Bài giảng phương pháp phần tử hữu hạn dành cho học viên cao học

Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điệntừ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng.

Trờng đại học lâm nghiệp Bộ môn Toán Vũ Khắc Bảy Bài giảng phơng pháp phần tử hữu hạn Hà nội - Năm 2014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 1 LỜI NÓI ĐẦU Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích ta còn có các phương pháp số. Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó. Vì vậy thời kỳ đầu của các phương pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn. Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển rất mạnh mẽ và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các bài toán cơ học. Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm , vỏ , Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật công trình thuộc trường ĐHLN. Tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp phần tử hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và cả các độc giả lần đầu biết về phương pháp PTHH) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn. Tài liệu mới chỉ đề cập đến một số nội dung và khái niệm cơ bản để dẫn đến và sử dụng trong phương pháp phần tử hữu hạn dùng để tính toán các bài toán cơ học. Nội dung của bàu giảng gồm có 4 chương : Chương 1 : Bổ túc về đại số tuyến tính và các phương pháp tính trong cơ học Chương 2 : Cơ sở và các bước phân tích của phương pháp phần tử hữu hạn - Các phương trình cơ bản . Chương 3 : Phương pháp phần tử hữu hạn trong tính toán hệ dàn thanh; hệ khung phẳng và hệ khung không gian. Chương 4 : Phương pháp phần tử hữu hạn trong động lực học kết cấu, tính toán trị riêng xác định tần số dao động tự do của kết cấu. Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục này được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường lập trình khác. Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 2 Với mục đích giảng dạy cho sinh viên, nên đòi hỏi người đọc phải có sự hiểu biết cơ bản về lập trình. Vì vậy trong quá trình thực hiện bài giảng này, các tính toán đều được thực hiện trong môi trường EXCEL cũng khá thuận lợi ( tất nhiên tính toán với lượng các phần tử không quá nhiều) Mong rằng với ý muốn như thế, sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập môn học này của các em sinh viên, và rất mong được các đóng góp của độc giả về các vấn đề trình bài trong tài liệu. Tác giả Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 3 Chương I BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH & CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC I.1 BỔ TÚC VỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH I.1.1 Ma trận và các khái niệm I.1.1.1 Định nghĩa ma trận:  Ma trận là một bảng hình chữ nhật, trên đó sắp xếp các phần tử ( là các số ) theo các hàng và các cột. Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái : A , B , …, X, Y, … ; còn các phần tử thường được ký hiệu bằng các chữ thường : a , b , …, x , y , ….  Giả sử ma trận có m hàng và n cột, khi đó để chỉ phần tử hàng i (từ trên xuống), cột j (từ trái qua phải) ta ký hiệu : a ij ( chỉ số hàng trước, chỉ số cột sau). Các phần tử của ma trận được nằm trong dấu [ ] , hoặc ( ) , hoặc || || , nó có dạng : 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn m n a a a a a a A a a a               ; 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn m n a a a a a a A a a a               ; 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn m n a a a a a a A a a a    Ma trận có m hàng và n cột thì cỡ của ma trận là m n  ,  ij a là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i cột j Ký hiệu:   ij m n A a   , ij m n A a       .  Khi m = n (số hàng bằng số cột) thì A gọi là ma trận vuông cấp n. Ví dụ 2 2 3 1 A 3 1 1 5 5 5 4 1               là ma trận cỡ 43  , 11 a 2  , 24 a 5  … 3 3 3 0 6 B 5 1 4 7 4 2               là ma trận cỡ 3  3 (ma trận vuông cấp 3). Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 4 C =   1 3 1 2 4   là ma trận cỡ 1  3 ( ma trận hàng có 3 phần tử ) D = 2 1 5 7        là ma trận cỡ 2  1 ( ma trận cột có 2 phần tử ) I.1.1.2 Các khái niệm liên quan đến ma trận 1) Đường chéo chính. Cho ma trận A vuông cấp n. Khi đó các phần tử a 11 , a 22 ,…, a nn nằm trên một đường thẳng gọi là đường chéo chính của A, các phần tử a 11 , a 22 ,…, a nn gọi là các phần tử chéo. ( chú ý : khái niệm về đường chéo chính chỉ có trong ma trận vuông) 2) Ma trận tam giác. Cho ma trận A vuông cấp n. +) Ma trận tam giác trên: Nếu A có các phần tử phía dưới đường chéo chính đều bằng 0 (Tức là: a ij = 0 với mọi i > j). 11 12 1 22 2 0 0 0               n n nn n n a a a a a A a +) Ma trận tam giác dưới: Nếu A có các phần tử phía trên đường chéo chính đều bằng 0 (tức là: a ij = 0 với mọi i < j). 11 21 22 1 2 0 0 0               n n nn n n a a a A a a a 3) Ma trận chéo. Ma trận vuông A có các phần tử nằm ở ngoài đường chéo chính đều bằng 0 gọi là ma trận chéo. 11 22 0 0 0 0 0 0               nn n n a a A a Như vậy ma trận chéo vừa là ma trận tam giác trên, vừa là ma trận tam giác dưới. Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 5 4) Ma trận đơn vị. Ma trận đơn vị là ma trận chéo có các phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1. Ký hiệu là I n (hoặc E n ) là ma trận đơn vị cấp n. n n n 1 0 0 0 1 0 I 0 0 1               Ví dụ. 2 2 2 1 0 I 0 1         ma trận đơn vị cấp 2 ; 3 3 3 1 0 0 I 0 1 0 0 0 1             ma trận đơn vị cấp 3 4) Ma trận đối xứng. Ma trận A vuông cấp n được gọi là ma trận đối xứng nếu ij , , 1, ji a a i j n    ( các cặp phần tử đối xứng với nhau qua đường chéo chính thì bằng nhau). Ví dụ. 2 4 5 4 3 0 5 0 6              A là ma trận đối xứng 1 2 7 6 4 2 0 4 7 0 0 2 6 4 2 0               B không đối xứng vì a 12 = 2  a 21 = 4 5) Ma trận không. Là ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0, ký hiệu [0] hoặc . Ví dụ. Các ma trận sau đều là ma trận không: 2 3 3 3 0 0 0 0 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 0                     6) Ma trận con. Cho A là ma trận cỡ m n  . Ma trận B được gọi là ma trận con của A nếu B có được từ A bằng cách bỏ đi một số hàng, một số cột. Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 6 Ví dụ. Cho ma trận 3 4 4 5 -2 4 A 3 1 6 9 2 7 8 -3             - Bỏ đi dòng 3, cột 3 và 4, ta được ma trận 2 M 4 5 3 1        - là ma trận con cấp 2. - Bỏ dòng 2, ta được ma trận 3 2 4 4 5 2 4 2 7 8 3           M - ma trận con cỡ 2  4. 7) Ma trận chuyển vị. Cho A là ma trận cỡ n m  . Ma trận chuyển vị của A là ma trận được ký hiệu A T , có cỡ n  m . Ma trận A T có được từ A bằng cách chuyển hàng thành cột ( hoặc chuyển cột thành hàng ) 11 12 1n 11 21 m1 21 22 2n 12 22 m2 T m1 m 2 mn 1n 2n mn m n n m a a a a a a a a a a a a A A a a a a a a                              Nhận xét. A là ma trận đối xứng khi và chỉ khi A = A T . Ví dụ. 2 3 7 A 3 0 5 1 2 1              T 2 3 1 A 3 0 2 7 5 1             ; 3 2 3 0 A 4 5 1 3                T 2 3 3 4 1 A 0 5 3           8) Ma trận hàng. Là ma trận chỉ có một hàng A = [a 1 a 2 a n ] 1 n 9) Ma trận cột. Là ma trận chỉ có một cột 1 2 m m 1 b b B b                Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 7 I.1.2. Các phép toán trên ma trận. I.1.2.1. Phép bằng nhau. Hai ma trận gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và các phần tử tương ứng ở cùng vị trí bằng nhau. Ví dụ A = a b b c d d         ; B = 4 2 3 1        ; A = B <=> a + b = 4 ; b = -2 ; c - d = 3 ; d = 1 => a = 6 ; b = - 2 ; c = 4 ; d =1 . I.1.2.2. Phép cộng hai ma trận cùng cỡ. I.1.2.2.1 Định nghĩa. Cho A và B là hai ma trận cùng cỡ m n  , A = (a ij ) m × n , B = (b ij ) m × n . Tổng của hai ma trận A và B là ma trận cùng cỡ C = (c ij ) m × n trong đó ij ij ij c a b , i 1,m, j 1,n     . Ký hiệu:   ij ij m n A B a b     . Như vậy, nếu              mn2m1m n22221 n11211 a aa a aa a aa A ,              mn2m1m n22221 n11211 b bb b bb b bb B Khi đó ta có 11 11 12 12 1n 1n 21 21 22 22 2n 2n ij ij m n m1 m1 m2 m2 mn mn a b a b a b a b a b a b A B [a b ] a b a b a b                           Ghi nhớ : cộng ( trừ) hai ma trận cùng cỡ là cộng ( trừ) các phần tử ở vị trí tương ứng với nhau. Ví dụ 1. 3 3 3 3 3 3 2 1 4 1 3 3 1 4 1 0 3 1 2 4 0 2 7 1 3 5 2 2 1 1 5 6 3                                         Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 8 Ví dụ 2. 2 3 2 0 3 A -4 1 -2         2 3 -2 3 7 B 1 4 9         C = A + B = 0 3 10 -3 5 7       D = A – B = A + (-B) = 4 3 4 5 3 11            Ma trận đối: Nếu A + B = [0] thì B gọi là ma trận đối của A và ngược lại. Ký hiệu ma trận đối của A là –A I.1.2.2.2 Tính chất. Giả sử A, B, C là các ma trận cùng cỡ. Khi đó: 1) A + B = B + A 2) (A + B) + C = A + (B + C) 3) A +  =  + A = A 4) A + (-A) = (-A) + A =  I.1.2.3. Phép nhân ma trận với số thực. I.1.2.3.1 Định nghĩa Cho ij m n A a       và số thực k. Khi đó, tích của số thực k với ma trận A là một ma trận cùng cỡ đuợc xác định bởi: ij m n kA ka       (Tức là: để nhân ma trận với một số k, ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với k.) Ví dụ: 1) 2 2 2 2 2 4 4 8 2. 3 1 6 2                  2) 3 2 3 2 3 2 2 0 1 5 11 15 4 1 3 3 3 4 5 24 4 7 2 1 10 31                                      Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 9 Hệ quả : Nếu tất cả các phần tử của ma trận có chung một thừa số thì có thể đưa thừa số ra ngoài ma trận : Ví dụ : 2 12 1 6 2. 4 6 2 3                I.1.2.3.2 Tính chất Giả sử A, B là các ma trận cùng cỡ và k , n là các số thực bất kì. Khi đó: - k (A + B ) = k A + k B - ( k + n) A = kA + nA - k(nA ) = k n(A ) - 1.A = A - 0. A =  I.1.2.4. Phép nhân hai ma trận. I.1.2.4.1 Định nghĩa Cho hai ma trận   ij m p A a   ,   i j p n B b   ( số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B). Khi đó, tích của hai ma trận A và B là ma trận   i j m n C c   trong đó: p ij ik kj i1 1j 12 2j 13 3j ip pj k 1 c a b a b a b a b a b         tức là c ij bằng tích vô hướng của hàng i ( ma trận A) với cột j ( ma trận B) Ví dụ 1.       1 1 1 3 1 1 3 1 3 2 1 3 . 1 2.3 ( 1).1 3.4 17 17 4                      Ví dụ 2. 11 21 2 3 2 1 2 1 3 1 1 c 3.1 0.( 3) ( 1).2 1 3 0 1 1 . 3 c 1.1 2.( 3) 4 .2 3 1 2 4 3 2                                                Nhận xét. - Phép nhân AB thực hiện được khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số hàng của ma trận B. - Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán. [...]... chọn Các phần tử có các dạng hình học đơn giản : Phần tử một chiều : Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử hai chiều: Phần tử bậc 1 Phần tử ba chiều : Dạng tứ diện Phần tử bậc 1 34 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN Dạng lăng trụ Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc... 0 32 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN Chương II CƠ SỞ VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN - CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN II.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của đại lượng cơ học chưa biết trong miền xác định V qua việc tìm... 2014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN II.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG BÀI TOÁN ĐÀN HỒI Như phần trên đã trình bày, ta thấy rằng để giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 3 chiều ta có tới 15 phương trình cùng các điều kiện biên để tìm ra giá trị của 15 ẩn : 3 thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất Cho đến nay cũng đã có được các phương pháp giải... này chủ yếu các bài toán được giải theo mô hình tương thích II.2 Trình tự các bước phân tích bài toán theo phương pháp PTHH  Bước 1 Rời rạc hóa miền khảo sát Miền khảo sát V được chia thành các miền con Ve ( phần tử) có dạng hình học thích hợp Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử và kích thước các phần tử phải được xác định cụ thể Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy... miền con Ve ( phần tử) thuộc miền xác định V Chính vì lẽ đó nên phương pháp này rất thích hợp để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán cơ học với kết cấu có những miền phức tạp với các đặc trưng hình học, vật lý khác nhau, chịu các điều kiện biên khác nhau Phương pháp được phát biểu một cách tổng quát chặt chẽ như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số trên mỗi phần tử Trong PP PTHH... hàm của các Ci, cho thỏa mãn điều kiện dừng của I (tức là các đạo hàm riêng của I theo các Ci bằng 0) sẽ dẫn đến hệ phương trình đại số xác định các hằng số Ci 26 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN 2 Phương pháp phần dư có trọng (Weighted Residual Method) Gọi R(u) = L(u) + g được gọi là hàm phần dư, như vậy nghiệm của bài toán L(u) +... năm 2014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN 4 4q π(2m  1) 0,0130544 q 5  4q 0,013021 4q sin     5 5 2 EJ 384 EJ EJ m 1 (2m  1) π EJ M w max  sai số 0,25% 4 Phương pháp sai phân : Phương pháp sai phân là phương pháp biểu diễn gần đúng các giá trị của đạo hàm theo các giá trị của hàm số tại các điểm lân cận ( xuất phát từ khai triển Tay-lo của hàm số) Chẳng hạn đối... toán cơ học nói chung có thể biểu diễn dưới dạng tổng quát : 25 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 5q 4 384EJ Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN trong miền V L(u)  g  0   C(u)  p trên biên S (1.15) trong đó L , C là các toán tử vi phân , u = u (x,y,z) đại lượng cần tìm , g = g(x,y,z) và p = p(x,y,z) là các hàm cho trước Phương pháp biến phân là phương pháp gần... : Phương pháp Galerkin là phương pháp dư có trọng lấy ψ k  φ k Như vậy nếu phương pháp Galerkin chọn hệ hàm { φ k} là hệ trực giao thì sẽ rất thuận lợi dẫn đến (1.18) Ví dụ: Trong ví dụ trên phần 1.2.1 ta có phương trình vi phân của độ võng d4w EJ 4  q  0 ; ( 0  x  ) dx nghiệm gần đúng theo phương pháp Galerkin sẽ được chọn : 27 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2014 Bài giảng : Phương pháp. .. trên một tiêu chuẩn nào đó Các phương pháp biến phân thường gặp đó là phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin, 1 Phương pháp Ritz : Trong một số các bài toán đàn hồi thường tồn tại một phiếm hàm I dạng : I   F(x, y, z, u, ux , u , uy , u , u  , u  )dxdydz và từ điều kiện dừng của phiếm hàm này sẽ xx yy z zz V dẫn ra các phương trình vi phân của bài toán Phương pháp Ritz tìm nghiệm xấp xỉ gần . hữu hạn Hà nội - Năm 2 014 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2 014 1 LỜI NÓI ĐẦU Để giải và tính. : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2 014 14 I.1.4.2. Cách tính định thức EXCEL Để tính đính thức của ma trận A vuông trong EXCEL ta. giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 06 năm 2 014 2 Với mục đích giảng dạy cho sinh viên, nên đòi hỏi người đọc phải có sự hiểu biết cơ bản