Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình phơng trình lợng giác I Ph ơng trìnhlựơnggiác cơ bản : Bài 1 : Giải các phơng trình sau 1. sin 2 cos2 0x x = 2. sin 3 2 cos3 0x x + = 3. 2 4sin 1x = 4 . 2 2 sin sin 2 1x x+ = 5. 3 cos(sin ) 2 x = 6. sin 4 1 cos6 x x = 7. sin 2x = 2cos x 8. = sin .cot5 1 cos9 x x x 9. tan3 tan5x x = 10. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 11. sin 2 2 cos 1 sin x x x = + Bài 2 : Tìm tất cả các nghiệm 3 ; 2 x của phơng trình 1 sin cos cos .sin 8 8 2 x x + = II - Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lơng giác Bài 1 : Giải các phơng trình sau 1. cos2 3sin 2x x+ = 2. 4 2 4sin 12 cos 7x x+ = 3. 2 25sin 100 cos 89x x+ = 4. 4 4 sin 2 cos 2 sin2 cos2x x x x+ = 5. + = 6 6 2 2 sin cos 1 tan 2 cos sin 4 x x x x x 6. + = 2 3 tan 9 cos x x Bài 2 : Giải các phơng trình với m = 0 ; m = 1/ 2 ; m = 1 1. cos 2x ( 4m + 4) cos x +12 m -5 = 0 ( m là tham số ) 2. sin 2 x ( 2m -1) sin x + m 2 -1 = 0 ( m là tham số ) III Ph ơng trình bậc nhất với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phơng trình sau 1. sin 3 3 cos3 2x x+ = 2. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 3. 2sin17 3 cos5 sin 5 0x x x+ + = 4. 2sin (cos 1) 3 cos2x x x = 1 Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình 5. 3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x = 6. 3cos sin2 3(cos2 sin )x x x x = + 7. sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + = Bài 2 : Cho 3sin 2 2 cos2 x y x = + 1. Giải phơng trình khi y = 0 ; y = 1 ; y = 4 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y Bài 3 : Cho phơng trình m sin x + 2 cos x = 1-m Xác định m để 1. Phơng trình vô nghiệm 2. Phơng trình có nghiệm IV Ph ơng trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phơng trình 1) 2 2sin 2 2 3 sin 2 cos2 3x x x = 2) 1 4sin 6 cos cos x x x + = 3) 3 sin 3 2 cosx x= 4) 2 2 4sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ = 5) 3 3 cos sin sin cosx x x x+ = 6) 3 8cos ( ) cos3 3 x x + = 7) 3 1 8cos sin cos x x x = + 8) 3 2 sin ( ) 2sin 4 x x + = 9) sin 3 cos3 2 cos 0x x x + + = Bài 2 : Cho phơng trình ( m +3) ( 1+sinx cos x) = (m+2) cos 2 x 1. Giải phơng trình khi m = -3 ; m = 0 2. Tìm m để phơng trình có nghiệm V Ph ơng trình đối xứng với sin x và cos x Bài 1 : Giải các phơng trình 1 . 12(sin cos ) 4sin cos 12 0x x x x+ = 2 . sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + = 3 . 5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x + + = 4 . 1 sin 2 (sin cos ) 0 2 x x x+ + = 5 . 5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x + = 6 . 3 3 2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ + + = 7 . 1 1 (sin cos 1)(sin 2 ) 2 2 x x x + + = 2 Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình 8 . sin cos 4sin 2 1x x x + = 9 . sin cos sin 2 0x x x+ = 10 . 2(sin cos ) tan cotx x x x+ = + 11 . cot tan sin cosx x x x = + 12 . 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1 sin cos 1 x x x x x x + + = + Bài 2 : Cho phơng trình m( sin x+ cos x) + sin x cos x +1 = 0 1. Giải phơng trình với m = - 2 2. Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất hàm số y = 2( sin x cos x) + 3sin 2x -1 VI Ph ơng trình lợng giác khác A- phơng trình giải bằng cách dặt ẩn phụ Bài 1 : Giải các phơng trình 1. + + = 2 1 cot 1 0 sin x x 2. + = 2 1 2 5 tan 0 2 cos 2 x x B- Sử dụng công thức hạ bậc Bài 2 : Giải các phơng trình 1. 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + 3. 2 2 2 sin sin 2 sin 3 0x x x+ = 2. 2 2 2 3 sin sin 2 sin 3 2 x x x+ + = . 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x+ = C Ph ơng trình biến đổi về tích Bài 3 : Giải phơng trình 1 . cos cos 2 cos 3 cos 4 0x x x x+ + + = 2. 1 sin cos3 cos sin 2 cos 2x x x x x+ + = + + 3. 3 2cos cos 2 sin 0x x x+ + = 4 . cos cos3 2 cos5 0x x x+ + = 5 . 3 3 cos sin sin 2 sin cosx x x x x+ = + + 6 . 2 3 sin cos sin 0x x x+ + = 7. 2 1 sin tan 1 cos + = + x x x 8 . 3 3 sin cos sin cosx x x x = + 9 . cos cos 5 8sin sin 3 cos3 cos x x x x x x = 10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x 3 Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình D- Phơng trình lợng giác có điều kiện Bài 1 : Giải các phơng trình sau 1. 3 1 8cos KQ x= ; x= sin sin 12 2 3 k x k x x = + + + 2. 2 1 cos 2 1 cot 2 KQ x= sin 2 4 x g x k x + = + 3. 4 4 4 sin 2 cos 2 k cos 4 KQ x = 2 tan( )tan( ) 4 4 + = + x x x x x 4. 2 cos (1 cot ) 3 3cos KQ x= ; 4 6 2 sin( ) 4 + = + = + x x x k x k x 5. 2 cos 2sin cos 3 KQ x= 2 2cos sin 1 6 x x x k x x = + Bài 2: Giải các phơng trình 1. tan 3x= tan 5x 2. tan2xtan7x=1 3. sin 4x 1 co s 6x = 4. sin cot 5 1 cos9 = x x x 5. 3 sin( ) cos 2 4 sin( 2 ) cos( ) 2 4 x x x x + = + 6. cos3 .tan5 sin 7=x x x Bài 3 : Giải các phơng trình 1. sin sin 2 sin 3 3 cos cos 2 cos3 x x x x x x + + = + + 2. 2 1 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin cos 1 x x x x x + + = 3. 3 3 sin cos cos 2 2cos sin x x x x x + = 4. 1 1 2 2 sin( ) 4 sin cos x x x + = + 5. 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 = + x x x x x 6. 2 3tan3 cot 2 2tan sin 4 + = +x x x x 7. 1 1 cos sin cos sin x x x x + = + 8. 2 2 2 2 1 1 cos sin cos sin x x x x = Bài 4: 4 Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình a) Tìm các nghiệm ;3 2 x ữ của phơng trình 5 7 sin(2 ) 3cos( ) 1 2sin 2 2 x x x + = + b) Tìm các nghiệm [ ] 0; 2x của phơng trình cos3 sin 3 5(sin ) cos 2 3 1 2sin 2 x x x x x + + = + + c) Tìm các nghiệm thoã mãn điều kiện 3 2 2 4 x của phơng trình sin cos 1 sin 2 2 x x x = d) Tìm các nghiệm thoã mãn 2x < của phơng trình 2 2 1 (cos5 cos 7 ) cos 2 sin 3 0 2 x x x x+ + = Phơng trình lợng giác có chứa tham số Khi đặt ẩn phụ t = f ( x) ta cần chú ý các yêu cầu sau : * Tìm điều kiện của ẩn phụ t : Thờng dùng các cách sau : Cách 1 : Coi t là tham số tìm t để phơng trình f(x) = t có nghiệm với ẩn x Cách 2 : Tìm miền giá trị của hàm số f (x) Cách 3 : áp dụng bất đẳng thức * Với x D thì t phải thoã mãn điều kiện gì ? Giả sử t T * Với mỗi t T thì phơng trình f(x) = t có mấy nghiệm ẩn x Bài toán 1: Cho phơng trình lợng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phơng trình có nghiệm x D Xác định m để các phơng trình sau : 1. Cos 2x 3 cos x +m = 0 có nghiệm ; 3 2 x ữ 2. m cos 2x + sin 2x = 2 có nghiệm 0 ; 2 x ữ 3. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ; 2 x ữ 4. ( m-1 ) ( sin x cos x ) ( m+ 2) sin 2x = 0 5. m cos 2 2x 4 sin x cos x + m -2 =0 có nghiệm 0 ; 4 x ữ 6. cos 4x - 2 4tan 1 tan+ x x = 2 m có nghiệm 0 ; 2 x ữ 7. m( sin x+ cos x -1 ) = 1 + 2sin x cos x có nghiệm 0 ; 2 x ữ 8. Cos 2x = m cos 2 x 1 tan+ x có nghiệm 0; 3 9. tan 2 x + cot 2 x + m( tan x+ cot x) +m = 0 có nghiệm 10. 2 sin x cos 2x sin 3x 2m + 3 cos 2x = 0 có nghiệm 5 Đỗ Đình Quân GV Toán Trờng THPT Nam Tiền Hải Thái Bình Bài toán 2 : Cho phơng trình lợng giác f ( x , m) = 0 . Tìm m để phơng trình có n nghiệm x D Tìm m để các phơng trình sau thoã mãn : 1. m cos 2x- 4( m-2) cos x +2m -1 = 0 cos dúng hai nghiệm phân biệt ; 2 2 x ữ 2. m sin 2 x 3 sin x cos x m -1 = 0 có đúng ba nghiệm phân biệt x 3 0; 2 x ữ 3. m( sin x cos x ) + 2 sin x cosx = m có đúng hai nghiệm [ ] 0;x 4. ( 1- m) tan 2 x - 2 1 3 0 cos m x + + = có nhiều hơn một nghiệm 0; 2 x ữ 5. (2sin x-1)( cos 2x + m sin x+m+1) = 3- 4cos 2 x có đúng hai nghiệm 0; 2 x 6. cos 3x cos 2x + m cos x 1 = 0 có đúng bảy nghiệm 0; 2 x ữ 7. sin 3x m cos 2x ( m+1) sin x + m = 0 có đúng tám nghiệm ( ) 0;3x 8. 4 sin 2x + m cos x = cos 3x có đúng ba nghiệm ;3 6 x ữ 6