2. Phương phỏp phần dư cú trọng (Weighted Residual Method)
CƠ SỞ VÀ CÁC BƯỚC PHÂN TÍCH CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CÁC PHƯƠNG TRèNH CƠ BẢN
II.1 Khỏi niệm về phương phỏp phần tử hữu hạn (PTHH)
Phương phỏp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương phỏp số để tỡm nghiệm gần đỳng của đại lượng cơ học chưa biết trong miền xỏc định V qua việc tỡm dạng xấp xỉ của của đại lương này trong từng miền con Ve ( phần tử) thuộc miền xỏc định V. Chớnh vỡ lẽ đú nờn phương phỏp này rất thớch hợp để tỡm nghiệm gần đỳng cho cỏc bài toỏn cơ học với kết cấu cú những miền phức tạp với cỏc đặc trưng hỡnh học, vật lý khỏc nhau, chịu cỏc điều kiện biờn khỏc nhau. Phương phỏp được phỏt biểu một cỏch tổng quỏt chặt chẽ như một phương phỏp biến phõn hay phương phỏp dư cú trọng số trờn mỗi phần tử.
Trong PP PTHH , miền V được chia thành một số hữu hạn cỏc miền con được gọi là cỏc phần tử. Cỏc phần tử này được kết nối với nhau tại cỏc điểm trờn biờn được gọi là cỏc
nỳt. Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tỡm ( chẳng hạn đú là cỏc biến dạng, dịch
chuyển, ứng suất ,…) được lấy xấp xỉ trong một dạng hàm đơn giản – được gọi là cỏc hàm
xấp xỉ ( approximation function). Cỏc hàm xấp xỉ này được được tớnh thụng qua cỏc giỏ trị của nú ( hoặc qua cỏc giỏ trị đạo hàm) tại cỏc điểm nỳt trờn phần tử . Cỏc giỏ trị này ở cỏc nỳt được gọi cỏc bậc tự do của phần tử mà ta xem như là cỏc ẩn cần tỡm của bài toỏn.
Trong bài toỏn cơ học vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tựy theo ý nghĩa vật lý của cỏc
hàm xấp xỉ ta cú thể ỏp dụng bài toỏn theo ba loại mụ hỡnh sau:
1. Mụ hỡnh tương thớch : Xem chuyển vị là đại lượng cần tỡm trước và hàm xấp xỉ biểu
diễn gần đỳng dạng phõn bố của chuyển vị trong phần tử. Cỏc ẩn số được xỏc định từ hệ phương trỡnh thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý thế năng toàn phần ( hay nguyờn lý biến phõn Lagrange).
2. Mụ hỡnh cõn bằng : Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đỳng dạng phõn bố của ứng suất hay
nội lực trong phần tử. Cỏc ẩn số được xỏc định từ hệ phương trỡnh thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý năng lượng hệ toàn phần dừng ( hay nguyờn lý biến phõn về ứng suất – nguyờn lý Castigliano)
3. Mụ hỡnh hỗn hợp : Xem cỏc đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai hai yếu tố độc
trong phần tử. Cỏc ẩn cần tỡm được xỏc định từ hệ phương trỡnh thiết lập trờn cơ sở nguyờn lý biến phõn Reisner.
Sau khi tỡm được giỏ trị cỏc ẩn số ( bằng việc giải một hệ phương trỡnh đại số), như vậy ta đó tỡm được xấp xỉ cỏc đại lượng cần tỡm, từ đú tỡm được giỏ trị của cỏc đại lượng cũn lại.
Mụ hỡnh tương thớch được ỏp dụng rộng rói. Trong giỏo trỡnh này chủ yếu cỏc bài toỏn được giải theo mụ hỡnh tương thớch.
II.2 Trỡnh tự cỏc bước phõn tớch bài toỏn theo phương phỏp PTHH
Bước 1. Rời rạc húa miền khảo sỏt
Miền khảo sỏt V được chia thành cỏc miền con Ve ( phần tử) cú dạng hỡnh học thớch hợp. Với bài toỏn cụ thể thỡ số phần tử, hỡnh dạng hỡnh học của phần tử và kớch thước cỏc phần tử phải được xỏc định cụ thể. Số điểm nỳt mỗi phần tử khụng được lấy tựy tiện mà phải phụ thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn. Cỏc phần tử cú cỏc dạng hỡnh học đơn giản : Phần tử một chiều : Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử hai chiều: Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử ba chiều : Dạng tứ diện
Dạng lăng trụ
Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3
Bước 2 Chọn hàm xấp xỉ thớch hợp : Chọn dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản đối với tớnh toỏn, nhưng vẫn đảm bảo cỏc tiờu chuẩn hội tụ . Thường chọn cỏc hàm này cú dạng đa thức.
sau khi chọn dạng hàm xấp xỉ ta biểu diễn cỏc hàm này (kể cả đạo hàm của nú) theo tập hợp cỏc giỏ trị tại cỏc nỳt của phần tử {q}e
Bước 3 Xõy dựng phương trỡnh phần tử, tức là thiết lập ma trận độ cứng
phần tử [K]e và vộc tơ tải phần tử {P}e .
Kết quả nhận được phương trỡnh cú dạng : [K]e {q}e = {P}e
Bước 4 Ghộp nối cỏc phần tử trờn cơ sở mụ hỡnh mà kết quả là hệ thống
phương trỡnh : [K] {q} {P} trong đú : [K] là ma trận độ cứng tổng thể ( toàn miền V)
{q} là vộc tơ tập hợp cỏc giỏ trị đại lượng cần tỡm tại tất cả cỏc nỳt ( tức là vộc tơ
chuyển vị nỳt tổng thể)
{P} là vộc tơ số hạng tự do tổng thể ( tức là vộc tơ tải tổng thể ) sau đú sử dụng điều kiện biờn của bài toỏn sẽ nhận được hệ phương trỡnh :
* * *
[K ] {q } {P } - là hệ phương trỡnh hệ thống hay cũn gọi là hệ phương trỡnh để giải
Bước 5 Giải hệ phương trỡnh đại số : [K ] {q }* * {P }* , tỡm được chuyển vị của cỏc nỳt. Việc giải hệ phương trỡnh [K ] {q }* * {P }* đối với bài toỏn tuyến tớnh khụng gặp khú khăn, nhưng với bài toỏn phi tuyến thỡ sẽ dựng phương phỏp lặp ( mà được tuyến tớnh húa , chẳng hạn như phương phỏp Newton – Raphson) mà ở mỗi bước lặp ma trận độ cứng [K ]* và {P }* sẽ thay đổi.
II.3 Hàm xấp xỉ - đa thức xấp xỉ . Phộp nội suy
1. Hàm xấp xỉ :
Tư tưởng chớnh của PP PTHH là xấp xỉ húa đại lượng cần tỡm trong mỗi miền con – phần tử Ve . Do đú đầu tiờn phải chọn hàm số đơn giản mụ tả gần đỳng đại lượng cần tỡm trong mỗi phần tử. Hàm số đơn giản hay được chọn cú dạng đa thức, vỡ:
Đa thức được xem như tổ hợp tuyến tớnh cỏc đơn thức , cỏc đơn thức này thỏa món yờu cầu của Ritz , Galerkin.
Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tớnh toỏn, dễ thiết lập cụng thức khi xõy dựng cỏc phương trỡnh PP PTHH, dễ đạo hàm, dễ lấy tớch phõn.
Cú khả năng tăng độ chớnh xỏc ( bằng cỏch tăng số bậc của đa thức), tuy nhiờn trong thực tế thường chỉ lấy bậc thấp mà thụi.