Một số dạng bài và phương pháp giải trong chủ đề phương trình lượng giác một ẩn

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ⋯⋞⋯⋟⋯ RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3 Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Sinh viên thực hiện: Lê Lam Anh Lớp: Toán 3B Huế, tháng 11 năm 2013 2 MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 3 MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 4 I. Phương trình cơ bản: 4 II. Phương trình dạng asin cosx b x c (1) với ,,a b c R 7 III. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 10 IV. Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx: 15 V. Phương trình bậc cao: 18 VI. Phương trình chứa căn: 20 VII. Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 23 VIII. Phương trình lượng giác không mẫu mực: 26 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 3 LỜI MỞ ĐẦU Phương trình lượng giác là một chủ đề thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng. Tuy không phải là một chủ đề quá khó đối với học sinh, phương trình lượng giác là một trong những chủ đề có khối lượng lớn, nhiều dạng bài, gây khó khăn cho học sinh trong việc ôn tập một cách đầy đủ và có hệ thống. Đề tài này trình bày một số dạng bài phương trình lượng giác thường gặp và phương pháp giải cơ bản. Qua đó, giáo viên có thể giúp học sinh ôn tập một cách có hệ thống phần phương trình lượng giác để chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh đại học và cao đẳng. Để giải một phương trình lượng giác, ta biến đổi phương trình cần giải về một hay một tập hợp các phương trình cơ bản. Trước hết ta cần nhận dạng được phương trình: 1) Nếu phương trình ở dạng chuẩn mực (cơ bản, bậc 1,2 đối với một hám lượng giác, cổ điển, đối xứng, đẳng cấp …), ta chọn cách giải tương ứng với mỗi phương trình đó. 2) Nếu phương trình không ở dạng chuẩn mực, ta dùng các phép biến đổi lượng giác đưa về phương trình tương đương dễ giải hơn. Sau đây là một số dạng bài và phương pháp giải cơ bản. 4 MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Phương trình cơ bản:  Giả sử u,v là những biểu thức theo . Ta có:   2 sin sin 2 u v k u v k u v k               2 cos cos 2 u v k u v k u v k               1 12 2 , tan tan , 2 u v k u v k k u v k             1 12 2 , cot cot ( , ) u v k u v k k u v k            Áp dụng: giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: a)   asin 0 0 sin b u b a u a         1  1 b a  : phương trình vô nghiệm  1 b a  : đặt sin b a   ; 22            1 sin sinu   b)   cos 0 0a u b a   giải tương tự (1) c)   2 tan 0 0 tan uk a u b a b u a                (2) Đặt tan b a   ( ; ) 22       (2) 2 tan tan uk u            ()k  5 d) cot 0a u b ( 0)a  cot uk b u a          ()k  Đặt cot b a     ( 0; )   ,làm tương tự (2).  Chú ý: Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số, nhất thiết phải đặt điều kiện xác định cho phương trình. Do đó, khi tìm được nghiệm phai kiểm tra điều kiện .  Các ví dụ: VD1:Giải phương trình sau:    2 1 cos 2sin cos sinx x x x   (1) Giải:                2 (1) 1 cos 2sin cos 1 cos 1 cos 2sin cos 1 cos 1 cos 1 cos 2sin cos 1 cos 0 1 cos 2sin 1 0 cos 1 cos 1 sin sin 26 2 2 ( , , ) 6 5 2 6 2 2 6 5 2 6 x x x x x x x x x x x xx x x xk xl k l m xm xk xl xm                                                                   ,,k l m          6 VD2: Giải phương trình: tan2 tan3 tan5 tan2 .tan3 .tan5x x x x x x     2 Giải: Điều kiện xác định: cos2 0 cos3 0 cos5 0 x x x           (2) tan2 tan3 tan5 tan2 .tan3 1x x x x x       Nếu tan2 .tan3 1 0xx thì vế phải của (*) bằng 0, suy ra vế trái của(*) bằng 0, tức là tan2 tan3xx , lúc đó: 2 1 tan 2 1 tan2 .tan3 0x x x    (mâu thuẫn) Vậy ta có: tan2 .tan3 1 0xx , suy ra:     tan 2 tan3 tan5 1 tan 2 .tan3 tan5 tan 5 6 , 6 xx x xx xx x x k xk k xk                    So sánh điều kiện xác định, ta có nghiệm của phương trình: , 3 k xk   7 II. Phương trình dạng asin cosx b x c (1) với ,,a b c R 1. Điều kiện có nghiệm: 2 2 2 a b c (2) 2. Phương pháp chung: Với điều kiện (2) được thỏa mãn,ta có:  0abc   :(1) có tập nghiệm là R  0, 0ab (1) cosb x c 0, 0ab (1) asin xc  0, 0, 0abc   : (1) asin cos 0 tan 0x b x a x b       0, 0, 0abc   :  Cách 1:chia 2 vế của (1) cho 22 ab , ta có:   2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 (1) sin cos sin cos cos sin cos ,sin sin a b c xx a b a b a b c xx ab ab a b a b c x ab                        Cách 2:  Với 2,x k k     , đặt tan 2 x t      2 22 2 1 2 (1) 11 20 bt at c tt b c t at c b             Với 2xk   , ta thay vào phương trình (1) xem có phải là nghiệm hay không. 3. Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình:   sin 3 2 cos 1xx   (1) Giải: Nhận xét: 2xk   không phải là nghiệm của phương trình (1). 8 Đặt tan 2 x t  , ta có:     2 22 2 21 (1) 3 2 1 11 1 3 2 3 3 0 1 33 3 13 24 ( , ) 23 tt tt tt t t x k kl x l                                    2 2 ( , ) 2 2 3 xk kl xl              Nhận xét: Đây là bài toán dạng sin cosa x b x c với 0, 0, 0abc   . Tuy nhiên ta nhận thấy nếu dùng cách1 ta sẽ được một biểu thức khá phức tạp, do đó ta dùng cách2. Ví dụ 2: Giải phương trình:    2cos 1 2sin cos sin2 sinx x x x x    (khối D-2004) Giải: Phương trình đã cho tương đương với:               2cos 1 2sin cos 2sin cos sin 2cos 1 2sin cos sin 2cos 1 2cos 1 2sin cos sin 0 2cos 1 sin cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x                   9   1 cos 2 sin cos 0 2 1 3 cos , 2 2 3 x xx xk x k l xl                          sin cos 0 sin cos cos sin 0 44 sin 0 4 4 , 4 x x x x x xk x k k                           Vậy phương trình đã cho có các nghiệm: 2, 34 x k x l           ,kl Nhận xét: Với bài toán này ta dùng các phép biến đổi lượng giác để đưa về việc giải hai phương trình đơn giản hơn: một phương trình có dạng cosxm và một phương trình dạng sin cosa x b x c với 1, 0a b c   . Việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn vì ta đã đưa về giải hai bài toán con đã được thiết lập thuật toán. 10 III. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: 1. Phương pháp chung: Có nhiều dạng bài có thể áp dụng phương pháp này, sau đây là một số dạng bài và cách đặt ẩn phụ:  Phương trình chứa cos sinxx (hay cos sinxx ) và sin cosxx :  Phương trình chứa cos sinxx (hay cos sinxx ) và sin cosxx : Đặt cos sin , 2t x x t   (hay cos sin ,0 2t x x t    ), khi đó 2 1 sin cos 2 t xx   , ta chuyển về giải phương trình theo biến tR .  Phương trình chứa cos sinxx (hay cos sinxx ) và sin cosxx : Đặt cos sin , 2t x x t   (hay cos sin ,0 2t x x t    ), khi đó 2 1 sin cos 2 t xx   , ta chuyển về giải phương trình theo biến tR .  Phương trình một ẩn đối với một hàm lượng giác duy nhất: Đặt t bằng hàm lượng giác đó, tìm tập giá trị của t, chuyển bài toán về giải phương trình theo biến t với tập xác định chính là tập giá trị của t.  Phương trình chứa sin ,cos ,tanx x x : Đặt tan 2 x t  ,khi đó: 2 2 2 2 2 1 2 sin ,cos ,tan 1 1 1 t t t x x x t t t        , ta chuyển về giải phương trình đại số theo biến tR . Chú ý: với dạng bài này,trước hết ta cần kiểm tra 2,x k k     có phải là nghiệm không, đưa ra kết luận cho trường hợp này, sau đó mới tiến hành đặt ẩn phụ như trên.  Phương trình chứa các số hạng có dạng: 2 2 11 ( ) , ( ) ( ) ( ) f x f x f x f x  với ()fx là biểu thức chứa các hàm lượng giác. Đặt 1 () () t f x fx  , khi đó: 2 2 1 ( ) 2 () f x t fx  , ta chuyển về giải phương trình đại số theo biến tR . [...]... VI Phương trình chứa căn: 1 Phương pháp chung: Ta cần chú ý các dạng cơ bản sau: g  x  0  f  x  g  x   2  f  x    g  x      f  x  0  f  x  g  x    f  x  g  x  Khi giải phương trình lượng giác chứa căn, ta vận dụng các phép biến đổi lượng giác và đại số để làm mất dấu căn thức có mặt trong phương trình đã cho,vì vậy: ta thử xem phương trình có nằm trong dạng. .. Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x   2  l 2 , l  3 25 VIII Phương trình lượng giác không mẫu mực: Trong rất nhiều trường hợp, ta không thể đưa phương trình cần giải về các dạng đã nói ở trên, đó chính là những bài toán không chuẩn mực Sau đây là một số dạng bài toán như vậy  Dạng 1:  f  x  0  f 2  x   g 2  x   h2  x   0   g  x   0  h  x   0   3 Ví dụ 1: giải phương trình: ... Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x   2  k 2 , k  33 KẾT LUẬN Phương trình lượng giác là loại toán hay, đa dạng cả về thể loại và cả về cách giải Nhìn chung, khi giải bài toán phương trình lượng giác, học sinh thường gặp một số khó khăn sau: 1) Thiếu điều kiện xác định, không biết cách loại nghiệm 2) Nhầm lẫn giữa các công thức biến đổi lượng giác 3) Không biết nên sử dụng công thức biến đổi lượng. .. này phương trình có đúng 2 nghiệm x  phương Vậy x  4 ,x  trình đã cho có 4  ,x  là 5  7 ,x  ,x  4 6 6 Với dạng toán này, ta cần hết sức chú ý để tránh thiếu nghiệm x  2  k , k  17 V Phương trình bậc cao: 1 Phương pháp chung: Đây là dạng bài thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Tùy vào từng bài toán mà ta đưa ra những cách làm khác nhau Nhưng nhìn chung,với các bài. ..  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x    3  k 2 , k  Với phương trình chứa căn, ta cần chú ý điều kiện để phương trình xác định, tránh trường hợp thừa nghiệm 22 VII Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Phương pháp chung: Ta chú ý các dạng cơ bản sau:  A, A  0  A    A, A  0  A  B  A  B B  0 B  0 A B 2   2  A  B A  B 2 Một số ví dụ: Ví dụ 1: giải phương trình: ... dụng công thức biến đổi lượng giác nào 4) Không nhận dạng được bài toán Nhận biết những khó khăn của học sinh, giáo viên cần có biện pháp giúp học sinh khắc phục Việc hệ thống lại các dạng toán là một biện pháp giúp học sinh ôn tập tốt hơn chủ đề này Đề tài còn nhiều thiếu sot nhưng cũng phần giúp ích cho giáo viên và học sinh học phần phương trình lượng giác được đầy đủ và có hệ thống hơn 34 TÀI LIỆU... phương trình có nằm trong dạng cơ bản không, nếu không ta bình phương 2 vế (lũy thừa bậc n=3,4,… hai vế) và trong quá trình lũy thừa bậc chẵn hai vế phải kèm theo điều kiện các biểu thức nằm bên trong dấu căn không âm và phải đảm bảo hai vế luôn cùng dấu 2 Một số ví dụ: Ví dụ 1: giải phương trình: sin x  2sin x  2  2sin x  1 Giải: Phương trình đã cho tương đương với: 2 2sin x  1  0  2 2 sin x... x    arcsin      m 4 2 2  3  3  , k , l , m Với các bài toán trên, tùy vào từng bài toán ta chọn cách đặt ẩn phụ sao cho phù hợp để việc giải toán được thuận lợi nhất 14 IV Phương trình đẳng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx: 1 Dạng: a sin x  b sin x cos x  c cos x  d 2 Phương pháp chung:  Cách 1: Đưa về phương trình bậc 2 theo tan x : 2 2  Kiểm tra xem x  x  2  2  k , k ... được đầy đủ và có hệ thống hơn 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đoàn Quỳnh, Đại số và giải tích 11 Nâng cao, 2007, nxb Giáo dục 2) Trần Văn Hạo, Đại số và giải tích 11,2007, nxb Giáo dục 3) Trần Thành Minh, Trần Quang Nghĩa, Lâm Văn Triệu, Dương Quốc Tuấn, Giải toán lượng giác, 1999, nxb Giáo dục 4) Nguyễn Ngọc Thu, Tuyển tập chuyên đề lượng giác, 2001, nxb Trẻ 5) dethi.violet.vn/present/show?entry_id=8153478... về phương trình bậc nhất theo sin 2 x,cos 2 x : Dùng công thức: 1  cos 2 x  2 sin x  2  1  cos 2 x  2 cos x  x  R 2  1  sin x cos x  sin 2 x  2  Phương trình đã cho tương đương với: ca b ac cos 2 x  sin 2 x  d  2 2 2 3 Ví dụ: Giải phương trình:   3sin 2 x  3  3 sin x cos x  3 cos x  0 với x   0, 2  Giải:   k , k  không là nghiệm của phương trình đã cho 2 Vậy phương . đổi lượng giác đưa về phương trình tương đương dễ giải hơn. Sau đây là một số dạng bài và phương pháp giải cơ bản. 4 MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI I. Phương trình cơ bản:  Giả. ĐẦU Phương trình lượng giác là một chủ đề thường gặp trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng. Tuy không phải là một chủ đề quá khó đối với học sinh, phương trình lượng giác là một trong. ⋯⋞⋯⋟⋯ RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3 Đề tài: MỘT SỐ DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TRONG CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT ẨN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc Sinh