Bài giảng phương pháp số (Phương pháp phần tử hữu hạn)

Trờng đại học lâm nghiệp Bộ môn Toán Vũ Khắc Bảy Bài giảng phơng pháp số (phơng pháp phần tử hữu hạn) Hà nội - Năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 1 LỜI NÓI ĐẦU Để giải và tính toán các bài toán về kêt cấu cơ học, ngoài các phương pháp giải tích ta còn có các phương pháp số. Do các bài toán cơ học thường dẫn đến việc giải các phương trình vi phân với các điều kiện biên xác định nào đó. Vì vậy thời kỳ đầu của các phương pháp số là : các phương pháp tích phân số và phương pháp sai phân hữu hạn. Cùng với sự phát triển của máy tính điện tử, phương pháp phần tử hữu hạn ra đời và phát triển rất mạnh mẽ và là một phương pháp được dùng rất phổ biến hiện nay khi tính toán các bài toán cơ học. Nó cũng đã được áp dụng để có được nhiều chương trình tính cho các dạng bài toán cơ học khác nhau: Tính cho dàn thanh, khung không gian, các kết cấu dạng tấm , vỏ , Phương pháp phần tử hữu hạn là môn học cơ sở của các ngành kỹ thuật liên quan đến tính toán các kết cấu và hiện cũng là một môn học của ngành Xây dựng và Kỹ thuật công trình thuộc trường ĐHLN. Trong năm trước đây chúng tôi có biên soạn nội dung bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn để phục vụ cho công tác giảng dạy môn học : Phương pháp số. Vẫn biết rằng tài liệu viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên mạng, song thiết nghĩ thì việc biên soạn một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp phần tử hữu hạn với thời lượng 2 tín chỉ cũng là điều cần thiết để các em sinh viên ( và cả các độc giả lần đầu biết về phương pháp này) tiếp cận với môn học này thuận lợi hơn. Tài liệu mới chỉ tiếp cận đến một số nội dung và khái niệm cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn. Các vấn đề trình bày mới dừng đến việc tính toán cho dàn, khung không gian. Tài liệu cũng đã đưa ra một số thủ tục cơ bản trong lập trình tính toán, các thủ tục này được viết trong Visual Basic, độc giả có thể chuyển đổi dễ dàng sang các môi trường lập trình khác. Mong rằng với ý muốn như thế sẽ giúp ích được phần nào cho quá trình học tập môn học này của các em sinh viên, và tất nhiên rất mong được các đóng góp của độc giả về các vấn đề trình bài trong tài liệu. Tác giả Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 2 Chương I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG & CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG CƠ HỌC I.1 CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG I.1.1 Ten xơ ứng suất. Dưới tác dụng của lực ngoài, vật thể chịu lực bị biến dạng và bên trong nó sẽ xuất hiện ứng suất. Ứng suất tại mỗi điểm khác nhau là khác nhau, véc tơ ứng suất không những phụ thuộc vào điểm mà còn phụ thuộc vào hướng của thiết diện qua nó mà được xác định bởi pháp tuyến có hướng n  . Như vậy tập hợp cặp véc tơ ứng suất n T  và véc tơ n  tại điểm P sẽ xác định trạng thái ứng suất tại điểm đó. Trạng thái ứng suất tại điểm hoàn toàn được xác định qua ten-xơ ứng suất – là một ten xơ đối xứng hạng hai, nên nó có 6 thành phần độc lập: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ij            với σ σ ij ji  Trong hệ tọa độ De-cac các thành phân của ten xơ ứng suất được ký hiệu là : σ ;σ ; σ ; τ ;τ ; τ x y z xy xz yz I.1.2 Phương trình cân bằng Tách phần thể tích V tùy ý giới hạn bởi mặt S của môi trường liên tục ở hình thái biến dạng, xét sự cân bằng các lực tác dụng lên thể tích đó ( không kể lực quán tính) ta được : 0  VS n dVKdST    hay là 0  VS ii dVKdSnT    Do     V i i S ii dV x T dSnT   ( công thức Gaoxơ - Ôtrôgratxki) nên ta có :             V i i dVK x T    , vì V là thể tích tùy ý nên biểu thức dưới dấu tích phân bằng không => ta được : 00       j i ij i i K x lµhayK x T      (I.1) Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 3 Phương trình (I.1) được gọi là phương trình cân bằng, ρ là mật độ khối lượng , K  lực khối. Viết (I.1) dưới dạng tường minh ta được : τ τ σ ρ 0 τ σ τ ρ 0 τ τ σ ρ 0 xy xz x x yx y yz y zy zx z z K x y z K x y z K x y z                                          (I.2) Với bài toán hai chiều ( Tấm , vỏ ), phương trình cân bằng có dạng : τ σ ρ 0 τ σ ρ 0 xy x x yx y y K x y K x y                      (I.3) Còn trong bài toán một chiều phương trình cân bằng sẽ là : σ ρ 0 x x K x     (I.4) I.1.3 Quan hệ giữa biến dạng – chuyển vị ( hệ thức Cô-si) Khi xây dựng hệ thức quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị, xuất phát từ sự thể hiện thay đổi kích thước dài đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ X d  lấy từ điểm X  và thay đổi góc giữa hai đoạn vô cùng nhỏ bất kỳ lấy từ điểm đó người ta đã dẫn đến ten-xơ biến dạng hữu hạn viết trong hệ tọa độ Đề các : Grin và Anmăngxi j i k k ij j i i j U 1 U U U γ 2 X X X X                    (Grin) (I.5) j i k k ij j i i j u 1 u u u γ 2 x x x x                     (Anmăngxi) (I.6) Trong đó X n - biến Lagrăng, x k – biến Ơ le , U m và u n là các thành phần chuyển vị theo biến Lagrăng và Ơle. Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 4 Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến trong (1.5) và (1.6) )) khi đó hai ten xơ này xấp xỉ bằng nhau và các thành phần của ten- xơ biến dạng nhỏ sẽ có dạng:            333231 232221 131211     ij với các thành phần : 31 2 11 33 22 1 3 2 u u u ε , ε , ε , x x x          3 3 1 2 2 1 12 23 13 2 1 3 2 3 1 u u 1 u u 1 u 1 u ε , ε , ε 2 x x 2 x x 2 x x                                    Để thuận lợi cho các công thức sau này trong tính toán theo phương pháp PTHH, người ta ký hiệu : - Các thành phần chuyển vị : u , v , w - Các thành phần của ten-xơ biến dạng ε x ; ε y ; ε z ; γ xy ; γ xz ; γ yz với : x y z u v w ε ; ε ; ε ; x y z          xy xz yz u v u w v w γ ; γ ; γ y x z x z y                   (I.7) Hay viết dưới dạng ma trận : x y z xy yz xz 0 0 x ε 0 0 y ε u 0 0 ε z . v γ 0 y x w γ 0 z y γ 0 z x                                                                           (I.8) I.1.4 Phương trình liên tục Hệ thức Cô-si (I.8) cho sự liên hệ giữa 6 thành phần biến dạng xác định duy nhất qua 3 thành phần chuyển vị cho trước. Như vậy với 6 thành phần biến dạng cho trước chỉ từ quan hệ (I.8) sẽ không cho duy nhất 3 thành phần chuyển vị, do đó giữa các thành phần Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 5 biến dạng sẽ có 6 phương trình tương thích biến dạng ( còn gọi là các phương trình tương thích biến dạng Xanhvơnăng), các phương trình này đảm bảo cho sự biến dạng liên tục trong môi trường. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ε γ ε ε γ ε ε γ ε y xy x y yz z z xz x x y y x z y z y x z z x                            2 2 2 γ γ γ ε 2 γ γ ε γ 2 γ γ γ ε 2 yx zy zx x zy yx y zx yz xy zx z x y z x y z y x z y x z z y x z y x                                                           (I.9)  Trong bài toán 2 chiều : (I.9) còn 1 phương trình 2 2 2 2 2 ε γ ε y xy x x y y x           Trong bài toán 1 chiều : các phương trình trên đều thỏa mãn. I.1.5 Điều kiện biên Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị hoặc ứng suất  Điều kiện biên liên quan đến chuyển vị ( gọi là điều kiện biên động học) thường được cho trước chuyển vị của một điểm hoặc một phần mặt biên nào đó  Điều kiện biên liên quan đến ứng suất ( gọi là điều kiện biên tĩnh học) đòi hỏi sự cân bằng giữa ứng suất trên mặt biên với ngoại lực đặt lên đó. Ví dụ Hình 1.1 Một thanh chiều dài  , chi ều dầy h, bị ngàm chặt một đầu, một đầu tự do, chịu tác dụng của lực phân bố đều có cường độ q như hình vẽ. Chọn hệ tọa độ : 0x theo chiều dài, sát mặt dưới, 0y hướng lên trên Đây là bài toán hai chiều và các điều kiện biên được đưa về các hệ thức sau : - Tại x = 0 : u(0,y) = v(0,y) = 0 ; v(0,y) 0 x    Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 6 - Tại mặt trên ( y = h) : xy y τ (x,h) 0 ; σ (x,h) q    - Tại mặt dưới ( y = 0) : xy y τ (x,0) 0 ; σ (x,0) 0   - Tại đầu B ( x =  ) : xy x τ ( , y) 0 ; σ ( , y) 0     I.1.6 Phương trình vật lý (phương trình trạng thái)–Quan hệ ứng suất và biến dạng. Trong giáo trình này chỉ xét giai đoạn làm việc của vật liệu ở giai đoạn đàn hồi, biến dạng là nhỏ và đàn hồi là tuyến tính. Như vậy quan hệ giữa ứng suất và biến dạng ở đây được áp dụng bởi định luật Hooke. Xét với vật liệu đẳng hướng : I.1.6.1 Bài toán 3 chiều : định luật Hooke có dạng : x x y z xy xy xy y y x z yz yz yz z z x y xz xz xz 1 1 2(1 ν) ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ E G E 1 1 2(1 ν) ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ E G E 1 1 2(1 ν) ε σ ν(σ σ ) , γ τ τ E G E                               (I.10) Chú ý rằng các thành phần của ten-xơ biến dạng được tính theo chuyển vị qua (I.7) Nếu viết dưới dạng ma trận và có kể đến biến dạng ban đầu thì (I.10) có dạng:         0 ε C . σ ε   (I.11) trong đó:     T x y z xy yz zx ε ε ,ε ,ε , γ ,γ ,γ - là véc tơ biến dạng     T x y z xy yz zx σ σ ,σ ,σ ,τ ,τ ,τ - là véc tơ ứng suất     T 0 0x 0y 0z 0xy 0yz 0zx ε ε ,ε ,ε ,γ , γ ,γ - là véc tơ biến dạng ban đầu ( Chữ T – ký hiệu chuyển vị ma trận) [C] – ma trận các hệ số đàn hồi , Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 7   1 ν ν 0 0 0 ν 1 ν 0 0 0 ν ν 1 0 0 0 1 C 0 0 0 2(1 ν) 0 0 E 0 0 0 0 2(1 ν) 0 0 0 0 0 0 2(1 ν)                             (I.12) với E – mô đun đàn hồi Young , G – mô đun trượt , ν - hệ số Poát-xông của vật liệu. Trường hợp biến dạng ban đầu do nhiệt độ thì     T 0 0 ε αT 1 , 1 , 1, 0, 0, 0  , trong đó α - hệ số dãn nở vì nhiệt, T 0 – độ biến thiên của nhiệt độ. Biểu diễn ứng suất qua các thành phần biến dạng ta sẽ có :           0 σ D ε ε   hay là :       0 1 1 1 E αT σ D ε 0 1 2ν 0 0                      với ma trận hệ số D là :   1 ν ν ν 0 0 0 ν 1 ν ν 0 0 0 ν ν 1 ν 0 0 0 1 2ν E 0 0 0 0 0 D 2 (1 ν).(1 2ν) 1 2ν 0 0 0 0 0 2 1 2 ν 0 0 0 0 0 2                                    (I.13) I.1.6.2 Bài toán 2 chiều :  Bài toán ứng suất phẳng : ví dụ như xét các bài toán về tấm, vỏ với tải trọng nằm trong mặt phẳng giữa tấm, phân bố đều theo bề dầy của tấm khi đó chọn trục z vuông góc với mặt phẳng tấm, sẽ dẫn đến thể giả thiết rằng : Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 8  z xz yz σ τ τ 0     ứng suất không đổi theo chiều dầy của tấm. với giả thiết này các biểu thức của định luật Hooke có dạng :         0 ε C σ ε   với :         x x 0x 0 y y 0 0y xy xy 0xy ε σ ε 1 1 ν 0 1 ε ε ; σ σ ; ε ε αT 1 ; C ν 1 0 E γ τ γ 0 0 0 2(1 ν                                                           Hay biểu diễn ngược lại:               0 0 1 EαT σ D ε ε D ε 1 1 ν 0                với   2 1 ν 0 E D ν 1 0 1 ν 1 ν 0 0 2                  biến dạng theo phương z vẫn tồn tại và   0 z x y ν ε σ σ αT E      Bài toán biến dạng phẳng : Khi xét vật thể hình lăng trụ dài có mặt cắt ngang không đổi theo chiều dài ( theo chiều trục 0z) , chịu tải trọng đều vuông góc với 0z , khi đó ta có : w = 0 ; z w ε 0 z     ; các đại lượng ứng suất và biến dạng chỉ phụ thuộc vào các biến x và y.         0 ε C . σ ε         0x 0 0 0y 0xy ε 1 1 ν ν 0 1 ν ε ε 1 ν αT 1 ; C ν 1 ν 0 E γ 0 0 0 2                                        Hay biểu diễn ngược lại:               0 0 1 EαT σ D ε ε D ε 1 1 2ν 0                Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 9 với   1 ν ν 0 E D ν 1 ν 0 (1 ν).(1 2ν) 1 2 ν 0 0 2                     ứng suất theo phương z vẫn tồn tại và   0 z x y xz yz σ ν σ σ EαT ; τ τ 0      I.1.6.3 Bài toán 1 chiều : 0 x x 1 ε σ αT E   hoặc 0 x x σ Eε EεT   ( => D = E – mô đun đàn hồi) I.1.7 Đặt bài toán đàn hồi : Thiết lập bài toán đàn hồi bao gồm việc thiết lập các phương trình và các điều kiện biên, chúng phải lập thành một hệ kín để có thể giải ra được các ẩn cần tìm đó là các giá trị của các thành phần ten – xơ biến dạng, ứng suất , véc tơ chuyển vị. Các phương trình gồm có :  Phương trình cân bằng  Hệ thức Cô-si ( liên hệ chuyển vị và biến dạng)  Phương trình trạng thái ( liên hệ ứng suất và biến dạng : định luật Hooke) và các điều kiện biên động học hoặc tĩnh học. Người ta đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán đàn hồi. I.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ĐÀN HỒI Như phần trên đã trình bày, ta thấy rằng để giải bài toán đàn hồi tuyến tính : 3 chiều ta có tới 15 phương trình cùng các điều kiện biên để tìm ra giá trị của 15 ẩn : 3 thành phần chuyển vị, 6 thành phần biến dạng và 6 thành phần ứng suất. Cho đến nay cũng đã có được các phương pháp giải đúng và gần đúng. Có những phương pháp có thể áp dụng tốt cho một lớp các dạng bài toán cơ học biến dạng nhưng lại khó khăn áp dụng nó cho dạng khác. Có thể tổng kết ra đây theo sơ đồ sau [...].. .Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN Các phương pháp giải Các phương pháp số Các phương pháp giải tích Các phương pháp chính xác Các phương pháp gần đúng ( biến phân) Các phương pháp tích phân số Các phương pháp số giải các phương trình vi phân Phương pháp sai phân hữu hạn Mô hình tương thích Phương pháp phần tử hữu hạn ( PTHH ) Mô hình cân bằng Mô hình hỗn hợp I.2.1 Phương pháp. .. học thích hợp Với bài toán cụ thể thì số phần tử, hình dạng hình học của phần tử và kích thước các phần tử phải được xác định cụ thể Số điểm nút mỗi phần tử không được lấy tùy tiện mà phải phụ thuộc vào dạng hàm xấp xỉ định chọn Các phần tử có các dạng hình học đơn giản : Phần tử một chiều : Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử hai chiều: Phần tử bậc 1 19 Biên... DUNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN II.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số để tìm nghiệm gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V Tuy nhiên PP PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve ( phần tử) thuộc miền xác định V Chính vì lẽ đó nên phương pháp này rất thích... bậc 3 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Phần tử hai chiều: Phần tử bậc 1 19 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN Phần tử ba chiều : Dạng tứ diện Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3 Dạng lăng trụ Phần tử bậc 1 Phần tử bậc 2 Phần tử bậc 3  Bước 2 Chọn hàm xấp xỉ thích hợp : Chọn dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản đối với tính toán, nhưng vẫn... tam giác Passcal ( cho bài toán 2 chiều), tháp Passcal cho bài toán 3 chiều 23 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN Bậc đa thức x x2 x3 3 bậc 2 6 bậc 3 10 y y2 xy x2 y 1 tuyến tính 1 Số tham số Hằng số Tam giác Passcal xy2 y3  Số các phần tử của {a} – là các tham số của đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử {q} e , khi đó có... L(φ0 )  g  dv = Bk khi đo ta sẽ có hệ V phương trình đại số tuyến tính : {A}{C} = {B} xác định N hằng số C i , thay vào uN ta nhận được nghiệm gần đúng 12 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN 3 Phương pháp Galerkin : Phương pháp Galerkin là phương pháp dư có trọng lấy ψ k  φ k Như vậy nếu phương pháp Galerkin chọn hệ hàm { φ k} là hệ... biên S (1.15) trong đó L , C là các toán tử vi phân , u = u (x,y,z) đại lượng cần tìm , g = g(x,y,z) và p=p(x,y,z) là các hàm cho trước Phương pháp biến phân là phương pháp gần đúng nhằm tìm một nghiệm xấp xỉ dựa trên một tiêu chuẩn nào đó Các phương pháp biến phân thường gặp đó là phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin, 1 Phương pháp Ritz : Trong một số các bài toán đàn hồi thường tồn tại một phiếm... tơ chuyển vị phần tử {q}e có số thành phần ne = s × r Các đa thức xấp xỉ được biểu diễn theo các bậc tự do của phần tử {q}e , và phải thỏa mãn điều kiện : Các giá trị của đa thức xấp xỉ ( có thể cả đạo hàm của nó) tại các điểm nút thuộc phần tử phải đồng nhất bằng giá trị các bậc tự do của phần tử 24 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN... vị trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần ( hay nguyên lý biến phân Lagrange) 2 Mô hình cân bằng : Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập 18 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN... thể) {P} là véc tơ số hạng tự do tổng thể ( tức là véc tơ tải tổng thể ) sau đó sử dụng điều kiện biên của bài toán sẽ nhận được hệ phương trình : [K * ] {q *}  {P*} - là hệ phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải 20 Biên soạn Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 Bài giảng : Phương pháp phần tử hữu hạn – Bộ môn Toán ĐHLN *  Bước 5 * * Giải hệ phương trình đại số : [K ] {q }  {P . viết về môn học này đã có rất nhiều trên các dạng : sách , bài giảng và trên mạng, song thiết nghĩ thì việc biên so n một tài liệu dạng bài giảng về phương pháp phần tử hữu hạn với thời lượng 2. hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên so n Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 4 Trường hợp biến dạng nhỏ ( t.là khi bỏ qua VCB bậc cao – là các thành phần phi tuyến trong (1.5) và (1.6) )) khi. hữu hạn – B ộ môn Toán ĐHLN . Biên so n Vũ Khắc Bảy – Tháng 08 năm 2012 12  Thỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất  Hệ hàm   N i i φ là độc lập tuyến tính và đầy đủ Với các điều kiện