Chuyên đề phương trình lượng giác ôn thi đại học

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNGTên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn Giáo viên Trường THPT Đội Cấn Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12 Số tiết bồi

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG

Tên chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn

Giáo viên Trường THPT Đội Cấn

Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 11 và 12

Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết

NỘI DUNG Chương I Kiến thức cơ sở Công thức biến đổi lượng giác

 Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt.

 Các hằng đẳng thức lượng giác

 Quan hệ các giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

 Công thức biến đổi

Chương II.

Các bài toán cơ bản (số tiết 12) Dạng 1 Phương trình lượng giác cơ bản.

Dạng 2 Phương trình bậc 2, bậc 3,với một hàm số lượng giác.

Dạng 3 Phương trình bậc nhất với sinx và cosx.

Dạng 4 Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx

Dạng 5 Phương trình đối xứng theo sinx và cox.

Dang 6 Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

Chương I Kiến thức cơ sở CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

A Bảng giá trị lượng giác của các cung góc đặc biệt

3

2

22

D Công thức biến đổi

1 Công thức cộng:

sin( ) sin cos cos

sin( ) sin cos cos

cos( ) cos cos sin sin

cos( ) cos cos sin sin

2 tantan 2

1 tan

a a

a





3 Công thức nhân ba:

sin3x = 3sinx – 4sin3x

cos3x = 4cos3x – 3cosx

tan 3 3tan tan2 3

Mở rộng (Phải chứng minh khi sử dụng)

sin 3 4sin sin sin

21

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

tan cot 2

sin 2

a

  cota tana2cot 2a

7 Công thức biểu diễn các giá trị lượng giác của a theo tan

c/ sinu  sinv  sinusin( )v

d/sin cos sin sin

b/coscosx x aa Ñieàu kieän. x arccos: 1 a k a 2 (1. k Z )

c/ cosu  cosv  cosucos( v)

d/cos sin cos cos

cosx 1  x   k2 ( k Z )

cosx  1 cos x 1 sin x  0 sinx 0  x k  (k Z )

3 Phương trình tanx = tan

a/tanx tan  x  k (k Z ) b/

tanx a  x arctana k k Z (  )

c/tanu  tanv  tanu tan( )v

d/tan cot tan tan

2

u  v  u    v

 e/tan cot tan tan

2

u v  u   v



Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

4 Phương trình cotx = cot

cotx cot  xk (k Z ) cotx a  x arccota k  (k Z )

* Phương trình chứa cotx thì điều kiện: x k  (k Z )

* Phương trình chứa cả tanx và cotx thì điều kiện ( )

1 Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện.

2 Dùng đường tròn lượng giác.

3 Giải các phương trình vô định.

Ví dụ 1.1

Giải phương trình lượng giác: cos10x2 os 4c 2 x6 os3 cosc x xcosx8cos os 3x c 3 x (1)

Giải.

 1 os10 1 os8 cos 2cos (4 os 33 3 os3 )

2 os9 cos 1 cos 2cos os9

(4) 2cos 1 2sinx osx sinx(2cos 1)

2cos 1 2sinx osx sinx 02cos 1 sinx osx 0

sinx osx t anx 1

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

Giải

Phương trình đã cho tương đương với:

1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin

cos 2sin cos 3 1 sin 2sin

cos 3 sin sin2 3 cos 2

ĐK : tanx  3; cosx  0

Pt  sin2x + 2cosx  sinx  1 = 0  2sinxcosx + 2cosx  (sinx + 1) = 0

 2cosx (sinx + 1)  (sinx + 1)= 0  (2cosx  1)(sinx + 1) = 0

Giải các phương trình lượng giác sau:

1.1 2 3 os2 tan 4sin (2 ) cot 2

4

1.2 sin3x c os3x2 sin 5x c os5x

1.3 sinx sin 2 sin 3 3

cos os2 os3

2 cos sin

2 sin cot

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

1.16 Cho phương trình: 2 inx 1 2 os2s    c x2sinxm  3 4 osc 2x

a Giải phương trình khi m=1.

b Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên 0;

Phương trình đã cho tương đương :

2sinxcos2x + sinxcosx = 2cos2x – 1 + sinx + cosx

 sinxcosx (2cosx + 1) = cosx (2cosx + 1) – 1 + sinx

 cosx(2cosx + 1)(sinx – 1) – sinx + 1 = 0

 sinx = 1 hoặc cosx(2cosx + 1) – 1 = 0







cos 4

cos cos cos

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

 

cos

coscos

.cos cos

Biến đổi phương trình đã cho tương đương với:

os2 3 sin 2 10 os( ) 6 0

Bài tập 2 Giải các phương trình lượng giác sau:

2 1 3sin 2xsin 4x c os4x4sin 2 osx c 2x

2.3 4cosx + 2cos2x + cos4x = -1

2.4 (KA – 05) cos 3 cos 22 x x cos2x0

2.6 (KB – 04) 5sinx 2 3 1 sin   xtan2x

2.7 5sinx 2 3 1 sinx tan x     2

2.18 (KA – 02) Tìm các nghiệm thuộc (0; 2π) của phương trình: ) của phương trình:

5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

2.19 Cho phương trình: cos2x 2m1 cos x m  1 0

a Giải phương trinh khi 3

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

a Giải phương trình khi m = -2.

b Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm trên 0;2

Vì x  k2  b c 0, nên (3) có nghiệm khi:

' a  (c  b ) 0  a b c

Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: tan 0

2

x t



Ghi chú:

1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:

Phương trình đã cho tương đương với:

1 sinx 3 cos 2 sinx 3 cos 1

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

PT  9sinx + 6cosx – 6sinx.cosx + 1 – 2sin2x = 8

 6cosx(1 – sinx) – (2sin2x – 9sinx + 7) = 0

 6cosx(1 – sinx) – (sinx – 1)(2sinx – 7) = 0

6

0sin

1

VN x

x x

  2

2 k

x 

1 sin tan

sin

0 2

sin

x x x

x

x

x x

x x x

x x

cos sin sin

sin cos

cos 2 cos sin

cos sin sin

cos sin cos

 cosx sinx sinx( 1  sin 2x)

 (cos sin )(sin cos sin 2 1 ) 0

2 sin(2 ) 3 0 2 sin(2 ) 3 2 sin(2 ) 3 ( )

PT  2cos2x 1 6sin cosx x 6sinx 4cosx 3 0

 2cos2x2 3sin x 2 cos x 6sinx 2 0

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

 sin2x(1 sin2 xcos 2 ) 2 2 sinx  2xcosx (ĐK : sinx ≠ 0)

1 sin 2x cos 2x 2 2 cosx

22cos x 2sin cosx x 2 2 cosx 0

 2cos (cosx xsinx 2) 0

 cosx = 0 hoặc cosx + sinx = 2

 cosx = 0 hoặc sin 1

3.2 2cosx1 sinx cos   x 1

3.3 2cosx 6(cosx sinx)

3.6 3sin 3x 3 os9c x 1 4sin3x

3.7 t anx sin 2 os2 2 2cos 1 0





3.11 sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0 (KD – 2010)

3.12 (sin2x + cos2x).cosx + 2cos2x – sinx = 0 (KB 2010)

3.13 sin 2 cos 3( os2 sinx) 0

Dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d

asin3x + bsin2x.cosx + ccosx.sin2x + dcos3x = 0

Cách 1:

 Kiểm tra cosx = 0 có phải là nghiệm phương trình không?

Lưu ý: cosx = 0 sin2 1 sin 1

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc

1 cos2 sin 2 1 cos2

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

+ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.

+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:

2

1 t anx(1 tan ) 3tan 0

tan 3tan t anx 1 0

t anx 1 tan 2 t anx 1 0

+ cosx = 0 không là nghiệm của phương trình.

PT  2sin cos2x x3sinx 4sin3x6 osc 3x

+ cosx ≠ 0 chia hai vế của phương trình cho cos3x ta có:

Ví dụ 4.4 (KA – 03)

Giải phương trình: cos 2 2 1

cos (cos sinx) sinx(sinx cos )sinx

x x

cos sinx 1 sin x cos sin 0

cos sinx 2sin sin x cos os 0

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài tập 4 Giải các phương trình sau:

4.1 sin3x = cosxcos2x(tan2x + tan2x)

4.2 3sin2x5 osc 2x 2 os2c x 4sin 2x0

4.3 cos2x 3 sin 2x 1 sin2x

4.4 cos3x 4sin3x 3cos sinx 2 xsinx 0

4.5 cos4x 4sin os2x c 2x 3cos sinx 2xsin x 04 

4.9 sinx 4sin 3xcosx0

4.10 t anx.sin2 x 2sin2x3 os2c xsinx.cosx

4.13 3tan2 x4 t anx 4c otx 3cot  2 x 2 0

4.14 Cho phương trình: sin2x2m1 sinx.cos x (m1) osc 2x m

Tìm m để phương trình có nghiệm

4.15 Cho phương trình:

6 msin3x3 2 m1 sinx+2( m 2)sin os2x c x 4m 3 cos x0

Tìm m để phương trình có nghiệm trên 0;

Dạng 5 Phương trình đối xứng theo sinx và cosx.

Löu yù daáu:

(1)  2 (1 – sin2x) cosx + 1 – sinx – 2(1 – sin2x) = 0

 (1 – sinx) (2cosx – 2sinx + 2sinxcosx -1 ) = 0

TH2 : 2(cosx – sinx) + 2sinxcosx – 1 = 0 (1)

đặt t = cosx – sinx , t  [ 2 ; 2 ]  2sinxcosx = 1 – t2 (1) 2t – t2 = 0  0 ( )

4

 = 0 x = ;

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

sinx2sin cos 4sin cos sinx

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

2sin sinx cos 4sin x-1 0

sinx 2sinx 1 cos 2sinx 1 2sinx 1 0

2sinx 1 sinx cos sin 2 0

1 52

5.2 2 sinx cos  x t anx c otx

5.3 3 c otx cos  x 5 t anx sinx   2

5.4 2sin3x sinx 2 os c 3x cosx c os2x

5.5 cos3x c os2x2sinx 2 0 

5.6 cos2x 5 2 2 cos  x sinx cos x

sin x c os xsinx cos x

5.8 1 t anx s inx cos x  

5.12 2 2

sin cosx x c os2xsinxcos sinx cosx  x

5.13 1 sin 2xcosx1cos2xsinx 1 2sinx

Dang 6

Một số phương pháp giải phương trình lượng giác không mẫu mực

*1 Tổng hai số không âm

1 os2 (1 os6 ) 4sin3x+2 0

6

61

t anx

63

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

x  k  k¢ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*2 Phương pháp đối lập (Chặn trên và chặn dưới hai vế)

( )4

sin 4 1 cos 4 4(sin cos )

2sin 2 cos 2 2cos 2 4(cos sin )

(cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2(cos sin ) 0

(cos sin ) (cos sin )(cos 2 sin 2 ) 2 0 (2)

Xét hai khả năng xảy ra cho (2):

* TH1: cos sin 0 tan 1

4

x x  x  x k

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

c x x

6.11 os2 os3 2 0

4

x

c x c  

6.12 cos2x c os4x c os6xcos os2 os3x c x c x2

Bài tập 7 - Bài tập luyện tập tổng hợp.

Giải các phương trình sau:

7.1 tan 2 c otx cos

cos sinx

x x

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

Tác giả: Nguyễn Ngọc Tuấn – Trường THPT Đội Cấn – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc

Như vậy trong thời gian không được nhiều tôi đã trình bày với các em chuyên đề “ Phương trình lượng giác” tuy chưa thật sâu sắc và có tính khái quát cao nhưng tôi hy vọng với tài liệu này sẽ giúp các em học tập có hiệu quả hơn Rất mong được sự góp ý của các em, chúc các emthi đạt kết quả cao.

Tác giả

Nguyễn Ngọc Tuấn