Đề cương bài giảng phương pháp phần tử hữu hạn trong mô phỏng và tính toán ô tô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN BÀI GIẢNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG MÔ PHỎNG VÀ TÍNH TOÁN Ô TÔ DÙNG CHO CHƯƠNG TRÌNH CAO HỌC Giáo viên: TS Nguyễn Thanh Quang Hưng Yên 2013 MỤC LỤC Trang Đề cương giảng Phần KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu 1.2 Hàm chuyển vị, Hàm dạng 1.2.1 Hàm chuyển vị 1.2.2 Hàm dạng 1.2.3 Lực nút 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 10 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử 10 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn 11 1.3.3 Ma trận độ cứng tổng thể 12 Phần CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN PHẦN TỬ HỮU HẠN 2.1 Phương pháp sai phân PTHH 14 2.2 Phương pháp lượng PP Niu tơn-Lagrăng 16 2.2.1 Cách 1: Xây dựng phiến hàm 16 2.2.2 Cách 2: Giải theo hệ PTVP cho trước 17 2.3 Phương pháp giải phần mềm 2.3.1 Giới thiệu PTHH MatLab 43 2.3.2 Giới thiệu PTHH Ansys 44 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG MỞ ĐẦU Chương Bổ túc học vật rắn phương pháp tính học (TL1) 1.1 Cơ học vật rắn biến dạng 1.2 Các phương pháp giải toán vật rắn biến dạng, toán đàn hồi 1.3 Các nguyên lý lượng (các nguyên lý biến phân) Chương Cơ sở bước phân tích chung phương pháp phần tử hữu hạn (TL2) 2.1 Khái niệm phương pháp phần tử hữu hạn 2.2 Trình tự phân tích toán theo phương pháp phần tử hữu hạn 2.3 Hàm xấp xỉ  đa thức xấp xỉ  phép nội suy 2.4 Các phương trình Chương Tính toán hệ (TL3) 3.1 Hệ dàn 3.2 Khung phẳng 3.3 Khung không gian Chương Bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi (TL4) 4.1 Các phương trình toán phẳng lý thuyết đàn hồi 4.2 Bài toán phẳng với phần tử dạng tam giác 4.3 Phần tử chữ nhật Chương Phần tử bậc cao phần tử đẳng tham số (TL5) 5.1 Hệ tọa độ tự nhiên loại phần tử 5.2 Phần tử chiều bậc cao 5.3 Phần tử tam giác bậc cao hệ tọa độ tự nhiên 5.4 Phần tử chiều – Khối tứ diện 5.5 Phần tử chiều dạng tứ giác 5.6 Phần tử đẳng tham số Chương Tấm chịu uốn (TL6) 6.1 Các phương trình chịu uốn 6.2 Phần tử không tương thích dạng tam giác 6.3 Phần tử đẳng tham số dạng tứ giác bốn nút Chương Phần tử chiều (TL7) 7.1 Phần tử tứ diện 7.2 Phần tử lục diện Chương Bài toán động lực học kết cấu (TL8) 8.1 Phương trình động lực học kết cấu 8.2 Ma trận khối lượng tương thích ma trận khối lượng tập trung 8.3 Ma trận khối lượng tương thích hệ tọa độ tổng thể 8.4 Dao động tự – Bài toán trị riêng xác định tần số dao động tự kết cấu Chương Một số ví dụ ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn phần mềm Matlab-Simulink 9.1 Khảo sát độ bền trục khuỷu động 9.2 Khảo sát độ bền khung vỏ ô tô 9.3 Khảo sát lực cản khí động lực học ô tô TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Ích Thịnh, Trần Đức Trung, Nguyễn Việt Hùng (2000), Phương pháp phần tử hữu hạn kỹ thuật, Đại học Bách khoa Hà Nội Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình Đại học Thái Nguyên Ngô Như Khoa (2011), Phương pháp phần tử hữu hạn, Trường Đại học Thái Nguyên Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nxb Khoa học Kỹ thuật Trần Vĩnh Hưng (2012), Ứng dụng phần tử hữu hạn Bài giảng cao học, trường ĐH Sơ phạm Kỹ thuật Hưng Yên, Phần KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mô hình rời rạc hóa kết cấu Để tìm ẩn số: chuyển vị, biến dạng, ứng suất điểm kết cấu, chi tiết máy, người ta thường áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) tiếng Anh: Finite Element Method (FEM) - Ý tưởng phương pháp phần tử hữu hạn toán kết cấu: Coi vật thể liên tục tổ hợp nhiều phần nhỏ liên kết với số hữu hạn điểm gọi nút - Các phần nhỏ hình thành gọi phần tử hữu hạn (phần tử) - Hình dạng, kích thước phần tử khác nhau, tạo thành mạng lưới khác - Một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu liên tục thành mạng lưới PTHH (hình 1) Hình Một số sơ đồ rời rạc hóa kết cấu - Quan niệm rời rạc hóa gần Năng lượng bên mô hình thay lượng kết cấu thực - Các loại phân tử: Căn vào hình dạng tình hình chịu lực + Thanh: Lấy đoạn dầm làm phần tử hữu hạn + Tấm phẳng: Phần tử tam giác, phần tử chữ nhật, tứ giác + Vỏ: Phần tử phẳng, vỏ + Khối: Phần tử hình tứ diện, hình lập phương, hình lục diện + Vật thể đối xứng trục: Phần tử hình vành khăn - Một số loại phần tử hữu hạn thường dùng: Hình Một số loại phần tử thường dùng - Khi phân tích kết cấu sử dụng mô hình tính sau: Mô hình chuyển vị - Chọn chuyển vị nút giá trị cần tìm Các giá trị xác định từ hệ phương trình cân thành lập sở nguyên lý toàn phần dừng - Nguyên lý phát biểu sau: Trong tất trường chuyển vị thỏa mãn điều kiện tương thích điều kiện biên động học, trường chuyển vị tương ứng với cân vật thể làm cho toàn phần  đạt giá trị dừng (đạt giá trị cực tiểu)  = v + V = (1.1) Trong đó: : v + V: Thế toàn phần, hàm chuyển vị v: Thế biến dạng đàn hồi vật thể V: Công ngoại lực sinh dịch chuyển ngoại lực vật thể biến dạng Hình Thế biến dạng đàn hồi Thế biến dạng bù vật thể đàn hồi - Nếu hệ trạng thái ổn định, thể toàn phần có giá trị cực tiểu - Như sau giả thiết dạng hàm chuyển vị phần tử, từ điều kiện dừng phiếm hàm  ta nhận hệ phương trình cân điều kiện liên tục thỏa mãn Mô hình cân - Chọn ứng suất hay nội lực nút làm ẩn số Các ẩn số xác định từ phương trình tương thích thành lập sở nguyên lý cực tiểu bù toàn phần * đạt giá trị dừng * = v* + V* = (1.2) Trong đó: * = v + V* v*: Thế bù biến dạng V*: Công bù ngoại lực Mô hình hỗn hợp - Coi ẩn (ứng suất, chuyển vị) độc lâpj với toàn phần tử Các ẩn xác định từ hệ phương trình thiết lập theo nguyên lý biến phân REISSNER Thông thường người ta hay sử dụng mô hình chuyển vị Vì thuận lợi cho việc tính toán máy tính 1.2 Hàm chuyển vị, Hàm dạng 1.2.1 Hàm chuyển vị Hàm chuyển vị thiết lập dạng đa thức - Bậc đa thức số lượng số hạng đa thức phụ thuộc vào bậc tự phần tử, tức số chuyển nút phần tử Hàm có dạng Bài toàn chiều: f ( x )     x : tuyến tính f ( x)     x   x : bậc hai Bài toán hai chiều f ( x , y )  1   x   y : tuyến tính f ( x, y )     x   y   x   xy   y : bậc hai 1.2.2 Hàm dạng Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút, áp dụng toán phằng lý thuyết đàn hồi - Xét tam giác: Phần tử có nút đỉnh tam giác khớp nối phần tử khác Hình Phần tử tam giác - Mỗi nút có bậc tự chuyển vị theo hai phương x, y Phần tử có bậc tự do, có chuyển vị nút ui, vi, uj, vj, um, vm: gọi chuyển vị nút Hợp thành véc tơ chuyển vị nút phần tử u i  v   i  u      j  (1.3) v j    u m  vm  - Hàm chuyển vị hàm tọa độ, cho phép xác định chuyển vị mộ điểm phần tử - Hàm chuyển vị phần tử tam giác có dạng u ( x , y )  1     y (1.4)  v( x , y )     x   y Hay  ui     vi   u( x, y )  1xy 000   u j   (1.5)  f     0001xy   v  v  j ( x , y )       um  v   m Viết gọn lại {f} = [Q] {} (1.6) Trong đó: {f}: véc tơ chuyển vị [Q]: ma trận đơn thức {}: véc tơ hệ số Chuyển vị nút, theo (1.6) ta có: {} = [C] {} (1.7) Trong [C] giá trị [Q] nút, tức ma trận tọa độ nút Xác định{} theo [C] từ (1.7) {} = [C]-1.{} (1.8) Thay (1.8) vào (1.6) ta có {f} = [Q].[C]-1{} (1.9) Hay {f} =[N].{} (1.10) Trong [N] = [Q].[C]-1 (1.11) [N] gọi ma trận hàm dạng Hay gọi ma trận hàm nội suy Ta suy chuyển vị điểm 1.2.3 Lực nút - Khi vật thể chịu lực, phần tử sinh nội lực, PPPTHH giả thiết nội lực nằm điểm nút gọi lực nút Đó lực tương tác phần tử liên kết với nút chuyển vị nút sinh Tại nút có ngoại lực (tải trọng) - Trong phần tử lực nút hợp thành véc tơ lực nút{F} có số thành phần số thành phần véc tơ chuyển vị nút, xếp tương ứng với véc tơ chuyển vị nút Hình Véc tơ chuyển vị nút phần tử {F} =[vi Vi vj Vj vm Vm]T Đối với chịu uốn Véc tơ chuyển vị nút {} = [vi i vj j] Véc tơ lực nút {F}e = [Vi Mi Vj Mj]T + Xác định biến dạng đàn hồi U: Từ (57) ta có: Ux  ES 2 2 B  dx  ES U B l  ES U B   l2 2l 0 l  l U (2.59) + Xác định công ngoại lực A: (2.60) A  F U B  Thế biến dạng đàn hồi (theo công thức (45)):  Ta thấy => U S U B2 2l  (2.61)  F U B  0 U B ESU B F 0 l => U B  F l F  l ES ES Hay : Ux  F x ES (2.62) So sánh kết với PP giải tích (2.57) hai kết giống Tuy nhiên toán đơn giản, chịu kéo nén chai thành phần tử Khi chia thành nhiều phần tử giải giải tích phức tạp, để thay giải tích thường ta phải tiến hành thí nghiệm, tính toán PP PTHH có nhiều ưu điểm Trình tự giải PP PTHH 1) Chọn bậc tự nút (lưu ý chọn bậc tự nút phải phù hợp) Tùy theo yêu cầu toán cần tính thông số nào, thông thường chuyển vị nút góc xoay (đạo hàm chuyển vị theo phương x, y) Bước gọi rời rạc hóa kết cấu 2) Xấp xỉ biến chuyển vị hàm biết trước (lưu ý số tham số tự (số bậc tự do) dạng hàm phải phù hợp với bậc tự nút) Ví dụ 31 A B vB, αB vA, αA Hình 2.6 Xấp xỉ hàm v = F(vA, αA, vB, αB) Với thông số ta cần phương trình để giải Giả sử ta chọn hàm xấp xỉ dạng: v  a1  a x  a3 x  a x  a5 x (2.63) Ta có:  v  a  2a3 x  3a x  4a5 x x (2.64)  v A  a1  a x A  a3 x 2A  a x 3A  a5 x 4A  a x3  a x v B  a1  a x B  a3 x B B B (65)  A  a  2a3 x A  3a x 2A  4a5 x 3A  4a x  B  a  2a3 x B  3a x B B Là hệ phương trình ẩn số a1, a2, a3, a4, a5 không giải Như việc chọn hàm xấp xỉ (2.63) không hợp lý, ta cần bỏ thành phần a5 x 3) Xác định ma trận hàm dạng (D ví dụ trên) 4) Xác định ma trận độ cứng Ke phần tử 5) Xác định véc tơ lực nút (tính công ngoại lực A) 6) Tổng hợp ma trận độ cứng tổng hợp véc tơ lực nút cho toàn kết cấu 7) Giải ma trận tổng hợp dạng: K  d   F phương trình đại số, nên giải dễ dàng * Tính biến dạng đàn hồi dầm chịu uốn (chỉ với dầm chịu uốn) Xem ví dụ hình 1.13 trang 27 (PP PTHH Chu Quốc Thắng) + Lấy kết có (giải đại số): 32 l M x2 dx  EJ U  Với: M   EJ d 2v dx   EJ y ' ' Vậy: l  d 2v   dx U  EJ    dx    (2.66) l (2.67) A   qvdx  Thế biến dạng toàn phần: EJ  U A  l  d 2v  l  dx   qvdx     dx  (2.68) + Giải PP PTHH Chia dầm thành phần tử, hình 2.7 (y2, (y3, (y1, l Hình 2.7 Dầm chịu uốn có hai phần tử với nút Các bước giải sau: 1) Rời rạc hóa kết cấu a) Chọn bậc tự nút Ta chọn hai bậc tự cho nút độ võng y góc xoay α y1 x y y2 ;   x y y3 ;   x y1 ; 1  Với: (2.69) b) Thế biến dạng đàn hồi 33 l /  d v  U  EJ   dx    dx  (2.70) l  d 2v   dx U  EJ   l /  dx    (2.71) 2) Xấp xỉ biến chuyển vị hàm biết trước Ta thấy phần tử có bậc tự do, ta chọn hàm xấp xỉ bậc y ( x )  a1  a x  a3 x  a x (2.72) Biểu diễn y(x) theo bậc tự Trên phần tử 1: Chuyển vị nút 1:  y1  x x2  a1    a  x3      a3     a   (2.73) Chuyển vị nút 2:  a1    a  y   0 0      a3    a  (2.74) Đạo hàm (2.72) ta được:  y  a  2a3 x  3a x x (2.75)  a1    a2  y  x 3x     x  a3     a  (2.76)   Thay tọa độ x1 =0 vào ta được: 34  a1    a  y1   0     x  a3    a  (2.77) Thay tọa độ x2 = l/2 vào ta được:  l y  1  l   2  a1     a  l         a3       a  (2.78)  a1     a  l 3         a3      a  y   0 l x   (2.79) Tổng hợp lại ta được:  y1      y1  0  x      1 y    y      x   0 0 l l    2 l     l     2  l  3   2  ao     a1      a     a3  (2.80) Ký hiệu ma trận tọa độ: 1  0  X  1    0  0 l l   2 l     l      2  l  3   2  (2.81) 35 a o     a1     X 1   a     a3     y x  y1     y1   x     y2   y     x  x2 (2.82)  y1     y1   x  x X 11    y2   y     x   (2.83)   y1     y1   x  y '  0 x 3x X 11    y2   y     x  (2.84)   y1     y1   x  y ' '   0 x  X 11    y2   y     x  (2.85)   Nghịch đảo y” ta có y '' T   y1 y1 x  '' T    y    y1      y2 y1 x 0     T y  1   X   x  2   6 x    y2  y1  0      y1    y  1 T   0 x X 11  x  X   x   y2  2  y      6 x   x    Trong đó: 36 (2.86) (2.87) + Ma trận tọa độ phần tử X11 T (tương đương với BT  Chu Quốc Thắng) Tại phần tử thứ k: 1 x k 1   0 Bk  X k   1 x k  0  x k2 1 x k3 1    2 x k 1 x k 1   x k2 x k3   xk x k2  1 (2.88) Ma trận tọa độ phần tử khác khác + Ma trận bậc tự nút phần tử (trang 43)  y1     y1  qe    x   y2   y     x  (2.89) Và phần tử thứ k:  y k 1   y   k 1  qe k   x   yk   y k     x  (2.90) 3) Xác định ma trận hàm dạng 0   0 D    0 x    2   6 x  (2.91) Ma trận hàm dạng phần tử giống 4) Xác định ma trận độ cứng Ke phần tử Dạng tổng quát ma trận độ cứng phần tử: K e   B T D B dV (2.92) (V ) 37 Ta có ma trận độ cứng phần tử: T K 1e  l / X11  D X11  dx (2.93) T l K e2   X11  D X11  dx l/2 Khi ma trận độ cứng phần tử thứ k Kek  T  BK D BK dx (2.94) (V ) BT K , BK số, cần tính ma trận hàm dạng D 5) Tính véc tơ lực nút (công ngoại lực A) Xác định lực thuộc phần tử nào? Vì dạng phần tử giống nhau, hàm xấp xỉ phần tử giống có dạng (2.72) Viết dạng ma trận, hàm xấp xỉ có dạng (93)  y1 x x2  x B q e  (2.95) Giả sử điểm đặt lực tọa độ l/4 thuộc phần tử thứ nhất, ta có:  l  l 2 y  1      l    4 3   B1  q1e  (2.96) (chỉ số biểu thị thuộc phần tử thứ nhất) Khi công lực F là:  l  l 2 A  F 1      l    4 3   B1  q1e  (2.97) Ta có véc tơ lực nút phần tử:      l    T T N e  q e  B1  F  l         3  l       (2.98) Thay (2.98) vào (2.97) ta công ngoại lực: 38  y1     y1   x   A1e     y1  y2    y     x  y1 x y2      l    y  T B1  F  l     x      3  l      (2.99) 6) Tổng hợp ma trận độ cứng tổng hợp véc tơ lực nút cho toàn kết cấu (dạng: K  d   F phương trình đại số) Khi chia phần tử ta thấy hai phần tử có chung nút, ta không để xuất hai bậc tự nên ta tạo bậc tự xuất lần (unique) Từ phương trình (2.89) (2.90) ta thấy bậc tự xuất hai lần nút nối hai phần tử: Trên phần tử thứ nhất:  y1     y1   x  q1e     y2   y     x   (2.100) Trên phần tử thứ hai:  y2     y   x  q e2     y3   y     x    Xuất y (2.101) y x hai lần kết cấu => cần tổng hợp lại để có véc tơ qe unique Cách làm: Tìm ma trận H nhân với qe  để qe unique qe unique  H qe  (2.102) + Dạng ma trận H 39 H 1  0   0  0   0  0   0  0 0 0 0  0 0   0 0  0 0  0 0  0 0  0 0  0 0 1 (2.103) + Mã hóa ma trận nhân Sau tổng hợp hai véc tơ q1e  qe2  bình thường ta qe  có dạng:  y1     y1   x     y2   y    x  q e    y2     y   x     y3   y   3  x    (2.104) Máy tính không nhận trực tiếp ký hiệu toán học => mã hóa ký hiệu thành: 40 qe  1  1   2  2   2  2   3  3 1  2   1  2  1  2  1  2 (2.105) Cột thứ thứ tự vị trí nút, cột thứ hai thứ tự bậc tự nút + Nhân (2.103) với (2.105) ma trận tổng hợp qe unique qe unique  H q e  1  0   0  0  0  0   0  0 0 0 0  0 0   0 0  0 0  0 0  0 0  0 0  0 0 1 1  1   2  2  2  2   3  3 1  2   1  2  1  2  1  2 (2.106) Tương tự ta có: Ma trận độ cứng tổng hợp: K e unique  H T * K e * H (2.107) Ma trận véc tơ lực nút tổng hợp: N e unique  H T * N e 7) Giải : ma trận tổng hợp dạng: (2.108) K  d   F dễ dàng 41 phương trình đại số, nên giải  K e unique  q e unique N eunique   ĐKB (2.109) ĐKB cho điều kiện biên ban đầu, loại bở thông số biết, lại ta giải dễ dàng ********** 42 2.4 Phương pháp giải phần mềm Ví dụ: Khảo sát ứng suất chuyển vị sàn ô tô khách 2.4.1 Giới thiệu PTHH MatLab 43 2.4.2 Giới thiệu PTHH MatLab 44 ********** 45 ... Ý tưởng phương pháp phần tử hữu hạn toán kết cấu: Coi vật thể liên tục tổ hợp nhiều phần nhỏ liên kết với số hữu hạn điểm gọi nút - Các phần nhỏ hình thành gọi phần tử hữu hạn (phần tử) - Hình... pháp phần tử hữu hạn, Nxb Khoa học Kỹ thuật Trần Vĩnh Hưng (2012), Ứng dụng phần tử hữu hạn Bài giảng cao học, trường ĐH Sơ phạm Kỹ thuật Hưng Yên, Phần KHÁI NIỆM CHUNG VỀ PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU... Ngô Như Khoa (2007), Phương pháp phần tử hữu hạn, Giáo trình Đại học Thái Nguyên Ngô Như Khoa (2011), Phương pháp phần tử hữu hạn, Trường Đại học Thái Nguyên Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp