Phương trình lượng giác luyện thi đại học

K2pi.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 Chuyên mục: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC LTĐH 2014 Lời nói đầu. Phương trình lượng giác hầu như có mặt trong tất cả các đề thi Đại học, Cao đẳng t ừ xưa đến nay của Bộ GD-ĐT. Phương trình lượng giác thường đặt ở vị trí câu II trong các đề thi Đại học, Cao đẳng với mức độ bình thường để học sinh TB khá trở lên cũng có thể có khả năng lấy điểm. Tuy vậy, để lấy được điểm nguyên vẹn của câu này cũng còn là vấn đề so với nhiều học sinh. Các em học sinh cứ than phiền lượng giác công thức nhiều, biến đổi phức tạp và trong nhiều công thức nên chọn công thức nào để biến đổi thích hợp ? Tôi xin mạn phép nói với các em ấy rằng, những lý do đó chưa hẳn là chính đáng đâu các em à! Với hi vọng giúp đỡ các em học sinh ấy học tốt lượng giác hơn, các em sẽ không còn ngại ngùng với đống công thức hỗn độn của lượng giác khi đối mặt với các dạng câu lượng giác trong đề thi. Nhưng với sự hỗ trợ của các thầy cô, các bạn học sinh, sinh viên với những kinh nghiệm bản thân cùng khả năng phân tích, định hướng sát thực s ẽ giúp các em học sinh tiếp cận gần hơn với các phương trình lượng giác để các em có hướng tư duy đúng. Chuyên đề được viết dưới dạng các bài toán chọn lọc cụ thể. Mỗi bài toán đều có sự phân tích, định hướng lời giải kĩ càng được chia sẽ từ các bạn học sinh, các thầy cô dày dặn kinh nghiệm trên diễn đàn K2pi.net. Với ngôn ngữ đời thường, có pha chút hài hước, hi vọng sẽ mang lại cho các em học sinh những kiến thức, kinh nghiệm thật quý báu nhất. ***** 1. Giải phương trình sau: 8(sin 6 x + cos 6 x) + 3 √ 3 sin 4x = 3 √ 3 cos 2x − 9 sin 2x + 11 Bài toán Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Trước hết, nhìn tổng quan phương trình trên, trong phương trình chỉ chứa hai hàm lượng giác là hàm sin và hàm cosin nên điều đáng chú ý đầu tiên đó là bậc (6) và các góc lượng giác (chứa các góc x → 2x → 4x). Những điều ta nhìn thấy này ắt hẳn khiến ta nghĩ đến công v iệc cần làm đầu tiên là hạ bậ c (để bậc nhỏ lại) và sử dụng công thức nhân đôi (để chuyển về cùng góc). Cụ thể: • sin 6 x + cos 6 x = [sin 2 x] 3 + [cos 2 x] 3 = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 4 x − sin 2 x cos 2 x + cos 4 x) = 1 − 3 sin 2 x cos 2 x. • sin 4x = 2 sin 2x cos 2x. Khi đó, phương trình đã cho tương đương với 8  1 − 3sin 2 xcos 2 x  + 6 √ 3 sin 2x cos 2x = 3 √ 3 cos 2x − 9 sin 2x + 11 Như vậy, với bước là m đầu tiên, bậc c ao đã giả m xuống, góc 4x đã mất đi. Đến đây, phương trình đã được đơn giản hóa đi một phần đáng kể, nhưng chúng ta còn phải thực hiện một thao tác nữa bằng cách sử dụng một công thức quen thuộc sin 2 x cos 2 x = 1 4 (2 sin x cos x) 2 = 1 4 sin 2 2x. Lắp ráp nó vào phương trình trên ta thu được: 8  1 − 3 4 sin 2 2x  + 6 √ 3 sin 2x cos 2x = 3 √ 3 cos 2x − 9 sin 2x + 11 ⇐⇒ − 2 sin 2 2x + 2 √ 3 sin 2x cos 2x − √ 3 cos 2x + 3 sin 2x −1 = 0 (1) Những vấn đề khó khăn nhất đã được giải quyết, bậc cao nhất chỉ là bậc 2, phương trình chỉ còn một góc duy nhất là 2 x. Phương tr ình bây giờ không còn điều gì để băn khoăn ngoài việc đưa về phương trình tích. Đến đây, nếu mất một khoảng thời gian mò mẫm ta cũng sẽ nhóm được thành nhân tử thôi. Để khỏi mất thời gian hơn, chúng ta cần có một cách nhìn nhận tốt hơn để nhóm thành nhân tử nhanh hơn. Nào, chúng ta cùng theo dõi cách nhìn sau nhé: + Trong phương trình có 5 hạng tử, để có được nhân tử chúng ta hi vọng su khi ghép những cặp đôi sẽ thành. Nhưng với 5 hạng tử ta không thể ghép đủ các cặp đôi. Điều này có nghĩa rằng sẽ có một nhóm nào đó có chứa 3 hạng tử. Để ý mối tương quan của các hạng tử, chúng ta c ó thể tạm nhóm như sau: (1) ⇐⇒ (2 √ 3 sin 2x cos 2x − √ 3 cos 2x) + (−2 sin 2 2x + 3 sin 2x −1) = 0 ⇐⇒ √ 3 cos 2x(2 sin 2x −1) + (−2 sin 2 2x + 3 sin 2x −1) = 0 (2) Với hi vọng PT(2) sẽ có nhâ n tử 2 sin 2x − 1, ta chú ý ax 2 + bx + c = a(x − x 1 )(x − x 2 ) = (x − x 1 )(ax − ax 2 ) với x 1 , x 2 là hai nghiệm thực của tam thức ax 2 + bx + c. Áp dụng vào bài toán ta có ngay sự phân tích: (2) ⇐⇒ √ 3 cos 2x(2 sin 2x − 1) + (sin 2x −1)(1 −2 sin 2x) = 0 (3) ⇐⇒ (2 sin 2x − 1)( √ 3 cos 2x − sin 2x + 1) = 0 Diễn đàn K2pi.net 1 K2pi.net LƯỢNG GIÁC 2014 Lúc này, chúng ta hãy thở phào nhẹ nhỏm khi ý đồ bài toán đã bị chúng ta phá vỡ. Nếu không may, trong trường hợp PT(3) không thể tạo thành nhân tử như ta nghĩ, lúc đó, chúng ta đổi hướng phân tích bằng cách thay sin 2 2x = 1 − cos 2 2x và tiếp tục thực hiện như vậy. Phương trình tích cuôi cùng đã thuộc dạng cơ bản. Các nghiệm của nó là x = π 12 + kπ; x = ± 5π 12 + kπ; x = π 4 − kπ, (k ∈ Z)  2. Giải phương trình: 2 sin 6x cos x 2 = 4 cos 2x cos x + sin 4x cos x 2 + 4 cos 5x Bài toán Phân tích hướng giải. (1)(Lê Đình Mẫn) Trong PT chúng ta thấy đa số các số hạng đều có dạng tích hai hàm lượng giác, các góc thì lệch nhau quá nhiều x 2 , x, 2x, 4x, 5x, 6x. Thông thường một bài lượng giác trong đề thi ĐH thì không đến nổi khó lắm đâu. Chỉ cần nắm hết cá c kĩ năng đưa về dạng nhân tử là OK! Đối với bài này tôi chỉ thấy anh chàng 5x nó lẻ loi quá thôi. Nhưng mà 5x = 4x + x = 6x − x = Có ai đó đã nghĩ ngay đến công thức đưa tích về tổng. Nhưng liệu có vội vàng quá không khi ta sẽ càng làm cho PT có nhiều góc lẻ và có thể phức tạp hơn chăng? Vì thế, hãy cố gắng để tâm chút đến mối liên quan giữa các góc. Đập thẳng vào mắt ta: x 2 → x → 2x → 4x. Đó có thể ẩn chứa sự nhân đôi chăng? Và phải làm sao để tạo nên mối liên hệ giữa góc 5x và các góc khác đây? Tôi chỉ mới biết nghĩ có thế này thôi 5x = 4x + x = 6x − x. Muốn vậy, tôi cần có cos 5x. cos x hay cos 5x. sin x. Hơn nữa, với cái này 4 cos 2x cos x, nếu ta thêm sin x thì ta được 4 cos 2x cos x. sin x = 2 cos 2x. sin 2x = sin 4 x. Mấu chốt của phương trình đó chính là sự vắng mặt của sin x. Thật là thú vị phải không nào! Bắt đầu với các ý tưởng đó thôi. +TH1: Nếu sin x = 0 thay vào PT suy ra cos x = −1 ⇒ x = π + k2π (k ∈ Z). +TH2: Với sin x = 0, nhân hai vế PT với sin x được PT tương đượng 2 sin x sin 6x cos x 2 = sin 4x + sin x sin 4x cos x 2 + 4 cos 5x sin x ⇐⇒ 2 sin x sin 6x cos x 2 = sin 4x + sin x sin 4x cos x 2 + 2(sin 6x − sin 4x) ⇐⇒ 2 sin 6x  cos x 2 sin x − 1  = sin 4x  cos x 2 sin x − 1  ⇐⇒  2 sin 6x −sin 4x = 0 (1) cos x 2 sin x − 1 = 0 (2)  •(1) ⇐⇒ sin 2x(4 cos 2 2x − cos 2x − 1) = 0 ⇐⇒         x = π 2 + kπ x = ± arccos  1− √ 17 8  2 + kπ x = ± arccos  1+ √ 17 8  2 + kπ •(2) ⇐⇒ cos x 2 sin x −1 = 0 (Vô nghiệm!) Một hướng khác khi giải phương trình (1): −2 sin 2 2x + (2 √ 3 cos 2x + 3) sin 2x − √ 3 cos 2x − 1 = 0 Xem phương trình này là phương trình bậc hai ẩn sin 2x. Ta có ∆ = (2 √ 3 cos 2x + 3) 2 − 8( √ 3 cos 2x + 1) = 12 cos 2 2x + 4 √ 3 cos 2x + 1 = (2 √ 3 cos 2x + 1) 2 Khi đó ta thu lại được sin 2x = √ 3 cos 2x + 1 hoặc sin 2x = 1 2 Phân tích hướng giải. (2)(xuannambka) 2 Tài liệu miễn phí K2pi.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 2 sin 6x cos x 2 = 4 cos 2x cos x + sin 4x cos x 2 + 4 cos 5x ⇔ cos x 2 (sin 6x − sin 4x) + 1 2 sin 4x cos x 2 − 2 cos 2x cos x −2 cos 5x = 0 ⇔ 2 sin x cos x 2 cos 5x + cos 2x sin 2x cos x 2 − 2 cos 2x cos x −2 cos 5x = 0 ⇔ 2 cos 5x  sin x cos x 2 − 1  + cos 2x  sin 2x cos x 2 − 2 cos x  = 0 ⇔ 2 cos 5x  sin x cos x 2 − 1  + 2 cos x cos 2x  sin x cos x 2 − 1  = 0 ⇔  sin x cos x 2 = 1 (1) cos 5x + cos x cos 2x = 0 (2) (1) ⇔ 1 2  sin x 2 + sin 3x 2  = 1 ⇔ sin x 2 + sin 3x 2 = 2 ⇔  sin x 2 = 1 sin 3x 2 = 1 ⇔ V N (2) ⇔ cos x(4cos 2 2x − cos 2x − 1) = 0 ⇔   cos x = 0 cos 2x = 1 8  1 + √ 17  cos 2x = 1 8  1 − √ 17  ⇔   x = π 2 + kπ x = ± 1 2 arccos  1 8  1 + √ 17  + kπ x = ± 1 2 arccos  1 8  1 − √ 17  + kπ 3. Giải phương trình cos x = cos 2 3x 4 Bài toán Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Nhận thấy hình thức phương trình rất đơn giản với một hàm lượng giác với hai loại góc x ↔ 3x 4 . Thao tác đầu tiên, nghĩ ngay đến công thức hạ bậc. P T ⇐⇒ cos x = 1 + cos 3x 2 2 Bởi hình thức đơn giản của phương trình nên ta không cần đến một thao tác biến đổi phức tạp nào ngoài cách nhìn nhận để lựa chọn công thức thích hợp. Hai góc x và 3x 2 tuy nó không có mối qua n hệ gì trực tiếp, nhưng ta hãy thử tìm mối quan hệ gián tiếp của chúng. Thực vậy, ta nhận thấy x = 2. x 2 , 3x 2 = 3. x 2 . Như vậy đã quá rõ ràng để ta biết phải tiếp tục chọn công thức nào trong bài toán. Cụ thể: • cos x = 2 cos 2 x 2 − 1; • cos 3x 2 = 4 cos 3 x 2 − 3 cos x 2 ; Lúc này, phương trình đã cho tương đương với: 2 cos 2 x 2 − 1 = 1 + 4 cos 3 x 2 − 3 cos x 2 2 ⇐⇒ 4 cos 3 x 2 − 4 cos 2 x 2 − 3 cos x 2 + 3 = 0 Phương trình cuối giải ra được ng hiệm x = k4π; x = ± 5π 3 + k4π; x = ± π 3 + k4π, k ∈ Z .  4. Giải phương trình sin 4 x + cos 4 x + sin 3 x − cos 3 x = 7 (sin x −cos x) + cos4x 4 Bài toán Phân tích hướng giải. (Hỏa Thiên Long) Nhận thấy sự đối xứng giữa các hàm sin và cos. Chỉ lòi ra thằng: cos 4x là mất đối xứng thôi. Cần loại bỏ cos 4x Nhưng loại bỏ theo cách nào? Tốt hơn là đưa về sin 4 x và cos 4 x vì chúng đã có mặt sẵn rồi. Vậy ta có bước biến đổi đầu tiên: cos 4x = cos 2 2x − sin 2 2x = sin 4 x + cos 4 x − 6 sin 2 x. cos 2 x Khi đó, chắc là do ngẫu nhiên nên ta có được: sin 4 x + cos 4 x − cos 4x 4 = 3 2 .(sin 2 x + cos 2 x) 2 = 3 4 . Vậy là đã OK trong ý tưởng biến đổi phương trình về dạng đối xứng của 2 hàm trên. Diễn đàn K2pi.net 3 K2pi.net LƯỢNG GIÁC 2014 sin 3 x − cos 3 x + 3 4 = 7(sin x−cos x) 4 Khi gặp mộ t bài toán có tính đối xứng ta thường nghĩ đến điều gì nhỉ? Tất nhiên là đưa về tổng tích rồi. Vì vậy, ta lại biến đổi như sau: P T ⇐⇒ (sin x − cos x).(4 sin x. cos x −3) + 3 = 0 5. Giải phương trình: 1 cos  x − π 2  − 1 sin  3π 2 − x  = 4 cos  x − 5π 4  Bài toán Phân tích hướng giải. (Lưỡi Cưa) Đánh giá về hàm: chỉ chứa hàm bậc nhất của sin và cos có hệ số đối xứng. Đánh giá các góc: x − π 2 ; 3π 2 −x các góc này biến sin → cos biến cos → sin, góc này x − 5π 4 → x − π 4 làm xuất hiên sinx − cosx. Vậy đây là PT đối xứng của sin và cos ta nghĩ đến đặt: t = sinx −cosx hoặc t = sinx + cosx tùy vào PT là đối xứng của hiệu hay tổng Trước hết, dùng công thức cung có liên quan đặc biệt để xử lí mấy chỗ (Cũng giúp chúng ta tìm điều kiện dễ hơn) cos(x − π 2 ) = cos( π 2 − x) = sin x sin( 3π 2 − x) = sin( π 2 − x + π) = −sin( π 2 − x) = −cos x và cos(x − 5π 4 ) = cos(x − π 4 − π) = cos(x − π 4 ) Khi đó, phương trình đã cho viết lại 1 sin x + 1 cos x = 4 cos(x − π 4 ) Phương trình chứa ẩn ở mẫ u —-> đặt điều kiện đã. Điều kiện: sin 2x = 0 ⇔ x = kπ 2 . (Cả sin x và cos x khác 0) Biến đổi quy đồng mẫu số, nhưng trước tiên ta nhận thấy V T = cos x + sin x sin x cos x Hãy xem vế phải của phương trình, tôi nghĩ kiểu này nên dùng công thức cộng cung cos(x − π 4 ) = cos x cos π 4 + sin x sin π 4 = 1 √ 2 (cos x + sin x) Như vậy chúng ta có thừa số chung là sin x + cos x. Phương trình được viết lại (sin x + cos x)( 1 sin x cos x − 2 √ 2) = 0 Từ đó, nghiệm của phương trình là x = − π 4 + kπ, x = π 8 + kπ, x = 3π 8 + kπ 6. Giải phương trình sin 4 x + cos 4 x + sin(3x − π 4 ) cos(x − π 4 ) − 3 2 = 0 Bài toán Phân tích hướng giải. (TKD) Khai triển hai cái ngoặc ta được: sin 4 x + cos 4 x + 1 2 (sin 3x − cos 3x)(cos x + sin x) − 3 2 = 0 ⇔ 2(sin 4 x + cos 4 x) + (sin 3x − cos 3x)(cos x + sin x) −3 = 0 ⇔ 2(sin 4 x + cos 4 x) + (3 sin x − 4 sin 3 x − 4 cos 3 x + 3 cos x)(cos x + sin x) −3 = 0 ⇔ 2(sin 4 x + cos 4 x) − 3 + [3(sin x + cos x) −4(sin x + cos x)(1 −sin x cos x)](sin x + cos x) = 0 ⇔ 2(sin 4 x + cos 4 x) − 3 + (sin x + cos x) 2 (2 sin 2x −1) = 0 ⇔ 2(1 − 1 2 sin 2 2x) − 3 + (1 + sin 2x)(2 sin 2x −1) = 0 ⇔ sin 2 2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔  sin 2x = 1 sin 2x = −2 (loại)  ⇔ x = π 4 + kπ, k ∈ Z 4 Tài liệu miễn phí K2pi.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 7. Giải phương trình 2 √ 3 cos 2 x + 2 s in3xcosx − sin4x− √ 3 √ 3 sin x + cos x = 1 Bài toán Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa) Điều kiện: tan x = − 1 √ 3 ⇔ x = − π 6 + kπ Hiển nhiên là qui đồng mẫu số và thu gọn 2 √ 3 cos 2 x + 2 sin 3x cos x −sin 4x − √ 3 − √ 3 sin x − cos x = 0 Xử lí chỗ này trước nè 2 sin 3x cos x = sin 2x + sin 4x Đến đây, ta được cái ngon lành hơn 2 √ 3 cos 2 x + sin 2x − √ 3 − √ 3 sin x − cos x = 0 Đến đây chỉ còn lại hai cung x và 2x. Đưa về cung x 2 √ 3 cos 2 x + 2 sin x cos x − √ 3 − √ 3 sin x − cos x = 0 Cái này thì mời các mem xem lại định hướng ở bài 1. Ta thu được các nghiệm cos x = √ 3 2 hoặc √ 3 cos x + sin x = −1 Đến đây, hãy khoan nghĩ là 1điểm đã thuộc về mềnh! Đối chiếu điều kiện và loại nghiệm nào? TH1. cos x = √ 3 2 . Ta có tan 2 x = 1 cos 2 x − 1 = 1 3 Như vậy, chỉ lấy được tan x = 1 √ 3 ⇔ x = π 6 + kπ. TH2. Cho hai họ nghiệm x = − π 2 + k2π cái này TMĐK Cái thứ hai x = 5π 6 + k2π. Thay vào , ta có tan( 5π 6 + k2π) = tan 5π 6 = − 1 √ 3 Không TMĐK roài. Túm lại, chỉ có hai họ nghiệm x = π 6 + kπ hoặc x = − π 2 + k2π Phân tích hướng giải. (2) (Lê Đình Mẫn) Điều kiện bài toán √ 3 sin x + cos x = 0 ⇐⇒ tan x = − 1 √ 3 ⇐⇒ x = − π 6 + kπ, k ∈ Z. Ở dưới mẫu số là một hệ thống khá chặt chẽ bởi vì nó thuộc dạng quen thuộc a sin x + b cos x. Ở trên tử số, ta nhận ra mối quan hệ cũng khá rõ ràng giữa các số hạng nếu ghép chúng lại. Chú ý: • 3x + x = 4x, 3x − x = 2x ⇒ 2 sin 3x cos x = sin 4x + sin 2x ⇐⇒ 2 sin 3x cos x −sin 4x = sin 2x; • 2 cos 2 x − 1 = cos 2x. Do đó, phương trình tương đương với một phương trình thuộc dạng cơ bản sau: √ 3 cos 2x + sin 2x = √ 3 sin x + cos x ⇐⇒ sin  2x + π 3  = sin  x + π 6  ⇐⇒   x = − π 6 + k2π x = π 6 + k2π 3 (k ∈ Z). Bước quan trọng cuối cùng để có nghiệm chính xác đó là đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ng oại la i. Ngoài cách làm theo thầy Lưỡ i Cưa, ta có thể sử dụng đường tròn lượng giác bằ ng cách biểu diễn các điểm biểu thị nghiệm lên và đối Diễn đàn K2pi.net 5 K2pi.net LƯỢNG GIÁC 2014 chiếu. Bằng cách cho lần lượt một vài giá trị nguyên k = 1, 2, 3, 4, ta được các giá trị x cụ thể. Khi biểu diễn các giá tr ị đó lên đường tròn lượng giác ta có hình như sau chẳng hạn: + Hai điểm M, N chính là hai điểm biểu thị các giá trị x không thỏa mãn điều kiện, khi nghiệm trùng một trong các điểm này ta loại bỏ ngay. + Họ nghiệm thứ nhất chính là điểm N nên không nhận; họ nghiệm thứ hai biểu thị bởi ba điểm B, N, C nên chỉ có các nghiệm thuộc hai điểm B, C là ta nhận. Bây giờ, ta chỉ cần ghi công thức các nghiệm thuộc hai điểm này ra nữa là xong. + Điểm B ứng với họ nghiệm x = π 6 + k2π, điểm C ứng với họ nghiệm x = − π 2 + k2π hoặc x = 3π 2 + k2π Kết luận, hai họ nghiệm của phuơng trình ban đầu là x = π 6 + k2π; x = − π 2 + k2π, k ∈ Z .  8. Giải phương trình : tan 2 x + 3 =  1 + √ 2 sin x  tan x + √ 2 cos x  Bài toán Phân tích hướng giải. (1) (Lưỡi Cưa) Điều kiện: cos x = 0 ⇔ x = π 2 + kπ Đổi tan x = sin x cos x . Qui đồng mẫu số sin 2 x + 3 cos 2 x = (1 + √ 2 sin x)(sin x cos x + √ 2 cos 3 x) Khai triển ra 1 + 2 cos 2 x = sin x cos x + √ 2 cos 3 x + √ 2 sin 2 x cos x + 2 sin x cos 3 x Chú ý chỗ này √ 2 cos 3 x + √ 2 sin 2 x cos x = √ 2 cos x(cos 2 x + sin 2 x) = √ 2 cos x Phương trình được viết lại 1 + 2 cos 2 x = sin x cos x + √ 2 cos x + 2 sin x cos 3 x Chú ý cái này sin x cos x + 2 sin x cos 3 x = sin x cos x(1 + 2 cos 2 x) Thu được (1 + 2 cos 2 x)(1 − sin x cos x) = √ 2 cos x Đoán được nghiệm sin x = cos x = 1 √ 2 Thực hiện đánh giá 1 + 2 cos 2 x ≥ 2 √ 2 cos 2 x = 2 √ 2|cos x| ≥ 0 và 1 − sin x cos x = 1 − 1 2 sin 2x ≥ 1 2 > 0 Do đó, V T ≥ √ 2|cos x| Dẫn tới √ 2 cos x ≥ √ 2|cos x| ⇔ cos x ≥ 0 Tóm lại phương trình có nghiệm x = π 4 + k2π Phân tích hướng giải. (2) (Lê Đình Mẫn) Nút thắt sẽ được mở nhẹ nhàng cho bài toán khi chúng ta nhìn ra được điều sau đây: Với mọi số thực a, b, c, d ta luôn có (a − c) 2 + (a − d) 2 + (b − c) 2 + (b − d) 2 ≥ 0 ⇐⇒ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + b)(c + d)  Áp dụng BĐT trên với a = 1, b = √ 2 sin x, c = tan x, d = √ 2 cos x ta có ngay tan 2 x + 3 ≥  1 + √ 2 sin x  tan x + √ 2 cos x  Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi 1 = √ 2 sin x = tan x = √ 2 cos x. 6 Tài liệu miễn phí K2pi.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 9. Giải phương trình: 8 cos 2 x − 2 cos x −6 −2 √ 3 sin x = − 1 cos x . Bài toán Phân tích hướng giải. (N H Tu prince) ĐK:cos x = 0 ⇒ x = π 2 + k2π Để phương trình trở nên đơn giản hơn,ta phải làm mất ẩn ở mẫu thức,nhân hai vế cho cos x,phương trình trở thành: 8 cos 3 x − 2 cos 2 x − 6 cos x − 2 √ 3 sin x cos x + 1 = 0 Không khó để nhận thấy công thức nhân hai và nhân ba đang ẩn nấp,áp dụng công thức để thu gọn phương trình: ⇔ 2(4 cos 3 x − 3 cos x) −2 √ 3 sin x cos x −(2 cos 2 x − 1) = 0 ⇔ 2 cos 3x − √ 3 sin 2x − cos 2x = 0 ⇔ 2 cos 3x = √ 3 sin 2x + cos 2x Phương tr ình giờ đã gọn hơn,nhưng lại gặp bất cập về góc khi 2x, 3x không liên quan nhiều đến nhau,chỉ còn ba hạng tử tham gia nên ta nghĩ đưa về dạng cơ bản,nhóm hai hạng tử cùng góc với nhau.Có dạng a sin x + b cos x,thử biểu diễn dưới dạng m sin(x + α) được: 2 cos 3x = 2 sin  2x + π 6  ⇔ cos 3x = cos  π 3 − 2x  Phương trình đã về dạng cơ bản. Nghiệm của phương trình là x = π 15 + k2πx = 7π 15 + k2πx = − 11π 15 + k2πx = 13π 15 + k2πx = − π 3 + k2π 10. Giải bất phương trình √ 3 sin 2x ≥ 6 sin 2 x − 4 sin x + 2 Bài toán Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Thông thường với bài toán lượng giác chúng ta sẽ biến đổi để tìm ra nhận tử chung và đưa về phương trinh tích. Nhưng với bài toán này việc xuất hiện nhân tử √ 3 sin 2xchúng ta chỉ có thể nhóm với s inx hoặ c hạ bậ c 2sin 2 x = 1 − cos2x, tuy nhiên việc làm này không đem lại kết quả. Vậy lời giải cho bài toán nằm ở đâu? Các bạn để ý là 6sin 2 x − 4 sin x + 2 = 36sin 2 x − 24 sin x + 12 6 = (6 sin x −2) 2 + 8 6 > 0 Do đó để bất phương trình có nghiệm ta phải có sin 2x > 0. Và công thức nhân đôi chúng ta có: √ 3 sin 2x = 2 √ 3 sin x cos x. Tiếp đến khi bình phương cả hai vế của bất phương trình vế trái xuất hiện sin 2 xcos 2 x = sin 2 x  1 − sin 2 x  . Tức là ta quy được bài toán về giải phương trình chỉ có chứa . Đây chính là nút thắt của bài toán. Do cả hai vế đều không âm nên bình phương hai vế của bất phương trình ta được 12sin 2 x  1 − sin 2 x  ≥  6sin 2 x − 4 sin x + 2  2 ⇔ 3sin 2 x − 3sin 4 x ≥  3sin 2 x − 2 sin x + 1  2 ⇔ 3sin 2 x − 3sin 4 x ≥ 1 + 9sin 4 x −12sin 3 x + 10sin 2 x − 4 sin x ⇔ 12s in 4 x − 12sin 3 x + 7sin 2 x − 4 sin x + 1 ≤ 0 ⇔  sin x − 1 2  2  12sin 2 x + 4  ≤ 0 ⇔ sin x = 1 2 Công việc còn lại của chúng ta là đối chiếu điều k iệ n nghiệm. Tuy nhiên nếu giải trực tiếp điều kiện sin 2x > 0thì các em trong chương trình học chưa được học và cũng không được rèn luyện nhiều về bài toán giải bất phươ ng trình cơ bản. Vậy phải làm thế nào? Ta xử lý như sau: Ta có sin x = 1 2 ⇔  x = π 6 + k2π x = 5π 6 + k2π . Với nghiệmx = π 6 + k2π ⇒ sin 2x = sin  π 3 + k4π  = √ 3 2 > 0nên thỏa mãn. Với nghiệm x = 5π 6 + k2π ⇒ sin 2x = sin  5π 3 + k4π  = sin  5π 3  = sin  5π 3 − 2π  = −sin π 3 = − √ 3 2 < 0nên ta loại nghiệm này. Vậy bất phương trình có nghiệm là x = π 6 + k2π, k ∈ Z 11. Giải phương trình √ 1 − sin x (1 −sin 2x) + 1 cos 2 x = 2 tan x Bài toán Diễn đàn K2pi.net 7 K2pi.net LƯỢNG GIÁC 2014 Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Thật tự nhiên nếu chúng ta nhìn ra cái đẹp tiềm ẩn: • 1 − sin 2x = sin 2 x + cos 2 x − 2 sin x cos x = (sin x −cos x) 2 ; • 1 cos 2 x − 2 tan x = 1 + tan 2 x − 2 tan x = (tan x −1) 2 . Bằng những công thức cơ bản ta đưa phương trình về PT tương đương sau: √ 1 − sin x(sin x −cos x) 2 + (tan x − 1) 2 = 0 (1)  Rõ ràng c ăn thức luôn có nghĩa bởi sin x ≤ 1, ∀x = π 2 + kπ(k ∈ Z) và V T (1) ≥ 0. Do đó, nghiệm của phương trình phải thỏa mãn tan x = 1 ⇐⇒ x = π 4 + kπ(k ∈ Z). 12. Giải phương trình 4 cos 2x (cos 2x + 4 sin x −3) − 24 sin x −16 √ 3 cos x + 37 = 0 Bài toán Phân tích hướng giải. (Lê Đình Mẫn) Công thức cần sử dụng: cos 2x = 2 cos 2 x −1 = 1 −2 sin 2 x. Sau khi sử dụng công thức nhân đôi này vào phương trình, ta nhận thấy phương trình có đặc điểm như sau: • Bậc của phương trình lên đến bậc 4; • Tuy trong phương trình có chứa hai hàm lượng giác sin x, cos x nhưng hai hàm này độc lậ p trong từng hạng tử. Vì thế, việc đưa phương trình về tích là hầu như không thể bởi c on số 37 nó không có mối quan hệ nào với một trong các hệ số của các hạng tử còn lại. Nói cách khác ta buộc phải tách 37 ra từng mảnh nhỏ để thâm nhập vào từng nhóm riêng biệt. Chính vì lẽ đó, ta thử tìm cách tạo ra những biểu thức không âm khi lấy tổng sẽ cho kết quả là số không âm. Ý tưởng là như thế nhưng khi thực hiện cũng phải có tiểu xảo. Tiểu xảo đó là gì? Đó chính là đoán nghiệm. Dễ dàng mò ra được nghiệm sin x = 1 2 , cos x = √ 3 2 . Điều này định hướng cho ta phân tích sao cho tạo ra (2 sin x − 1) 2 , (2 cos x − √ 3) 2 , chẳng hạn. Hãy thử làm, ta sẽ có kết quả: P T ⇐⇒ (2 sin x −1) 4 + 4(2 cos x − √ 3) 2 = 0  13. Giải phương trình sin 2 x (tan x −2) = 3 (cos 2x + sin x cos x) Bài toán Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Trước tiên thấy xuất hiện tan xtrong phương trình chúng ta phải đặt điều kiện trước. Điều kiện cos x = 0. Tới đây để ý cos2x = 2cos 2 x − 1hoặc bằng 1 − 2sin 2 xđều được. Ta đưa về phương trình sin 2 x (tan x −2) = 3  2cos 2 x + sin x cos x −1  . Thử chia hai vế của phương trình cho cos 2 x = 0xem sao. tan 2 x (tan x − 2) = 3  2 + tan x − 1 cos 2 x  ⇔ tan 2 x (tan x −2) = 3  1 + tan x − tan 2 x  . ⇔ tan 3 x + tan 2 x − 3 tan x −3 = 0 ⇔ (tan x + 1)  tan 2 x − 3  = 0. ⇔  tan x = −1 tan x = ± √ 3 ⇔  x = − π 4 + kπ x = ± π 3 + kπ . Nhiều em thắc mắ c là tại sao chia cả hai vế cho cos 2 xở đây. Có hai lý do, một là sin 2 x (tan x −2) = sin 2 x  sin x cos x − 2  có thể coi là bậc hai đối với hàm số lượng giác. cos2x + sin x cos x = cos 2 x − sin 2 x + sin x cos xcũng là bậc hai đối với hàm số lượng giác. Khi cả hai vế cùng bậc thì ta có thể chia cả hai vế cho cos 2 xhoặc sin 2 x. Hai là tại sao lại không chia cho sin 2 x, ở đây chúng ta sử dụng luôn điều kiện cos x = 0. Do vậy khi chia không cần phải xét cos x = 0có là nghiệm của phương trình hay không? Nhưng thông thường những bài toán c ó chứa các đại lượ ng mình thường khuyên các em là biến đổi tan x = sin x cos x ; cot x = cos x sin x . Vậy bài toán này có làm được như vậy hay không? Và c âu trả lời là hoàn toàn có thể, tuy nhiên việc biến đổi và nhóm và hạng tử chung đòi hỏi các em có một kỹ năng nhất định trong việc rèn luyện giải phương trình lượng giác. Trong trườ ng hợp ta biến đổi phương trình như sau sin 2 x  sin x cos x − 2  = 3  cos 2 x − sin 2 x + sin x cos x  . ⇔ sin 3 x − 2sin 2 x cos x = 3  cos 3 x − sin 2 x cos x + sin xcos 2 x  . Tới đây thì các em có thể nhận ra ngay việc chia cả hai vế của phương trình cho cos 3 x. 8 Tài liệu miễn phí K2pi.net LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 14. Giải phương trình (sin x + cos x) 2 − 2sin 2 x 1 + cot 2 x = √ 2 2  sin  π 4 − x  − sin  π 4 − 3x  Bài toán Phân tích hướng giải. (dangnamneu) Điều kiện sin x = 0. Khi đó biến đổi phương trình thành sin 2 x  1 + sin 2x − 2sin 2 x  = √ 2.cos  π 4 − 2x  . sin x . ⇔ sin x (cos2x + sin 2x) = √ 2cos  π 4 − 2x  ⇔ √ 2 sin xcos  π 4 − 2x  = √ 2cos  π 4 − 2x  . ⇔  cos  π 4 − 2x  = 0 sin x = 1 ⇔  x = 3π 8 + k π 2 x = π 2 + k2π  . 15. Giải phương trình 2 sin  π 3 − 2x  + 2 sin 2x + √ 3 cos x = 4 cos 4x Bài toán Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Chưa vội đặt ĐK đầu tiên ta cần định hướ ng lời giải trước: PT có nhiều góc khác nhau, thông thường là biến đổi quy về một góc nào đó nhằm làm giảm số góc phân biệt, thử nhân hai vế với cosx để k hử mẫu khi đó VP chứa cos4xcosx nếu sử dụng công thức biến tích thành tổng thì lại là m tăng s ố góc khác nhau, thấy không ổn, chuyển sang phân tích tử số của phân thức VT với hi vọng xuất hiện nhân tử cosx, thật may mắn vận may đã đến và đây là lời giải: ĐK: cos x = 0 PT⇔ √ 3 (cos2x + 1) + sin 2x cos x = 4 cos 4x ⇔ 2cosx  √ 3cosx + sin x  cos x = 4 cos 4x ⇔ √ 3cosx + sin x = 2 cos 4x, (2) (Đến đây việc giải tiếp tìm nghiệm là đơn giản, nhưng đây là một PT có ĐK, thông thường tôi không vội vàng tìm nghiệm mà tôi sẽ định hướng để sử lý ĐK. Điều kiện tôi vẫn để nguyên từ đầu chưa giải nó ra bởi cần định hướng trước và nó đơn giản chỉ là cosx = 0: có rất nhiều cách sử lý ĐK nhưng nên tránh dùng đường tròn lượng giác, phương trình đại số sử lý k nguyên trừ trường hợp bất k hả kháng, cách thông thường đơn giản mà ta thử đầu tiên là thử trực tiếp giá trị của hàm ĐK vào PT muốn vậy ta cần biến đổi PT theo hàm đó) Ta có PT: √ 3cosx + sin x = 2[2(2 cos 2 x − 1) 2 − 1] Với cosx = 0 thì ±1 = 2 không đúng rồi⇒ cosx = 0 không thỏa mãn PT(2). vậy nghiệm của (2) luôn thỏa mãn ĐK hay chính là nghiệm của PT ban đầu. bây giờ chỉ ra họ nghiệm được rồi! (2)⇔ cos(x − π 6 ) = cos4x ⇔    x = − π 18 + k 2π 3 x = π 30 + k 2π 5 , (k ∈ Z) Vậy nghiệm của PT là:    x = − π 18 + k 2π 3 x = π 30 + k 2π 5 , (k ∈ Z) 16. Giải phương trình 4 cos 3 x + 2 cos 2 x (2 sin x − 1) −sin 2x −2 (sin x + cos x) 2 sin 2 x − 1 = 0 Bài toán Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) Ở bài này mẫu số chỉ đóng vai trò loại nghiệm ! Không trình bày nhiều tôi để ý đến các yếu tố sin x + cos x và sin2x đi vào biến đổi giải luôn: ĐK: cos2x = 0 P T ⇔ 2 cos 2 x [2(sin x + cos x) −1] −[2(sin x + cos x) −1] −(sin x + cos x) 2 = 0 ⇔ [2(sin x + cos x) − 1] cos 2x −(sin x + cos x) 2 = 0 ⇔ (sin x + cos x)  2 cos 2 x − cos x −1  = 0 Diễn đàn K2pi.net 9 K2pi.net LƯỢNG GIÁC 2014 Tới đây bắt đầu đi phân tích sử lý ĐK: cos2x = 0 suy ra sin x + cos x = 0 Vậy P T ⇔ 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0, ⇔ (I)  cosx = 1 cosx = − 1 2  Bây giờ biến đổi ĐK về hàm cosx để kết hợp:cos2x = 0 ⇔ cosx = ± √ 2 2 Vậy (I) thỏa mãn ĐK Vậy PT có nghiệm là  x = k2π x = ± 2π 3 + k2π , (k ∈ Z) 17. Giải phương trình 2  sin 4 x + cos 4 x  − 1 cos2x = cos  x − π 4  Bài toán Phân tích hướng giải. (Mai Tuấn Long) ĐK: cos 2x = 0 ⇔  sin x + cos x = 0 cos x − sin x = 0 ⇔    cos(x − π 4 ) = 0 sin( π 4 − x) = 0 PT⇔ cos 2x = cos(x − π 4 ) ⇔ 2 cos(x − π 4 ). sin( π 4 −x) = cos(x − π 4 ) ⇔ sin( π 4 −x) = 1 2 (Tới đây mọi thứ đều thỏa mãn ĐK→ ⇒ P T có nghiệm là:  x = π 6 + k2π x = − 7π 12 + k2π , (k ∈ Z) 18. Giải phương trình cos 2x + cos 3x 4 − 2 = 0 Bài toán Phân tích hướng giải. (thanhbinhmath) Do cos2x ≤ 1; cos 3x 4 ≤ 1 nên cos2x + cos 3x 4 ≤ 2. Phương trình đã cho tương đương với hệ  cos2x = 1 cos 3x 4 = 1 ⇔ x = k4π. 19. Giải phương trình tan 3  x − π 4  = tan x − 1 Bài toán Phân tích hướng giải. (tutuhoi) Ta có công thức tan(a − b) = tan a−tan b 1+tan a. tan b Nhưng nếu áp dụng trực tiếp công thức này thi ta sẽ dẫn tới việc sử dụng các hằng đẳng thức bậc 3. Vậy có cách nào tránh được việc đó không? Để làm điều đó ta nghĩ tới việc đặt ẩn phụ. Đặt t = x − π 4 ⇒ x = t + π 4 . Vậy ta có thể trình bày như sau: Điều kiện:  cos  x − π 4  = 0 cos x = 0  x = 3π 4 + kπ x = π 2 + kπ Ta có phương trình sau khi đặt ẩn phụ: tan 3 t = tan  t + π 4  + 1 ⇔ tan 3 t = 1+tan t 1−tan t + 1 ⇔ tan t(tan t + 1)(tan 2 t − 2 tan t + 2) = 0 ⇔ tan t = 0 hoặc tan t = 1 Với tan t = 0 ⇔ t = kπ ⇔ x = π 4 + kπ Với tan t = 1 ⇔ t = − π 4 + kπ ⇔ x = kπ Đối chiếu với điều kiện là có nghiệm rồi. 10 Tài liệu miễn phí [...]... luận, phương trình đã cho có nghiệm x = + kπ k ∈ Z 4 Bài toán 22 Giải phương trình: (8 sin3 x + 1)3 = 162 sin x − 27 Diễn đàn K2pi.net 11 LƯỢNG GIÁC 2014 Phân tích hướng giải (Mạo Hỡi) Trước tiên ta đặt t = 2 sin x cho gọn Phương trình đã cho trở thành: (t3 + 1)3 = 27(3t − 1) i.n et Xử lí sao đây? Không lẽ khai triển ra? Bậc 9 đó, không dễ chơi đâu Bấm máy nghiệm vô tỉ quá, có chăng là nghiệm lượng giác? ...LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 Bài toán 20 Giải phương trình 2012(sinx)2013 + 2013(cosx)2012 = 2013 Bài toán 21 Giải phương trình: i.n et Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Đầu tiên nhìn thấy mũ to như tảng đá thế này chắc không thể biến đổi thông thường được rồi,... bình phương thi u và cộng thêm 27 nên > 0 rồi Nếu học hàm rồi thì ta có: Xét hàm số f (a) = (a + 1)3 + 27a thì f ′ (a) > 0 Ta có f (u) = f (t3 ) Từ đó tóm lại ta có: t3 = u → t3 − 2t − 1 = 0(1) Ồ, đây là một phương trình quen thuộc với rất nhiều bạn nè Tôi chém lại nha Bấm máy tính, nghiệm vô tỉ quá, xem ra phân tích thành nhân tử bằng đồng nhất hệ số cũng không ăn thua Tự nhiện chúng ta nghi ngờ có lượng. .. x ).(cos2 3x + sin2 3x ) ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Từ đây ta có cách giải quyết PT! Bài toán 24 Giải phương trình: 12 √ √ 3cot2 x + 2 2sin2 x = 2 + 3 2 cosx Tài liệu miễn phí LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 Bài toán 25 Giải phương trình: i.n et Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Xin phép chỉ nêu ý tưởng định hướng: Tôi vẫn thường quan niệm rằng nếu PT có chứa sin ;cos và có cả cot hoặc √ thì thường đưa... thua Tự nhiện chúng ta nghi ngờ có lượng giác hóa, vì nếu chú ý cos 3α = 4 cos3 α − 3 cos α nên 2 cos 3α = 8 cos3 α − 6 cos α Điều này giúp ta nghĩ tới đặt t = 2 cos α, sau đó chia cả 2 vế của phương trình cho 2 đi: 1 cos 3α = − (2) 2 K2 p Trời không phụ lòng người rồi Ngon Nhưng vấn đề là chưa chặn được khoảng giá trị của t, vì ta có ?t ∈ R Ta để ý phương trình bậc 3 có không quá 3 nghiệm, nên giờ... x = −1 Diễn đàn K2pi.net 13 LƯỢNG GIÁC 2014 Bài toán 28 Giải phương trình: π 3 + kπ, k ∈ Z i.n et 1 (2)⇔ cot x = √ , (Thảo mãn ĐK) 3 ⇒ x = π + kπ, k ∈ Z 3 π Vậy PT có hai họ nghiệm: x = + kπ ; x = 4 tan2 x(sin2x − 6) + sin3 x 1 (4 − 3sin2 x) − 2sinx(cosx + 2) + 3cosx + 6 = 0 cosx cosx Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Bài này nhìn kềnh càng thế này thôi nhưng chỉ để luyện tập chiêu thức nhóm nhân... nhiên là còn ĐK sinx sin 2x + sin 3x = 6cos3 x Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Đây là PT dạng đa thức của hàm lượng giác, dạng này tương đối cơ bản thường dùng nhẩm nghiệm đưa PT về dạng tích, trường hợp nghiệm hữu tỉ thì đơn giản rồi, còn nghiệm vô tỉ thì chú ý các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt, chẳng hạn đối với PT của hàm: tan x hoặc cot x ta chú ý các giá trị như √ √ √ 2 3 1 là:... ; x = arctan 2 + kπ, (k ∈ Z) 3 Bài toán 26 Giải phương trình: √ 4cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x K2 p Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Bài này thì cơ bản quá rồi, muốn nói nhiều cũng không được !  π  x = + kπ 2  cos x =√ 0 π √  ⇔  x = + k2π , (k ∈ Z) PT⇔ cos x 2 sin2 x − 3 2 sin x + 2 = 0 ⇔  2 4  sin x = 3π 2 x= + k2π 4 Bài toán 27 Giải phương trình: cos 2x + sin 2x − tan x √ = 3 cos 2x 1 +... Giải phương trình: x 3x x 3x cos x cos cos − sin x.sin sin =1 2 2 2 2 Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Tôi thấy nó có mang bóng dáng của BĐT nên chọn ý tưởng đánh giá thử: Ta có: V T 2 ≤ (cos x cos 3x )2 +(sin x sin 3x )2 ≤ (cos4 x + sin4 x ).(cos4 3x + sin4 3x ) ≤ (cos2 x + sin2 x ).(cos2 3x + sin2 3x ) ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Từ đây ta có cách giải quyết PT! Bài toán 24 Giải phương trình: ... Giải phương trình: √ √ 3 sin 2x − cos 2x = 2 3 cos x − 2 sin x + 3 K2 p Phân tích hướng giải (Mai Tuấn Long) Đầu tiên ta để ý đến các biểu thức đẳng cấp của sin và cos và xử lý nó: √ √ π π = 4 cos x + +3 PT⇔ 3 sin 2x − cos 2x = 2( 3 cos x − sin x) + 3 ⇔ −2 cos 2x + 3 6 Bây giờ ta đưa về PT bậc hai của cos: π π π 1 P T ⇔ 4 cos2 x + + 4 cos x + + 1 = 0 ⇔ cos x + =− 6 6 6 2 Bài toán 30 Giải phương trình: