Bài giảng phương pháp phần tử hữu hạn dành cho học viên cao học

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điệntừ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.

LỜI NÓI ĐẦU

Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích ta

còn có các phương pháp số Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các phương

trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó Vì vậy thời kỳ đầu của các phương

pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn Cùng với sự phát

triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển rất mạnh mẽ và

là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các bài toán cơ học Nó

cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các dạng bài toán cơ học khác

nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm , vỏ ,

Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan đến

tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật công

trình thuộc trường ĐHLN

Tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên

mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp phần tử

hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và cả các độc

giả lần đầu biết về phương pháp PTHH) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn

Tài liệu mới chỉ đề cập đến một số nội dung và khái niệm cơ bản để dẫn đến và sử

dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn dùng để tính toán các bài toán cơ học Nội dung

của bàu giảng gồm có 4 chương :

Chương 1 : Bổ túc về đại số tuyến tính và các phương pháp tính trong cơ học

Chương 2 : Cơ sở và các bước phân tích của phương pháp phần tử hữu hạn - Các

phương trình cơ bản

Chương 3 : Phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán hệ dàn thanh; hệ khung

phẳng và hệ khung không gian

Chương 4 : Phương pháp phần tử hữu hạn trong động lực học kết cấu, tính toán trị

riêng xác định tần số dao động tự do của kết cấu

Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục này

được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường lập

trình khác

Với mục đích giảng dạy cho sinh viên, nên đòi hỏi người đọc phải có sự hiểu biết cơ

bản về lập trình Vì vậy trong quá trình thực hiện bài giảng này, các tính toán đều được thực

hiện trong môi trường EXCEL cũng khá thuận lợi ( tất nhiên tính toán với lượng các phần

tử không quá nhiều)

Mong rằng với ý muốn như thế, sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập môn

học này của các em sinh viên, và rất mong được các đóng góp của độc giả về các vấn đề

trình bài trong tài liệu

Tác giả

Chương I

BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH &

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC I.1 BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

I.1.1 Ma trận và các khái niệm

I.1.1.1 Định nghĩa ma trận:

 Ma trận là một bảng hình chữ nhật, trên đó sắp xếp các phần tử ( là các số ) theo các

hàng và các cột Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái : A , B , …, X, Y, … ;

còn các phần tử thường được ký hiệu bằng các chữ thường : a , b , …, x , y , …

 Giả sử ma trận có m hàng và n cột, khi đó để chỉ phần tử hàng i (từ trên xuống), cột j (từ

trái qua phải) ta ký hiệu : aij ( chỉ số hàng trước, chỉ số cột sau) Các phần tử của ma trận

được nằm trong dấu [ ] , hoặc ( ) , hoặc || || , nó có dạng :

Cho ma trận A vuông cấp n Khi đó các phần tử a11, a22,…, ann nằm trên một đường

thẳng gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a11, a22,…, ann gọi là các phần tử chéo.

( chú ý : khái niệm về đường chéo chính chỉ có trong ma trận vuông)

2) Ma trận tam giác Cho ma trận A vuông cấp n

+) Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo chính đều

a

Như vậy ma trận chéo vừa là ma trận tam giác trên, vừa là ma trận tam giác dưới

4) Ma trận đơn vị Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường

chéo chính đều bằng 1 Ký hiệu là In (hoặc En) là ma trận đơn vị cấp n

Ma trận A vuông cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu aij a ji,i j, 1,n ( các

cặp phần tử đối xứng với nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau)

Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu [0] hoặc 

Ví dụ Các ma trận sau đều là ma trận không:

Cho A là ma trận cỡ m  n Ma trận chuyển vị của A là ma trận được ký hiệu AT, có

cỡ nm Ma trận AT có được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột ( hoặc chuyển cột

m m 1

bb

I.1.2 Các phép toán trên ma trận

m 1 m

n 22

21

n 12

11

a

aa

a

aa

a

aa

m 1 m

n 22

21

n 12

11

b

bb

b

bb

b

bbB

Ví dụ 2

2 3

2 0 3A

Ma trận đối: Nếu A + B = [0] thì B gọi là ma trận đối của A và ngược lại

Ký hiệu ma trận đối của A là –A

Hệ quả : Nếu tất cả các phần tử của ma trận có chung một thừa số thì có thể đưa thừa số ra

- Phép nhân AB và BA thực hiện được khi và chỉ khi nếu A là ma trận cỡ m × n thì B

là ma trận cỡ n × m nhưng kết quả khác nhau

I.1.2.4.3 Nhân hai ma trận trên EXCEL

Để nhân hai ma trận A.B trên EXCEL ta thực hiện :

+ Nhập các số của ma trân A và B ( chú ý : số cột của A = số hàng của B)

+ Khai báo vùng ma trận kết xuất A.B : Bấm trái chuột và quét vùng ma trận có số

hàng = số hàng A, số cột = số cột của B)

+ Từ fx ( Insert function) => MMULT ( nhân) => Function Arguments : ARRAY1 :

địa chỉ của A ; ARRAY2 : nhập địa chỉ của B => bấm đồng thời 3 phím :

Ctrl + Shift + Enter ( không bấm OK )

Kí hiệu Mij là ma trận con cấp (n – 1) có được từ ma trận A khi bỏ đi hàng i, cột j

Khi đó Mij được gọi là ma trận con của A ứng với phần tử a ij

Giả sử A là ma trận vuông cấp n Khi đó, định thức cấp n của ma trận A, kí hiệu là:

det(A) hay A , là một số được định nghĩa một cách qui nạp sau:

hoặc  1 j    2 j    3 j  

Trong đó Mij là ma trận vuông cấp 2 có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i, cột thứ j

Công thức (3) gọi là công thức khai triển định thức theo hàng thứ i với i = 1, 2, 3

Công thức (4) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, 3

3 4+ 0 = 13 - 5 = 8

d) Định thức cấp n

Giả sử ta đã định nghĩa được định thức cấp (n - 1) Khi đó, định thức cấp n của ma trận

A =  aij n x nđược xác định như sau:

det(A)  1 i 1 a det Mi1  i1 +  1 i 2 a det Mi 2  i 2    1 i n a det Mi n  in (5)

hoặc

Trong đó Mij là ma trận vuông con cấp (n - 1) có được từ A bằng cách bỏ đi hàng thứ i

cột thứ j

Công thức (6) gọi là công thức khai triển định thức theo cột thứ j với j = 1, 2, ….,n

Ta nên khai triển định thức theo cột 3 vì có 2 phần tử bằng 0

Khai triển theo cột 3:

Hướng dẫn :: a) Khai triển theo hàng 2 hoặc cột 3

b) Khai triển theo cột 3 hoặc hàng 3

I.1.4.2 Cách tính định thức EXCEL

Để tính đính thức của ma trận A vuông trong EXCEL ta thực hiện :

+ Bấm chuột vào cell muốn có kết quả được kết xuất ra tại đó

+ Từ fx ( Insert function ) => MDETERM ( định thức) => function Arguments =>

ARRAY : ( nhập địa chỉ của A) => bấm OK

I.1.5 Ma trận nghịch đảo

I.1.5.1 Định nghĩa:

Cho A là ma trận vuông cấp n Nghịch đảo của ma trận A (nếu tồn tại) là một ma trận

vuông cấp n, được ký hiệu là A-1, sao cho AA-1 = A-1A = In (trong đó In là ma trận đơn vị

cấp n), khi đó nói rằng ma trận A là khả đảo

 Nghịch đảo của một ma trận vuông nếu có là duy nhất

 Nếu A và B đều có nghịch đảo thì:

*) (AB)- 1 = B-1A-1

*) (kA)-1 = 1 1

A k



I.1.5.3 Điều kiện tồn tại ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông

Định lý :

Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông khả đảo là định thức của nó khác không

Chú ý : Nếu ma trận A có det(A)  0 thì ta còn gọi A là ma trận không suy biến, ngược

lại ta gọi A là ma trận suy biến

I.1.5.4 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo trong EXCEL

Để tìm ma trận nghịch đảo trong EXCEL ta thực hiện :

+ Khai báo vùng kết xuất ma trận A-1 : Bấm trái chuột và quét một vùng ma trận

+ Từ fx (Insert function) => MINVERSE ( nghịch đảo) => Function Arguments

=> ARRAY : ( nhập địa chỉ của ma trân A) => bấm đồng thời 3 phím :

Ctrl + Shift + Enter ( không bấm OK)

I.1.6 Hệ phương trình đại số tuyến tính

m

bbBb

được gọi là ma trận bổ sung của hệ (I)

Bằng phép nhân ma trận, hệ phương trình (I) được viết ở dạng ma trận như sau:

AX = B (II)

Dạng (II) gọi là dạng ma trận của hệ (I)

- Nếu B =  (tức là: bi 0,   i 1,m ) thì hệ (II) gọi là hệ thuần nhất Nếu có ít

nhất một bi ≠ 0 thì hệ (II) gọi là hệ không thuần nhất

- Nếu A là ma trận vuông (tức số phương trình bằng số ẩn) thì hệ (I) và (II) gọi là hệ

vuông

- Nghiệm của hệ (I) là một bộ gồm n số thực (x1, x2, …,xn) sao cho thoả mãn tất cả các

phương trình của hệ

Nhận xét:

 Hệ thuần nhất AX =  luôn có nghiệm không: (x1, x2, …,xn) = (0, 0, …, 0)

Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường Các nghiệm khác nghiệm tầm thường gọi là

nghiệm không tầm thường

 Hệ vuông: Hệ AX = B gọi là hệ vuông nếu A là ma trận vuông

I.1.6.2 Hệ Cramer

I.1.6.2.1 Định nghĩa:

Hệ phương trình đại số tuyến tính AX = B là một hệ vuông, thỏa mãn điều kiện

det(A)  0 thì được gọi là hệ Cramer

I.1.6.2.2 Tính chất:

Hệ Cramer AX = B luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức X = A-1 B

I.1.6.2.3 Phương pháp giải hệ Cramer bằng ma trận nghịch đảo

- Xét hệ Cramer AX = B Vì detA  0 nên A có ma trận nghịch đảo A-1

3 5 2

3 2 1

1 2 3

x x x

x x x

II.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

II.1.1 Ten xơ ứng suất

Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ xuất

hiện ứng suất Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không những

phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được xác định

bởi pháp tuyến có hướng n

Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất Tn

và véc tơ n

tại điểm P

sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó Trạng thái ứng suất tại điểm hoàn toàn được xác

định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó có 6 thành phần độc

II.1.2 Phương trình cân bằng

Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái

biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta

V S

i

x

T dS

ij i

i

K x

lµ hay K

xy x



II.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si)

Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện

thay đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ X d

Trong đó Xn - biến Lagrăng, xk – biến Ơ le , Um và un là các thành phần chuyển vị theo

biến Lagrăng và Ơle

Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến

trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của ten-xơ

23 22 21

13 12 11

x y z xy yz xz

x

yε

II.1.4 Phương trình liên tục

Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3

thành phần chuyển vị cho trước Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ quan

hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần biến dạng

sẽ có 6 phương trình tương thích biến dạng ( còn gọi là các phương trình tương thích biến

dạng Xanhvơnăng), các phương trình này đảm bảo cho sự biến dạng liên tục trong môi

 Trong bài toán 1 chiều : các phương trình trên đều thỏa mãn

II.1.5 Điều kiện biên

Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị hoặc ứng suất

 Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi là điều kiện biên động học) thường được

cho trước chuyển vị của một điểm hoặc một phần mặt biên nào đó

 Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi là điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi sự cân

Đây là bài toán hai chiều và các điều kiện biên được đưa về các hệ thức sau :

- Tại x = 0 : u(0,y) = v(0,y) = 0 ; v(0, y) 0

II.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất và biến dạng

Trong giáo trình này chỉ xét giai đoạn làm việc của vật liệu ở giai đoạn đàn hồi, biến

dạng là nhỏ và đàn hồi là tuyến tính Như vậy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ở đây

được áp dụng bởi định luật Hooke

Xét với vật liệu đẳng hướng :

II.1.6.1 Bài toán 3 chiều : định luật Hooke có dạng :

Chú ý rằng các thành phần của ten-xơ biến dạng được tính theo chuyển vị qua (I.7)

Nếu viết dưới dạng ma trận và có kể đến biến dạng ban đầu thì (I.10) có dạng:

 ε   C σ  ε0 (I.11) trong đó:

 ε ε , ε , ε , γ , γ , γx y z xy yz zxT - là véc tơ biến dạng

 σ σ ,σ ,σ , τ , τ , τx y z xy yz zxT - là véc tơ ứng suất

 ε0 ε0x ,ε0 y ,ε0z , γ0xy, γ0yz, γ0zxT - là véc tơ biến dạng ban đầu

( Chữ T – ký hiệu chuyển vị ma trận) [C] – ma trận các hệ số đàn hồi ,

với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt , ν - hệ số Poát-xông của vật liệu

0

ε αT 1 , 1 , 1, 0, 0, 0 , trong đó

α - hệ số dãn nở vì nhiệt, T0 – độ biến thiên của nhiệt độ

Biểu diễn ứng suất qua các thành phần biến dạng ta sẽ có :  σ  D   ε  ε0 

hay là :

     

0

111

II.1.6.2 Bài toán 2 chiều :

 Bài toán ứng suất phẳng : ví dụ như xét các bài toán về tấm, vỏ với tải trọng

nằm trong mặt phẳng giữa tấm, phân bố đều theo bề dầy của tấm khi đó chọn trục z vuông

góc với mặt phẳng tấm, sẽ dẫn đến thể giả thiết rằng :

 σz τxz τyz 0

 ứng suất không đổi theo chiều dầy của tấm

với giả thiết này các biểu thức của định luật Hooke có dạng :  ε  C σ   ε0

 Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt ngang

không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng đều vuông góc

với 0z , khi đó ta có : w = 0 ; εz w 0

z



 ; các đại lượng ứng suất và biến

dạng chỉ phụ thuộc vào các biến x và y

  hoặc σx Eεx EεT0 ( => D = E – mô đun đàn hồi)

II.1.7 Đặt bài toán đàn hồi : Thiết lập bài toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập các phương

trình và các điều kiện biên, chúng phải lập thành một hệ kín để có thể giải ra được các ẩn

cần tìm đó là các giá trị của các thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất , véc tơ chuyển vị

Các phương trình gồm có :

 Phương trình cân bằng

 Hệ thức Cô-si ( liên hệ chuyển vị và biến dạng)

 Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất và biến dạng : định luật Hooke)

và các điều kiện biên động học hoặc tĩnh học

Người ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi

II.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ĐÀN HỒI

Như phần trên đã trình bày, ta thấy rằng để giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 3 chiều

ta có tới 15 phương trình cùng các điều kiện biên để tìm ra giá trị của 15 ẩn : 3 thành phần

chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất Cho đến nay cũng đã có được

các phương pháp giải đúng và gần đúng

II.2.1 Phương pháp chính xác

Phương pháp giải tích giải các bài toán đàn hồi : Có thể giải theo chuyển vị , hoặc

giải theo ứng suất

Ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa gối

khớp tại hai đầu A , B

Lời giải bài toán trên đã có trong sức bền

2dx

4

5q384EJ



II.2.2 Các phương pháp biến phân :

Các bài toán cơ học nói chung có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát :

trong đó L , C là các toán tử vi phân , u = u (x,y,z) đại lượng cần tìm ,

g = g(x,y,z) và p = p(x,y,z) là các hàm cho trước

Phương pháp biến phân là phương pháp gần đúng nhằm tìm một nghiệm xấp xỉ dựa trên một

tiêu chuẩn nào đó Các phương pháp biến phân thường gặp đó là phương pháp Ritz, phương

IF(x, y, z, u, u , u , u , u , u , u )dxdydz      và từ điều kiện dừng của phiếm hàm này sẽ

dẫn ra các phương trình vi phân của bài toán

Phương pháp Ritz tìm nghiệm xấp xỉ gần đúng dưới dạng tổ hợp tuyến tính các hàm biết

trước, theo Ritz thì chuyển vị có dạng :

Ci là các hằng số cần tìm, chúng được xác định khi thay u(x,y,z) vào phiếm hàm I, lấy

tích phân trên V, khi đó I sẽ là hàm của các Ci, cho thỏa mãn điều kiện dừng của I (tức là

các đạo hàm riêng của I theo các Ci bằng 0) sẽ dẫn đến hệ phương trình đại số xác định các

hằng số Ci

2 Phương pháp phần dư có trọng (Weighted Residual Method)

Gọi R(u) = L(u) + g được gọi là hàm phần dư, như vậy nghiệm của bài toán

L(u) + g = 0 sẽ được chuyển thành tìm u là nghiệm của bài toán R(u) = 0 Người ta cũng

 φ0 : được chọn sao cho thỏa mãn các điều khiện biên không thuần nhất

 φi : khả vi đến số lần cần thiết , thoả mãn các điều kiện biên thuần nhất và hệ

hàm { φi} là độc lập tuyến tính

khi đó R(uN) = R(x,y,z,C1, C2, ,CN)

Các hằng số Ci được tìm bằng phương pháp : lấy tích phân trên V của tích các hàm ψk với

các hàm ψk được gọi là các hàm trọng số (Weighted function)

Chú ý rằng toán tử vi phân L trong (1.15) là tuyến tính nên thay R(uN) vào (1.17)

trình đại số tuyến tính : {A}{C} = {B} xác định N hằng số Ci , thay vào uN ta nhận được

nghiệm gần đúng

3 Phương pháp Galerkin : Phương pháp Galerkin là phương pháp dư có trọng lấy

ψk  φk Như vậy nếu phương pháp Galerkin chọn hệ hàm { φk} là hệ trực giao thì sẽ rất

thuận lợi dẫn đến (1.18)

Ví dụ: Trong ví dụ trên phần 1.2.1 ta có phương trình vi phân của độ võng

4 4

4 4 N

i 4

Nhân cả hai vế với sinπk x

 và lấy tích phân hai vế dẫn đến :

4 4 N

i 4

=> ma trận C = (Ck) là nghiệm của hệ A.C = B

4 Phương pháp sai phân : Phương pháp sai phân là phương pháp biểu diễn gần đúng các

giá trị của đạo hàm theo các giá trị của hàm số tại các điểm lân cận ( xuất phát từ khai triển

Tay-lo của hàm số) Chẳng hạn đối với hàm một biến f(x) ta có được :

khi đó việc giải các phương trình vi phân được đưa về việc tìm các giá trị hàm số tại các

điểm nút lưới ( mà khoảng cách giữa các điểm chính là Δx )

Ví dụ : xét bài toán uốn dầm như hình 1.2 : dầm chịu tải trọng đều với cường độ q , tựa gối

khớp tại hai đầu A , B

Có phương trình vi phân của độ võng

tại nút 1:

4

pΔx

sai số tương đối : 0.049987

II.3 CÁC NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN

II.3.1 Nguyên lý thế năng toàn phần dừng ( nguyên lý biến phân về chuyển vị)

Thế năng toàn phần của một hệ đàn hồi  được xác định là :  = U - A trong đó :

U - thế năng biến dạng của vật thể đàn hồi được tích lũy trong quá trình biến dạng

A – công của ngoại lực sinh ra trên các chuyển dời của ngoại lực do vật thể bị biến dạng

Nguyên lý phát biểu rằng : Trong tất cả các trường chuyển vị ( các trạng thái chuyển vị )

khả dĩ động ( tức là thỏa mãn điều kiện tương thích và điều kiên biên động học) thì

trường chuyển vị thực ( tương ứng với sự cân bằng của vật thể) sẽ làm cho thế năng toàn

phần  đạt giá trị dừng (nhỏ nhất)

Tức là khi đó: δ  ({u}) = δ U({u}) - δ A({u}) = 0

Thế năng biến dạng U được tính theo công thức :

d w

dx = 0 ; δw =0 =>

4 4 0

Trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính thì U* = U = T

V

1{σ} {ε}dv

0 V

Nguyên lý cực trị năng lượng bù toàn phần được phát biểu như sau:

Trong tất cả các trường ứng suất khả dĩ tĩnh ( tức là thỏa mãn các điều kiện cân

bằng và điều kiện biên tĩnh học trên S t ) thì trường ứng suất thực ( tương ứng thỏa mãn

điều kiện tương thích) sẽ làm cho năng lượng bù toàn phần  đạt giá trị dừng *

Chương II

CƠ SỞ VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP

PHẦN TỬ HỮU HẠN - CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

II.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH)

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số để tìm nghiệm gần

đúng của đại lượng cơ học chưa biết trong miền xác định V qua việc tìm dạng xấp xỉ của

của đại lương này trong từng miền con Ve ( phần tử) thuộc miền xác định V Chính vì lẽ đó

nên phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán cơ học với kết

cấu có những miền phức tạp với các đặc trưng hình học, vật lý khác nhau, chịu các điều kiện

biên khác nhau Phương pháp được phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ như một phương

pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số trên mỗi phần tử

Trong PP PTHH , miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con được gọi là

các phần tử Các phần tử này được kết nối với nhau tại các điểm trên biên được gọi là các

nút Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm ( chẳng hạn đó là các biến dạng, dịch

chuyển, ứng suất ,…) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản – được gọi là các hàm

xấp xỉ ( approximation function) Các hàm xấp xỉ này được được tính thông qua các giá trị

của nó ( hoặc qua các giá trị đạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này ở các

nút được gọi các bậc tự do của phần tử mà ta xem như là các ẩn cần tìm của bài toán

Trong bài toán cơ học vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ý nghĩa vật lý của các

hàm xấp xỉ ta có thể áp dụng bài toán theo ba loại mô hình sau:

1 Mô hình tương thích : Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu

diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn số được xác định từ

hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần ( hay nguyên lý

biến phân Lagrange)

2 Mô hình cân bằng : Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay

nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở

nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng ( hay nguyên lý biến phân về ứng suất –

nguyên lý Castigliano)

3 Mô hình hỗn hợp : Xem các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai hai yếu tố độc

trong phần tử Các ẩn cần tìm được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở

nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được giá trị các ẩn số ( bằng việc giải một hệ phương trình đại số), như vậy

ta đã tìm được xấp xỉ các đại lượng cần tìm, từ đó tìm được giá trị của các đại lượng còn

lại

Mô hình tương thích được áp dụng rộng rãi Trong giáo trình này chủ yếu các bài

toán được giải theo mô hình tương thích

II.2 Trình tự các bước phân tích bài toán theo phương pháp PTHH

 Bước 1 Rời rạc hóa miền khảo sát

Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve ( phần tử) có dạng hình học thích hợp

Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử và kích thước các phần

tử phải được xác định cụ thể Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà phải phụ

Dạng lăng trụ

Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3

 Bước 2 Chọn hàm xấp xỉ thích hợp : Chọn dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn

giản đối với tính toán, nhưng vẫn đảm bảo các tiêu chuẩn hội tụ Thường chọn các

hàm này có dạng đa thức

sau khi chọn dạng hàm xấp xỉ ta biểu diễn các hàm này (kể cả đạo hàm của nó)

theo tập hợp các giá trị tại các nút của phần tử {q}e

 Bước 3 Xây dựng phương trình phần tử, tức là thiết lập ma trận độ cứng

phần tử [K] e và véc tơ tải phần tử {P}e

Kết quả nhận được phương trình có dạng : [K]e {q}e = {P}e

 Bước 4 Ghép nối các phần tử trên cơ sở mô hình mà kết quả là hệ thống

phương trình : [K] {q}  {P} trong đó :

[K] là ma trận độ cứng tổng thể ( toàn miền V)

{q} là véc tơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại tất cả các nút ( tức là véc tơ

chuyển vị nút tổng thể)

{P} là véc tơ số hạng tự do tổng thể ( tức là véc tơ tải tổng thể )

sau đó sử dụng điều kiện biên của bài toán sẽ nhận được hệ phương trình :

[K ] {q }  {P } - là hệ phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải

 Bước 5 Giải hệ phương trình đại số : [K ] {q }* *  {P }* , tìm được chuyển

vị của các nút Việc giải hệ phương trình [K ] {q }* *  {P }* đối với bài toán tuyến tính

không gặp khó khăn, nhưng với bài toán phi tuyến thì sẽ dùng phương pháp lặp ( mà được

tuyến tính hóa , chẳng hạn như phương pháp Newton – Raphson) mà ở mỗi bước lặp ma

trận độ cứng [K ]* và {P }* sẽ thay đổi

II.3 Hàm xấp xỉ - đa thức xấp xỉ Phép nội suy

1 Hàm xấp xỉ :

Tư tưởng chính của PP PTHH là xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm trong mỗi miền con –

phần tử Ve Do đó đầu tiên phải chọn hàm số đơn giản mô tả gần đúng đại lượng cần tìm

trong mỗi phần tử Hàm số đơn giản hay được chọn có dạng đa thức, vì:

 Đa thức được xem như tổ hợp tuyến tính các đơn thức , các đơn thức này thỏa

mãn yêu cầu của Ritz , Galerkin

 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây

dựng các phương trình PP PTHH, dễ đạo hàm, dễ lấy tích phân

 Có khả năng tăng độ chính xác ( bằng cách tăng số bậc của đa thức), tuy nhiên

trong thực tế thường chỉ lấy bậc thấp mà thôi

2 Phép nội suy

Trong PP PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ được biểu diễn qua các giá

trị của nó ( cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút được định trước trên mỗi phần

Nội suy xấp xỉ hằng số Nội suy tuyến tính Nội suy bậc hai

Nội suy hằng số (u)x u0 u(a b)

Hàm xấp xỉ được chọn dưới dạng đa thức đơn giản :

Bài toán 1 –D : u(x) = a + a x ( xấp xỉ tuyến tính)

u(x) = a1 + a2x + a3 x2 ( xấp xỉ bậc 2) u(x) = a1 + a2x + a3 x2 + a4x3 ( xấp xỉ bậc 3) như vậy nếu u(x) xấp xỉ bậc n thì u(x) =

n 1

i 1 i

n 1

aa

 hay u(x) = [P(x)] {a}

trong đó [P(x)] – ma trận các đơn thức {a} - véc tơ tọa độ tổng quát (hay véc tơ các tham

số)

Bài toán 2-D

Nếu chọn xấp xỉ bậc hai thì khi đó u(x,y) = a1 + a2x + a3y + a4x2 + a5y2 + a6xy

hay u(x,y) = [ 1 x y x2 y2 xy]

1 2

6

aa

 => u(x,y) = [P(x,y)] {a}

Bài toán 3 – D có u(x,y,z) = [P(x,y,z)] {a} (II.1) Trường hợp xấp xỉ tuyến tính có [P(x,y,z)] = [ 1 x y z ] khi đó

 

1 2 e

Các đa thức xấp xỉ cần thỏa mãn được các yêu cầu sau:

 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Do PP PTHH là một phương pháp số nên phải đảm bảo được rằng khi kích thước các

phân tử giảm đi thì kết quả tính phải hội tụ đến giá trị chính xác Để có được điều này

thì các đa thức xấp xỉ ue phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

- Liên tục trong phần tử Ve Điều này được thỏa mãn vì xấp xỉ là đa thức

- Bảo đảm trong phần tử có trạng thái đơn vị ( hằng số) và có các đạo hàm riêng

(m ) V

I(u)  F(x, u, u ', u ", , u ) dv - x là tọa độ điểm, u là hàm xấp xỉ

- Trên biên phần tử , u và các đạo hàm của nó có đến cấp m -1 liên tục

Chẳng hạn như khi u là chuyển vị thì muốn đảm bảo trạng thái đơn vị và dịch chuyển

cứng thì trong đa thức xấp xỉ không được bỏ qua số hạng a 1 , hay không được bỏ qua thành

phần 1 trong [P(x,y,z)]

Khi làm mịn lưới các phần tử cần tuân theo các quy tắc sau :

+ Lưới sau mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng có trong tập

các nút lưới sau

+ Các phần tử có kích thước nhỏ hơn trước, nhưng dạng hình học vẫn phải được giữ

như trước

+ Dạng đa thức không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử

 Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình học

Dạng đa thức được chọn từ tam giác Passcal ( cho bài toán 2 chiều), tháp Passcal

cho bài toán 3 chiều

 Số các phần tử của {a} – là các tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự

do của phần tử {q}e , khi đó có thể nội suy đa thức xấp xỉ theo giá trị đại lượng

cần tìm tại nút phần tử

5 Biểu diễn đa thức xấp xỉ theo véc tơ các bậc tự do của phần tử Ma trận hàm dạng

 Bậc tự do của một nút ( nodal degree of freedom ) là giá trị ( có thể có cả giá trị

đạo hàm ) của hàm ( đa thức ) xấp xỉ tại nút

 Tập hợp tất cả các bậc tự do của các nút trên phần tử được gọi là véc tơ bậc tự do

của phần tử, ký hiệu là { q}e - còn được gọi là véc tơ chuyển vị nút phần tử

Các bậc tự do này là ẩn số của bài toán PP PTHH

Ví dụ : Trong bài toán phẳng đàn hồi , khi dùng phần tử tam giác có 3 điểm nút, mỗi nút có

2 bậc tự do : đó là các chuyển vị theo phương x và y , do đó tập hợp chuyển vị ở 3 nút là

véc tơ chuyển vị của phần tử :

{q} e = { ui , vi , uj , vj , uk ,vk }eT

 { q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 , q 6 } e T

Như vậy nếu phần tử e có r nút , mỗi nút có s bậc tự do thì véc tơ chuyển vị phần tử {q} e có số thành phần n e = s × r

Các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo các bậc tự do của phần tử {q}e , và phải thỏa mãn

điều kiện : Các giá trị của đa thức xấp xỉ ( có thể cả đạo hàm của nó) tại các điểm nút thuộc

phần tử phải đồng nhất bằng giá trị các bậc tự do của phần tử

Chú ý rằng ma trận [A] là ma trận vuông có ne × ne phần tử và chỉ chứa tọa độ các điểm nút

của phần tử => {a} = A-1.{q}e Sau khi tính được {a} ta thay vào (II.1) tức là :

u(x,y,z) = [P(x,y,z)].{a}

=> u(x,y,z) = [P(x,y,z)] A -1 {q} e hay u(x,y,z) = [N].{q} e (II.3)

được gọi là ma trận các hàm nội suy hay là ma trận hàm dạng

Ví dụ 1: Tìm ma trận hàm dạng của phần tử thanh lăng trụ chịu kéo, nén dọc trục ( Biết

thanh chiều dài L , diện tích mặt cắt ngang : F , mô đun đàn hồi E)

Giải Tại mọi điểm chỉ tồn tại chuyển vị và biến dạng dọc trục : u(x) và εx du