Chuyên đề phương trình lượng giác

Chuyên đề phương trình lượng giác, bài tập có lời giải chi tiết, dành cho học sinh ôn thi đại học - cao đẳng

1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: h t t p : / / t a i l i e u 1 . w e b n o d e . v n / Bỉm sơn. 08.05.2011 http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 2 MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông Ví dụ như các công thức sau 2 2 sin cos 1x x  2 2 cos 2 2cos 1 1 2sinx x x    sin 2 2sin cosx x x 3 sin 3 3sin 4sinx x x  … Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay không 2 2 sin 2 c o s 2 1x x  2 2 cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2x x x    sin 4 2sin 2 cos 2x x x 3 sin 9 3sin 3 4sin 3x x x  …Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau Với 0k  ta có 2 2 sin cos 1kx kx  2 2 cos 2 2cos 1 1 2sinkx kx kx    sin 2 2sin coskx kx kx 3 sin 3 3sin 4sinkx kx kx  1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản l à m ột vấn đề rất “then chố t ” trong việc giải phương trình lượng… chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc x e m x é t m ối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào Bài 1: (ĐH – A 2 0 0 8 ) Giải phương trì n h : 1 1 7 4.sin 3 sin 4 sin 2 x x x                   Nhận xét: Từ sự xuất hiện hai cung 3 2 x   v à 7 4 x   m à c h ú n g t a l i ê n t ư ở n g đ ế n v i ệ c đ ư a h a i c u n g h a i v ề c ùng một cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụn g c ô n g t h ức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc đặc biệt Giải: Sử dụng công thức biến đổi tổng thà n h t í c h http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 3 Ta có 3 3 3 sin sin . cos cos .sin cos 2 2 2 x x x x                    7 7 7 2 sin sin cos cos .sin sin c o s 4 4 4 2 x x x x x                  Sử dụng công thức về các góc đặc biệt Ta có 3 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                              Hoặc 3 sin sin 2 sin cos 2 2 2 x x x x                                      7 7 2 sin sin 2 sin sin c o s 4 4 4 2 x x x x x                                  Hoặc   7 2 sin sin 2 sin sin cos 4 4 4 2 x x x x x                                       Chú ý:     sin 2 sin , cos 2 c o s x k x k x k x             và     sin 2 sin , cos 2 cos x k x k x k x                   Điều kiện: sin 0 sin 2 0 , cos 0 2 x x x k k x             Phương trì n h 1 1 4sin sin cos 4 x x x               sin cos 2 2 sin .cos sin c o sx x x x x x         sin cos 2 2 sin .cos 1 0x x x x    tan 1 sin cos 0 2 2 2 sin .cos 1 0 sin 2 2 x x x x x x                   4 4 2 2 , 4 8 5 5 2 2 4 8 x k x k x k x k k x k x k                                                   K ết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trì n h l à 4 x k      ; 8 x k      ; 5 8 x k     với k  http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 4 Đs:   5 , , , 4 8 8 x k x k x k k                 Bài 2: (ĐH – D 2 0 0 6 ) Giải phương trì n h : cos3 c o s 2 – c o s –1 0x x x  Giải: Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ n g a y đ ế n v i ệ c đ ư a c ù n g v ề m ộ t c u n g x b ằ n g c ô n g t h ứ c nhân ba và nhân đôi của hàm cos Phương trì n h 3 2 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x       3 2 2cos cos 2cos 1 0x x x         2 2cos 1 cos 1 0x x      2 1 cos 2cos 1 sin 0 2 s i n 0 x x x x              2 2 ; 3 x k k x k               Đs:   2 2 , 3 x k x k k          Cách 2: Nhận xét: Ta có 3 2 x x x   và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì t h ế ta nghĩ đến nh ó m c á c h ạng tử b ằng cách dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích       2 2 cos 3 cos – 1 cos2 0 2sin 2 .sin 2sin 0 2sin 2cos 1 0 x x x x x x x x           … tương tự như trên Chú ý: Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì k h ô n g k h ó Công thức nhân ba 3 3 cos3 4cos 3cos , sin 3 3sin 4sinx x x x x x    Chứng minh: D ựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi Ta có         2 2 2 2 3 cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin 2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos x x x x x x x x x x x x x x x x x              Tương tự cho sin 3x Bài 3 : ( Đ H D B – 2003) Giải phương trì n h : 6 2 3cos4 – 8cos 2cos 3 0x x x   Giải: Nhận xét 1: Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 5   2 2 4 2 cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x        Cách 1: Phương trì n h 6 4 2 4cos 12cos 11cos 3 0x x x    (pt bậc 6 chẵn) Đặt 2 c o s , 0 1t x t   Khi đó ta có 3 2 1 4 12 11 3 0 1 2 t t t t t            … bạn được giải tiếp được nghiệm , , 4 2 x k k k        Nhận xét 2: Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi Cách 2: Phương trì n h     3 2 2 1 cos 2 1 cos 2 3 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2cos 2 3cos 2 2 0 2 2 cos 2 0 , 4 2 cos 2 1 x x x x x x x x k k x x k                                           Nhận xét 3: Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trì n h tích Cách 3: 0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242  xxxxxxx 2 2 2 2 2 6cos 2 2cos (2cos 1 ) c o s 2 0 cos 2 3cos 2 c o s (2cos 1 ) 0x x x x x x x x             2 4 2 cos 2 0 4 2 3 ( 2 c o s 1 ) 2 c o s cos 0 k x x x x x                 Phương trì n h 2 4 2 2 cos 1 sin 0 2cos 5cos 3 0 3 cos ( ) 2 x x x k x x x loai                   Đs: , , 4 2 x k k k        Bài 4: (ĐH – D 2 0 0 8 ) Giải phương trì n h :   2sin 1 cos 2 sin 2 1 cosx x x x    Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ t ớ i v i ệc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế Phương trì n h 2 4sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x    2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x    http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 6 ( 1 2 c o s ) ( s i n 2 1 ) 0x x    1 cos 2 sin 2 1 x x         2 2 3 4 x k x k                 Đs:   2 2 , , 3 4 x k x k k            Bài 5: Giải phương trì n h 3 3sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x   Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos 3 3sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1x x x x x       2 1 3 1 1 18 9 sin 9 c o s 9 sin 9 7 2 2 2 2 3 2 54 9 x k x x x k x k                               Bài 6: (ĐH M – 1 9 9 7 ) Giải phương trì n h sin 5 1 5sin x x  Giải: Điều kiện: sin 0x  Phương trì n h sin 5 5sin sin 5 5sinx x x x    Nhận xét: Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x… có hai hướng Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin 4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1 x x x x x x x x x x x x          2 3 cos ( ) cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2 cos2 1 x loai x x x x x                2 1 cos2 0 2sin 0 sin 0 ( )x x x loai       Vậy phương trì n h v ô n g h i ệm Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3x x x  , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức nhân hai, nhân ba          2 3 2 2 3 2 2 sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin 3sin 4sin c o s sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos x x x x x x x x x x x x x x x x x x x             5 3 3 2 2 12sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0x x x x x      … vô nghiệm http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 7 Bài 7: (ĐH – D 2 0 0 2 ) Tìm   0 ; 1 4x  nghiệm đúng phương trì n h : cos3 – 4cos 2 3cos 4 0x x x   Giải: Phương trì n h   3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x       3 2 2 cos 2cos 0 cos (cos 2) 0x x x x      cos 0 2 x x k        Vì   0 ; 1 4x  nên 0 14 2 k      Đs: 3 5 7 ; ; ; 2 2 2 2 x x x x         Bài 8: (ĐHTL – 2 0 0 0 ) Giải phươn g t r ì n h sin 3 sin 5 3 5 x x  Giải: Phương trì n h       2 5sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos4 cos sin 4x x x x x x x x x                2 2 2 2 5sin 3 4sin 3sin cos 4 4cos cos 2 sin 0 5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos 2 * x x x x x x x x k x x x x                Phương trì n h       2 * 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos2 c o s 2x x x x              2 5 1 cos 2 6 2 12cos 2 4cos 2 5 0 1 cos 2 3 2 x x k x x x k x                                Bài 9: (ĐH – D 2 0 0 9 ) Giải phương trì n h : 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x   Giải: Nhận xét: Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5x x x  ta nghĩ n g a y t ớ i v i ệ c á p d ụ n g c ô n g t h ứ c b i ế n đ ổ i t ổ n g thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý Phương trì n h 3 cos5 sin 5 sin sin 0x x x x     3 1 cos 5 sin 5 sin 2 2 x x x   http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 8 12 3 sin 5 sin 3 6 2 x k x x k x k                             Đs:   , , 18 3 6 2 x k x k k            Chú ý: - Đối với phương trì n h b ậc nhất với sin và cos là sin cosa x b x c  học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu gặp phương trì n h sin cos 'sin 'cos , 0 , 1a x b x a kx b k x k    thì làm thế nào, cứ b ì n h t ĩ n h n h é , t a c o i n h ư h a i v ế của phương trì n h l à h a i p h ương trì n h b ậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự - Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau Bài 10: (ĐH – B 2 0 0 9 ) Giải phương trì n h :   3 sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x    Giải: Phương trì n h   2 s i n 1 2sin c o s . s i n 2 3cos3 2cos4x x x x x x     1 3 sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x x x x      c o s 4 cos 3 6 x x           4 3 2 6 x x k                2 6 2 42 7 x k k x k                   Hoặc:   1 3 1 sin sin 3 sin 3 cos3 2(cos4 sin sin 3 ) 2 4 4 x x x x x x x       1 3 3 1 sin 3 sin 3 cos3 2cos 4 sin sin 3 2 2 2 2 x x x x x x      1 3 sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x x x x      Đs:   2 , 2 , 42 7 6 k x x k k            Tương tự: (CĐ – A 2004) Giải phương trì n h : 3 2coscos 2sinsin    xx xx HD: Điều kiện: 3 2 202coscos   k xkxxx  http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 9 xxxxxxxx sin 2 1 cos 2 3 2sin 2 1 2cos 2 3 2cos3cos32sinsin  3 2 9 2 6 cos 6 2cos    k xkxxx                Bài 11: (ĐHXD – 1997) Giải phương trì n h : 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 tan tan 4 4 x x x x x                   Giải: Nhận xét: Từ tổng hai cung 4 4 2 x x                    nên tan tan 1 4 4 x x                  v à c u n g 2 x c ó t h ể đưa về cung 4x b ằng công thức nhân đôi Điều kiện: cos 0 4 1 cos .cos 0 cos 2 cos 0 cos 2 0 4 4 2 2 cos 0 4 x x x x x x                                                       Phương trì n h 4 4 4 2 2 4 2 4 1 sin 2 cos 2 cos 4 1 2sin cos 2 cos 4 1 sin 4 c o s 4 2 x x x x x x x x               2 2 4 4 2 2 c o s 4 1 1 1 1 cos 4 c o s 4 2cos 4 cos 4 1 0 1 2 sin 4 2 sin 2 0 sin 4 0 , cos2 0 2 x x x x x x loai x k x x k x loai                               Chú ý: - Chắc hẳn các bạn sẽ ngạc nhiên bởi cách giải ngắn gọn này, nếu không có sự nhận xét và tổng hai cung mà quy đồng và biến đổi thì … r a k h ô n g - Việc giải điều kiện và đối chiếu với điều kiện đặc biệt là những phương trì n h l ượng giác có dạng phân thức như trên nếu không khôn khéo thì r ất … phức tạp. - Với ý tưởng nhận xét về tổng các cung trên ta có thể làm tương tự bài toán sau (ĐHGTVT – 1999) Giải phương trì n h : 4 4 7 sin c o s cot cot 8 3 6 x x x x                   http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ 10 Đs: , 12 2 k x k        Bài 12: (ĐHTL – 2 0 0 1 ) Giải phương trì n h : 3 1 3 sin sin 10 2 2 10 2 x x                  Giải: Nhận xét: Nhìn vào phương trì n h n à y t a n g ĩ d ùng công thức biến đổi sin của một tổng… nhưng đừng vội làm như thế khó ra lắm ta xem mối quan hệ giữa hai cung 3 10 2 x   và 3 10 2 x   có mối quan hệ với nhau như thế nào Thật vậy 3 3 9 3 3 sin sin sin sin 3 10 2 10 2 10 2 10 2 x x x x                                      từ đó ta đặt 3 10 2 x t    v à s ử dụng công thức nhân ba là ngon lành Ph ư ơ n g t r ì n h     3 2 2 sin 0 1 1 sin sin 3 sin 3sin 4sin sin 1 sin 0 2 2 1 sin 0 t t t t t t t t t               TH 1: 3 sin 0 2 , 5 t t k x k k            TH 2: 2 1 c o s 2 1 3 1 sin 0 1 0 cos2 2 4 , 2 2 6 5 6 t t t t k x k k                        Chú ý: - Nếu không quen với cách biến đổi trên ta có thể làm như sau 3 3 3 2 10 2 5 10 2 x x t x t t              - Với cách phân tích cung như trên ta có thể làm bài toán sau a. (BCVT – 1999) Giải phương trì n h : ) 4 sin(2sin) 4 3sin(   xxx đặt 4 t x    Đs: 4 2 k x      b. (ĐHQGHN – 1999) Giải phương trì n h : 3 8cos cos3 3 x x          đặt 3 t x    http://tailieu1.webnode.vn/ http://tailieu1.webnode.vn/ . việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa. biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản l à m ột vấn đề rất “then chố t ” trong việc giải phương trình lượng chúng ta xét các bài toán sau