Các dạng bài tập phương trình lượng giác

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC NÂNG CAO LỚP 11 cũng là tài liệu giúp cho các bạn sinh viên luyện thi cao đẳng đại học.Hy vọng các bạn sẽ đạt được điểm số cao trong kỳ thi đại học cao đẳng sắp tới

Các dạng bài tập lượng giác

Dạng 1 Phương trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số lượng giác

Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện t ≤1

Giải phương trình ……….theo t

Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lượng giác cơ bản

Giải phương trình:

1/ 2cos2x- 4cosx=1

sinx 0



 2/ 4sin

3x+3 2 sin2x=8sinx

3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/ 1-5sinx+2cosx=0

cosx 0



 5/ Cho 3sin3x-3cos2x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos2x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx=1

3) 6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+ 3

cot x -2 = 0 b / 42

cos x+tanx=7

c* /sin6x+cos4x=cos2x

8/sin(2 5

2

x+ π

)-3cos( 7

2

x− π )=1+2sinx 9/ sin2x−2sinx+ =2 2sinx−1

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/

sin 2 4 cos 2 1

0 2sin cos

13/ sinx+ +1 cosx=0 14/ cos2x+3cosx+2=0

15/

4sin 2 6sin 9 3cos 2

0 cos

x

16/ 2cosx- sin x =1

Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c

Cách 1: asinx+bcosx=c

Đặt cosx= 2a 2

a +b ; sinx= 2 2

b

a +b

2 2 sin( )

Cách : 2 a sinx bcosx c

a

Đặt b tan a[sinx cos tanx ] c

sin(x ) ccos

a

Cách 3: Đặt tan

2

x

t = ta có

2

sin ;cos

−

2

(b c t) 2at b c 0

Đăc biệt :

1 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

3 sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )

Điều kiện Pt có nghiệm : a2 +b2 ≥c2

Giải phương trỡnh

1/ 2sin15x+ 3 cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0 2/ a : 3 sin cos 1

cos

x

+ = b: 4sin 3cos 6 6

c: 3 sin cos 3 1

3 sin cos 1

+ + 3/ cos 7x− 3 sin 7x+ 2 = 0 *tìm nghiệm (2 ;6 )

x∈ π π

4/( cos2x- 3 sin2x)- 3 sinx-cosx+4=0 5/ 2

(3 3 sin )

x

6/ cos 22sin cos

3

+ −

Dạng 3 Phương trỡnh đẳng cấp đối với sinx và cosx

Giải phương trỡnh

1/a/ 3sin2x- 3 sinxcosx+2cos2x cosx=2 b/ 4 sin2x+3 3 sinxcosx-2cos2x=4

c/3 sin2x+5 cos2x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin2x+6sinxcosx+2(1+ 3 )cos2x-5- 3 =0

2/ sinx- 4sin3x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

x= +π4 kπ

+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0 ⇔(cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0 3/ tanx sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinxcosx)

4/ 3cos4x-4sin2xcos2x+sin4x=0 5/ 4cos3x+2sin3x-3sinx=0

6/ 2 cos3x= sin3x 7/ cos3x- sin3x= cosx+ sinx

8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos3x 9/sin3(x-π/4)= 2 sinx

Dạng 4 Phương trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx

* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx t ≤ 2

⇒ at + b 2 1

2

t − =c ⇔bt2+2at-2c-b=0

* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx t ≤ 2

⇒ at + b

2

1 2

t

− =c ⇔bt2 -2at+2c-b=0

Giải phương trỡnh

1/ a/1+tanx=2sinx + 1

cos x b/ sin x+cosx=

1

tan x

-1

cot x

2/ sin3x+cos3x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin3x+cos3x= sin2x

4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/ 2 sin2x(sin x+cosx)=2

6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/ 2 (sin x+cosx)=tanx+cotx

Đẳng cấp bậc 2: asin2x+bsinx.cosx+c cos2x=0

Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx≠0 Chia 2 vế cho cos2x ta được:

atan2x+btanx +c=d(tan2x+1)

Cách2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin3x+b.cos3x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc

asin3x+b.cos3x+csin2xcosx+dsinxcos2x=0

Xét cos3x=0 và cosx≠0 Chia 2 vế cho cos2x ta được Pt bậc 3 đối với tanx

8/1+sin3 2x+cos32x=3

2sin 4x 9/

* a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2 9/b*: cos4x+sin4x-2(1-sin2xcos2x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0

10/ sinx−cosx +4sin 2x=1 11/ cosx+ 1

cos x+sinx+ 1

sin x=10

3 12/ sinxcosx+ sinx+cosx =1

Dang 5 Giải phương trình bằng phương pháp hạ bậc

Công thức hạ bậc 2

cos2x= 1 cos 2

2

x

+

; sin2x= 1 cos 2

2

x

−

Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cos cos3

4

; sin3x= 3sin sin 3

4

Giải phương trỡnh

1/ sin2 x+sin23x=cos22x+cos24x 2/ cos2x+cos22x+cos23x+cos24x=3/2

3/sin2x+ sin23x-3 cos22x=0

4/ cos3x+ sin7x=2sin2( 5

4 2

x

π + )-2cos29

2

x

5/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix∈(0; )π

6/sin24x-cos26x=sin(10,5π +10x) với (0; )

2

x∈ π

7/ cos4x-5sin4x=1 8/4sin3x-1=3- 3 cos3x 9/ sin22x+ sin24x= sin26x

10/ sin2x= cos22x+ cos23x 11/ (sin22x+cos42x-1): sin cosx x=0

12/ 4sin3xcos3x+4cos3x sin3x+3 3 cos4x=3 ;

24 2 8 2

x= π + π π+ π 

  13/ 2cos22x+ cos2x=4 sin22xcos2x 14/ cos4xsinx- sin22x=4sin2(

4 2

x

π − )-7/2 với x−1<3 15/ 2 cos32x-4cos3xcos3x+cos6x-4sin3xsin3x=0

16/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 17/ * 8cos3(x+

3

π )=cos3x 18/cos10x+2cos24x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos23x

19/ sin 5

5sin

x

x =1

20 / cos7x+ sin22x= cos22x- cosx 21/ sin2x+ sin22x+ sin23x=3/2

22/ 3cos4x-2 cos23x=1

Dang 6 : Phư ơng trình LG giải bằng các hằng đẳng thức

* a3±b3=(a±b)(a2mab+b2) * a8+ b8=( a4+ b4)2-2 a4b4

* a4- b4=( a2+ b2) ( a2- b2) * a6±b6=( a2±b2)( a4ma 2b2+b4)

Giải phương trỡnh

1/ sin4

2

x

+cos4

2

x

=1-2sinx 2/ cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 3/ cos3x+ sin3x= cos2x 4/

x

+ = + vô nghiệm

5/cos6x-sin6x=13

8 cos

22x 6/sin4x+cos4x=7

7/ cos6x+sin6x=2(cos8x+sin8x) 8/cos3x+sin3x=cosx-sinx

9/ cos6x+sin6x=cos4x 10/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x= cosx+cos2x+cos3x+cos4x

11/ cos8x+sin8x= 1

8 12/ (sinx+3)sin

4

2

x

-(sinx+3) sin2

2

x

+1=0

Dang 7 : Ph ương trình LG biến đổi về tích bằng 0

1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0

3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin3 x+2cosx-2+sin2 x=0

5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/ 3

2 sin2x+ 2 cos2x+ 6 cosx=0 7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/ sin 3 sin 5

x = x 9/ 2cos2x-8cosx+7= 1

cos x 10/ cos8x+sin8x=2(cos10x+sin10x)+5

4cos2x 11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x

12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin2 x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14/ 2sin3x- 1

sin x=2cos3x+ 1

cos x 15/cos3x+cos2x+2sinx-2=0 16/cos2x-2cos3x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx- 1

cos x)=0

18/sin2x=1+ 2 cosx+cos2x 19/1+cot2x=1 cos 22

sin 2

x x

−

20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+ 1

sin 2x 21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0 22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx

24/ 2 2 sin( )

4

x+π

sinx+cosx 25/ 2tanx+cotx= 2

3

sin 2x

+ 26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8

Dang 8 : Phư ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc

cos2x= cos2x- sin2x =2cos2x-1=1-2sin2x

sin2x=2sinxcosx

tan2x= 2 tan2

1 tan

x x

−

sinx = 2 2 1

t t

+ ; cosx=

2 2

1 1

t t

− + tanx= 2

2 1

t t

−

Giải phương trỡnh

1/ sin3xcosx=1

4+ cos

3xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16 3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos2x

5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2

8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x

10/a* tan2x+sin2x=3

2cotx b* (1+sinx)

2= cosx

Dạng 9 : Ph ương trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và

tích_tổng

Giải phương trỡnh

1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0

3/sin 3 sin sin 2 cos 2

1 cos 2

x

− tìm x∈(0; 2π) 4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0

5/ sin5x+ sinx+2sin2x=1 6/ 3 cos 2( cot 2 )

7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x

Dang 10 : Ph ương trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Giải phương trỡnh

1/ sin(3

x

π −

)=1

2sin(

3

x

π +

) 3 2 ;4 2 ;14 2

5 15 15

x=π+k π π+k π π+k π

  2/ sin(3

4

x−π )=sin2x sin(

4

x+π ) x= +π4 kπ2

3/(cos4x/3 – cos2x): 1 tan x− 2 =0 x k= 3 π 4/ cosx-2sin(3

x

π − )=3 x k= 4 π

5/ cos(2 7

2

x− π

)=sin(4x+3π) ;

k

x= ± + π kπ π 

  6/3cot2x+2 2 sin2x=(2+3 2 )cosx 2 ; 2

x= ± + π kπ± +π kπ

7/2cot2x+ 22

π π

= − + 8/ cos2x+ 12

cos x=cosx+ 1

cos x x k= π

9/sinx- cos2x+ 1

sin x +2 12

x=π+k π− +π k π π+k π

 11/1 sin 2

1 sin 2

x x

+

1 tan

1 tan

x x

+

− =3 x={kπ α; +kπ}, tanα=2

Dang 11 : Ph ương trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp

Giải phương trỡnh

1/ 3 4 6 (16 3 8 2) cos+ − − x =4cosx− 3 2

4

x= ± +π k π 2/cos (3 9 2 16 80)

π

 =1 tìm n0 x∈Zx= − − { 21; 3 }

3/ 5cosx− cos 2x+2sinx=0 2

6

x= − +π k π

4/3cotx- tanx(3-8cos2x)=0 x= ± +π3 kπ

5/2 sin( tan )

2cos 2 tan sin

x

+

−

2 2 3

x= ± π+k π

6/sin3x+cos3x+ sin3xcotx+cos3xtanx= 2sin 2x 2

4

x= +π k π

7/tan2xtan23xtan24x= tan2x-tan23x+tan4x x=k4π

8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x 2

3

k

x= π π +k π

9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan2x) x k= π 10/ sinx+sinx= −1 sin2 x−cosx ;sin 5 1

2

x k= π x= −

11/cos2 (sin 2 cos 2 )

π

2 tan 2 4

 + 

 ÷

  x 4 k2

π π

= − +

12/ 2 cos 6 sin 2sin 2 2sin 3

 − −  − =  − −  + 

 ÷  ÷  ÷  ÷

       

5 5 ; 5 5 ;5 5

x= − π+kπ− π+kπ π+kπ

Dang 12 : Ph ương trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 lượng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm

Giải phương trỡnh

1/ cos3x+ 2 cos 3x− 2 =2(1+sin22x) x kπ= 2/ 2cosx+ 2 sin10x=3 2 +2sinxcos28x x= +π4 kπ

3/ cos24x+cos26x=sin212x+sin216x+2 với x∈(0;π) 4/ 8cos4xcos22x+ 1 cos3x− +1=0 2 2

3

x= ± π+k π

5/πsin x = cosx x= 0 6/ 5-4sin2x-8cos2x/2 =3k tìm k ∈Z* để hệ có nghiệm 7/ 1- 2

2

x

=cosx 8/( cos2x-cos4x)2=6+2sin3x x= +π2 kπ

1 cos 1 cos cos 2 sin 4

2

4

x= ± +π k π