;

y = N,yl + N JyJ +Nt yt

Chúng ta có thể xác nhận điều này qua thí dụ sau

Nhân lần lượt các hàm nội suy trong (2.45) với Xj, Xj, xksẽ có:

Ký hiệu và tính từng số hạng trong dấu móc đơn cùa biểu thức trên như sau:

a = ( a lxl +aJx J +al xk) = ( x p k- x ky ) x l +{xi y - x iy ỵ) x + ( x iy i - ỉ íiy i) x l = 0

b = (bix + b x + b kxt ) = ( y r yk) x +(yk - y t )x +( y, - y , ) ^ =2A (3)