Phương trình lượng giác luyện thi đại học

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 1 - TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 2 - Lời nói ñầu Chuyên ñề về phương trình lượng giác là chuyên ñề luôn chiếm một ñiểm trong tất cả cả ñề thi tuyển sinh ñại học cao ñẳng hàng năm. Nó là một phần không thể thiếu ñược trong lượng kiến thức của toán học phổ thông. Phương trình lượng giác ñóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy của học sinh phổ thông ñặc biệt là các em học chương trình toán 10 và 11. ðối với chương trình giáo dục hiện hành chuyên ñề về công thức lượng giác nằm ở cuối chương trình học lớp 10. Và chuyên ñề về phương trình lượng giác nằm ở ñầu tiên của chương trình học toán 11. Do ñó quyển sách ñược viết dựa trên hai phần này như một luồng kiến thức gắn kết của hai chương trình. Các em học sinh học chương trình lớp 10 và 11 ñều có thể sử dụng ñược và các em luyện thi ñại học vẫn hoàn toàn có thể áp dụng ñể ôn thi. Với lượng kiến thức phong thú về lượng giác ñược giới thiệu trong quyển sách. Nó là nguồn tài liệu bổ ích phục vụ cho công việc tự học của các em học sinh. Ngôn ngữ ñược sử dụng trong sách rất giản dị và dễ hiểu. Tác giả ñã cập nhật những kiến thức và phương pháp mới nhất về lượng giác ñể cho vào chuyên ñề này. Tập tài liệu ñược chia nhỏ thành những chủ ñề riêng biệt và cuối mỗi phần còn có những luồng kiến thức ñược tổng hợp từ nhiều cách giải trước. ðiều này rất quan trọng cho sự phát triển tư duy của học sinh. Những dạng toán, những ñề thi ñiển hình và có nhiều tư duy ñược giới thiệu ñầy ñủ. Các em học sinh học chương trình nâng cao và cơ bản ñều dùng ñược một cách thiết thực. Phần II: Phương trình lượng giác Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản Chủ ñể 2: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba ñối với một giá trị lượng giác. Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác bậc nhất ñối với Sinx và Cosx Chủ ñề 4: Phương trình lượng giác ñẳng cấp bậc hai, bậc ba ñối với Sinx và Cosx Chủ ñề 5: Phương trình lượng giác dạng ñối xứng và phản xứng ñối với Sinx và Cosx. Chủ ñề 6: Phương trình lượng giác ñưa về phương trình tích. Chủ ñề 7: Phương trình lượng giác biến ñổi lượng giác Chủ ñề 8: Phương trình lượng giác tổng hợp. Chủ ñề 9: Phương trình lượng giác qua các kỳ thi tuyển sinh. Trong ñó, phần I dành cho các em học sinh học chương trình lớp 10 và phần II dành cho các em học sinh học chương trình lớp 11. Việc học tập thật vững hai luồng kiến thức và áp dụng có ý nghĩa to lớn ñến việc giải toán sau này. ðặc biệt hơn, trong cuối mỗi phần. Thầy ñều có phần bài tập tự luyện dành cho chúng ta tự giải. Những ñáp án của nó thầy ñã kết xuất vào cuối bài dành cho chúng ta tham khảo kế quả học tập của mình. Những dạng bài tập này thầy ñã hướng dẫn giải cụ thể trên website của thầy. Cũng xin lưu ý rằng, những Video này chỉ những người thầy cho phép xem mới xem ñược. Do ñó tính bảo mật của những Video này chỉ xem ñược cho chính chủ. Thầy thực hiện ñiều này nhằm giúp cho mỗi khách hàng sở hữu quyển sách. Chắc hẳn, trong chúng ta khi biết ñến quyển sách này ñều có biết những Video Tutorial của tác giả(Thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn) giảng dạy trên Xuctu.com. Do ñó quyển sách là một sự kết hợp tuyệt vời dành cho quý ñộc giả sở hữu theo ñúng chủ nhân của nó. Chủ nhân của nó khi mua sản phẩm ñúng gốc sẽ ñược hổ trợ những Video Tutorial hướng dẫn giải chi tiết chỉ phát hành ñúng cho chủ nhân. Do ñó, tác giả khuyên bạn nên ủng hộ chính sách sở hữu trí tuệ mà website ñưa ra. Bởi trong những bài tập mà có hướng dẫn giải khó hiều. Tác giả ñều cung cấp link ñến video hướng dẫn cụ thể. Cũng xin lưu ý rằng, những Video Tutorial này không ñược tác giả chia sẽ trên mạng mà chỉ cung cấp link cho chính chủ nhân. ðiều này thật quan trọng bởi nếu bạn không sở hữu theo ñúng trình tự mà tác giả mong muốn. Thêm vào ñó, những sản phẩm hoặc những lượng kiến thức mới chúng tôi sẽ cung cấp miễn phí những bản vá lỗi cho chính chủ. Quyển sách ra ñời là sự kết hợp của nhiều yếu tố. Tuy ñã cố gắng nhiều nhưng cũng không tránh khỏi những sai sót. Tác giả thực sự cám ơn những ñóng góp của quý ñộc giả ñể quyển sách càng ngày càng thiết thực hơn cho cuộc sống học sinh. Mọi chi tiết liên hệ tác giả, quý vị gửi về ñịa chỉ email: quoctuansp@gmail.com sẽ ñược hướng dẫn giải ñáp mọi thắc mắc liên quan. Trâng trọng! TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 3 - TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 4 - Một số công thức lượng giác Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: ( ) ( ) + α + α = ∀α∈ π   + α α = ∀α ≠ ∈     π   + = + α ∀α ≠ + π ∈   α   + = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k , k Z 2 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cot k ,k Z sin Hệ quả: • sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x • tanx= 1 cot x ; 1 cot tan x x = • Sin 4 x + cos 4 x = 1 - 2sin 2 x.cos 2 x • Sin 6 x + cos 6 x = 1 - 3sin 2 x.cos 2 x Công thức lượng giác 1. Công thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb  tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b  tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b 2. Công thức nhân ñôi:  sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sina.cosa= sin2 2 a  cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a  tan2a = 2 2tan 1 tan − a a 3. Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin 3 a  cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc:  cos 2 a = 1 cos2 2 a +  sin 2 a = 1 cos2 2 a −  2 1 cos2 tan 1 cos2 a a a − = + 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo tan 2 x  sinx = 2 2 1 t t +  cosx = 2 2 1 1 t t − + . tanx = 2 2 1 t t −    cotx = 2 1 2 t t − 6. Công thức biến ñổi tổng thành tích  a b a b cosa cos b 2 cos cos 2 2 + −     + =          a b a b cosa cos b 2sin sin 2 2 + −     − = −          a b a b sina sinb 2sin cos 2 2 + −     + =          a b a b sina sin b 2 cos sin 2 2 + −     − =          sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 ± ± = ≠ + ∈ a b a b a b k k Z a b π π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin + + = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin − + − = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin cos 2sin( ) 2 ( ) 4 4 + = + = −a a a cos a π π  sin cos 2sin( ) 2 ( ) 4 4 − = − =− +a a a cos a π π  cos sin 2 ( ) 2sin( ) 4 4 − = + = − −a a cos a a π π 7. Công thức biến ñổi tích thành tổng [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b • = − + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b • = − − + [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b • = + + − [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b • = + − − TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 5 - Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình lượng giác cơ bản sin x a = Phương pháp: Nếu 1 a > : Phương trình vô nghiệm Nếu 1 a ≤ : ðặt sin a α = , phương trình trở thành ( ) 2 sin sin 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ Lưu ý: + Trong phương pháp chúng ta thực hiện như vậy. Nếu a là số có trong bản giá trị lượng giác ñặc biệt thì ta ñưa nó thành cung ñặc biệt. Ngược lại, nếu nó không có trong bản giá trị lượng giác ñặc biệt thì có thể ñặt sin a α = hoặc ta viết thẳng ra ( ) arcsin 2 sin sin arcsin 2 x a k x k x a k π α π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ (trong ñó arcsin a ñược gọi là hàm ngược của sin a ). + Trong nhiều trường hợp, thì x và α là những cung khác nhau ta vẫn giải hoàn toàn tương tự như vậy. * Các trường hợp ñặc biệt cua phương trình lượng giác sin x a = + ( ) sin 0x x k k π = ⇔ = ∈ ℤ + ( ) sin 1 2 2 x x k k π π = ⇔ = + ∈ ℤ + ( ) sin 1 2 2 x x k k π π = − ⇔ = − + ∈ ℤ 2. Phương trình lượng giác cơ bản cos x a = Ph ươ ng pháp: N ế u 1 a > : Ph ươ ng trình vô nghi ệ m N ế u 1 a ≤ : ðặ t cos a α = , ph ươ ng trình tr ở thành ( ) 2 cos cos 2 x k x k x k α π α α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ L ư u ý: + Trong ph ươ ng pháp chúng ta th ự c hi ệ n nh ư v ậ y. N ế u a là s ố có trong b ả n giá tr ị l ượ ng giác ñặ c bi ệ t thì ta ñư a nó thành cung ñặ c bi ệ t. Ng ượ c l ạ i, n ế u nó không có trong b ả n giá tr ị l ượ ng giác ñặ c bi ệ t thì có th ể ñặ t cos a α = ho ặ c ta vi ế t th ẳ ng ra ( ) arccos 2 cos cos arccos 2 x a k x k x a k π α π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ (trong ñ ó arccos a ñượ c g ọ i là hàm ng ượ c c ủ a cos a ) + Trong nhi ề u tr ườ ng h ợ p, thì x và α là nh ữ ng cung khác nhau ta v ẫ n gi ả i hoàn toàn t ươ ng t ự nh ư v ậ y. - Các tr ườ ng h ợ p ñặ c bi ệ t c ủ a ph ươ ng trình l ượ ng giác cos x a = + ( ) cos 0 2 x x k k π π = ⇔ = + ∈ ℤ + ( ) cos 1 2x x k k π = ⇔ = ∈ ℤ + ( ) cos 1 2x x k k π π = − ⇔ = + ∈ ℤ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 6 - 3. Phương trình lượng giác cơ bản tan x a = ðiều kiện: ( ) 2 x k k π π ≠ + ∈ ℤ ðặ t tan a α = Ph ươ ng trình tr ở thành: ( ) tan tanx x k k α α π = ⇔ = + ∈ ℤ 4. Phương trình lượng giác cơ bản cot x a = ð i ề u ki ệ n: ( ) x k k π ≠ ∈ ℤ ðặ t cot a α = , ph ươ ng trình tr ở thành ( ) cot cotx x k k α α π = ⇔ = + ∈ ℤ Bài tập mẫu Bài tập 1: Gi ả i ph ươ ng trình 2sin 1 0 x + = H ướ ng d ẫ n gi ả i Ta có bi ế n ñổ i ( ) 2 1 6 2sin 1 0 sin sin sin 7 2 6 2 6 x k x x x k x k π π π π π −  = +  − − + = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈   = +   ℤ V ậ y ph ươ ng trình có hai h ọ nghi ệ m ( ) 2 6 7 2 6 x k k x k π π π π −  = +  ∈   = +   ℤ Bài tập 2: Gi ả i ph ươ ng trình 3 tan3 1 0 x − = H ướ ng d ẫ n gi ả i + ð i ề u ki ệ n : ( ) 3 2 6 x k x k k π π π π ≠ + ⇔ ≠ + ∈ ℤ Ta có bi ế n ñổ i ( ) 3 tan3 1 0 tan3 tan 3 6 6 18 3 x x x k x k k π π π π π − = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = + ∈ ℤ Th ỏ a mãn ñ i ề u ki ệ n, v ậ y ph ươ ng trình có m ộ t h ọ nghi ệ m ( ) 18 3 x k k π π = + ∈ ℤ Bài tập 3. Gi ả i ph ươ ng trình: 2 4sin 1 0 x − = Hướng dẫn giải Ta có biến ñổi 2 2 2 1 1 4cos 1 0 4cos 1 cos cos 4 2 x x x x − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Với ( ) 1 cos cos cos 2 2 3 3 x x x k k π π π = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ℤ Với 1 cos cos cos cos cos 2 3 3 x x x π π π   = − ⇔ = − ⇔ = −     ( ) 2 2 cos cos 2 3 3 x x k k π π π ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ℤ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 7 - Vậy phương trình có bốn họ nghiệm ( ) 2 3 2 2 3 x k k x k π π π π  = ± +  ∈   = ± +   ℤ * Chú ý: ðối với cung sin, tan và cot. Khi có dấu trừ phía trước chúng ta hoàn toàn có thể ñưa dấu trừ vào trong. ðối với cùng cos không ñược ñưa vào, mà ta phải sử dụng cung bù nhau hay nói cách khác là muốn ñưa dấu trừ vào trong cung ta phải dùng cung pi trừ cho cung ñó. ðể hiểu hơn về vấn ñề này em cần ñọc thêm các giá trị của góc cung ñặc biệt. Bài tập 4. Giải phương trình : 2 2cos 1 sin 3 x x π   = + +     H ướ ng d ẫ n gi ả i Ta có bi ế n ñổ i ( ) ( ) ( ) 2 2 2cos 1 sin sin 2cos 1 3 3 sin cos2 sin sin 2 3 3 2 2 2 3 2 3 2 6 5 2 2 2 3 2 6 2 18 3 5 2 6 x x x x x x x x x x k x k k k x x k x k x k k x k π π π π π π π π π π π π π π π π π π π π     = + + ⇔ + = −               ⇔ + = ⇔ + = −               + = − + = +   ⇔ ∈ ⇔ ∈     + = − + + − = − +      = +  ⇔ ∈   = −   ℤ ℤ ℤ V ậ y ph ươ ng trình có hai h ọ nghi ệ m ( ) 2 18 3 5 2 6 x k k x k π π π π  = +  ∈   = −   ℤ Bài tập 5. Giải phương trình ( ) ( ) 2 2sin 1 2sin 2 1 3 4cos x x x − + = − Hướng dẫn giải Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 8sin cos 4sin cos 2sin 4 4cos 0 8sin cos 4sin cos 2sin 4 1 cos 0 8sin cos 4sin cos 2sin 4sin 0 4sin cos 2sin cos sin 2sin 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − + − + = ⇔ − + − − = ⇔ − + − = ⇔ − + − = TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 8 - ( ) ( ) sin 0 sin 0 2cos 2sin 1 2sin 1 0 4sin cos 2cos 1 2sin 0 x x x x x x x x x =  =  ⇔ ⇔   − − − = − + − =   ( )( ) sin 0 sin 0 1 sin 2sin 1 2cos 1 0 2 1 cos 2 x x x x x x   =  =   ⇔ ⇔ =   − − =    =   Bài tập 6. ðề thi ñại học A-2013: Giải phương trình 1 tan 2 2 sin 4 x x π   + = +     Hướng dẫn giải ðiều kiện: ( ) cos 0 2 x x k k π π ≠ ⇔ ≠ + ∈ ℤ Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) cos sin 1 tan 2 2 sin 2 sin cos 4 cos sin 0 cos sin 0 4 4 4 1 cos 1 2 2 cos 2 3 3 2 x x x x x x x x x x x k x k k x x k x k x π π π π π π π π π π +   + = + ⇔ = +          + = + = + = = − +           ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∈    =    = ± + = ± + =        ℤ Lưu ý: ðể ñưa phương trình về phương trình cơ bản mà ta ñã biết. Khi gặp các cung chéo nhau, chẳng hạn từ sin mà ta muốn ñưa về cos và ngược lại. Hoặc từ tan chuyển thành cot và ngược lại. ta dùng cung phụ nhau ñể chuyển về cùng giá trị lượng giác. Từ ñó áp dụng các phương trình lượng giác cơ bản ñể làm tiếp. Bài tập 7: (Dự bị A, 2008): Giải phương trình 2 sin 2 sin 4 4 2 x x π π     − = − +         Hướng dẫn giải Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) 2 2 sin 2 sin sin 2 sin sin 4 2 4 2 4 4 4 sin 0 2cos .sin sin 4 4 4 2cos 1 4 sin 0 4 2 3 1 cos 2 2 3 x x x x x x x x x x k x x k k x x k π π π π π π π π π π π π π π π         − − = − + ⇔ − − = −                    − =        ⇔ − = − ⇔            =    = +     − =         ⇔ ⇔ = + ∈   =     = − +   ℤ Vậy phương trình có nghiệm là: ( ) ; 2 ; 2 4 3 3 x k x k x k k π π π π π π = + = + = − + ∈ ℤ TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 9 - Bài tập 8: Giải phương trình: xxx tansin2) 4 (sin2 22 −= ∏ − Hướng dẫn giải ðiều kiện: ( ) 2 x k k Z π π ≠ + ∈ Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin sin cos 2sin cos sin 2sin cos 1 sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 4 sin 1 cos 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k x x k x π π π π − = − − ⇔ − = − − ⇔ − =  = = +    ⇔ ⇔ ∈   − = −  = − +     ℤ Vậy phương trình có nghiệm là: ( ) ; 4 4 x k x k k π π π π = + = − + ∈ ℤ Bài tập 9: Giải phương trình ( ) 2 2 2 sin cos 2sin 2 sin sin 3 1 cot 2 4 4 x x x x x x π π + −       = − − −       +       . Hướng dẫn giải ðiều kiện: sin 0 x ≠ (*). Khi ñó: Phương trình ñã cho tương ñương với: ( ) 2 sin2 cos2 .sin 2 cos 2 .sin 4 x x x x x π   + = −     ( ) cos 2 .sin cos 2 sin 1 .cos 2 0 4 4 4 x x x x x π π π       ⇔ − = − ⇔ − − =             • sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + ( ) k ∈ ℤ , thỏa (*) • 3 cos 2 0 4 8 2 k x x π π π   − = ⇔ = +     ( ) k ∈ ℤ , thỏa (*) Vậy, phương trình có nghiệm: ( ) 3 2 ; . 2 8 2 k x k x k π π π π = + = + ∈ ℤ Bài tập 10: Giải phương trình 02cos3sin 4 2sin2 =+−−       + xxx π Hướng dẫn giải Phương trình ñã cho tương ñương với: TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932 http://www.xuctu.com E mail: quoctuansp@gmail.com - Trang 10 - 02cos3sin 4 2sin2 =+−−       + xxx π ⇔ 02cos3sin2cos2sin = + − − + xxxx ⇔ 01cos3cos2sincossin2 2 =+−+− xxxxx ⇔ ( ) ( ) ( ) 01cos21cos1cos2sin =−−+− xxxx ⇔ ( ) ( ) 01cossin1cos2 =−+− xxx ⇔       =       + = 2 1 4 sin 2 1 cos π x x Nghiệm phương trình: π π 2 3 kx +±= , π 2kx = , π π 2 2 kx += Bài tập 11: Giải phương trình: 3 1 2 sin 2 cos 2 4sin2cos 2 = − + − x x xx Hướng dẫn giải ðiều kiện:      −≠ ≠ ⇔≠++− 2 1 2sin 12sin 012sin2sin2 2 x x xx 3 1 2 sin 2 sin 2 4sin2cos 2 = + + − − x x xx ⇔ ( ) xxxx 4cos2sin34sin2cos +=− ⇔ xxxx 4sin4cos32sin32cos +=− ⇔       −=       + 6 4cos 3 2cos ππ xx ⇔       ++−=+ +−=+ π ππ π ππ 2 6 4 3 2 2 6 4 3 2 kxx kxx + π π kx += 4 ∨ 3 2 6 π π kx +−= So lại ñiều kiện ñược nghiệm phương trình ñã cho ( ) 2 6 3 x k k π π = − + ∈ ℤ Bài tập 12: Giải phương trình 2 2cos 2 3sin cos 1 3 cos sin 2cos 2 x x x x x x − + = − Hướng dẫn giải ðiều kiện: 2 0 cos x ≠ Phương trình ñã cho tương ñương với ( ) ( ) ( ) 2 2 2cos 2 3sin cos 1 3 cos sin 2cos 2 3 cos sin 2cos2 3 cos sin 3 tan 2 3 3 cos sin 0 2 6 cos2 cos 2cos 2 3 cos sin 6 2 18 3 x x x x x x x x x x x x k x x x x k k Z x x x x x x k π π π π π π π − + = − ⇔ − = −  = +   =   − =   ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈      = + = −           = − +   [...]... TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Ch ñ 2: Phương trình lư ng giác b c hai, b c ba, ñ t n ph ñ i v i m t hàm s lư ng giác Phương pháp: Phương trình lư ng giác b c hai, b c ba ñ i v i m t hàm s lư ng giác là d ng toán ta ti n hành ñ t n ph r i quy phương trình v phương trình b c hai, b c ba sơ c p Gi i phương trình này theo n ph ðưa thành nh ng phương trình lư ng giác cơ b n mà ta ñã h c ch ñ 1 M t s lưu... Phương trình lư ng giác ñ ng c p b c hai thu n túy có d ng a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 Cách gi i: + Xét cos x = 0 xem có ph i là nghi m c a phương trình hay không và gi i n u nó là nghi m c a phương trình + Chia hai v c a phương trình cho cos 2 x và ñưa phương trình v phương trình b c hai theo tan x mà ta ñã h c t i ch ñ 2 * Phương trình lư ng giác cũng ñư c xem là phương trình lư ng giác. .. 4: Phương trình lư ng giác ñ ng c p b c hai, b c ba ñ i v i Sinx và Cosx D ng 1: Phương trình lư ng giác ñ ng c p b c hai ñ i v i sinx và cosx Phương pháp: Nh n bi t: Phương trình lư ng giác ñ ng c p b c hai ñ i v i sinx và cosx hay nói cách khác là phương trình lư ng giác thu n nh t b c hai là d ng phương trình mà trong m s h ng c a nó ñi u là b c hai ñ i v i sinx và cosx và s t do Nh n d ng: * Phương. .. 3: Phương trình lư ng giác b c nh t ñ i v i Sinx và Cosx Phương pháp: Phương trình lư ng giác b c nh t ñ i v i Sinx và Cosx là phương trình lư ng giác có d ng a sin x + b cos x = c + N u a + b < c phương trình vô nghi m + N u a 2 + b 2 ≥ c 2 chia hai v cho a 2 + b 2 Phương trình tr thành 2 2 2 a a +b 2 + ð t a a2 + b2 = sin α thì cos α = 2 b sin x + b a +b 2 2 cos x = c a + b2 2 c = cos β phương trình. .. i công th c lư ng giác d = d ( tan 2 x + 1) Ti p ñ n ta cũng có th ñưa phương trình v phương trình b c hai theo tan x cos 2 x như trong phương pháp gi i lo i phương trình này Bài t p m u Bài t p 1 Gi i phương trình sau: 2 sin 2 x + sin x cos x − 3cos 2 x = 0 Hư ng d n gi i + Xét cos x = 0 : Phương trình tr thành: sin x = 0 (Vô lý) + Xét cos x ≠ 0 : Chai hai v cho cos 2 x : Phương trình tr thành: sin... 2cos2 x = 0 ⇔ 2 3 sin x cos x + 2cos2 x = 0 +Xét : cos x = 0 : phương trình tr thành: 0 = 0 (hi n nhiên) π + kπ ( k ∈ ℤ ) là nghi m c a phương trình 2 + Xét cos x ≠ 0 : chia hai v c a phương trình cho cos 2 x Phương trình tr thành 3 π ⇔ x = + kπ ( k ∈ ℤ ) 2 3 tan x + 2 = 0 ⇔ tan x = − 3 6 Cách khác: Do trong ch ñ v gi i phương trình lư ng giác ñ ng c p b c hai ñ i v i sinx và cosx nên th y ñã gi i nó... k ∈ ℤ ) V y phương trình có hai h nghi m    x = π + k 2π 3 sin x − cos x = 1 ⇔ Bài t p 4: Gi i phương trình 2 s in3x+ 5 cos 3 x = −3 Hư ng d n gi i Chia hai v c a phương trình cho 2 22 + 5 = 9 = 3 Phương trình tr thành: 2 5 s in3x+ cos 3 x = −1 3 3 http://www.xuctu.com - Trang 23 - E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 2 3 5 Phương trình thành... 2 5 V y phương trình tan 2 x − + = 0 có hai b nghi m là :  (k ∈ ℤ) 2 cos x 2  x = − π + k 2π  3  Bài t p 2 Gi i phương trình 5 tan x − 2 cot x − 3 = 0 ði u ki n: x ≠ k π 2 Hư ng d n gi i (k ∈ ℤ) Phương trình ñã cho tương ñương v i π   tan x = 1  x = 4 + kπ 2 5 tan x − − 3 = 0 ⇔ 5 tan 2 x − 3 tan x − 2 = 0 ⇔  ⇔  tan x = − 2 tan x  x = arc  − 2  + kπ  5      5  V y phương trình có... 2π  2  ð i chi u ñi u ki n phương trình ta th y nghi m c a phương trình là π π x = + k 2π , x = + k 2π ( k ∈ ℤ ) 6 6 Bài t p: 14: Gi i phương trình : π   3π  2 cos ( 2π − x ) = 3 sin  − 2 x  = 1 − 2 cos 2  − x 2 4  http://www.xuctu.com   - Trang 27 -  E mail: quoctuansp@gmail.com TT Giáo viên & Gia sư t i TP Hu - ðT:0905671232–0989824932 Hư ng d n gi i Phương trình tương ñương v i :  3π... khi gi i phương trình d ng này ta c n ph i ñ t ñi u ki n khi phương trình có ch a m u, căn th c… mà ta ñã h c Bài t p m u Bài t p 1 Gi i phương trình sau: ði u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ π 2 1 2 5 tan 2 x − + =0 2 cos x 2 Hư ng d n gi i + kπ ( k ∈ ℤ ) Ta có bi n ñ i: 1 2 5 4 4 tan 2 x − + = 0 ⇔ tan 2 x − + 5 = 0 ⇔ tan 2 x + 1 − +4=0 2 cos x 2 cos x cos x 1 4 ⇔ − +4=0 2 cos x cos x 1 ð t t= ; phương trình tr . Phần II: Phương trình lượng giác Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản Chủ ñể 2: Phương trình lượng giác bậc hai, bậc ba ñối với một giá trị lượng giác. Chủ ñề 3: Phương trình lượng giác bậc. lượng giác ñưa về phương trình tích. Chủ ñề 7: Phương trình lượng giác biến ñổi lượng giác Chủ ñề 8: Phương trình lượng giác tổng hợp. Chủ ñề 9: Phương trình lượng giác qua các kỳ thi tuyển sinh Chủ ñề 1: Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình lượng giác cơ bản sin x a = Phương pháp: Nếu 1 a > : Phương trình vô nghiệm Nếu 1 a ≤ : ðặt sin a α = , phương trình trở