Chuyên đề phương trình lượng giác

TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 1 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 1.CÔNG THỨC CỘNG 2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos2a = cos 2 a – sin 2 a cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb = 2cos 2 a –1 sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb = 1 – 2sin 2 a sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb sin2a = 2.sina.cosa tan(a + b) = tana + tanb 1 - tana.tanb tan2a = 2.tana 1 - tan 2 a tan(a - b) = tana - tanb 1 + tana.tanb 3.CÔNG THỨC HẠ BẬC cos 2 a = 1 2 2 cos a  sin 2 a = 1 - cos2a 2 4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH cosa + cosb = 2.cos a + b 2 .cos a - b 2 cosa - cosb = -2.sin a + b 2 .sin a - b 2 sina + sinb = 2.sin a + b 2 .cos a - b 2 sina - sinb = 2.cos a + b 2 .sin a - b 2 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 2 sin( ) tan tan osacosb a b a b c    sin( ) tan tan osacosb a b a b c    5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG cosa.cosb = 1 2 [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a – b) - cos(a + b)]   1 sin osb= sin( ) sin( ) 2 ac a b a b      1 os sinb= sin( ) sin( ) 2 c a a b a b    6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT x ra d - - 5 6 - 3 4 - 2 3 -  2 -  3 -  4 -  6 0  6  4  3  2 2 3 3 4 5 6  đ ộ -180 o -150 o -135 o -120 o -90 o -60 o -45 o -30 o 0 30 o 45 o 60 o 90 o 120 o 135 o 150 o 180 o sin 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 - 3 2 - 2 2 - 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos -1 - 3 2 - 2 2 - 1 2 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 tan 0 1 3 1 3 || - 3 -1 - 1 3 0 1 3 1 3 || - 3 -1 - 1 3 0 cot || 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 || 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 || TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 3 II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1.Phương trình sinx=a.( -1 a  1) sinx = a  arcsina+k2 arcsina+k2 x x          ; k  Z +sinx = sin  +k2 +k2 x x            ; k  Z ( a = sin) sinx = 0  x = k; k  Z sinx = 1  x =  2 + k2; k  Z sinx = -1  x = -  2 + k2; k  Z 2.Phương trình cosx=a.( -1 a  1) cosx = a  arccosa+k2 arccosa+k2 x x         ; k  Z +cosx = cos  +k2 +k2 x x           ; k  Z ( a = cos) cosx = 0  x =  2 + k; k  Z cosx = 1  x = k2; k  Z cosx = -1  x = + k2; k  Z 3.Phương trình tanx=a. TXĐ: \ , 2 k k             +tanx=a x=arctana+k ,k     +tanx=tan x= +k ,k       tanx=1 x= , 4 tanx=-1 x=- , 4 t anx=0 x= , k k k k k k                 4.Phương trình cotx=a. TXĐ:   \ ,k k     + t x=a x=arccota+k ,kco     +cotx=cot x= +k ,k       TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 4 cotx=1 x= , 4 cotx=-1 x=- , 4 t x=0 x= , 2 k k k k co k k                   III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. 1.Phương trình a.sinx+bcosx=c ( 2 2 0 a b   ) 2 2 2 2 2 2 sinx+ osx= a b c c a b a b a b     đặt: 2 2 2 2 os = sin a c a b b a b             phương trình trở thành: 2 2 sinx os osxsin c c c a b      2 2 sin( ) c x a b      *Chú ý +Phương trình có nghiệm khi 2 2 2 c a b   +Nếu . 0, 0 a b c   thì: sin cos 0 tan b a x b x x a      2.Phương trình : 2 2 asin sinxcosx+ccos 0 x b x   (1) +Nếu a = 0: 2 sinxcosx+ccos 0 b x  osx(bsinx+ccosx)=0 c  osx=0 bsinx+ccosx=0 c     +Nếu c = 0: 2 asin sinxcosx=0 x b sinx(asinx+bcosx)=0  sinx=0 asinx+bcosx=0     +Nếu 0, 0,cos 0 a c x    : 2 2 2 2 2 sin sinxcosx cos (1) 0 cos cos cos x x a b c x x x     2 tan tanx+c=0 a x b  TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 5 BÀI TẬP. Bài 1.Giải các phương trình: a) 2 cot(5 ) 0 8 x    b) 2 2cos 3cos 0 x x   c) 3sin3 cos3 2 x x   d) 2 2 sin sin 2 2cos 2 x x x    Giải. a) 2 cot(5 ) 0 8 x     5 8 2 x k        5 k x     b) 2 2cos 3cos 0 x x   cos 0 2 , 3 5 cos 2 2 6 x x k k x x k                            c) 3sin3 cos3 2 x x   3 1 sin3 cos3 1 2 2 x x     sin (3 ) 6 x   = 1  3 2 6 2 x k        2 2 9 3 k x     d) 2 2 sin sin 2 2cos 2 x x x     sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0 sin 0 tan 2 arctan2 x x k x x k                Bài 2.Giải các phương trình: a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x     3 3 5 x k      5 3 k x      b) 2 2sin sin 1 0 x x    2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 7 2 6 x k x x k k x x k                                  c) sin5 cos5 2 x x    1 1 sin5 cos5 1 2 2 x x      sin (5 ) 4 x   = - 1  5 2 4 2 x k         3 2 20 5 k x      TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 6 d) 2 2 3sin sin2 cos 3 x x x    2 2sin cos 2cos 0 2cos (sin cos ) 0 x x x x x x       2 cos 0 2 tan 1 4 x k x x x k                         e. cos2 3sin 2 0 x x    2 2 1 2sin 3sin 2 0 2sin 3sin 1 0 x x x x          2 2 sin 1 2 , 1 6 sin 2 5 2 6 x k x x k k x x k                                f. 3sin cos 2 x x  3 1 2 sin cos 2 2 2 x x   2 sin cos cos sin 6 6 2 x x      sin( ) sin 6 4 x       2 2 6 4 12 , 3 7 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k                                    g. 3sin cos 2 x x  3 1 2 sin cos 2 2 2 x x   2 sin cos cos sin 6 6 2 x x      sin( ) sin 6 4 x      5 2 2 6 4 12 , 3 11 2 2 6 4 12 x k x k k x k x k                                    TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 7 h. 2cos2 3cos 1 0 x x    2 4cos 3cos 1 0 x x     cos 1 2 , 1 1 cos arccos( ) 2 4 4 x x k k x x k                       i. 2 2 2sin 3sin cos 5cos 0 x x x x    2 2 n 3 n 5 0 ta x ta x     tan 1 4 , 5 5 tan arctan( ) 2 2 x x k k x x k                          Bài 3.Giải các phương trình: a. 3sin sin2 0 x x   b. 2 2cos 2 sinx x   c. sin sin3 sin5 0 x x x    d. sin sin3 sin5 cos cos3 cos5 x x x x x x      e. 2 2 2sin 5sin cos 4cos 2 x x x x    f. 2 2 2cos 2 3sin 2 x x   g. 2 2 sin 2 cos 3 1 x x   h. tan .tan5 1 x x  i. 5cos2 12sin2 13 x x    j. 2sin 5cos 4 x x   k. 2cos 3sin 2 x x   Bài 4.Giải các phương trình: a. tan cot 2 x x   b. 2 (3 cot ) 5(3 cot ) x x    c. 3(sin3 cos ) 4(cos3 sin ) x x x x    d. 2 2 4sin 3 3sin2 2cos 4 x x x    e. 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 sin 4 2 x x x x     f. 4 2 4sin 12cos 7 x x   Bài 5. Giaûi caùc phöông trình sau : a) 2 cot(5 ) 0 8 x    b) 2 2cos 3cos 0 x x   c) 3sin3 cos3 2 x x   d) 2 2 sin sin 2 2cos 2 x x x    Baøi giaûi : a) 2 cot(5 ) 0 8 x    TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 8  5 8 2 x k        5 k x     b) 2 2cos 3cos 0 x x    cos 0 3 cos 2 x x     2 5 2 6 x k x k          c) 3sin3 cos3 2 x x   3 1 sin3 cos3 1 2 2 x x    Sin (3 ) 6 x   = 1  3 2 6 2 x k        2 2 9 3 k x     d) 2 2 sin sin 2 2cos 2 x x x     sinx ( 2 cosx – sinx ) = 0  sin 0 tan 2 x x    arctan 2 x k x k      Bài 6. giaûi phöông trìnhlöôïng giaùc : a) 3 3 tan(3 ) 0 5 x     3 3 5 x k      5 3 k x      b) 2 2sin sin 1 0 x x     sin 1 1 sin 2 x x     2 2 2 6 7 2 6 x k x k x k              c) sin5 cos5 2 x x    1 1 sin5 cos5 1 2 2 x x     Sin (5 ) 4 x   = - 1  5 2 4 2 x k         3 2 20 5 k x      d) 2 2 3sin sin 2 cos 3 x x x     cos 0 tan 1 x x    2 4 x k x k         TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 9 Bài 7. Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0   x b. 2cos 3 0   x c. cos2 3sin 2 0 x x    d. 3sin cos 2  x x a) sin sin 6 x  2 6 5 2 6            x k x k     b) cos cos 6 x  2 6     x k   c) 2 2sin 3sin 1 0     x x sin 1 1 sin 2       x x 2 2 2 6 5 2 6                      x k x l x l d) 3 1 2 sin cos 2 2 2  x x 5 2 12 11 2 12               x k x k Bài 8. Giải các phương trình sau: a. 2sin 3 0   x b. 2cos 1 0   x c. cos2 3sin 2 0 x x    d. 3sin cos 2  x x a) sin sin 3 x  2 3 2 2 3            x k x k     b) cos cos 3 x  2 3     x k   c) 2 2sin 3sin 1 0     x x sin 1 1 sin 2       x x 2 2 2 6 5 2 6                x k x k x k       d) 3 1 2 sin cos 2 2 2  x x 2 12 7 2 12           x k x k     Bài 9. Giải các phương trình sau: a. 2sin 1 0   x b. 2cos 2 0   x c. 2 cos2x -3cosx +1 =0 d. 3sin cos 2  x x TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh. ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 10 a) sin sin 6 x  2 6 5 2 6            x k x k     b) cos cos 4 x  2 4     x k   c) 2 4cos 3cos 1 0    x x cos 1 1 cos 4        x x 2 1 arccos 2 4                 x k x k   d) 3 1 2 sin cos 2 2 2  x x 5 2 12 11 2 12               x k x k Bài 10. Giải Phương trình a. 3sin cos 2 x x  b. cos2 3sin 2 0 x x    c. cos 2 x + sinx +1=0 a/ 3 1 2 sin cos 2 2 2  x x sin sin 6 4           x  5 2 12 11 2 12               x k x k b 2 2sin 3sin 1 0     x x sin 1 1 sin 2       x x  2 2 2 6 5 2 6                      x k x l x l c. 4 6 x k x k               Bài 11. Giải các pt. a. cos2 3sin 2 0 x x    b.sin 2 x +3sinx cosx -5 cos 2 x= 0 c.2 cos 2 x -3cosx +1 =0 Đáp án [...]... 1 p 2cos x  1 Bài 22 Cho phương trình: n 4sin 2 x  3cos 2 x  3(4sin x  1) q tan x  sin 2 x  cos 2 x  4cos x  2 cos x m sin x  2 m cos x  2  (*) m  2cos x m  2sin x a.Giải phương trình khi m = 1 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 23 Cho phương trình: sin x  m cos x  2 (*) a.Giải phương trình khi m  3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 24 Cho phương trình: 2sin x  cos x  1... NGHIỆM VÀ ĐIỀU KIỆN TRONG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN I CÁC PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP NGHIỆM VỚI ĐIỀU KIỆN PHỔ BIẾN: 1 Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác: 1.1 Kiến thức cơ sở: Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức sau: Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc Các hằng đẳng thức cơ bản của lượng giác Từ đó ta có các kết... 3 6  x k  8 2  Bài 19.Cho phương trình: 2sin 2 x  sin x cos x  cos 2 x  m (*) a.Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b.Giải phương trình khi m = -1 Giải 1 1 (*)  (1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x )  m  sin 2 x  3cos 2 x  2m  1 2 2 a (*)có nghiệm khi: c 2  a 2  b 2  (1  2m)2  1  9  4m 2  4m  9  0  1  10 1  10 m 2 2 b.Khi m = -1 phương trình trở thành: sin 2 x  3cos... 2 (*) a.Giải phương trình khi m  3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Bài 24 Cho phương trình: 2sin x  cos x  1 m sin x  2cos x  3 a.Giải phương trình khi m  (*) 1 3 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài 1 5(sin x  cos3 x  sin 3 x )  3  cos 2 x 1  2sin 2 x (1) Số 4 – Ngõ 3 –Tân Hùng – Thành phố Vinh ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 22... x) 6 tan  2  sin x 1  tan 2  5  4sin( Bài 20 Cho phương trình: a.Giải phương trình khi    (*)  4 b.Tìm để phương trình (*) có nghiệm Giải Ta có: sin( 3   x )   sin(  x )   cos x 2 2 6 tan   6 tan  cos 2   3sin 2 ,cos   0 2 1  tan  (*)  a khi    5  4cos x  3sin 2  3sin 2 sin x  4cos x  5 (**) sin x  phương trình trở thành: 4 3 4 3sin x  4cos x  5  sin x  cos...  Vậy ,phương trình có nghiệm: x  Bài 16 2cos 2 6x 8x  1  3cos 5 5  (1  cos Đặt: t  cos    k  , x    k 2 6 12 x 4x 4x 4x 4x )  1  2(2cos 2  1)  2  4cos3  3cos  2(2cos 2  1) 5 5 5 5 5 4x , 1  t  1 phương trình trở thành: 5  t 1 3  6t 2  3t  5  0   4t t  1  21   4  cos 4x 5 1 x  k 5 2  cos 4 x 1  21 5 1  21 5   x   arccos k 5 4 4 4 2 Vậy ,phương trình. ..  6  Website: Giasualpha.edu.vn 5  x  k  24 c   x  13  k   24 Bài 13 Giải Phương trình a tan(x +200) = 1 2 b sinx + sin2x = cosx + cos3x c.4sin2x -5sinx cosx -6 cos2x= 0 ĐS.a x=100 +k1800  x    k 2 b    x   k 2 6 3   x  arctan 2  k c  1  x  arctan( )  k  2 Bài 14 Giải Phương trình a 3 sin x  cos x  2 1a) 3 1 2 sin x  cos x  2 2 2 b cos 2 x  3sin x  2  0 5... 3 2) 2 sin x sin x t  2 cos x 2 Đặt: t  phương trình trở thành: 3t  (2  3 2)t  2 2  0   2 t2 sin x  3  t  2 cos x 2 : 2   3cos x  2(1  cos 2 x)  2cos 2 x  3cos x  2  0 3 sin x 3  cos x  t  2 : 1   x    k 2 2 3 cos x  2  cos x  2(1  cos 2 x)  2 cos 2 x  cos x  2  0 2 sin x  2  x    k 2 2 4  cos x  Vậy ,phương trình có nghiệm: x      k 2 , x   ... Hùng – Thành phố Vinh ĐT 0984.638.972 – 0917.638.972 28 TRUNG TÂM GIA SƯ LUYỆN THI ALPHA THÀNH PHỐ VINH Website: Giasualpha.edu.vn Thay vào phương trình (*) ta được: sin( 5   5k )   sin(  k ) không thỏa mãn với mọi k 2 2 Do đó cos x không là nghiệm của phương trình nên: 2 (*)  sin 5x x x x 1 5 cos  5cos3 x sin cos  (sin 3 x  sin 2 x )  cos3 x sin x 2 2 2 2 2 2  3sin x  4sin 3 x  2sin x... 1 5 5 3 4  sin x cos   cos x sin   1,(  cos  ,  sin  ) 5 5  sin( x   )  1  x      k 2 2 b .Phương trình có nghiệm khi: cos   0   cos   0  cos   0    2  2  cos 2  0     k  2 4 2 (3sin 2 )  16  25 sin 2  1 sin 2  1 Bài 21.Giải các phương trình: a 2 2(sin x  cos x)cos x  3  cos 2 x b (2cos x  1)(sin x  cos x)  1 c 2cos 2 x  6(cos x  sin x )