Bài giảng số 18: Phương trình lượng giác (Ôn thi đại học) Cũng giống như các bài toán về hàm số, các bài toán về phương trình lượng giác là một câu hỏi bắt buộc có mặt trong mọi đề thi về môn toán vào các trường đại học, cao đẳng các năm 2002-2009. Bài giảng này đề cập đến các phương pháp giải phương trình lượng giác tùy theo dạng của chúng.
Trang 1Bài giảng số 18
PHUONG TRINH LUONG GIAC +
Cũng giống như các bài toán về hàm số, các bài toán về phương trình lượng giác là một câu hỏi bắt buộc có mặt trong mọi đẻ thi về môn Toán vào các trường Đại học, Cao đăng các năm 2002-2009
Bài giảng này để cập đến các phương pháp giải phương trình lượng giác tùy theo dạng của chúng
Lược đồ chung đề giải các phương trình lượng giác được tiên hành như sau: 1/ Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Ngoài các điều kiện thông thường như đối với mọi phương trình khác (thí dụ như điều kiện về mẫu số, các biểu thức trong căn của các căn bậc chăn có mặt trong phương trình ), riêng đối với phương trình lượng giác cần chú ý đặc biệt đến các điều kiện sau:
Ậ , - LA TA HA rt
+ đê tan x có nghĩa, điều kiện là x # 21 kn, keZ
+ Để cot x có nghĩa, điều kiện là x# kx,ke Z
2/ Giải phương trình bằng các lược đồ quen thuộc
3/ So sánh nghiệm tìm được với điều kiện đặt ra để loại bỏ đi các nghiệm ngoại lai xxx nã NI NÀNG se NA a SO, NNNG Œ “§L PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX | » Xn roe TH = wan On, hà a 1 Dang phuong trinh: asin x + bcos x = 2 (a, b 0) «A aan ea oA ` ` z ta 2 2 2 3
2 Điều kiện có nghiệm: Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi a“ + bˆ >c” 3 Cách giải: Có hai cách giải phương trình này:
Phương pháp ï: Đưa phương trình về dạng:
——— Inx+ b
va +b" va? Dat cosg= Teaine a
av +0" a +
Khi do (1) <> sin (x + a) = sina
Phương pháp 2: Xét hai kha nang sau:
—COSX =
vn
£ x › ~ `
+Nêub+c=0= cos =0 thỏa mãn phương trình
=x=m+k2mx,k € Z thuộc vào tập hợp nghiệm + Nếu b+c 40 > cos= #0, khi do đặt ¬ t
Trang 22 „€OSX==———~, ta quy phương trình đã cho 1+t? Ap dung céng thire sin x = l+t À ` a Ae ge are X về phương trình bậc 2 đối với t, sau đó giải tan — = t Chu y: Khi sử dụng phương pháp này người ta thường hay quên xét khả năng cos =0, 4s x ae ~ TẾ ak > gpk A ar + ma đặt ngay tan = t, khi đó sẽ dân dén kha năng có thê mat nghiém cua phuong trình
Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D — 2007)
Giải phương trình lượng giác: (sin > +cos > y+ V3 cosx = 2 (1) Giải 1 Ta có (1) © 1+ sing + VŠeosx =2 €9 sinx + cosx= 2 xi = tk2n |x=- +k2m e sn( xe 5 Ì=snE © ° 2 (k eZ) x+—=?“+2kn x=—+k2n 3 6 3
Trang 3Để ý rằng nghiệm x ='2+ k2r bị loại (vì không thỏa mãn (2)), và rõ ràng
yang k= thỏa mãn (2) nên nghiệm của (1) là x = —g + k=, keZ
Nhận xét:
Mặc dù ở đây (1) không có dạng asinx + bcosx = c, nhưng thực chất cách giải (3) là sử dụng phương pháp của cách giải phương trình asinx + bcosx = c, nên ta sắp xếp nó vào dạng này ˆ
Thí dụ 3: (Đề thi tuyên sinh Đại học khỗi B — 2009)
Giải phương trình lượng giác:
sinx + cosxsin 2x + ¥3cos3x = 2(cos4x +sin? x) (1)
_ Giải
Ta có: (l) & sinx +cosxsin2x + V3c0s3x —2sin? x = 2c0s 4x
<> sin x(I ~2sin? x} + cosxsin 2x + !3cos3x =2cos4x & SinX€os2x + cosxsin 2x + X3cos3x =2cos4x
& sin3x + \3cos3x =2cos4x sin 3x+ â cos( 38 -Đ) =cos4x <> 3x = =+4x+k2n x=~< +k2r c 6 &eZ) T1 21m X= +k— , 42 7
Thí dụ 4: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối D — 2009) Giải phương trình: V3cos 5x — 2sin3xcos2x — sinx =0 (1)
Ta có: (1) © A/3cos5x —(sin5x + sinx)— sinx =0
Trang 4Giải Tacó:(l) << a(t sim 2x + 3sin4x =2 “ ¬A-~ +X43sin4x =2 <© V3sin 4x +cos4x =-1 3 | | nr) ( T <> ——-sin 4x +—cos4x =~— <& sin| 4x+— |=sm| —— 2 2 2 6 6 “ “ T T x=-—+k~ x= k= 4 2 Thi du 6: Giai phuong trinh: 2/2(s inx + cos x)cosx =3+cos2x (1) Giai Ta có: (1) © V2 sin 2x + V2 (14 cos2x) = 3 + cos2x <> V2 sin2x + (V2 -1)cos2x =3-V2 2 2 2 Ta cé: (v2) +(V2 -1) =5~2V2 <11-6y2 =(3- v2)
Vậy (1) vô nghiệm (vì vị phạm điều kiện a” + b > c3
Trang 5(1) © TANS a inx + 1EN3 osx = aL (2) 2⁄2 242 2 :
Việc giải (2) bằng phương pháp I về nguyên tắc thì làm được, nhưng để ra
đáp số như trên thì rất khó khăn Vậy với thí dụ này, phương pháp 2 là thích hợp
Thí dụ 8: :
Tìm m để phương trình: 2sinx + mcosx =l—m có nghiệm thuộc - 4] Giai
Lập luận như thí du 7, thi cos 5 #0 Vm, vi thé dat t = tan 5 thi phuong
trình đã cho có dạng (sau khi biến đổi):
f() =t—4t+ 1= 2m (1)
Doxe |-3:5| = -l <t<l 2 2 @)-
Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ (1) 2) có nghiệm
Ta có Ÿ{) = 2t T— 4 và có bảng biến thiên sau: t -1 I 2 f ’(t) _ .0 -2 Từ đó suy ra (1) và (2) có nghiệm <> -2<2m<6 -1<m <3 Đó là các giá trị cần tìm của m Nhận xét:
Với thí dụ này phương pháp 2 tỏ rõ hiệu lực hơn hẳn phương pháp 1
Qua các thí dụ trên các bạn chắc đã tự rút ra kết luận khi nào nên sử dụng
phương pháp 1, hoặc phương pháp 2 >> ee NNNGG AN “TT” _§8 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ` NỈ ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX " 1 Dạng phương trình ,
a/ Phương trình đăng cấp bậc 2 đối với sinx và cosx có dạng
asin’x + bcos’x + csinxcosx + d = 0
b/ Phương trình đẳng cap bậc 3 đối với sinx và cosx có dạng
asinx + bsin’xcosx + csinxeos2x + đeosỶx = 0,
Cùng với b/ ta xét phương trình đăng cấp bậc 3 đối với sinx và cosx (dạng suy
rộng) sau: asin x + bsin2xcosx + csinxcos2x + dcos”x + (msinx + ncosx) = 0 2 Cách giải
— Kiểm tra cos x = 0 có phải là nghiệm hay không?
— Sau đó xét tiếp trường hợp cos x # 0 Dat tan x = t
Trang 6Bằng cách chia cả hai về của phương trình cho cos’x với phương trình đẳng
cấp bậc hai và cho cos”x với phương trình đẳng cấp bậc 3, ta quy về phương trình
bậc hai (hoặc bậc ba) đối với t Tìm được t, ta giải tiếp phương trình cơ bản: tan x = t
ta sẽ đi đến nghiệm x cần tìm
Thí dụ 1: (Đề thi tuyển sinh khối B - 2009)
„ Giải phương trình lượng giác:
sin? x — V3 cos? x = sin x cos” x — 3 sin? xcosx (1) Giai
Nếu cos x=0 thì từ (1) ta có sin’x = 0 và đó là điều vô lý, nên cosx # 0 Do cos x # 0, nên chia cả hai về của (1) cho COS”x, ta có
tan? x — V3 ~ tan x + x3 tan? =0 (anx+ ()(an x~1)=0 1 -|X=-—+km ‹ tanx =—x3 3 xan tka ©|tnx=lÐ © x= “+kxt © wkeZ 4 T4 7 tan x=—Ì n Kaa tks x=-—+k® 4 Thi du 2: Giải phuong trinh sin? x(tan x +1) =3sin x(cosx —sinx) +3 (1) Giải Điều kiện để (1) có nghĩa là x # at kak e Z (2) Khi đó:
ae sin? x (sin x + cosx) = 3sin xcos x(cosx ~sinx) + 3sin x (3)
Do điều kiện (2) nên chia cả hai về của (3) cho cos”x và có
Trang 73
Vậy (1) © fos Bin *) = 4cos? x —3cosx
© v3sin *x +008" x + V3 cos” xsin x —3cosxsin? x —cosx =0 (2)
Rõ ràng cosx # 0 (vi néu cosx = 0 => sinx = 0: v6 li) °
Vi thé chia cả hai vế của (2) cho cos”x và có:
43 tan? x +143 tanx —3tan? 'x—l—tan?x=0 tan x=0 x=kn © tan x( V3 tan? x — 4tan x + v/3)= 0 © tnx= Ze x=<+kn, keZ tanx = V3 x= 4 kn 3 Thí dụ 4: Giải phương trình: sinx + cosx — 4sin x = 0 (1) + Nếu cosx=0, từ (1) ta có hệ: [orn a =
sinx —4cos2 x =0 sinx =0;sinx = +l
Từ (2) Ó) suy ra vô lí Vậy cosx # 0
+ Do cos x i 0, nén chia ca hai vé của (1) cho cos! x và có
tanx(1 + tan’x) + 1 + tan’x — 4tan?x = 0 3tan°x — tanˆx ~ tanx — 1 =0
<> (tanx — 1)(3tan’x + 2tanx + 1)=0< tanx=1 6 x= at kn k eZ
Thi dụ 5:
Cho phương trình: sin x + (2m — 2)sinxcosx — (m+ 1)cos’x =m (1) Tim m dé phuong trình (1) có nghiệm
Giải
cosx =0 (2)
+ Nếu cosx = 0, thi từ (1) ta có: 2
sin“x=m 6)
Hệ (2) (3) có nghiệm © m = 1 Vậy m =l là một giá trị cần tìm
+ Nếu cosx # 0 Khi đó chia cả hai về của (1) cho cos’x va (1 © tan? x+(2m -2)tan x —(m + l)= m + mtan? x
<> (m— 1)tan’x — 2(m — 1)tanx + 2m + 1=0(2)
Dễ thấy A'= ~m”— m + 2, vậy A' >0 © -2 < m<I (dom#£ ])
Kết hợp lại: ~2 <m < 1 là các giá trị cần tìm của tham số m ; Thí dụ 6:-Cho phương trình: mcosˆx — 4sinxeosx + m — 2 = 0 (1) Tim m dé
(1) có nghiệm thuộc (s2) t
Trang 8Giải
T ` pe ta sak > - £
Khi 0< x < 4 thi cosx > 0 (ndi riéng cosx # 0) Vì thê sau khi chia ca hai về của (1) cho cos’x va rut gọn, ta có:
2
(1) <> m(tan2x + 2) = 2tan’x + 4tan x+2 © dan x + Manes? tan?x +2
Khi 0< x < 2 thi 0 < tan x < 1 Vậy s sau khi đặt t = tanx bài toán trở thành: 2 +4t+2 Trẻ» : = 2 Tim m dé hé f(t)= +2 ( ) có nghiệm - 0<t<l (3) | ~4(t? ~t-2) Ta có: f'{t)= 5—- và có bang biên thiên sau: (? +2) t | -l 0 l 2 F(t) + f(t | 8 ˆ 8 we £ Vậy l <m< 3 là các giá trị cân tìm.của tham sô m Sy AN Nợ AA, NN C “3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI: XỨNG VỚI SIN X VÀ COS X _ ` ` rt cone eee mm 1 Dạng của phương trình
a(sinx + cosx)* + b(sinxcosx)" +¢=0 (1)
hoặc a(sin x —cos x)* +b(sinxcosx)"+c=0 | (2)
2 Cach giai
_ Voi phuong trình (1) dựa vào hệ thức:
(sinx+cosx)” ~]
sin x Cos X nn
sau đó dùng phép thay biến t = sinx + cosx (- V2 <ts 42) — Với phương trình (2) dựa vào hệ thức
I-(sinx —cosx)Ÿ
sin X COS x = TT” ;
Trang 9sau đó dùng phép thay biến t = sinx — cosx (— 2 <t<A/2)
Như vậy ta đã quy được (1) (hoặc (2)) về dạng phương trình đại số của t Sau đó giải phương trình sinx+cosx = t để suy ra đáp số cần tìm
Thí dụ 1: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A ~ 2007)
Giải phương trình: (1 + sinˆx)cosx + (1 + cos’x)sinx = 1 + siri2x (1)
Giải
Ta cé: (1) < sin’xcosx + sinxcos’x + sinx + cosx = (sinx + cosxy <> (sinx + cosx)(sinxcosx + | — sinx — cosx) = 0
eee (2)
©
sinxcosx+1~(sinx+cosx)=0 (3)
Dé thay (2) © sinx =-cosx © tanx=—1 x= —T tk k EZ Dat sin x + cos x = t (V2 <t <2), khi đó (2) có dạng 2 t l1 t=0 or—2t+1=0 6 t=1o sinx + cosx = 1 x=k2n c© Zeos( x) =1 > 0s{ x- 2) = cos es keZ 4 x=S+ k2m 2 Vậy nghiệm của (1) là x = at kn; x = k2;x =5t k2n keZ Thi du 2: Giải phương trình: 1 + sin*x + cos*x = = sindx (1) Giải ,
Trang 10Thí dụ 3:
- Giải phương trình 1+ tanx =2A/2sin x (1) -
Giải
- Điều kiện để (1) có nghĩa là x # +kn,keZ (2)
Khi đó (1) © 14+ sinx =2V2sinx © SỈnX + €0S X — 2V2 sin x cos x (3) COSX Đặt t = sinx+eosx (—⁄2 <t<42 ) Khi đó (3) có dạng: + 2 t= J2 t-2V2t =! 06 240? -t-V2=-06 | 2 t=-—= V2 + Néu A2, ta có sinx+cosx=x/2 cos(x-7) =1e> X = +k2m, ke Z 1 , 1 + Nếu t= ——, ta có sinx + cosx = ——= v2 ⁄2 x 1 on , xa ike c© cos( x2) =—5 =ens © 12 wkeZ 4 2 3 ——+k2ñ 57 12 Vậy phương trình có ba họ nghiệm như trên Thí dụ 4: Giải phương trình: |sinx—cosx|+4sin2x=1 (1) Giải _ Đặtt= sinx — cosx (-V2 <t < V2 ), khi đó (1) có dạng (Qo <2 326 It] + 4(1 -t?) = 1 (2) (ee 4t?7-t-3=0 [t=1 - €>|t|=1 © |sinx — cosx| = 1 © (sinx _ oo, — cosx}= ; -/2 <t<0 t=-l 4+t-3=0 - © sin 2x= 0 © kĩ k€#, Thí dụ 5: Cho phương trình sinˆx — cos°x =m (1) Tim m để phương trình có nghiệm Giải
Ta có (1) <> (sinx — cosx)(1 + sinxcosx) = m (2)
Trang 111-t? 3 ; t} 1+ 2 =m<-t +3t=2m Bài toán trở thành: Tìm m để hệ: f()=-t+3t=2m — @) -⁄2<t<2 (4) Ta có f() =—3 + 3 và có bảng biến thiên sau: t -V2 -I I v2 f °(t) _ 0 + 0 ~ -V2 _ 2 Vậy (3) và (4) có nghiệm, tức là (1) có nghiệm khi và chỉ khi: ~2 <S2m <2 © ~l <Sm<1] có nghiệm mm owe SO, ` NG AAA ` "`
/Z84 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỰNG NHIÊU 5 `» NG >> ĐẾN PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIAC NA là
Nhìn chung khi đứng trước một phương trình lượng giác đã cho, nếu như thấy phương trình ấy không thuộc vào các dạng cơ bản đã nêu trong các mục §1,§2,§3- ở trên, thì trước hết cần phải dùng các phép biến đổi lượng giác thông dụng (công
thức cộng, công thức nhân, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng, công thức hạ bậc ) để đưa phương trình ban đầu về các dạng cơ bản ở trên, hoặc đưa về
phương trình tích mà mỗi thừa số có dạng phương trình cơ bản
Đây là phương pháp phổ thông nhất và rất có hiệu quả để giải phương trình lượng giác
Xét các thí dụ sau:
Thí dụ 1: (Đề thi tuyễn sinh Dai học khối D — 2008)
Giải phương trình: 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx (1) Giải ` Ta có (1) © 4sinxcos”x + 2sinxcosx — (1 + 2cosx) = 0
Trang 12328
Thi du 2: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối B — 2007)
Giải phương trình lượng giác: 2sin2x+sin7x—l=sinx (1)
Ta có (1) © (2sin?2x — 1) + (sin7x — sinx) = 0
<> -cos4x + 2cos4xsin3x = 0 <> cos4x(2sin3x — 1) =0 kn km cos4x =0 2¡ I© x=- 4k ke Z sin3x =— 18 3 x1, 2T, 18 3
Thí dụ 3: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A — 2006)
2(sin® x+ cos”x) —sin XCOsx Giai phuong trinh: =0 1) P 5 V2 -2sinx ( Giải Dé (1) có nghĩa cần có sinx # _ (2) re ae 3.2 1, Khi đó (1) & 2 _ 2x ~.sin2x=0 sin2x =] 4 <> 3sin’2x+sin2x-4=0 <<] 4 (sin2x=—— loai vi |sin2x{ >1) sin 2x =-— 3 3 © sin2x=1 x= ithe, k eZ (3) Kết hợp (2) và (3) suy ra x = = +k2z, k e Z là nghiệm cần tìm Thí dụ 4: (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối A ~ 2005)
Giải phương trình: cos?3xcos2x—cos”x=0 (1) Giải
Áp dụng công thức “hạ bậc”, ta có:
()© 1+cos6x cos2x— 1 + cos2x =0
2 2
<> cos6xcos2x = 1 <= (4cos*2x — 3cos2x)cos2x = | > 4cos'2x — 3cos’2x — 1 = 0 <> cos’2x = |
<> 14+ cos4x=2 <cos4x=1Ox= kek eZ
Thi du 5: (Dé thi tuyển sinh Đại học khỗi D - 2003)
Trang 13Giải Điều kiện để (1) có nghĩa là x # 2+km, ke Z (2) Rr Ap dụng công thức “hạ bậc”, ta có: I—cosl x—^ |: 2 I—cos°x 1+cosx 2 cosx 2°
<= (1 —sinx)(1 - cosx)(1 + cosx) ~ cos’x(1 + cosx) = 0 <> (1 + cosx)(1 — sinx)(sinx + cosx) = 0 q) © =0 x=1mr+k2zx cosx =] © |sinx=l © 2 +k2n (3), k tanx =1 a 4 Từ (2) và (3) suy ra: X= + k2m;x= =7 + km, k eZ Thi du 6 Giai phuong trinh: (1 — tanx)(1 + sin2x) = | + tanx (1) Giai
Điều kiện để (1) có nghĩa là x # 2+kn, keZ @)
Khi đó (1) © (1— tan ot + ng] =l+tanx © 2tan2x(1+tanx)=0 1+ tan“ x - tanx=0 x=kn c© © T keZ tanx =-] X=-—+knz Thí dụ 7: Giải phương trình: 2sin3x(I — 4sin x) = 1 (1) Giải Dễ thấy cosx = 0 không thỏa mãn (1), từ đó
Trang 14` NNNG ` NA,
NN
-— “NGHIÊM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC `
NS S¬ Ầ THUỘC MỘT MIỄN CHO TRƯỚC _
AM
Bài toán đòi hỏi tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong một miền cụ thể cho trước Với các bài toán này, phương pháp giải được tiến hành theo các bước sau: -
1/ Giải phương trình lượng, giác như bình thường
2/ Với nghiệm tìm được, để xác định số k trong công thức nghiệm ta phải giải một bắt phương trình (tìm nghiệm nguyên)
3/ Thay giá trị k tìm được vào công thức nghiệm tìm được ở bước Ï
Thi du 1: (Dé thi tuyển sinh Đại học khối A — 2002)
Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2 2 ) của phương trình: | €os3x + sin3x 5| SInX +~—————— 1+2sin2x Giải ]z3teosex (1)
Điều kiện để (1) có nghiệm là sin 2x + “5 (2)
sinx + 2sin 2x sin x + cos3x + sin3x Khi đó (1) © 5 - =3+cos2x I+2sin2x Sinx + cos x— cos3x + sin 3x + cos3x ©5 - =3+cos2x © 5cosx=3+2cos”x—l I+2sin2x © 2cos”x-5cosx+2=0 © cosx= (loại cosx=2)<> x=+ 3 Ty k2n,ke Z + Ta có: "¬" © k=0 (do k nguyên)
+ Lại có 0<cã kê? ckcc © k=l (do k nguyên)
Vậy x= 3 va x = 3 la hai nghiém thuộc (0; 2x) của ql): Thi du 2: (Dé thi tuyén sinh Dai hoc khối D-2002)
Trang 152 NT
Thi du 3: Cho phương trình cos2x — tanˆx = —= (1)
x
Tìm tổng các nghiệm của (1) trên [1; 70]
Điều kiện để (1) có nghiệm là x # 2+km, ke Z
Khi đó (1) <> cos2x — tan’x = 1 ~ cosx — (1 + tan’x)
<> cos2x= —cosx <> 2cos”x + cosx — Ì = 0 €OSX = —Ï 2 c© | ©x=T+kf, keZ | cosx => 3 3 Ta xem trên đoạn [1;70] có bao nhiêu nghiệm đạng (2) Ta có: l<— 5 K2” <70c> 2 <2k+1< “te (Š-I]<k< <3 72-1] 3 3 7 T 2\T 200 Do k nguyén nén k = 0; 1; 2; 3 532 Vậy trên [1; 70] có 33 nghiệm dạng (2) Chúng lập thành một cấp số cộng với T 20 u¡= — và công sai d= — 3 3 [2u +(n-1)dn 2
Vậy tong S các nghiệm này là: S= =363z
(6 day u;= —; d= 2 va yun sides n = 33) BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1: Giải phương trình lượng giác: 4sinˆx — 1 =3sinx — V3 cos3x Đáp số: x=1 +2“ x~ kẻ +, ke Z 18 3 2 3 Bai 2: 7
Giải phương trình lượng giác: 2sin4x + 3cos2x + 16sin’xcosx — 5 = 0
Trang 16332 Giải phương trình lượng giác: 2cos2x -8cosx + 7 = Bai 5: Giải phương trình lượng giác: V2sin? x(x + 4 =2sinx Đáp số: x=x +kP,k c2 Bài 6:
Giải phương trình lượng giác sinx — cosx + 7sin2x = Ì
Đáp số: x=5 +kên;x= 1+ k2n;x=E —g + k2fcx =Ê” +ø + kếm, ke Z, o day sina = 3v2 7 Bài? —~ Giải phương trình lượng giác sin2x + {5n x -5] =1, Đáp số: X= 2 +kPK=2 +k2mx= m + kế, ke Z Bai 8: Tim m dé phuong trinh: sin2x + 4(cosx — sinx) = m có nghiệm Đáp số: ~4/2 -1<m< 42-1 Bai 9: Giải phương trình lượng giác: cos2x + 5 = 2(2 — cosx)(sinx — cosx) Đáp số: x=2 +k2mx =n+k2n,k eZ Bai 10: Giai phuong trinh lugng giac: sin’x + cos*x = 2(sin”x + cos”x) Đáp số: x==+kTix=—+kP, ke2Z.' 4 2 4 Bai 11: cosx Đáp số: x=k2n; x=+2 +k2m, keZ
Bài 12: Tìm nghiệm thuộc khoảng (—2; 4) của phương trình:
sinxcos4x + 2sin72x = I— 4sin? (4 — *)
, qT
